ΥΠΟΛΟΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΝΕΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΠΛΕΜΑΤΩΝ Κ.Χ. ΙΑΝΝΑΚΟΛΟΥ, Επ. Καγτής, Τοµέας Ρευστών, Τµήµα Μχανολόγων Ε.Μ.Π. ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΠ ΕΝΕΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΠΛΕΜΑΤΩΝ ΕΠ. Το Πρόλµα τς ένεσς Επιανειακών Πλεγµάτων Η γένεσ επιανειακών πλεγµάτων (δοµµένων ή µ-δοµµένων, κατά περίπτωσ αποτελεί απαραίττ προϋπόεσ και το πρώτο ήµα για τ δµιουργία τριδιάστατων (αντίστοιχα, δοµµένων ή µ-δοµµένων πλεγµάτων. Ο έλεγχος τς ποιόττας του επιανειακού πλέγµατος είναι συνδεδεµένος µε τν ποιόττα του τριδιάστατου πλέγµατος που α δµιουργεί, επιλύοντας διαορικές εισώσεις γραµµένες για τον τριδιάστατο χώρο (αν πρόκειται για δοµµένο πλέγµα ή µε κάποια τεχνική προελαύνοντος µετώπου/ κατά Delaunay τετραεδροποίσς (αν πρόκειται για µδοµµένο πλέγµα τετραεδρικών στοιχείων. Η µέοδος που πρέπει να χρσιµοποιεί για τ γένεσ επιανειακών πλεγµάτων καορίζεται πρωταρχικά από τν επιλεγείσα ή τ διαέσιµ µέοδο περιγραής τς επιάνειας, πάνω στν οποία α δµιουργεί το πλέγµα. ια παράδειγµα, α µπορούσε επιάνεια να περιγράεται αναλυτικά µε µια συνάρτσ τς µορής (ισοδύναµ είναι κάε κυκλική εναλλαγή των συντεταγµένων στν παρακάτω σχέσ z z( x, y (ΕΠ. ή ακόµα γενικότερα ως ( x, y, z 0 (ΕΠ. Στν περίπτωσ αυτή, και µε ιδιαίτερ προσοχή όταν συντεταγµέν z δεν είναι µονότιµ συνάρτσ των συντεταγµένων x και y, µπορούν να διατυπωούν (ανάλογες των επίπεδων
Π- προλµάτων διαορικές εισώσεις για τ γένεσ του επιανειακού πλέγµατος. Οι εισώσεις αυτές διατυπώνονται ως προς τις συντεταγµένες x και y και στ συνέχεια το επιανειακό πλέγµα κατασκευάζεται εύκολα (ουσιαστικά υπολογίζεται τρίτ συντεταγµέν µε τ οήεια τς σχέσς (ΕΠ.. Άλλ περίπτωσ, που συχνά µπορεί να συναντεί στν πρά, είναι επιάνεια να περιγράεται µε ένα µ-δοµµένο ή δοµµένο πλέγµα (που δµιουργήκε λ.χ. µε κάποιο λογισµικό τύπου Autoca και ο χρήστς να καλείται να δµιουργήσει ένα άλλο πλέγµα τς ίδιας ή και διαορετικής κατγορίας (δοµµένο ή µ-δοµµένο, αντίστοιχα µε συγκεκριµένες απαιτήσεις ως προς τν ποιόττά του, συγκεκριµένο πλήος πλεγµατικών γραµµών, κ.λ.π. Πριν αναλυούν τεχνικές για τν επίλυσ των παραπάνω προλµάτων α παρουσιασούν ασικά στοιχεία εωρίας για τ διαχείρισ και τν παραµετροποίσ επιανειών. ΕΠ. Θεµελιώδεις Μορές Επιανειακού οµµένου Πλέγµατος Έστω ότι δµιουργείται πάνω σε µια επιάνεια ένα δοµµένο πλέγµα. Ας είναι,, (, παραµετροποίσ του επιανειακού πλέγµατος, όπως ακριώς ήταν και στα επίπεδα πλέγµατα. Θεωρούµε τν ποσόττα I οποία ορίζεται από τ σχέσ I ( ( E G (ΕΠ.3 όπου είναι το διάνυσµα έσς και E (ΕΠ.4 G Η συνάρτσ I ονοµάζεται πρώτ εµελιώδς µορή (fst funamental fom τς (,. Είναι µια οµογενής συνάρτσ πρώτου αµού ως προς και και οι συντελεστές E,, G
Π-3 ονοµάζονται πρώτοι εµελιώδεις συντελεστές (fst funamental coeffcents. Η σύγκρισ των (ΕΠ.3 και (ΕΠ.4 µε τν είσωσ (ΠΡ.3 και τις µέχρι τώρα γνώσεις για το συναλλοίωτο µετρικό τανυστή αποκαλύπτουν τν προανή αντιστοίχισ E,, G και για το λόγο αυτό µπορούµε να γράψουµε τν είσωσ (ΕΠ.3 ορισµού τς ποσόττας I χρσιµοποιώντας τανυστική γραή ως I (ΕΠ.3 Κατανοώντας το διάνυσµα ως µια στοιχειώδ διανυσµατική ποσόττα πάνω στο επιανειακό πλέγµα, που εκράζει τ µετακίνσ από το σµείο, ( στο, (, αναµένεται ποσόττα I να είναι αναλλοίωτ, µε τν έννοια ότι δεν α αλλάζει τιµή για οποιαδήποτε άλλ παραµετροποίσ τς επιάνειας. Αυτό µπορούµε να το αποδείουµε εύκολα ορίζοντας µιά διαορετική παραµετροποίσ (, αντί τς (,, για τν οποία πρώτ εµελιώδς µορή ας είναι, ( I. Κατά σειρά έχουµε, ( ( ( I I Η τελευταία σχέσ πιστοποιεί το ότι πρώτ εµελιώδς µορή του πλέγµατος είναι αναλλοίωτ στν παραµετροποίσ. Ορίζοντας τους αντίστοιχους πρώτους εµελιώδεις συντελεστές E *, *, G * και γράοντας ότι * * * * G E I (ΕΠ.5 µπορούµε, αντίετα, να δείουµε ότι οι πρώτοι εµελιώδεις συντελεστές δεν έχουν τν ιδιόττα του αναλλοίωτου. ια το σκοπό αυτό, είναι εύκολο να αποδειχούν οι σχέσεις
Π-4 E E G ϕ E ( G (ΕΠ.6 G E G που δείχνουν το µ-αναλλοίωτο των E,, G στν αλλαγή του τρόπου παραµετροποίσς. Επίσς, σµειώνεται ότι πρώτ εµελιώδς µορή I είναι ετικά ορισµέν. Είναι πάντα I 0, µε τν περίπτωσ τς ισόττας να ισχύει αν και µόνο εάν 0. Στο ίδιο επιανειακό πλέγµα ορίζουµε σε κάε σµείο του το κάετο στν επιάνεια µοναδιαίο διάνυσµα ως (ΕΠ.7 µε το διαορικό του να γράεται ως (ΕΠ.8 Χρσιµοποιώντας τν είσωσ ( ( 0 (ΕΠ.9 αποδεικνύεται καετόττα των και. Θεωρούµε τν ποσόττα ΙΙ που ορίζεται σύµωνα µε τν παρακάτω σχέσ II ( ( L M ( (ΕΠ.0 και οποία α ονοµάζεται δεύτερ εµελιώδς µορή (secon funamental fom του επιανειακού πλέγµατος (,. Οι εµπλεκόµενοι συντελεστές (που για µελλοντική χρήσ α οριστούν µε διπλό συµολισµό, και ως συνιστώσες του συµµετρικού τανυστή Ω
Π-5 L Ω M Ω Ω ( (ΕΠ. Ω ονοµάζονται δεύτεροι εµελιώδεις συντελεστές (secon funamental coeffcents. Η µορή ΙΙ είναι οµογενής συνάρτσ δεύτερου αµού των και, συνοπτικά α γράεται και ως ΙΙ Ω (ΕΠ.0 και µπορεί να αποδειχεί ότι είναι και αυτή αναλλοίωτ (όπως και I για οποιαδήποτε άλλ παραµετροποίσ που διατρεί όµως τ ορά του κάετου διανύσµατος. ια τους δεύτερους εµελιώδεις συντελεστές δεν ισχύει το αναλλοίωτο κατά τν αλλαγή παραµετροποίσς και ισχύει, σε αναλογία προς τν (ΕΠ.6, σχέσ * * * L L M * * * M L M ( (ΕΠ. L * * * M Επειδή τα και είναι διανύσµατα παράλλλα στν επιάνεια και συνεπώς κάετα στο διάνυσµα, σε κάε σµείο (,, α ισχύουν οι σχέσεις ( 0 ( 0 ( 0 (ΕΠ.3 ( 0
Π-6 που επιτρέπουν τν εναλλακτική έκρασ των L,M, ως L M (ΕΠ.4 Ο συνδυασµός των σχέσεων (ΕΠ.4 στ σχέσ (ΕΠ.0 δίνει ότι II L M ή τελικά ότι II (ΕΠ.5 όπου nn ή συνοπτικά, (ΕΠ.6 όπου, στις τανυστικές γραές, το κόµµα ως κάτω δείκτς α σµαίνει παραγώγισ ως προς τις µεταλτές που ακολουούν (λ.χ.,. ια να υπολογιστεί το εµαδόν του επιανειακού πλέγµατος χρσιµοποιείται σχέσ ορισµού του Aea ( και µε αντικατάστασ προκύπτει ότι Aea EG n ` (ΕΠ. 7
Π-7 Στν τελευταία σχέσ υπόρριζος ποσόττα είναι πάντα ετική. Αυτό µπορεί να αποδειχεί µε άσ τν ιδιόττα τς ετικά ορισµένς µορής I. Έτσι I I 0 0 E( ( G 0 που για να ισχύει πρέπει να έχει αρντικό πρόσµο ορίζουσα τς, δλαδή 4 > 4EG < 0 EG (ΕΠ.8 Το αποτέλεσµα αυτό είναι σε απόλυτ συµωνία µε τ σχέσ ( ( EG και που πρακτικά καορίζει τ λεγόµεν επιανειακή Ιακωιανή J (συχνά γράεται και J s ως J EG ΕΠ.3 Περί Καµπυλόττας Σε ένα σµείο P πάνω σε µια παραµετροποιµέν κατά (, επιάνεια (δλαδή σε ένα επιανειακό πλέγµα, ας είναι k το διάνυσµα τς καµπυλόττας µιας καµπύλς C τς επιάνειας που διέρχεται από το P και το τοπικό κάετο διάνυσµα στν επιάνεια. Θυµίζουµε ότι το διάνυσµα καµπυλόττας (cuvatue vecto µιας καµπύλς C ορίζεται ως δεύτερ παράγωγος του διανύσµατος έσς ως προς το µήκος τόου τς καµπύλς C k s Ονοµάζουµε διάνυσµα κάετς καµπυλόττας (nomal cuvatue vecto το k n που ορίζεται ως k n ( k (ΕΠ.9 Παρατρούµε ότι το k n δεν εαρτάται από τ ορά του. Η κάετ καµπυλόττα κ n σε ένα σµείο µιας καµπύλς σε µια επιάνεια είναι το εσωτερικό γινόµενο (αµωτό µέγεος
Π-8 κ k (ΕΠ.0 n Αποδεικνύεται (για τν απόδει παραπέµπουµε σε ιλία ιαορικής εωµετρίας ότι ισχύει L M Ω E G κ n II I (ΕΠ. Η κάετ καµπυλόττα εαρτάται µόνο από τν κλίσ / τς καµπύλς και είναι αναλλοίωτ (µε τν έννοια που είναι αναλλοίωτα τα I και II σε αλλαγές παραµετροποίσς που διατρούν το πρόσµο του κάετου διανύσµατος. Επειδή το I είναι ετικά ορισµένο, κάετ καµπυλόττα κ n διατρεί το πρόσµο τς ποσόττας II. Ονοµάζουµε κάετ τοµή (nomal secton τς επιάνειας τν καµπύλ που σχµατίζεται από τν τοµή τς επιάνειας µε ένα οποιοδήποτε επίπεδο που περιέχει το κάετο διάνυσµα στο σµείο P. ια το ίδιο σµείο P, µπορούµε να ορίσουµε µια απειρία τέτοιων κάετων τοµών. Κάε κάετ τοµή έχει καµπυλόττα στο P που ταυτίζεται µε τν κύρια καµπυλόττα στο ίδιο σµείο. Από το σµείο Ρ τς επιάνειας διέρχονται δύο κάετες τοµές (µε τν έννοια που τους δώσαµε προγούµενα, που αντιστοιχούν στ µικρότερ ( κ και τ µεγαλύτερ ( κ τιµή κύριας καµπυλόττας για το ίδιο σµείο. Αυτές οι δύο κάετες τοµές είναι µεταύ τους ορογώνιες και ονοµάζονται πρωτεύουσες κατευύνσεις (pncpal ectons, ενώ οι τιµές των κ και κ λέγονται πρωτεύουσες καµπυλόττες (pncpal cuvatues. Οι πρωτεύουσες καµπυλόττες προκύπτουν ως οι δύο λύσεις τς δευτεροάµιας είσωσς (δίνεται χωρίς απόδει ( EG κ ( E GL M κ ( L M 0 Η µέσ τιµή των δύο λύσεων ονοµάζεται µέσ καµπυλόττα (mean cuvatue στο σµείο P GL M E ( EG µ Ω (ΕΠ. ενώ το γινόµενό τους ονοµάζεται καµπυλόττα Gauss (Gaussan cuvatue στο ίδιο σµείο K L M Ω Ω Ω (ΕΠ.3 EG Η µέσ καµπυλόττα και καµπυλόττα Gauss µιας επιάνειας είναι µια αναλλοίωτες ποσόττες σε σχέσ µε τους διάορους τρόπους παραµετροποίσής τς. Με άσ τ σχέσ (ΕΠ.8, ο
Π-9 παρονοµαστής τς (ΕΠ.3 είναι ετικός και ως εκ τούτου το πρόσµο τς καµπυλόττας Gauss είναι το πρόσµο τς ποσόττας (L-M. ΕΠ.4 Θεωρία Επιανειών. Το εώρµα των Gauss-Wenaten Οι εισώσεις των Gauss-Wenaten για τις επιάνειες είναι ανάλογες των εισώσεων enet για τις καµπύλες. Οι εισώσεις των Gauss-Wenaten εκράζουν τις παραγώγους των διανυσµάτων, και ως γραµµικούς συνδυασµούς των ποσοτήτων αυτών (των, και µε συντελεστές που εαρτώνται από τν πρώτ και δεύτερ εµελιώδς µορή I και II αντίστοιχα. Επειδή τα, και είναι γραµµικά ανεάρττα διανύσµατα ισχύει a α α (ΕΠ.4 γ γ όπου αποµένει να υπολογιστούν οι συντελεστές αναγράονται τανυστικά ως,, και γ. Οι παραπάνω εισώσεις k a k,, k a γ,, (ΕΠ.4 ια λόγους απλόττας, οι αποδείεις που ακολουούν δίνονται σε πλήρ ανάπτυ, αντί σε τανυστική µορή. Επειδή το διάνυσµα είναι µοναδιαίο και ορογώνιο ως προς τα ισχύουν οι σχέσεις και, α γ 0 γ 0
Π-0 Αλλά 0, 0 και οπότε καταλήγουµε στο µδενισµό των γ και γ, δλαδή γ γ 0 Χρσιµοποιώντας τις σχέσεις (ΕΠ. και (ΕΠ.3 έχουµε G M G E M E L Οι παραπάνω εισώσεις αποτελούν δυο συστήµατα µε δυο εισώσεις το καένα και αγνώστους τα, (οι πρώτες δύο εισώσεις και τα, (οι δύο τελευταίες. Επιλύοντας τα συστήµατα προκύπτουν οι εκράσεις EG E M EG MG EG ME L EG LG M (ΕΠ.5 Οι παραπάνω σχέσεις διατυπώνονται σύντοµα και στ µορή k k Ω (ΕΠ.5 Στ συνέχεια, χρσιµοποιώντας τις (ΕΠ.4 έχουµε α α L
Π- M α α α α καταλήγοντας στον υπολογισµό των α ως α L α M α (ΕΠ.6 δλαδή ότι a Ω (ΕΠ.6 Τέλος, χωρίς απόδει, παραέτουµε τν έκρασ των συντελεστών GE E ( EG k ως GE G ( EG G GG G ( EG E EE E ( EG (ΕΠ.7 EG E ( EG EG ( EG G ή συνοπτικά ως ( δ σδ α ασ, σ, α α, σ (ΕΠ.7 Αντικαιστώντας στις (ΕΠ.3 έχουµε τις τρείς εισώσεις Gauss στ µορή L
Π- M (ΕΠ.8 ή k,, k Ω (ΕΠ.8 και τις δύο εισώσεις Wenaten στ µορή (ΕΠ.9 ή b,, b (ΕΠ.9 k Οι ποσόττες λέγονται επιανειακά σύµολα Chstoffel δεύτερου είδους. Οπως παρατρούµε από τις εκράσεις (ΕΠ.7, τα σύµολα Chstoffel εαρτώνται µόνο από τους πρώτους εµελιώδεις συντελεστές E,, G και τις παραγώγους τους, σε αντίεσ µε τις ποσόττες που εαρτώνται από τους πρώτους και τους δεύτερους εµελιώδεις συντελεστές. Ισχύει δε ε ορισµού ότι (ΕΠ.30 k k ΕΠ.5 Εισώσεις Συµιαστόττας και το εώρµα του Gauss Κάε ορά που µας δίνονται πεδία των E,, G, L, M, (δλαδή τα και τα Ω διατυπώνεται εύλογα το ερώτµα αν αυτά αντιστοιχούν σε µια επιάνεια (,, µε τν έννοια του να αποτελούν τους πρώτους και τους δεύτερους εµελιώδεις συντελεστές τς. ενικά, απάντσ στο παραπάνω ερώτµα είναι αρντική, εκτός αν ικανοποιούνται οι λεγόµενες εισώσεις συµιαστόττας (compatblty contons, δλαδή οι εισώσεις ( ( ( ( (ΕΠ.3
Π-3 Αποδεικνύεται ότι οι εισώσεις (ΕΠ.3, µε τν εκτέλεσ πράεων που παραλείπονται, ισοδυναµούν (αναγκαία και ικανή συνήκ µε τν απαίτσ οι πρώτοι και δεύτεροι εµελιώδεις συντελεστές να ικανοποιούν τις (λεγόµενες και πάλι εισώσεις συµιαστόττας (compatblty equatons L M Μ L L M ( M ( (EΠ.3 και L M E {( ( {( ( } } (ΕΠ.33 Οι εισώσεις (ΕΠ.3 είναι γνωστές και ως εισώσεις των Mana-Coazz. Η (ΕΠ.3 λέγεται συνήως και απλά είσωσ του Coazz και τανυστικά γράεται ως ( Ωαγ ( Ωα γ Ω Ω (ΕΠ.3 κ κ α κγ αγ κ,, και, για µια επιάνεια αντιστοιχεί µόνο σε δύο διακριτές εισώσεις, αυτές που προκύπτουν για τις τιµές α,, γ (,, και ( α,, γ (,, ( Η είσωσ (ΕΠ.33 λέγεται συχνά και είσωσ του Gauss και τανυστικά γράεται ως ( Ω Ω Ω Ω κ λκ R αγ γλ α λ αγ (ΕΠ.33 όπου ορίσκαν τα σύµολα Remann-Chstoffel κ R αγ ως R (ΕΠ.34 δ δ δ αγ α, γ αγ, ε α δ εγ ε αγ δ ε Η είσωσ (ΕΠ.33 έχει δίνει τέσσερις διακριτές εισώσεις, για κ, α,, γ (,,,, ( κ, α,, γ (,,, ( κ, α,, γ (,,, και ( κ, α,, γ (,,, (
Π-4 και έχουν ειδική σµασία. Υπενυµίζεται ότι τα k είναι συναρτήσεις των E,, G και των παραγώγων τους. Άρα, από τις ίδιες ποσόττες εαρτάται και ποσόττα L M. Η καµπυλόττα Gauss δίνεται από τ σχέσ (ΕΠ. και ενώ µοιάζει να εαρτάται από τους πρώτους και τους δεύτερους εµελιώδεις συντελεστές όπως προκύπτει τώρα εαρτάται µόνο από τους E,,G και τις παραγώγους τους. Το τελευταίο συµπέρασµα είναι ιδιαίτερα χρήσιµο κατά τ γένεσ επιανειακών πλεγµάτων. ΕΠ.6 Ελλειπτικές ιατυπώσεις για τ ένεσ οµµένων Επιανειακών Πλεγµάτων Ας συµολίσουµε µε s ( τον επιανειακό τελεστή Laplace, γνωστό και ως τελεστή Beltam (ο δείκτς s-suface δείχνει ακριώς ότι πρόκειται για τελεστή διατυπωµένο σε µια επιάνεια. Θα ισχύει, όπως για τν περίπτωσ που ο τελεστής γράεται σε ένα επίπεδο διδιάστατο χωρίο, (πάλι κάε δείκτς παίρνει τις τιµές και ότι s ( J J ( (ΕΠ.35 δ Με εαρµογή τς (ΕΠ.35 στις καµπυλόγραµµες συντεταγµένες,, προκύπτει ότι δ s J J δ J δ δ δ J ( J J (ΕΠ.36 ια τν περαιτέρω επεεργασία τς τελευταίας σχέσς δίνονται, χωρίς απόδει, δύο οτικές σχέσεις για τις παραγώγους των ανταλλοίωτων µετρικών και τς ορίζουσας J. Αυτές είναι οι κ α ακ α ακ (ΕΠ.37 J J (ΕΠ.38 Αντικαιστώντας στν (ΕΠ.36 προκύπτει ότι δ s α δ α (ΕΠ.39 Στ συνέχεια, πολλαπλασιάζουµε τν είσωσ (ΕΠ.8 του Gauss µε και προκύπτει
Π-5 k,, k Ω (ΕΠ.40 που, µε τ οήεια τς εκρασς (ΕΠ. για τ µέσ καµπυλόττα, δίνει k, k µ (ΕΠ.4, Παράλλλα, µε εαρµογή τς (ΕΠ.35 στο διάνυσµα έσς προκύπτει ότι ( J s J,, J J ή ότι (ΕΠ.4 s, s, ή ακόµα (µε άσ τν είσωσ (ΕΠ.39 ότι (ΕΠ.43 s, α α, Συγκρίνοντας τις σχέσεις (ΕΠ.4 και (ΕΠ.43 προκύπτει και εναλλακτική γραή s µ Ν (ΕΠ.44 Οι εισώσεις (ΕΠ.4 ή (ΕΠ.43 ή (ΕΠ.44 είναι εναλλακτικές µορές τς ασικής διαορικής είσωσς που διέπει τ γένεσ επιανειακών δοµµένων πλεγµάτων, αού τόσο µέσ καµπυλόττα όσο και το κάετο µοναδιαίο διάνυσµα (άρα το δειό µέλος στο σύνολό του είναι αναλλοίωτα από τν παραµετροποίσ τς επιάνειας. Η γένεσ του επιανειακού πλέγµατος µπορεί να έχει ως αετρία τις δύο εισώσεις Posson (µε όρους πγής f και f για τις δύο καµπυλόγραµµες συντεταγµένες τς επιάνειας και, ή και που γράονται παρακάτω δ s f δ (ΕΠ.45 που, µε το συνδυασµό των σχέσεων (ΕΠ.4 και (ΕΠ.44 δίνουν τν
Π-6 f, µ (ΕΠ.46, Η τελευταία είσωσ αναπαριστά τρεις διακριτές εισώσεις για τις τρεις καρτεσιανές συντεταγµένες (x,y,z των κόµων του πλέγµατος. ια λόγους πλρόττας υπενυµίζονται οι µετασχµατισµοί J G EG (ΕΠ.47 J EG J E EG