7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1

Θέματα Εισαγωγή στα πολυβάθμια συστήματα (ΠΒΣ) Εξισώσεις κίνησης Στατική Συμπύκνωση Ελεύθερη ταλάντωση πολυβάθμιων συστημάτων Ελεύθερη ταλάντωση ΠΒΣ χωρίς απόσβεση Υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιομορφών Ιδιότητες ιδιομορφών Απόσβεση ΠΒΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 2

Μέθοδος Stodolla-Vianello για την επίλυση ιδιοπροβλημάτων Δυναμική ανάλυση ΠΒΣ με επαλληλία των ιδιομορφών Ανάλυση ΠΒΣ για εξωτερικά επιβαλλόμενα δυναμικά φορτία Ανάλυση ΠΒΣ για σεισμικές διεγέρσεις Φασματική ανάλυση Μέγιστες ιδιομορφικές αποκρίσεις και οι συνδυασμοί τους Δυναμική ανάλυση με απευθείας ολοκλήρωση των ΔΕ κίνησης Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς για δυναμική ανάλυση ΠΒΣ Μέθοδος Newmark για δυναμική ανάλυση ΠΒΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 3

Εισαγωγή στα ΠΒΣ- Εξισώσεις κίνησης Όταν κάποια κατασκευή δεν μπορεί να προσομοιωθεί ικανοποιητικά από ένα ΜΒΣ, τότε απαιτείται χρήση πολυβάθμιου συστήματος. Οι εξισώσεις κίνησης ενός ΠΒΣ έχουν τις εξής μορφές για εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία και σεισμική διέγερση του εδάφους θεμελίωσης, αντίστοιχα: όπου, και είναι τα μητρώα μάζας, απόσβεσης και δυσκαμψίας. 4

Τα διανύσματα, και αντιπροσωπεύουν τις σχετικές επιταχύνσεις, ταχύτητες και μετακινήσεις των δυναμικών ΒΕ αντίστοιχα. Το διάνυσμα εκφράζει την κατανομή των μαζών σε σχέση με τους αντίστοιχους ΒΕ. Στην περίπτωση ενός κτιρίου με συμπεριφορά διατμητικού προβόλου, ισούται με. Χρησιμοποιώντας είτε το 2 ο Νόμο του Νεύτωνα, είτε την Αρχή D Alembert, μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις κίνησης, σχηματίζοντας τα σχετικά μητρώα. 5

Παράδειγμα διώροφου πλαισίου (με συμπεριφορά διατμητικού προβόλου) ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 6

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 7

Παράδειγμα διώροφου πλαισίου (με συμπεριφορά διατμητικού προβόλου) ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 8

Συστατικά δυσκαμψίας, απόσβεσης και μάζας ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 9

Πλαίσιο με γενικευμένη συμπεριφορά ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 10

Συγκέντρωση μαζών και διακριτοποίηση ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 15

Συμπεριφορά Διατμητικού Προβόλου ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 16

Εξετάζοντας το τριώροφο κτίριο, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει συμπεριφορά διατμητικού προβόλου, με αμελητέες αξονικές παραμορφώσεις και παραδοχή πλήρως άκαμπτων οριζόντιων μελών, υπάρχουν 3 δυναμικοί ΒΕ, οι οριζόντιες μετακινήσεις των τριών ορόφων. Σε αυτή την περίπτωση η οριζόντια δυσκαμψία του κάθε ορόφου, ισούται με το άθροισμα των οριζόντιων δυσκαμψιών όλων των κατακόρυφων στοιχείων του ορόφου. Επιπλέον, η μάζα του κάθε ορόφου θεωρείται συγκεντρωμένη στο ύψος του πατώματος του κάθε ορόφου, παρά το γεγονός ότι κατ ακρίβεια η μάζα είναι κατανεμημένη σε όλο το κτίριο. 17

Βάσει της παραμορφωμένης μορφής του πλαισίου μπορούν να σχηματιστούν οι εξισώσεις κίνησης, ως εκφράσεις δυναμικής ισορροπίας, του τριώροφου πλαισίου για εξωτερικά επιβαλλόμενες δυνάμεις: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 18

Εξωτερικά επιβαλλόμενα δυναμικά φορτία Σεισμική διέγερση εδάφους θεμελίωσης 19

Επιβάλλοντας μοναδιαία μετακίνηση ενός ορόφου, και διατηρώντας τις μετακινήσεις των υπόλοιπων ορόφων μηδενικές, τα στοιχεία της αντίστοιχης στήλης του μητρώου δυσκαμψίας ισούνται με τις εξωτερικά επιβαλλόμενες δυνάμεις ώστε να ισορροπούν όλοι οι δυναμικοί ΒΕ. Εφαρμόζοντας διαδοχικά μοναδιαία κάποια άλλη μετακίνηση, διατηρώντας μηδενικές τις υπόλοιπες, προσδιορίζονται τα στοιχεία της αντίστοιχης στήλης του μητρώου δυσκαμψίας. Με αυτό τον τρόπο μπορεί σταδιακά να σχηματιστεί το μητρώο δυσκαμψίας: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 21

Οι δυνάμεις που ασκούνται στην κάθε μάζα είναι οι εξωτερικά επιβαλλόμενες δυνάμεις, οι ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης, οι δυνάμεις απόσβεσης και οι αδρανειακές δυνάμεις. Αντίστοιχα για την περίπτωση σεισμικής κίνησης, οι εξισώσεις κίνησης προκύπτουν από εφαρμογή της κίνησης του εδάφους και έχουν την πιο κάτω μορφή: όπου σ αυτή την περίπτωση 22

Σε κάθε περίπτωση, οι εξισώσεις κίνησης ενός ΠΒΣ είναι ένα συζευγμένο σύστημα συνήθων ΔΕ 2 ας τάξης με σταθερούς συντελεστές, το οποίο όμως δεν μπορεί άμεσα να λυθεί ξεχωριστά για την κάθε ΔΕ. Γενικά, αυτό το σύστημα ΔΕ, είτε πρέπει να επιλυθεί απευθείας γιατί οι εξισώσεις συνδέονται μέσω των μη μηδενικών εκτός διαγώνιων στοιχείων των μητρώων, είτε με κάποιο κατάλληλο μετασχηματισμό, όπως θα δούμε με τη βοήθεια των ιδιομορφών της κατασκευής. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 23

Σε κάποιες περιπτώσεις τα μητρώα μάζας, απόσβεσης και δυσκαμψίας μπορεί να έχουν όλα τα στοιχεία τους μη μηδενικά. Συνήθως όμως, όπως σε περιπτώσεις κτιρίων με συμπεριφορά διατμητικού προβόλου, το μητρώο μάζας είναι διαγώνιο ενώ στην πράξη το μητρώο απόσβεσης προσδιορίζεται έμμεσα με εκτίμηση κάποιων λόγων απόσβεσης (Rayleigh damping), αφού είναι πολύ δύσκολος ο καθορισμός των συντελεστών απόσβεσης. Έτσι, το σύστημα ΔΕ είναι συζευγμένο συνήθως λόγω των μη μηδενικών στοιχείων εκτός της διαγωνίου του μητρώου δυσκαμψίας. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 24

Εκκεντρότητες σε Κάτοψη: Ανεπιθύμητες Στροφές Κτίρια που δεν είναι συμμετρικά σε κάτοψη, και συνεπώς υπάρχει εκκεντρότητα μεταξύ του κέντρου μάζας και του κέντρου δυσκαμψίας σε κάτοψη, ακόμη και όταν υπόκεινται σε σεισμική διέγερση στη μια μόνο διεύθυνση, παρουσιάζουν κίνηση και στις δύο διευθύνσεις καθώς και στροφή γύρω από τον κατακόρυφο άξονα. Για αυτό το λόγο πρέπει ο μηχανικός να μορφώσει και να διαστασιολογήσει κατάλληλα το φορέα ώστε να μην υπάρχουν εκκεντρότητες μεταξύ του κέντρου μάζας του και του κέντρου δυσκαμψίας του κάθε ορόφου. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 25

Παράδειγμα εκκεντρότητας σε κάτοψη 28

Στατική Συμπύκνωση Δεν υπάρχει λόγος συμπερίληψης των στατικών ΒΕ στις ΔΕ εξισώσεις κίνησης από τις οποίες μπορούν να αφαιρεθούν με στατική συμπύκνωση χρησιμοποιώντας υπομητρώα. Αν διαχωρίσουμε τις μετακινήσεις σε στατικούς και δυναμικούς βαθμούς ελευθερίας, οι εξισώσεις κίνησης διαμορφώνονται ως ακολούθως: - για εξωτερικά επιβαλλόμενα δυναμικά φορτία : - για σεισμικές διεγέρσεις του εδάφους θεμελίωσης: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 32

Και στις δύο περιπτώσεις μπορούν οι στατικοί βαθμοί ελευθερίας να εκφραστούν συναρτήσει των δυναμικών βαθμών ελευθερίας : όπου είναι το συμπυκνωμένο μητρώο δυσκαμψίας. Αφού επιλυθεί το σύστημα ΔΕ και υπολογιστούν οι μετακινήσεις των δυναμικών ΒΕ, μπορούν να προσδιοριστούν στη συνέχεια τα εντατικά μεγέθη. Αυτό μπορεί να γίνει όταν από τις γνωστές μετακινήσεις υπολογιστούν οι υπόλοιπες μετακινήσεις και στη συνέχεια προσδιοριστούν τα εντατικά μεγέθη από τα μητρώα δυσκαμψίας των μελών και τις μετακινήσεις. Εναλλακτικά, μπορεί να γίνει στατική ανάλυση με επιβολή ισοδύναμων στατικά φορτίων που αντιστοιχούν στις γνωστές μετακινήσεις. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 33

Ελεύθερη ταλάντωση πολυβάθμιων συστημάτων (ΠΒΣ) Κατά την ελεύθερη ταλάντωση ενός ΠΒΣ επιβάλλονται στο σύστημα κάποιες αρχικές μετακινήσεις και ταχύτητες και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερο να ταλαντωθεί χωρίς οποιαδήποτε εξωτερική φόρτιση. Ελεύθερη ταλάντωση ΠΒΣ χωρίς απόσβεση Κατά την ελεύθερη ταλάντωση ενός ΠΒΣ επιβάλλονται στο σύστημα κάποιες αρχικές μετακινήσεις και ταχύτητες και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερο να ταλαντωθεί χωρίς οποιαδήποτε εξωτερική φόρτιση. 40

Ελεύθερη ταλάντωση ΠΒΣ χωρίς απόσβεση Λύνοντας το σύστημα Ν-ομογενών ΔΕ 2 ας τάξης, όπου Ν είναι ο αριθμός των δυναμικών ΒΕ, το οποίο είναι πεπλεγμένο λόγο των εκτός διαγώνιων όρων των μητρώων μάζας και δυσκαμψίας, προσδιορίζονται οι άγνωστες μετακινήσεις. Ενώ η απόκριση ενός ΜΒΣ σε ελεύθερη ταλάντωση είναι αρμονική, ένα ΠΒΣ που εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση δεν εκτελεί αρμονική κίνηση, εκτός εάν οι αρχικές μετακινήσεις έχουν συγκεκριμένη μορφή. Οι μορφές των μετακινήσεων κατά τις οποίες αν εκτραπεί ένα ΠΒΣ εκτελεί αρμονική ελεύθερη ταλάντωση είναι οι ιδιομορφές ή φυσικές μορφές ταλάντωσης της κατασκευής. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 41

Για ένα ΠΒΣ με Ν- δυναμικούς ΒΕ υπάρχει αριθμός Ν- ιδιομορφών. Έτσι, το πιο κάτω σύστημα, το οποίο έχει 3 δυναμικούς ΒΕ, έχει 3 ιδιομορφές: Παρατηρούμε ότι στην 1 η ιδιομορφή υπάρχει ένα σημείο με μηδενική μετακίνηση, για τη 2 η ιδιομορφή υπάρχουν δύο σημεία και για την 3 η ιδιομορφή υπάρχουν τρία σημεία με μηδενική μετακίνηση. Για την κάθε ιδιομορφή υπάρχει αντίστοιχα ιδιοπερίοδος, ιδιοσυχνότητα και κυκλική ιδιοσυχνότητα που συνδέονται μεταξύ τους ως ακολούθως: 42

Η ελεύθερη ταλάντωση ενός ΠΒΣ το οποίο εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας σύμφωνα με κάποια ιδιομορφή, είναι αρμονική κίνηση κατά την οποία η μορφή παραμόρφωσης διατηρεί συνεχώς την μορφή της Ν- ιδιομορφής, πολλαπλασιαζόμενης επί την ιδιομορφική συνιστώσα, η οποία μεταβάλλεται χρονικά: 44

Υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιομορφών Οι ιδιοτιμές και ιδιομορφές ενός ΠΒΣ με μητρώα δυσκαμψίας και μάζας προσδιορίζονται από την επίλυση του ιδιοπροβλήματος: ώστε να ικανοποιούνται οι εξισώσεις αρμονικής κίνησης κατά την ελεύθερη ταλάντωση, με αρχική συνθήκη αντίστοιχη της Ν-ιδιομορφής. Για να έχει λύση το πιο πάνω σύστημα ομογενών αλγεβρικών εξισώσεων πρέπει η πιο κάτω ορίζουσα να είναι ίση με μηδέν. 47

Υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιομορφών Αναπτύσσοντας την ορίζουσα προκύπτει ένα πολυώνυμο Ν- βαθμού ως προς, το οποίο έχει ρίζες τις Ν ιδιοσυχνότητες, όπου Ν είναι ο αριθμός των δυναμικών ΒΕ. Για την κάθε ιδιοσυχνότητα (eigenfrequency) υπάρχει η αντίστοιχη ιδιομορφή (eigenmode) και ιδιοπερίοδο (eigenperiod), η οποία μπορεί να προσδιοριστεί σαν μορφή με συγκεκριμένες αναλογίες μεταξύ των μετακινήσεων αλλά χωρίς συγκεκριμένες τιμές. Συγκεκριμένα, η κάθε ιδιομορφή ιδιοσυχνότητα και επιλύνεται το προκύπτει από τη σχέση: προσδιορίζεται όταν, με δεδομένη την, δίνεται αυθαίρετη τιμή σε ένα στοιχείο της ιδιομορφής σύστημα γραμμικών εξισώσεων που 48

Ιδιότητες ιδιοτιμών Ένα ΠΒΣ έχει τόσες ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές όσοι και οι δυναμικοί ΒΕ. Κάθε ιδιομορφή προσδιορίζεται με κάποια σταθερά αναλογίας και όχι με συγκεκριμένες τιμές. Οι ιδιομορφές είναι ορθογωνικές ως προς το μητρώο μάζας και δυσκαμψίας: αν Η κάθε ιδιοσυχνότητα ισούται με την τετραγωνική ρίζα του λόγου της γενικευμένης δυσκαμψίας προς τη γενικευμένη μάζα: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 54

Οι ιδιομορφές είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να εκφράσουν οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα υπάρχει στον ίδιο χώρο σαν γραμμικό συνδυασμό των Ν ιδιομορφών. Οι μετακινήσεις των ιδιομορφών προσδιορίζονται μόνο ως προς την σχέση των μετακινήσεων των ΒΕ και όχι σαν απόλυτες τιμές. Αν είναι η Ν-οστή ιδιομορφή, τότε κάθε διάνυσμα πολλαπλάσιο του είναι επίσης η Ν-οστή ιδιομορφή και ικανοποιεί την εξίσωση: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 55

Κανονικοποίηση ιδιοτιμών Υπάρχουν 3 συνήθης τρόποι κανονικοποίησης των ιδιομορφών. Πολλαπλασιάζοντας κατάλληλα τα στοιχεία της κάθε ιδιομορφής ώστε: - το μεγαλύτερο, σε απόλυτη τιμή, στοιχείο να ισούται με 1.0 - η μετακίνηση του πάνω ορόφου να ισούται με 1.0 - η γενικευμένη μάζα να ισούται με 1.0 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 56

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 60

Παράδειγμα (11.2 βιβλίου) ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 65

Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση Οι μετακινήσεις ενός ΠΒΣ μπορούν να εκφραστούν σαν γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών: Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις κίνησης ενός ΠΒΣ χωρίς απόσβεση: nμε αρχικές συνθήκες και. Εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών, μετασχηματίζουμε το σύστημα ΔΕ σε ένα σύστημα Ν-ανεξάρτητων ΔΕ της μορφής: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 71

Οι αρχικές συνθήκες βάσει του συγκεκριμένου μετασχηματισμού είναι: και Η λύση της κάθε ανεξάρτητης ΔΕ,, έχει μορφή: Συνεπώς οι μετακινήσεις ενός ΠΒΣ κατά την ελεύθερη ταλάντωση προκύπτουν από επαλληλία των ιδιομορφών: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 75

Οι (2ΧΝ) άγνωστες σταθερές ολοκλήρωσης προκύπτουν, από τις αντίστοιχες (2ΧΝ) αρχικές συνθήκες για και, να ισούνται με: και 76

Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση Αντίστοιχα, για ένα ΠΒΣ με απόσβεση, εκφράζοντας τις μετακινήσεις συναρτήσει των ιδιομορφών: προκύπτουν Ν ανεξάρτητες ΔΕ: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 77

: γενικευμένη μάζα : γενικευμένη απόσβεση : γενικευμένη δυσκαμψία όπου: Διαιρώντας δια τη γενικευμένη μάζα προκύπτει η ΔΕ: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 80

Η λύση της κάθε μιας ανεξάρτητης ΔΕ είναι: όπου λαμβάνοντας υπόψη την απόσβεση. είναι η συχνότητα της ιδιομορφής Ν Συνεπώς οι συνολικές μετακινήσεις προκύπτουν από επαλληλία των ιδιομορφικών συνεισφορών: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 81

Απόσβεση Επειδή είναι πρακτικά αδύνατο να υπολογιστούν οι συντελεστές του μητρώου απόσβεσης μιας κατασκευής από τα γεωμετρικά και μηχανικά χαρακτηριστικά της, μπορούν να εκτιμηθούν οι γενικευμένοι λόγοι απόσβεσης για κάθε N- ιδιομορφή. Αν χρησιμοποιηθεί ιδιομορφική ανάλυση τότε απλά για κάθε ιδιομορφή μπορεί να καθοριστεί ο λόγος απόσβεσης. Για να γίνει αυτό πρέπει η απόσβεση της κατασκευής να είναι κλασσική, οπότε και ισχύει η ιδιότητα της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών. Αν όμως χρησιμοποιηθεί απευθείας αριθμητική ολοκλήρωση του συστήματος ΔΕ κίνησης, χωρίς οποιοδήποτε μετασχηματισμό, τότε πρέπει να σχηματιστεί το μητρώο απόσβεσης. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 82

Απόσβεση Rayleigh Ο πιο απλός τρόπος είναι ο σχηματισμός μητρώων απόσβεσης κατά Rayleigh, ο οποίος είναι αποδεκτός όταν οι ιδιοσυχνότητες του κτηρίου είναι ικανοποιητικά διαφορετικές. Σύμφωνα με την απόσβεση κατά Rayleigh ότι το μητρώο απόσβεσης είναι γραμμικός συνδυασμός των μητρώων μάζας και δυσκαμψίας, το οποίο εξασφαλίζει την ιδιότητα της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών και για το μητρώο απόσβεσης: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 83

Εφαρμόζοντας την πιο πάνω σχέση για την N-ιδιομορφή Έτσι προκύπτει η πιο κάτω σχέση για τον λόγο απόσβεσης της N-ιδιομορφής Για να προσδιοριστούν οι δύο σταθερές και μπορούμε να ορίσουμε το λόγο απόσβεσης για δύο ιδιομορφές, ώστε να προκύψουν δύο εξισώσεις της πιο κάτω μορφής: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 84

Λύνοντας το πιο κάτω 2x2 σύστημα γραμμικών εξισώσεων, προσδιορίζονται οι σταθερές και. Οι λόγοι απόσβεσης που αντιστοιχούν στις άλλες ιδιομορφές μπορούν να προσδιοριστούν με δεδομένες τις σταθερές και. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 85

[modes, eigenvalues2] = eig(k,m); idiomorfh1 = modes(:,1)/sqrt((modes(:,1))'*m*modes(:,1)); idiomorfh2 = modes(:,2)/sqrt((modes(:,2))'*m*modes(:,2)); idiomorfh3 = modes(:,3)/sqrt((modes(:,3))'*m*modes(:,3)); w1 = sqrt(eigenvalues2(1,1)) w2 = sqrt(eigenvalues2(2,2)) w3 = sqrt(eigenvalues2(3,3)) T1 = 2 * pi / w1 T2 = 2 * pi / w2 T3 = 2 * pi / w3 z1 = 0.05; z3 = 0.02; ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 93

Μέθοδος διανυσματικής επίλυσης ιδιοπροβλημάτων για την εύρεση ιδιοτιμών/ιδιομορφών Stodolla-Vianello Για να προσδιοριστούν αριθμητικά οι ιδιομορφές και οι ιδιοσυχνότητες μιας κατασκευής μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια αριθμητική μέθοδος όπως η Stodolla-Vianello. Η μέθοδος αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επιλυθεί το ιδιοπρόβλημα: Αν και είναι θετικά ορισμένα τότε όλες οι ιδιοτιμές είναι θετικές. 98

Η 1η ιδιοσυχνότητα και η αντίστοιχη ιδιομορφή, μπορούν να προσδιοριστούν ξεκινώντας με αυθαίρετο διάνυσμα (έστω ), λαμβάνοντας υπόψη ότι τι ζητούμενο ιδιοδιάνυσμα (ιδιομορφή) είναι γνωστό μόνο σαν μορφή και όχι σαν απόλυτες τιμές: κ.ο.κ. 99

Συνεχίζοντας τις επαναλήψεις το συγκλίνει στο ζητούμενο ιδιοδιάνυσμα καθώς. Η 1 η ιδιοτιμή στο τετράγωνο, δίνεται σαν ο λόγος των στοιχείων του τελευταίου διανύσματος προς το νέο διάνυσμα: Επίσης, η ιδιοτιμή, μπορεί να υπολογιστεί και από το πηλίκο του Rayleigh σαν: 100

Αφού υπολογίσουμε την 1 η ιδιομορφή στη συνέχεια μπορούμε να προσδιορίσουμε και τις υπόλοιπες ιδιομορφές με παρόμοιο τρόπο. Η 2 η ιδιοσυχνότητα και η ιδιομορφή, μπορούν να προσδιοριστούν επιλέγοντας ένα αυθαίρετο διάνυσμα το οποίο πρέπει να είναι ορθογωνικό ως προς την 1 η ιδιομορφή (ορθογωνοποίηση κατά Gramm- Schmidt). 101

Επιλέγουμε κ.ο.κ. 102

Για τον υπολογισμό ανώτερων ιδιομορφών, ξεκινούμε από ένα αυθαίρετο διάνυσμα το οποίο ορθογωνοποιείται ως προς ήδη υπολογισθέντες (Ν-1) ιδιομορφές και προσδιορίζεται η ιδιομορφή και η αντίστοιχη ιδιοσυχνότητα. Έστω κ.ο.κ 103

Προγραμματισμός αριθμητικού προσδιορισμού ιδιοτιμών και ιδιομορφών ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 104

Παράδειγμα αριθμητικού υπολογισμού ιδιοτιμών και ιδιομορφών ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 109

Δυναμική ανάλυση ΠΒΣ με επαλληλία των ιδιομορφών - Εξωτερικά επιβαλλόμενα δυναμικά φορτία Στη γενικευμένη περίπτωση, θεωρώντας κλασσική απόσβεση, το σύστημα ΔΕ κίνησης ενός ΠΒΣ έχουν την πιο κάτω μορφή: Οι ΔΕ αυτές είναι συζευγμένες λόγω των εκτός διαγώνιων στοιχείων των μητρώων. Εκφράζοντας τις μετακινήσεις συναρτήσει των ιδιομορφών, μπορούμε να μετασχηματίσουμε το συζευγμένο σύστημα ΔΕ σε ανεξάρτητες ΔΕ αξιοποιώντας την ιδιότητα της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών. 112

Το σύστημα ΔΕ κίνησης μετασχηματίζεται όπως πιο κάτω: Στη συνέχεια, προπολλαπλασιάζοντας με την N-ιδιομορφή : 113

Λαμβάνοντας υπόψη την ορθογωνικότητα των ιδιομορφών ως προς τα μητρώα μάζας, απόσβεσης και δυσκαμψίας, προκύπτουν N ανεξάρτητες ΔΕ: Διαιρώντας την κάθε ΔΕ δια την αντίστοιχη γενικευμένη μάζα : όπου: ορίζεται η γενικευμένη μάζα ορίζεται η γενικευμένη απόσβεση ορίζεται η γενικευμένη δυσκαμψία είναι ο λόγος απόσβεσης Ν-ιδιομορφής όπου: 114

Υπολογίζοντας την απόκριση της κάθε ανεξάρτητης ΔΕ, η οποία ουσιαστικά είναι αντίστοιχη με την ΔΕ εξίσωση κίνησης ενός ΜΒΣ: Έτσι, προσδιορίζεται η ιδιομορφική συνιστώσα για την κάθε ιδιομορφή. Συνδυάζοντας τη συνεισφορά της κάθε n-ιδιομορφής στις μετακινήσεις,, υπολογίζονται οι συνολικές μετακινήσεις : Η συνεισφορά της κάθε ιδιομορφής στα εντατικά μεγέθη μπορεί να υπολογιστεί βάσει των ιδιομορφικών μετακινήσεων. Αφού προσδιοριστούν και οι αντίστοιχες μετακινήσεις των στατικών ΒΕ, με δεδομένα τα μητρώα δυσκαμψίας του κάθε μέλους, μπορούν να υπολογιστούν τα εντατικά μεγέθη βάσει των μετακινήσεων των άκρων του κάθε μέλους. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 115

Εναλλακτικά, τα εντατικά μεγέθη που προκαλεί η κάθε ιδιομορφή μπορούν να υπολογιστούν από στατική ανάλυση της κατασκευής υπό ισοδύναμα στατικά φορτία που αντιστοιχούν στη μετακίνηση της Ν-ιδιομορφής Η τιμή του εντατικού μεγέθους συνολικά προκύπτει από την επαλληλία των συνεισφορών των ιδιομορφών στο εντατικό μέγεθος: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 116

Θεωρώντας ότι τα εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία p j (t) μεταβάλλονται χρονικά με τον ίδιο τρόπο p(t) και ότι η χωρική κατανομή τους ορίζεται από το s ανεξάρτητα από το χρόνο. Προπολλαπλασιάζοντας με Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών Συνεισφορά της n ιδιομορφής στο s: 127

Η συνεισφορά της n ιδιομορφής στο s είναι ανεξάρτητη του τρόπου κανονικοποιήσης των ιδιομορφών Έτσι, εκφράζεται η κατανομή s των εξωτερικά επιβαλλόμενων δυνάμεων συναρτήσει της κατανομής των αδρανειακών δυνάμεων s n, η οποία αντιστοιχεί στις ιδιομορφές. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 128

Πενταόροφο κτίριο διατμητικού προβόλου 129

Φυσικές μορφές ταλάντωσης πενταόροφο κτιρίου ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 130

Διαφορετικές επιβαλλόμενες φορτίσεις στο πενταόροφο κτίριο 131

Εξίσωση κίνησης ΜΒΣ: Απόκριση ΜΒΣ: 133

Απόκριση ΜΒΣ: Συνεισφορά της n-ιδιομορφής στις μετακινήσεις u(t) Ισοδύναμες στατικές φορτίσεις ιδιομορφική στατική απόκριση (r λόγω στατικής εφαρμογής s n ) 134

Εξίσωση κίνησης ΜΒΣ: Απόκριση ΜΒΣ: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 136

Ανάλυση ΠΒΣ σε σεισμικές διεγέρσεις Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της επαλληλίας των ιδιομορφών για τη χρονική ολοκλήρωση των ΔΕ κίνησης θα δούμε τη δυναμική ανάλυση ΠΒΣ υπό σεισμική διέγερση. Η παρουσίαση γίνεται για την περίπτωση συμμετρικών σε κάτοψη πολυώροφων κτιρίων με συμπεριφορά διατμητικού προβόλου και σεισμική διέγερση στη μια διεύθυνση. Όμως, οι βασικές αρχές ανάλυσης με τη μέθοδο της επαλληλίας των ιδιομορφών ισχύει γενικότερα. Οι ΔΕ κίνησης ενός ΠΒΣ έχουν την μορφή: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 137

Ενώ στην πράξη τα μητρώα δυσκαμψίας και μάζας μπορούν να προσδιοριστούν, το μητρώο απόσβεσης δε χρειάζεται να καθοριστεί για αυτή τη μέθοδο, αφού για κάθε ιδιομορφή μπορεί να καθοριστεί ο αντίστοιχος λόγος απόσβεσης. Οι μετακινήσεις μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των ιδιομορφών: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 138

Λόγω της ιδιότητας της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών προκύπτουν Ν- ανεξάρτητες ΔΕ της μορφής: Το γινόμενο το οποίο εκφράζει την κατανομή των αδρανειακών δυνάμεων μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα των ιδιομορφικών κατανομών των αδρανειακών δυνάμεων : ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 139

Προπολλαπλασιάζοντας την πιο πάνω σχέση με : Λόγω της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών προκύπτει η πιο κάτω σχέση για τον ιδιομορφικό συντελεστή : Ο ιδιομορφικός συντελεστής, εκφράζει κατά κάποιο τρόπο το βαθμό συμμετοχής της κάθε ιδιομορφής αν και εξαρτάται από τον τρόπο κανονικοποίησης των ιδιομορφών. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 140

Πιο καλά εκφράζεται τη συνεισφορά της κάθε ιδιομορφής με την ενεργή ιδιομορφική μάζα, η οποία δίνεται από την πιο κάτω σχέση, αφού το άθροισμα όλων των ενεργών ιδιομορφικών μαζών ισούται με τη συνολική μάζα της κατασκευής. Το φορτίο, εκφράζει τη συνεισφορά της Ν-ιδιομορφής στα ισοδύναμα (ή άλλως ενεργά) σεισμικά φορτία. Έτσι η κάθε ΔΕ, που αντιστοιχεί στην Ν-ιδιομορφή, διαιρώντας την με τη γενικευμένη μάζα, παίρνει την εξής μορφή: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 141

Η επίλυση της αντίστοιχης ΔΕ κίνησης ενός ΜΒΣ, όπως η πιο κάτω, μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας μια αριθμητική μέθοδο: Η μόνη διαφορά της ΔΕ της ιδιομορφικής απόκρισης από την ΔΕ κίνησης ΜΒΣ είναι ο συντελεστής. Έτσι η ιδιομορφική απόκριση προκύπτει με πολλαπλασιασμό της απόκρισης ενός ΜΒΣ με εφόσον το σύστημα είναι γραμμικά ελαστικό: Συνεπώς, οι συνολικές μετακινήσεις προκύπτουν από απλή επαλληλία των συνεισφορών της κάθε ιδιομορφής: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 142

Ακολούθως, το κάθε εντατικό μέγεθος λόγω της κάθε Ν-ιδιομορφής, μπορεί να υπολογιστεί είτε από τις αντίστοιχες μετακινήσεις και των μητρώων δυσκαμψίας των μελών, είτε από στατική ανάλυση της κατασκευής με επιβαλλόμενα ισοδύναμα στατικά φορτία με τις μετακινήσεις. Συνήθως, είναι προτιμότερη η χρήση ισοδύναμων στατικών φορτίων τα οποία υπολογίζονται ως ακολούθως: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 143

Εφόσον ισχύει η σχέση όπου ιδιομορφική εξίσωση ΜΒΣ., είναι η ψευδοεπιτάχυνση του αντίστοιχου με την Τα ισοδύναμα στατικά φορτία για την κάθε ιδιομορφή ισούνται με το γινόμενο του διανύσματος των δυνάμεων κατανομής της μάζας επί την ψευδοεπιτάχυνση που αντιστοιχούν στην ιδιομορφή. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 144

Εφόσον το διάνυσμα είναι ανεξάρτητο του χρόνου, μπορούμε για οποιοδήποτε εντατικό μέγεθος να υπολογίσουμε τη στατική απόκριση του σε στατική επιβολή του φορτίου αυτού. Στη συνέχεια, εφόσον η συμπεριφορά είναι γραμμική-ελαστική, πολλαπλασιάζοντας με τις ψευδοεπιταχύνσεις, μπορούμε να προσδιορίσουμε την εκάστοτε τιμή του εντατικού μεγέθους συναρτήσει του χρόνου κατά τη διάρκεια της σεισμικής διέγερσης. Το συνολικό μέγεθος των εντατικών μεγεθών προκύπτει από επαλληλία των συνεισφορών όλων των ιδιομορφών. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 145

Έτσι για να υπολογιστεί ένα εντατικό μέγεθος συναρτήσει του χρόνου, χρειάζεται για κάθε μια από τις Ν-ιδιομορφές, στατική ανάλυση της κατασκευής με επιβαλλόμενα φορτία και μια δυναμική ανάλυση ΜΒΣ που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιομορφική εξίσωση για σεισμική διέγερση. Δηλαδή, συνολικά απαιτούνται Ν-στατικές αναλύσεις της κατασκευής και Ν- δυναμικές αναλύσεις ΜΒΣ. Αφού προσδιοριστεί η συνεισφορά της κάθε ιδιομορφής, αθροίζοντας τις επιμέρους συνεισφορές, προκύπτει η συνολική απόκριση της κατασκευής και τα μεγέθη που μας ενδιαφέρουν. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 146

Συχνά, τα συνήθη πολυώροφα κτίρια μπορούν να προσομοιωθούν θεωρώντας αμελητέες τις αξονικές παραμορφώσεις, άκαμπτα τα οριζόντια μέλη και τις μάζες συγκεντρωμένες στους ορόφους με συμπεριφορά διατμητικού προβόλου. Επιπλέον, ένα συμμετρικό σε κάτοψη κτίριο, όσο αφορά μάζα και δυσκαμψία ώστε να μην υπάρχει εκκεντρότητα μεταξύ κέντρου μάζας και δυσκαμψίας, μπορεί να αναλυθεί για σεισμική διέγερση σε μια διεύθυνση ξεχωριστά με ένα δυναμικό ΒΕ ανά όροφο. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 147

Οι ΔΕ κίνησης έχουν τη μορφή: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 148

Η ιδιομορφική κατανομή του ισούται με: Οι δυνάμεις αυτές επιβάλλονται στο φορέα με τους ΒΕ και υπολογίζονται οι αντίστοιχες ιδιομορφικές στατικές αποκρίσεις ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 149

Συγκεκριμένα, οι στατικές αποκρίσεις της τέμνουσας και της ροπής ανατροπής στον κάθε i-όροφο λόγω της Ν-ιδιομορφής ισούται, αντίστοιχα, με : Αντίστοιχα, η τέμνουσα βάσης και η ροπή ανατροπής βάσης λόγω της Ν- ιδιομορφής από στατική επιβολή των ιδιομορφικών κατανομών ισούνται με: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 150

Οι ποσότητες και είναι η ενεργή ή ισοδύναμη ιδιομορφική μάζα, την οποία είχαμε αναφέρει και νωρίτερα, και το ενεργό ιδιομορφικό ύψος αντίστοιχα, που αντιστοιχούν στα ισοδύναμα ΜΒΣ. Τα μεγέθη αυτά, είναι ανεξάρτητα του τρόπου κανονικοποίησης των ιδιομορφών. Η φυσική σημασία της ενεργής ιδιομορφικής μάζας βάσης, είναι ότι μόνο αυτό το ποσοστό της μάζας συμμετέχει ενεργά στην ανάπτυξη τέμνουσας λόγω της Ν-ιδιομορφής: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 151

Το ενεργό ιδιομορφικό ύψος, εξαρτάται από την κατανομή των μαζών καθ ύψος του κτιρίου και την μορφή των ιδιομορφών και είναι πάντα μικρότερο από το συνολικό ύψος του κτιρίου. Είναι το ύψος στο οποίο θα ήταν η μάζα του αντίστοιχου ΜΒΣ για να προκύπτει η σωστή ροπή ανατροπής για τη συγκεκριμένη ιδιομορφή. Δηλαδή, οι ροπές των ενεργών ιδιομορφικών μαζών, εφαρμοζόμενες στα αντίστοιχα ενεργά ιδιομορφικά ύψη, ισούνται με την ροπή ανατροπής βάσης: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 152

Η σχετική με το έδαφος μετακίνηση, καθώς και η σχετική μεταξύ των δύο ορόφων μετακίνηση του ορόφου j ισούνται με: Κάνοντας δυναμική ανάλυση για τα ΜΒΣ που αντιστοιχούν στις ανεξάρτητες ιδιομορφικές εξισώσεις, δηλαδή στη γενικευμένη μάζα, τη γενικευμένη δυσκαμψία και το λόγο απόσβεσης, υπό συγκεκριμένη σεισμική διέγερση υπολογίζουμε την ιδιομορφική απόκριση. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι συνεισφορές των ιδιομορφών στα στατικά μεγέθη, στις σχετικές μετακινήσεις και στις απόλυτες επιταχύνσεις και η συνολική απόκριση από επαλληλία των ιδιομορφών. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 157

Φασματική Ανάλυση Η δυναμική ανάλυση με χρήση της επαλληλίας των ιδιομορφών (Modal analysis) υπολογίζει τη χρονοϊστορία της απόκρισης (response history analysis) κατά τη διάρκεια μιας σεισμικής διέγερσης συναρτήσει του χρόνου. Στην πράξη όμως, τόσο για το σχεδιασμό μιας νέας κατασκευής όσο και για την αποτίμηση της τρωτότητας μιας υφιστάμενης κατασκευής, επαρκούν οι μέγιστες τιμές της απόκρισης κατά τη διάρκεια μιας σεισμικής δράσης. Όπως είχαμε δει στην ανάλυση ΜΒΣ, αντί δυναμικής ανάλυσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα αντίστοιχα φάσματα απόκρισης τα οποία παρέχουν τις μέγιστες αποκρίσεις, όσον αφορά μετακινήσεις, επιταχύνσεις, κ.λπ., συναρτήσει της ιδιοπεριόδου ή ιδιοσυχνότητας για μια σειρά διαφορετικών λόγων απόσβεσης. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 159

Παρομοίως, η φασματική ανάλυση (response spectrum analysis) αξιοποιεί τα φάσματα απόκρισης για να υπολογιστούν οι μέγιστες αποκρίσεις που αντιστοιχούν σε κάθε ιδιομορφική εξίσωση. Στη συνέχεια, χρησιμοποιείται επαλληλία των μέγιστων αποκρίσεων των ιδιομορφών για να εκτιμηθεί, με κάποιο κατάλληλο κανόνα συνδυασμού, η συνολική μέγιστη απόκριση, αφού οι μέγιστες ιδιομορφικές αποκρίσεις συμβαίνουν σε διαφορετική χρονική στιγμή. Τα αποτελέσματα της φασματικής ανάλυσης είναι απλές εκτιμήσεις της μέγιστης απόκρισης σε αντίθεση με τα αποτελέσματα της μεθόδου της επαλληλίας των ιδιομορφών, τα οποία είναι ακριβή όταν λαμβάνονται υπόψη οι συνεισφορές όλων των ιδιομορφών. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 160

Μέγιστες ιδιομορφικές αποκρίσεις και οι συνδυασμοί τους Η μέγιστη τιμή ενός εντατικού μεγέθους, λόγω της συνεισφοράς της n- ιδιομορφής, μπορεί να προσδιοριστεί από το φάσμα απόκρισης ενός σεισμού ή από το φάσμα σχεδιασμού βάσει της αντίστοιχης ψευδοεπιτάχυνσης: max max static n a n n n n a n n A S ω,ζ s s S ω,ζ Όμως, η μέγιστη απόκριση και το αντίστοιχο μέγιστο εντατικό μέγεθος δεν συμβαίνουν γενικά στην ίδια χρονική στιγμή. Συνεπώς, αθροίζοντας τις μέγιστες αποκρίσεις λόγω όλων των ιδιομορφών, είναι πολύ συντηρητική παραδοχή, αφού είναι το άθροισμα των απόλυτων τιμών των μέγιστων ιδιομορφικών αποκρίσεων. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 161

Πολύ πιο ρεαλιστικός τρόπος εκτίμησης των μέγιστων συνολικά αποκρίσεων παρέχει ο τύπος SRSS (Square root of sum of squares), που βασίζεται στην τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των μέγιστων ιδιομορφικών αποκρίσεων. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 162

Αυτός ο προσεγγιστικός κανόνας δίνει πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα εφόσον οι ιδιοσυχνότητες της κατασκευής είναι αρκετά διαχωρισμένες. Όταν οι ιδιοσυχνότητες συμπίπτουν, υπάρχει άλλη πιο ακριβής μέθοδος, η CQC (complete quadratic combination). Ενώ το πρόσημο της μέγιστης ψευδοεπιτάχυνσης είναι πάντα θετικό, το μπορεί να είναι και αρνητικό. Έτσι, κατά την εφαρμογή του SRSS πρέπει να διατηρείται το πρόσημο της μέγιστης ιδιομορφικής απόκρισης. Επίσης, είναι σημαντικό η μέγιστη τιμή της απόκρισης ενός συγκεκριμένου μεγέθους να εκτιμάται από το συνδυασμό των μέγιστων τιμών αυτού του μεγέθους και όχι από συνδυασμό εκτιμήσεων των μέγιστων τιμών άλλων ποσοτήτων. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 163

Χρήση Ισοδύναμων Στατικών Δυνάμεων Σεισμού Παλαιότερα λόγω περιορισμένων υπολογιστικών δυνατοτήτων, οι σεισμικές δράσεις λαμβάνονταν υπόψη στατικά, με χρήση ισοδύναμων σεισμικών φορτίων. Τα ισοδύναμα σεισμικά στατικά φορτία ασκούνται στατικά στο κέντρο βάρους του κάθε ορόφου, αφού αντιπροσωπεύουν τις αδρανειακές δυνάμεις. Η συνολική τέμνουσα βάσης ισούται προφανώς με το άθροισμα των ισοδύναμων με το σεισμό στατικών φορτίων τα οποία ασκούνται στους ορόφους καθ ύψος του κτιρίου. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 164

Η καθ ύψος κατανομή των ισοδύναμων σεισμικών φορτίων έχει συνήθως τριγωνική μορφή βάσει της απόκρισης και συνεισφοράς της θεμελειώδους ιδιόμορφης. Σε συνήθης κτιριακές κατασκευές είναι συχνά προτιμότερο να μην δοθούν τιμές μάζας ανά όγκο στα δομικά στοιχεία κατά την προσομοίωση και να δοθούν απευθείας συγκεντρωμένες μάζες στα κέντρα μάζας των οροφών, λαμβάνοντας υπόψη τη διαφραγματική λειτουργία των πλακών των ορόφων. Με αυτή την παραδοχή, μειώνονται σημαντικά οι δυναμικοί ΒΕ που πρέπει να χρησιμοποιηθούν κατά τη δυναμική ανάλυση. Έτσι, για μια χωρική δυναμική ανάλυση μιας τρισδιάστατης κατασκευής θα έχουμε περιορισμένο αριθμό δυναμικών βαθμών ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 165

Απευθείας ολοκλήρωση των ΔΕ κίνησης Το σύστημα των ΔΕ που χαρακτηρίζουν την κίνηση ενός ΠΒΣ μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά απευθείας χωρίς οποιοδήποτε μετασχηματισμό. Οι μέθοδοι που είχαμε δει για την αριθμητική ολοκλήρωση ΜΒΣ, μπορούν να γενικευτούν για την κατευθείαν αριθμητική ολοκλήρωση των ΔΕ κίνησης, για αυτό και ονομάζονται μέθοδοι απευθείας ολοκλήρωσης (direct integration methods) αφού κανένας μετασχηματισμός των εξισώσεων δεν χρησιμοποιείται. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 166

Μέθοδος κεντρικής διαφοράς για ΠΒΣ Χρησιμοποιώντας τις εξής σχέσεις για τις ταχύτητες και επιταχύνσεις: Αντικαθιστώντας τις πιο πάνω σχέσεις στο σύστημα ΔΕ: προκύπτει η πιο κάτω μητρωική σχέση: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 167

Οι μόνοι άγνωστοι στην πιο πάνω σχέση είναι οι μετακινήσεις οποίες μπορούν να προσδιοριστούν από την επίλυση του συστήματος γραμμικών εξισώσεων: οι όπου Για να μπορεί να ξεκινήσει η μέθοδος, πρέπει να υπολογιστούν οι μετακινήσεις στην χρονική στιγμή η οποία μπορεί να αποδειχτεί, βάσει των παραδοχών που έγιναν ότι ισούται με: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 168

Οι επιταχύνσεις στην χρονική στιγμή μπορούν να υπολογιστούν από την αντίστοιχη εξίσωση κίνησης σε εκείνη τη χρονική στιγμή με δεδομένες τις αρχικές μετακινήσεις και ταχύτητες: Για να είναι ευσταθής η μέθοδος, πρέπει το χρονικό βήμα αριθμητικής ολοκλήρωσης να είναι μικρότερο από την κρίσιμη τιμή της όπου είναι η μικρότερη ιδιοπερίοδος και η μεγαλύτερη ιδιοσυχνότητα της κατασκευής. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 169

Μέθοδος Newmark για ΠΒΣ Η αριθμητική ολοκλήρωση του συστήματος ΔΕ με τη μέθοδο Newmark βασίζεται στις πιο κάτω προσεγγιστικές σχέσεις για τις ταχύτητες και μετακινήσεις των δυναμικών ΒΕ: Με δεδομένη τη λύση μέχρι τη χρονική στιγμή, λύνοντας τη 2 η σχέση ως προς, το οποίο στη συνέχεια αντικαθιστούμε στην 1η σχέση, έχουμε δύο σχέσεις οι οποίες εκφράζουν τις ταχύτητες και επιταχύνσεις, συναρτήσει του κ και άλλα γενικά μεγέθη. Αντικαθιστώντας τις σχέσεις για τις ταχύτητες και επιταχύνσεις στο σύστημα ΔΕ κίνησης για τη χρονική στιγμή : 170

Μετά από κάποιες πράξεις και διαχωρίζοντας τα άγνωστα μεγέθη από τα γνωστά, προκύπτει μια σχέση της μορφής: όπου όπου Έτσι οι μετακινήσεις στη χρονική στιγμή μπορούν να υπολογιστούν σαν: Στη συνέχεια οι επιταχύνσεις και ταχύτητες σε χρόνο μπορούν να προσδιοριστούν από τις πιο κάτω σχέσεις: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 171

Παράδειγμα (11.5 βιβλίου) Διώροφο πλαίσιο, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει συμπεριφορά διατμητικού προβόλου με δύο βαθμούς ελευθερίας, υποβάλλεται σε σεισμική διέγερση του εδάφους θεμελίωσης του. Η μάζα του 1ου ορόφου είναι 70 τόνοι και του 2ου ορόφου είναι 50 τόνοι. Οι διατομές των υποστυλωμάτων είναι τετραγωνικές 50 εκατοστών και το μέτρο ελαστικότητας του υλικού ισούται με 30 GPA. Θεωρείστε ότι ο λόγος απόσβεσης είναι 2 % για κάθε ιδιομορφή. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 172

(α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης αυτού του πλαισίου, παρουσιάζοντας τα στοιχεία των μητρώων μάζας και δυσκαμψίας, ενώ δεν χρειάζεται να αναπτύξετε το μητρώο απόσβεσης. (β) Αν η λύση της ΔΕ διέγερση, ισούται με αλλά και συνολικά. ενός ΜΒΣ, κάτω από την ίδια σεισμική, υπολογίστε τις μετακινήσεις των ορόφων λόγω της κάθε ιδιομορφής (γ) Σας δίνετε το φάσμα απόκρισης της συγκεκριμένης σεισμικής διέγερσης για λόγους απόσβεσης 0%, 2%, 5%, 10% κι 20%, και ζητείται όπως εκτιμήσετε: (i) τις μέγιστες μετακινήσεις των ορόφων. (ii) τη μέγιστη τέμνουσα βάσης. (iii) τη μέγιστη ροπή ανατροπής βάσης. (iv) τη μέγιστη ροπή στη βάση του κάθε υποστυλώματος του κάθε ορόφου. (v) τη μέγιστη σχετική μετακίνηση μεταξύ των δύο ορόφων. (δ) Τέλος, από το φάσμα απόκρισης της συγκεκριμένης σεισμικής διέγερσης, εκτιμήστε: (i) τη μέγιστη επιτάχυνση του εδάφους αυτής της σεισμικής διέγερσης. (ii) τη μέγιστη μετακίνηση του εδάφους αυτής της σεισμικής διέγερσης ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 173

Αρχικά θα πρέπει να υπολογισθούν τα γεωμετρικά και μηχανικά χαρακτηριστικά του διώροφου πλαισίου: Έτσι, τα μητρώα μάζας και δυσκαμψίας έχουν ως εξής: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 175

και το μητρώο απόσβεσης ισούται με: Επομένως, η εξίσωση κίνησης του διώροφου πλαισίου είναι : (α) Ανάλυση με επαλληλία των ιδιομορφών Για την ανάλυση της πιο πάνω κατασκευής με επαλληλία των ιδιομορφών, θα πρέπει να υπολογισθούν οι ιδιομορφές της κατασκευής. Με επίλυση του ιδιοπροβλήματος προσδιορίζονται αρχικά οι ιδιοσυχνότητες και ακολούθως οι ιδιομορφές : ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 176

Οι μετακινήσεις των ορόφων λόγω της Ν-ιδιομορφής ισούνται με:, όπου. Έτσι, για την 1η ιδιομορφή: Για την 2η ιδιομορφή: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 177

Επομένως, οι μετακινήσεις των ορόφων λόγω της 1ης ιδιομορφής ισούνται με: ενώ οι μετακινήσεις των ορόφων λόγω της 2ης ιδιομορφής ισούνται με: Έτσι, οι συνολικές μετακινήσεις των ορόφων προκύπτουν με επαλληλία των ιδιομορφών ως εξής : ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 178

(β) Φασματική ανάλυση Βάσει των δύο ιδιοπεριόδων, οι οποίες ισούνται με από το φάσμα απόκρισης για ζ=2% μπορούμε να εκτιμήσουμε τις μέγιστες τιμές των σχετικών μετακινήσεων αντίστοιχων ΜΒΣ: (i) Συνεπώς, οι μέγιστες μετακινήσεις των δύο ορόφων λόγω της 1ης ιδιομορφής ισούνται με: ενώ, οι μέγιστες μετακινήσεις των δύο ορόφων λόγω της 2ης ιδιομορφής ισούνται με: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 179

Η συνολική μέγιστη μετακίνηση του 1ου ορόφου μπορεί να εκτιμηθεί βάσει της SRSS: Αντίστοιχα, η συνολική μέγιστη μετακίνηση του 2ου ορόφου εκτιμάται σαν: (ii) Για τον υπολογισμό της μέγιστης τέμνουσας βάσης λόγω της n-ιδιομορφής, αρκεί να εφαρμόσουμε στατικά τα στο μοντέλο της κατασκευής, και να το επιλύσουμε. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 180

, όπου: Μέγιστη τέμνουσα βάσης λόγω 1ης ιδιομορφής : Μέγιστη τέμνουσα βάσης λόγω 2ης ιδιομορφής : ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 181

Συνολική μέγιστη τέμνουσα βάσης: (iii) Μέγιστη ροπή ανατροπής βάσης λόγω 1ης ιδιομορφής: Μέγιστη ροπή ανατροπής βάσης λόγω 2ης ιδιομορφής: Συνολική μέγιστη ροπή ανατροπής βάσης: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 182

(iv) Η ροπή στη βάση του κάθε υποστυλώματος του 2ου ορόφου είναι μηδενική αφού υπάρχουν αρθρώσεις σε εκείνα τα σημεία. Για τη ροπή στη βάση του κάθε υποστυλώματος του 1ου ορόφου: Λόγω της 1ης ιδιομορφής: Λόγω της 2ης ιδιομορφής: Συνολική μέγιστη ροπή στη βάση του κάθε υποστυλώματος του 1ου ορόφου: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 183

(v) Η μέγιστη σχετική μετακίνηση μεταξύ των δύο ορόφων λόγω της : Η μέγιστη σχετική μετακίνηση μεταξύ των δύο ορόφων λόγω της : Η συνολική μέγιστη σχετική μετακίνηση: (δ) Από το φάσμα απόκρισης: (i) (ii) ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 184

Δυναμική Ανάλυση με απευθείας ολοκλήρωση των ΔΕ κίνησης Το σύστημα των ΔΕ που χαρακτηρίζουν την κίνηση ενός ΠΒΣ μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά απευθείας χωρίς οποιοδήποτε μετασχηματισμό. Οι μέθοδοι που είχαμε δει για την αριθμητική ολοκλήρωση ΜΒΣ, μπορούν να γενικευτούν για την κατευθείαν αριθμητική ολοκλήρωση των ΔΕ κίνησης, για αυτό και ονομάζονται μέθοδοι απευθείας ολοκλήρωσης (direct integration methods) αφού κανένας μετασχηματισμός των εξισώσεων δεν χρησιμοποιείται. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 185

Μέθοδος κεντρικής διαφοράς για ΠΒΣ Χρησιμοποιώντας τις εξής σχέσεις για τις ταχύτητες και επιταχύνσεις: Αντικαθιστώντας τις πιο πάνω σχέσεις στο σύστημα ΔΕ: προκύπτει η πιο κάτω μητρωική σχέση: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 186

Οι μόνοι άγνωστοι στην πιο πάνω σχέση είναι οι μετακινήσεις οποίες μπορούν να προσδιοριστούν από την επίλυση του συστήματος γραμμικών εξισώσεων: οι όπου Για να μπορεί να ξεκινήσει η μέθοδος, πρέπει να υπολογιστούν οι μετακινήσεις στην χρονική στιγμή η οποία μπορεί να αποδειχτεί, βάσει των παραδοχών που έγιναν ότι ισούται με: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 187

Οι επιταχύνσεις στην χρονική στιγμή μπορούν να υπολογιστούν από την αντίστοιχη εξίσωση κίνησης σε εκείνη τη χρονική στιγμή με δεδομένες τις αρχικές μετακινήσεις και ταχύτητες: Για να είναι ευσταθής η μέθοδος, πρέπει το χρονικό βήμα αριθμητικής ολοκλήρωσης να είναι μικρότερο από την κρίσιμη τιμή της όπου είναι η μικρότερη ιδιοπερίοδος και η μεγαλύτερη ιδιοσυχνότητα της κατασκευής. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 188

Μέθοδος Newmark για ΠΒΣ Η αριθμητική ολοκλήρωση του συστήματος ΔΕ με τη μέθοδο Newmark βασίζεται στις πιο κάτω προσεγγιστικές σχέσεις για τις ταχύτητες και μετακινήσεις των δυναμικών ΒΕ: Με δεδομένη τη λύση μέχρι τη χρονική στιγμή, λύνοντας τη 2 η σχέση ως προς, το οποίο στη συνέχεια αντικαθιστούμε στην 1 η σχέση, έχουμε δύο σχέσεις οι οποίες εκφράζουν τις ταχύτητες και επιταχύνσεις, συναρτήσει του κ και άλλα γενικά μεγέθη. Αντικαθιστώντας τις σχέσεις για τις ταχύτητες και επιταχύνσεις στο σύστημα ΔΕ κίνησης για τη χρονική στιγμή : ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 189

Μετά από κάποιες πράξεις και διαχωρίζοντας τα άγνωστα μεγέθη από τα γνωστά, προκύπτει μια σχέση της μορφής: όπου όπου Έτσι οι μετακινήσεις στη χρονική στιγμή μπορούν να υπολογιστούν σαν: Στη συνέχεια οι επιταχύνσεις και ταχύτητες σε χρόνο μπορούν να προσδιοριστούν από τις πιο κάτω σχέσεις: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 190

Προγραμματισμός απευθείας αριθμητικής ολοκλήρωσης Με την απευθείας αριθμητική ολοκλήρωση, είτε με τη Μέθοδο Κεντρικής Διαφοράς είτε με τη Μέθοδο Newmark, εκτελείται δυναμική ανάλυση ενός ΠΒΣ για το οποίο έχουμε εισάγει δεδομένα. Υπολογίζονται για την κάθε μάζα, δηλαδή τον κάθε όροφο, οι μέγιστες σχετικές μετακινήσεις (relative displacements), οι μέγιστες διαφορικές μετακινήσεις (interstory deflections) μεταξύ των ορόφων, οι μέγιστες απόλυτες επιταχύνσεις των ορόφων, καθώς και οι μέγιστες τέμνουσες ορόφων. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 191