Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 3: Σφάλμα - Προσέγγιση - Στρογγυλοποίηση Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τα βασικά στοιχεία του σφάλματος, της αριθμητικής προσέγγισης και της στρογγυλοποίησης. 4
Περιεχόμενα ενότητας Σφάλμα - Προσέγγιση - Στρογγυλοποίηση. Σημαντικά ψηφία. Γιατί σφάλμα στρογγυλοποίησης; «Κόψιμο» (Chopping). Ψευδοκώδικας και κώδικας για επαναληπτικό υπολογισμό. 5
Σφάλμα - Προσέγγιση - Στρογγυλοποίηση (1) Δεν έχουμε αναλυτικές λύσεις σε πολλά προβλήματα μηχανικών. Οι αριθμητικές μέθοδοι πάντα δίνουν προσεγγιστικά αποτελέσματα. Δεν μπορούμε ακριβώς να υπολογίσουμε το σφάλμα: Δεδομένα από μετρήσεις έχουν τα δικά τους λάθη. Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιούμε εισάγει λάθη, όπως: π.χ. λάθος στρογγυλοποίησης. Άρα το τελικό αποτέλεσμα θα περιέχει λάθη και των παραπάνω δύο τύπων. Πόσο εμπιστευόμαστε το τελικό αποτέλεσμα ή καλύτερα πόσο μεγάλο είναι το σφάλμα και μπορούμε να ζήσουμε μ αυτό; 6
Σφάλμα - Προσέγγιση - Στρογγυλοποίηση (2) Ακρίβεια (Accuracy). Πόσο κοντά είναι το μετρούμενο ή υπολογιζόμενο μέγεθος με την αληθινή τιμή. Επαναληψιμότητα (reproducibility). Πόσο κοντά είναι το μετρούμενο ή υπολογιζόμενο μέγεθος με προηγούμενες τιμές. Ανακρίβεια (bias). Συστηματική απόκλιση από την αληθινή τιμή. Αβεβαιότητα ( uncertainty). Το μέγεθος της διασποράς των τιμών. 7
Σφάλμα - Προσέγγιση - Στρογγυλοποίηση (3) Σχήμα 1. Σφάλμα - Προσέγγιση Στρογγυλοποίηση, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 8
Σημαντικά ψηφία (1) Τα μηδενικά μπροστά από δεκαδικούς ΔΕΝ μετρούν σαν σημαντικά ψηφία. 9
Σημαντικά ψηφία (2) Ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων δηλώνει την επαναληψιμότητα. Ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων δηλώνει την εμπιστοσύνη στο νούμερο αυτό. Σε μετρήσεις κρατούμε συνήθως κάποιο αριθμό ψηφίων που εμπιστευόμαστε +1 επί πλέον εκτιμώμενο. 53.800 Πόσα είναι τα σημαντικά ψηφία; 10
Σημαντικά ψηφία (3) 48,5 0,5 (3) 87324,45 0,05 (7) Εικόνα 1. Σημαντικά ψηφία, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 11
Ορισμοί (1) Απόλυτο Σφάλμα=E t = Αληθινή τιμή Προσέγγιση μπορεί να είναι (+/-) 12
Ορισμοί (2) Την αληθινή τιμή την γνωρίζουμε μόνο αν έχουμε αναλυτικές λύσεις (απλές περιπτώσεις). Στα περισσότερα προβλήματα δεν την ξέρουμε από πριν. Τι κάνουμε; Σε υπολογιστικά προβλήματα που περιλαμβάνουν διαδοχικές προσεγγίσεις: 13
Ορισμοί (3) Χρησιμοποιούμε απόλυτες τιμές. Ο υπολογισμός σταματά μέχρι να ικανοποιηθεί μια συνθήκη. Αν είμαστε βέβαιοι ότι το αποτέλεσμα είναι ακριβές κατά τουλάχιστον n σημαντικά ψηφία. 14
Γιατί σφάλματα στρογγυλοποίησης; (1) Νούμερα όπως π.χ. p, e, ή πάντα δίνονται προσεγγιστικά. Οι υπολογιστές χρησιμοποιούν αριθμούς βάσης-2 και άρα δεν μπορούν να παραστήσουν ακριβώς αριθμούς με βάση -10. Τα κλάσματα στον υπολογιστή παριστάνονται στην μορφή floating point, π.χ., 15
Γιατί σφάλματα στρογγυλοποίησης; (2) Σχήμα 2. Γιατί σφάλματα στρογγυλοποίησης; πηγή: Chapra & Canale, 2010. 16
Γιατί σφάλματα στρογγυλοποίησης; (3) Σχήμα 3. Ο αριθμός: 173 σε υπολογιστή 16-bit, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 17
Γιατί σφάλματα στρογγυλοποίησης; (4) Σχήμα 4. Αποθήκευση αριθμού σε μορφή «floating point» σε «λέξη» υπολογιστή, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 18
Γιατί σφάλματα στρογγυλοποίησης; (5) Ας υποθέσουμε ότι ο υπολογιστής μας κρατάει μόνο 4 δεκαδικά: Γίνεται όμως μια ομαλοποίηση (normalization) του αριθμού συνήθως οπότε γράφεται: 0.2941 x 10-1 «Γλυτώνουμε» έτσι ένα σημαντικό ψηφίο. Όμως περιορίζεται το m μεταξύ 0.1-1 δηλ. 19
Γιατί σφάλματα στρογγυλοποίησης; (6) Γενικά: b=βάση Άρα: για βάση-10, 0.1 m<1 για βάση-2, 0.5 m<1 Με το σύστημα «Floating point» δέχεται ο υπολογιστής δεκαδικούς αριθμούς αλλά και πολύ μεγάλους αριθμούς, όμως:. Το «Floating point» παίρνει αρκετό χώρο. Παίρνει περισσότερο χρόνο επεξεργασίας. Μπαίνουν σφάλματα στρογγυλοποίησης λόγω του ότι το m αποτελείται μόνο από ορισμένο αριθμό σημαντικών ψηφίων. 20
Π.χ.: «Κόψιμο» (Chopping) p=3.14159265358 αποθηκεύεται σε βάση-10 με 7 σημαντικά ψηφία. p=3.141592, σφάλμα=e t =0.00000065 Αν στρογγυλοποιηθεί. p=3.141593, σφάλμα=e t =0.00000035 Μερικοί υπολογιστές χρησιμοποιούν το «κόψιμο», επειδή η στρογγυλοποίηση αυξάνει το υπολογιστικό φορτίο. Όμως επειδή συνήθως τα σημαντικά ψηφία είναι πολλά το σφάλμα πάλι είναι μικρό. 21
Ψευδοκώδικας για επαναληπτικό Σειρά Maclaurin υπολογισμό του Εικόνα 2. Σειρά Maclaurin, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 22
Κώδικας για επαναληπτικό υπολογισμό Εικόνα 3. Κώδικας για επαναληπτικό υπολογισμό, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 23
Βιβλιογραφία Chapra, S. C. & Canale, R. P. (2010). Numerical methods for engineers - 6 th Edition. McGraw-Hill. 24
Τέλος Ενότητας