10. ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ (ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ FREQUENCY MODULATION FM ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΦΑΣΗΣ PHASE MODULATION PM) Γενική θεώρηση

10. ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ (ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ FREQUENCY MODULATION FM ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΦΑΣΗΣ PHASE MODULATION PM) 10.1. Γενική θεώρηση 10.1.1. Ημιτονοειδές σήμα με μεταβαλλόμενη συχνότητα Σε ένα ημιτονοειδές σήμα s(t) με συχνότητα f που μεταβάλλεται χρονικά, το όρισμα (φάση) 2π.f.t πρέπει να αντικατασταθεί από τη γενικότερη έκφραση 2π. f(t).dt. Ένα τέτοιο σήμα είναι της μορφής s(t) = A c.cos[θ(t)] = A c.cos[2π. f(t).dt] (10.1) όπου το χρονικά μεταβαλλόμενo όρισμα (φάση) θ(t) συνδέεται με τη (χρονικά μεταβαλλόμενη) συχνότητα f(t), μέσω του γενικού τύπου θ(t) 2π. f(t).dt f(t) = 1 dθ(t) 2π dt (10.2) 10.1.2. Τρόποι διαμόρφωσης της θ(t) 1η περίπτωση: Διαμόρφωση συχνότητας (FM) H συχνότητα f(t) μεταβάλλεται γραμμικά με το σήμα πληροφορίας (t) (γύρω από τη συχνότητα του φέροντος f c ) σύμφωνα με τον τύπο οπότε k F f(t) = f c +.(t) (10.3) 2π και θ(t) = 2π. f(t).dt = 2πf c t+k F. (t).dt (10.4) s(t) = A c.cos[2π. f(t).dt] = A c.cos[2πf c t+k F. (t).dt] (10.5) 2η περίπτωση: Διαμόρφωση φάσης (PM) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.1

H φάση θ(t) μεταβάλλεται γραμμικά με το σήμα πληροφορίας (t) (γύρω από τη φάση του φέροντος 2πf c.t), σύμφωνα με τον τύπο θ(t) = 2π.f c t + k P.(t) (10.6) οπότε και k d(t) f(t) = f c + P. (10.7) 2π dt s(t) = A c.cos[θ(t)] = A c.cos[2π.f c t+k P.(t)] (10.8) Iσοδυναμία FM και PM Σύγκριση των (10.3) και (10.4) δείχνει ότι αν ένα σήμα πληροφορίας (t) διαμορφώνει, κατά συχνότητα (FM), ένα φέρον c(t), τότε το σήμα (t).dt διαμορφώνει κατά φάση (PM) το ίδιο φέρον. Ισοδύναμα, σύγκριση των (10.6) και (10.7) δείχνει ότι η διαμόρφωση της φάσης του φέροντος (PM) από ένα σήμα πληροφορίας (t) ισοδυναμεί με τη d(t) διαμόρφωση της συχνότητας του φέροντος (FM) από το σήμα. dt Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.2

10.2. Διαμόρφωση Συχνότητας (Frequency Modulation - FM) 10.2.1.Το σήμα πληροφορίας Προκειμένου να απλοποιηθεί η ανάλυση που ακολουθεί, το σήμα πληροφορίας (t) θα θεωρηθεί ημιτονοειδές της μορφής (t) = A.cos(2π.f t) (10.9) Παρ όλα αυτά, οι σχετικοί υπολογισμοί μπορούν να επεκταθούν και στην περίπτωση σημάτων πληροφορίας γενικής μορφής δεδομένου ότι, μέσω της ανάλυσης Fourier, οποιοδήποτε σήμα μπορεί να αναλυθεί σε επαλληλία ημιτονοειδών σημάτων. 10.2.2.Mεταδιδόμενο σήμα s(t) Μορφή του s(t) s(t) = A c.cos[2π.f c.t + k F. (t).dt] = k FA A c.cos[2π.f c.t +.sin(2π.f t)] = 2πf A c.cos[2π.f c.t + Δf f ax.sin(2π.f t)] = A c.cos[2π.f c.t + β F.sin(2π.f t)] (10.10) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.3

Συχνότητα f(t) του s(t) k A (10.2) f(t) = f c + F.cos(2π.f.t) = f c + (Δf) ax.cos(2π.f t) (10.11) 2π k A (10.11) f ax = f c + F = f c + (Δf) ax (10.12.α) 2π f in = f c k F A = f c (Δf) ax (10.12.β) 2π Χαρακτηριστικές παράμετροι του s(t) Μέγιστη απόκλιση συχνότητας (Δf) ax = k F A 2π (10.13) 1 Δείκτης Διαμόρφωσης β F = Δf f ax k FA = 2πf (10.14) Εύρος ζώνης Μπορεί να αποδειχθεί (βλ. και κεφάλαιο 4) ότι, το σήμα FM s(t) αναλύεται, κατά Fourier, ως εξής: s(t) = A c.σ (n=-,+ ) J n (β F ).sin[2π(f c +n.f )t] (10.15) όπου J n ( ) είναι οι συναρτήσεις Bessel 1 ου είδους. Οι συναρτήσεις αυτές, για ακέραιες τιμές του δείκτη n, έχουν, μεταξύ άλλων, τις εξής ιδιότητες: J n (x) = ( 1) n J n (x) J n (x) = J n (x) J n 2 (x) = J n 2 (x) 10.16.α) 1 k Σε πολλές περιπτώσεις, ο συντελεστής F 2π συμπτύσσεται σε έναν νέο συντελεστή kf οπότε η k FA σχέση (10.13) μπορεί να γραφεί ως Δf ax = = k f A. 2π Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.4

Σ (n=-,+ ) J 2 n (x) = J 2 0 (x) + 2.Σ (n=1,+ ) J 2 n (x) = 1 (10.16.β) Λαμβανομένων υπόψη και των σχέσεων (10.16), οι συντελεστές Fourier της εξίσωσης (10.15) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Συχνότητα (αρμονική) Συντελεστής Fourier f c + J ο (β F ) f c f J 1 (β F ) f c + f + J 1 (β F ) f c 2f + J 2 (β F ) f c + 2f + J 2 (β F ) f c 3f J 3 (β F ) f c + 3f + J 3 (β F )...... H μέση ισχύς του σήματος FM s(t), δίνεται από τη σχέση P s = <s 2 (t)> = 1 T s 2 (t).dt T = A c 2.[Σ (n=,+ ) J n 2 (β F ) sin 2 [(f c +n.f )t].dt] = A c 2.[Σ (n=,+ ) J n 2 (β F ) 2 1 ] από την οποία, με χρήση της ιδιότητας (10.16.β), προκύπτει ότι P s = A 2 c 2 (10.17) Τιμές για ορισμένες συναρτήσεις Bessel της μορφής J n (β F ) (για διάφορες τιμές των n και β F ), δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: β F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 0 0,765 0,224 0,260 0,397 0,178 0,151 0,300 0,172 0,090 0,246 1 0,440 0,577 0,339 0,066 0,328 0,277 0,005 0,235 0,245 0,043 2 0,115 0,353 0,486 0,364 0,047 0,243 0,301 0,113 0,145 0,255 3 0,020 0,129 0,309 0,430 0,365 0,115 0,168 0,291 0,181 0,058 4 0,002 0,034 0,132 0,281 0,391 0,358 0,158 0,105 0,266 0,220 5 0,040 0,130 0,260 0,360 0,350 0,190 0,060 0,230 6 0,010 0,050 0,130 0,250 0,340 0,340 0,200 0,010 Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.5

Aν και το φάσμα ενός σήματος FM περιλαμβάνει άπειρο αριθμό αρμονικών, μπορεί να αποδειχθεί ότι όλη σχεδόν η ισχύς του σήματος s(t) (ποσοστό άνω του 98%) εμπεριέχεται στις αρμονικές εντός φασματικού εύρους B s = 2.(β F +1).f = 2.(Δf ax + f ) (10.18) γύρω από τη συχνότητα του φέροντος f c. Αυτό σημαίνει ότι οι σημαντικές αρμονικές του σήματος FM s(t) εμπεριέχονται στη φασματική περιοχή από f c B s /2 = f c (β F +1).f έως f c +B s /2 = f c +(β F +1).f ή, ισοδύναμα, ότι οι σημαντικές αρμονικές αντιστοιχούν σε τιμές του συντελεστή n από (β F +1) έως +(β F +1). Η σχέση (10.18) λέγεται και «κανόνας του Carson». Μπορούν να γίνουν τα παρακάτω σχόλια: Σύμφωνα με τη σχέση (10.17) (και αντίθετα με ότι συμβαίνει στην AM), η ισχύς του σήματος s(t) (FM) είναι σταθερή και ανεξάρτητη από το δείκτη διαμόρφωσης β F. Ενδεχόμενη αλλαγή του β F, προκαλεί, απλώς, ανακατανομή της ισχύος στις διάφορες αρμονικές κατά τρόπο ώστε να διατηρείται η (σταθερή) τιμή P s = σήματος FM. A 2 c 2 της ισχύος του Κατάλληλη επιλογή της τιμής του β F μπορεί να οδηγήσει σε καταστολή της φέρουσας. Πράγματι, για β F = 2,4 ή 5,52, o συντελεστής του φέροντος είναι J ο (β F ) = 0 άρα η ισχύς του φέροντος μηδενίζεται. Η ακρίβεια της προσεγγιστικής σχέσης του Carson καταδεικνύεται αν συγκριθεί η ισχύς P N = A 2 c.[σ (n= N,+N) J 2 1 A 2 n (β F ) ] = c Σ (n= N,+N) J 2 n (β F ) = 2 2 των «σημαντικών» αρμονικών (±Ν = ±(β F +1)) με τη συνολική ισχύ P s = A 2 c 2.[J 0 2 (β F ) + 2.Σ (n=1,+n) J n 2 (β F )] (10.19) FM. Πράγματι, με ±Ν = ±(β F +1), προκύπτει ότι [J 0 2 (β F ) + 2.Σ (n=1,+n) J n 2 (β F )] > 0,98. A 2 c 2 του σήματος Ο «κανόνας του Carson» μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμη και αν το σήμα πληροφορίας (t) δεν είναι ημιτονοειδές. Στην περίπτωση αυτή, αντί για τη συχνότητα f, χρησιμοποιείται το εύρος ζώνης Β του (t). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.6

(t) = cos(2π.f.t) 1,00 0,50 0,50 ΑΣΠΑΙΤΕ / Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Εκπαιδευτικών Ηλεκτρονικών Μηχανικών 0,00 0,00-0,50-0,50 c(t) = A c.cos(2π.f c.t) -1,00 s(t) = A c.cos[2π.(f c+ Δf ax.sin(2π.f.t))t] Στο μεταδιδόμενο (FM) σήμα s(t), το μεν πλάτος παραμένει σταθερό, η δε στιγμιαία συχνότητα f(t) = f c +Δf ax.sin(2π.f.t) μεταβάλλεται από f c -Δf ax έως f c +Δf ax (το παλμογράφημα του s(t) αραιώνει και πυκνώνει) Το σήμα (FM) s(t) έχει εύρος ζώνης B s ~~ 2(β F +1).f όπου f η συχνότητα του (ημιτονοειδούς) σήματος πληροφορίας (t). Συγκεκριμένα, στην οθόνη του αναλυτή φάσματος, εμφανίζονται (εκατέρωθεν της φέρουσας f c ) β+1 "υπολογίσιμες" αρμονικές, οι οποίες μεταξύ τους απέχουν κατά f (καταλαμβάνουν την περιοχή από f c -B s /2 έως f c +B s /2) J 4 2 (β) Φασματογράφημα μεταδιδόμενου (FM) σήματος s(t) S(f) J 2 J 2 J 2 3 (β) 1 (β) 1 (β) J 2 3 (β) J 4 2 (β) J 5 2 (β) J 5 2 (β) J 0 2 (β) J 6 2 (β) J 2 2 (β) J 2 2 (β) J 6 2 (β) f c -(β+1)f = f c -B s /2 f c -f f c f c +f f c +(β+1)f = f c +B s /2 Στο ανωτέρω φασματογράφημα θεωρείται ότι β = 5 (βλ. παράγραφο 10.2.5 και παράδειγμα 5). Παρατηρούμε ότι εμφανίζονται β+1 = 6 "υπολογίσιμες" αρμονικές εκατέρωθεν της f c οι οποίες μεταξύ τους απέχουν κατά f (στο παράδειγμα 5, υπολογίζεται ότι, για μια παρόμοια εφαρμογή, οι υπόψη αρμονικές εμπεριέχουν το 99,4% της ισχύος του μεταδιδόμενου (FM) σήματος s(t)). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.7

10.2.3. Διαμόρφωση συχνότητας (FM) στενής ζώνης Ο όρος χαρακτηρίζει διαμορφώσεις συχνότητας (FM) με δείκτη διαμόρφωσης β F << 1 (πρακτικά β F < 0,25). Όπως προκύπτει και από τον κανόνα του Carson, στις διαμορφώσεις αυτές, οι σημαντικές αρμονικές είναι αυτές που αντιστοιχούν σε τιμές n = 1, 0, +1 (δηλαδή η φέρουσα συχνότητα f c και οι εκατέρωθεν αρμονικές f c f και f c +f ). Από τη σχέση (10.8) προκύπτει ότι s(t) = A c.cos[2π.f c.t + β F.sin(2π.f t)] = A c.cos[2π.f c.t].cos[β F.sin(2π.f t)] A c.sin[2π.f c.t].sin[β F.sin(2π.f t)] (10.20) από την οποία, δεδομένου ότι β F.sin(2π.f t) << 1 και άρα cos[β F.sin(2π.f t)] 1 και sin[β F.sin(2π.f t)] β F.sin(2π.f t), προκύπτει ότι s(t) = A c.cos[2π.f c.t] A c.β F.sin(2π.f t).sin[2π.f c.t] (10.21) Η σχέση (10.21) είναι ίδιας μορφής με την (9.2) που αναφέρεται στη διαμόρφωση ΑΜ με το φέρον παρόν. Το γεγονός αυτό σημαίνει ότι η διαμόρφωση FM στενής ζώνης μπορεί να υλοποιηθεί με διατάξεις διαμόρφωσης πλάτους (με το φέρον παρόν). 10.2.4. Διατάξεις διαμόρφωσης Διάταξη FM στενής ζώνης Σήματα FM στενής ζώνης (β F < 0,25) μπορούν να παραχθούν με διατάξεις παρόμοιες με αυτές που χρησιμοποιούνται για σήματα AM με το φέρον παρόν. Οι διατάξεις αυτές, ουσιαστικά, υλοποιούν την εξίσωση (10.21). (t) Α c (DC) (t) Α c Χ s(t) βfsin(2πfct) Διάταξη άμεσης διαμόρφωσης συχνότητας Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.8

Στο παρακάτω κύκλωμα, το σήμα πληροφορίας (t) μεταβάλλει (μέσω του μετασχηματιστή εισόδου) τη χωρητικότητα της διόδου varactor και συνεπώς τη συχνότητα συντονισμού του κυκλωματος εξόδου (ουσιαστικά τη συχνότητα του φέροντος f c ). Έτσι, μεταβολές στο σήμα πληροφορίας ουσιαστικά μεταφράζονται σε μεταβολές της f c (διαμόρφωση FM). Η τεχνική προσφέρεται για την υλοποίηση διαμόρφωσης FM με μικρές τιμές του δείκτη β F (μικρή απόκλιση συχνότητας Δf ax ). (t) (t) E Zener Varactor L s(t) C πηγή συντονισμένο κύκλωμα 1 f c = 2π LC 1 1 1 ΔC f c + Δf = (1 ) ( 2 ) 2π L(C ΔC) ΔC 2π LC C 2π LC(1 ) C 1 ΔC ΔC Δf = f c 2π LC C C (10.22) Διάταξη έμμεσης διαμόρφωσης συχνότητας (διαμορφωτής Arstrong) Αρχικά παράγεται σήμα FM με μικρή απόκλιση συχνότητας (είτε με διάταξη άμεσης διαμόρφωσης είτε με διάταξη FM στενής ζώνης) και, στη συνέχεια, με χρήση κατάλληλων πολλαπλασιαστών συχνότητας και μεικτών επιτυγχάνεται η τελική απόκλιση συχνότητας 3. Διαμορφωτής Σήμα FM Πολ/στής Τελικό FM στενής ζώνης συχνότητας Μείκτης σήμα FM στενής ζώνης s(t ) 2 1 Με βάση την προσέγγιση 1 x, για x << 1. 1 x 3 Γενικά, ο πολλαπλασιασμός συχνότητας επιτυγχάνεται με χρήση μη γραμμικών κυκλωμάτων. Για παράδειγμα, ένα κύκλωμα στο οποίο τα σήματα εισόδου και εξόδου x(t) και y(t) συνδέονται με σχέση της μορφής y(t) = a n x n (t) επιτυγχάνει πολλαπλασιασμό συχνότητας επί n. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.9

Παράδειγμα: Για το σχεδιασμό διαμορφωτή FM με φέρουσα συχνότητα f c = 50 ΜHz και μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δf ax = 24 khz, μπορεί να χρησιμοποιηθεί διαμορφωτής στενής ζώνης, με f c,initial = 5 ΜHz και Δf ax,ininitial = 4 khz, και, στη συνέχεια, πολλαπλασιαστής x 6 (f c,x = 6x5 = 30 ΜHz και Δf ax,x = 6x4 = 24 khz) και μείκτης με ταλαντωτή f osc = 20 MHz (f c = 30 + 20 = 50 ΜHz, Δf ax = Δf ax,x = 24 khz). 10.2.5. Διατάξεις αποδιαμόρφωσης Γενικά Για την αποδιαμόρφωση των σημάτων FM, χρησιμοποιούνται, κυρίως, οι παρακάτω δύο διατάξεις. Διευκρινιστής Βρόχος κλειδώματος φάσης (PLL) Από τις παραπάνω διατάξεις, ο PLL παρουσιάζει υψηλότερες επιδόσεις, όταν ο λόγος σήματος προς θόρυβο στην είσοδο του δέκτη είναι χαμηλός (δηλαδή όταν το περιβάλλον του δέκτη είναι έντονα θορυβώδες). H σηματοθορυβική συμπεριφορά των παραπάνω διατάξεων παρουσιάζεται αναλυτικότερα στο κεφάλαιο 17. Ο διευκρινιστής (discriinator) Το βασικό δομοστοιχείο ενός διευκρινιστή είναι ένα κύκλωμα που εκτελεί τη διεργασία της διαφόρισης. Ένα τέτοιο κύκλωμα έχει συνάρτηση μεταφοράς της μορφής Y(f) dx(t) Η(f) = = j.2πf y(t) = X(f) dt (10.23) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.10

s i (t)+n i (t) Φίλτρο u 1 (t) Περιοριστής πλάτους u 2 (t) Διαφοριστής u 3 (t) Φωρατής u 4 (t) Φίλτρο ο (t)+n ο (t) SNR i + Ζωνοπερατό φίλτρο περιβάλλουσας SNR ο B= 2(β+1)f f c Διευκρινιστής: Δομικό διάγραμμα Στο παραπάνω σχήμα (δομικό διάγραμμα διευκρινιστή) το σήμα u 1 (t), έτσι όπως εμφανίζεται στην έξοδο του φίλτρου εισόδου, είναι ένα ημιτονοειδές σήμα μεταβλητής συχνότητας (εξαιτίας της διαμόρφωσης από το αρχικό σήμα πληροφορίας (t)) ενώ παρουσιάζει και τυχαίες διακυμάνσεις στο πλάτος του εξαιτίας του υπερτιθέμενου θορύβου. Ο περιοριστής πλάτους που ακολουθεί περιορίζει δραστικά το πλάτος του u 1 (t) (άρα και τις διακυμάνσεις του) ενώ το ενσωματωμένο φίλτρο επιτρέπει τη διέλευση μόνον της θεμελιώδους αρμονικής συνιστώσας, οπότε το σήμα u 2 (t) εμφανίζεται ως μία ημιτονοειδής κυματομορφή χωρίς διακυμάνσεις πλάτους αλλά με την ίδια στιγμιαία συχνότητα που είχε το αρχικά λαμβανόμενο σήμα s i (t) (βλ. εξίσωση (10.10) και παρακάτω εξίσωση (10.24)). Το σήμα αυτό υφίσταται διαφόριση από το κύκλωμα του διαφοριστή, (ο οποίος, ουσιαστικά, λειτουργεί ως μετατροπέας συχνότητας σε πλάτος) και έτσι, στην έξοδό του εμφανίζεται το σήμα u 3 (t) (εξίσωση (10.25) παρακάτω), στο πλάτος του οποίου έχει «αποτυπωθεί» η μεταβολή της συχνότητας του φέροντος συναρτήσει του σήματος πληροφορίας (t). Το u 3 (t) υφίσταται φώραση περιβάλλουσας και (αφού φιλτραριστεί, προκειμένου να απορριφθεί η DC συνιστώσα της εξίσωσης (10.26)) εμφανίζεται στην έξοδο του διευκρινιστή ως η αναπαραγωγή ο (t) του σήματος πληροφορίας (t). Ισχύουν οι εξισώσεις: u 2 (t) = A L.cos[2π.f c t + k (t)dt] (10.24) du (t) u 3 (t) = σ. 2 = σ AL.[2π.f c + k.(t)].sin(2π.f c t + k (t)dt) (10.25) dt u 4 (t) = σ A L.[2π.f c + k.(t)] (έξοδος φωρατή περιβάλλουσας) (10.26) ο (t) = σ A L.k.(t) (έξοδος φίλτρου) (10.27) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.11

Ο βρόχος κλειδώματος φάσης (Phase-Locked Loop ή PLL) Ο βρόχος κλειδώματος φάσης (PLL) (του οποίου το δομικό διάγραμμα φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί) έχει την ιδιότητα να εμφανίζει στην έξοδό του μια τάση u o (t) η οποία είναι ανάλογη της συχνότητας f που εφαρμόζεται στην είσοδό του. Αυτό πραγματοποιείται μέσω του ελεγχόμενου από τάση ταλαντωτή (Voltage-Controlled Oscillator ή VCO) ο οποίος ανατροφοδοτώντας την είσοδο του συγκριτή φάσης επιτυγχάνει το «κλείδωμα» του PLL στη συχνότητα του σήματος εισόδου. Έτσι, όταν στην είσοδο του PLL εμφανιστεί ένα σήμα FM της μορφής (10.24) (με μεταβλητή συχνότητα που δίνεται από την εξίσωση (10.2)), τότε k u o (t) = α.f(t) = α.[f c +.(t)] (10.28) 2π δηλαδή, στην έξοδο του PLL, εμφανίζεται τελικά το σήμα πληροφορίας (t). s(t)= A c.cos[2π.f c t+k (t)dt] Πολ/στής Συγκριτής φάσης Βαθυπερατό φίλτρο u o (t) A c.cos[2π.f c t+α u o (t)dt] VCO PLL: Δομικό διάγραμμα 10.2.6. Εφαρμογή FM: Τηλεοπτικός ήχος Στην αναλογική τηλεόραση, ο ήχος μεταδίδεται με χρήση διαμόρφωσης FM. To ηχητικό σήμα πληροφορίας (t) καταλαμβάνει τη φασματική περιοχή 0 15 khz (B = 15 khz) ενώ προβλέπεται μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δf ax = 25 khz. Με βάση τα δεδομένα Δf ax αυτά, β F = = 2,66 και B s = 2.(β F +1).Β = 80 khz. B 10.2.7. Εφαρμογή FM: Ραδιοφωνικές εκπομπές FM Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.12

Οι ραδιοφωνικές εκπομπές FΜ γίνονται στη ζώνη 88 108 ΜΗz (VHF) και απαιτούν οπτική επαφή μεταξύ πομπού και δέκτη. To ηχητικό σήμα πληροφορίας (t) καταλαμβάνει τη φασματική περιοχή 0 15 khz, συνεπώς έχει εύρος ζώνης Β = 15 khz (10.29) 4 Δεδομένου ότι η μέγιστη απόκλιση συχνότητας έχει προδιαγραφεί στη τιμή Δf ax = 75 khz (10.30) ο δείκτης διαμόρφωσης β F (στη συχνότητα f = 15 khz) έχει τιμή β F = Δf B ax = 5 (10.31) ενώ το εύρος ζώνης του μεταδιδόμενου σήματος είναι ίσο με B s = 2.(β F +1).Β = 180 khz (10.32) Μονοφωνικές εκπομπές FM Tα δομικά διαγράμματα του μονοφωνικού πομπού FΜ και του μονοφωνικού υπερετερόδυνου δέκτη FM (f IF = 20,7 MHz) φαίνονται στα σχήματα που ακολουθούν. Σήμα Ενισχυτής χαμηλών συχνοτήτων πληροφορίας (Αudio aplifier) Κεραία FM Φέρον Ενισχυτής υψηλών συχνοτήτων Διαμορφωτής Ενισχυτής (R F aplifier) FΜ ισχύος Πομπός FΜ: Δομικό διάγραμμα 4 Αν και το σήμα πληροφορίας των 15 khz δεν είναι ημιτονοειδές (ως σήμα ήχου περιέχει και άλλες αρμονικές) θα θεωρηθεί ότι, στους σχετικούς υπολογισμούς (εξίσωση 10.18) η παράμετρος f (συχνότητα ημιτονοειδούς σήματος πληροφορίας) «αντικαθίσταται» από το εύρος ζώνης B. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.13

Κεραία ΙF=20,7MH FΜ Κύκλωμα s(t) Ενισχυτής s(t) Μίκτρια Ενισχυτής Φωρατής o (t) Ενισχυτής o (t) επιλογής Υψηλών Συχν IF Χαμηλών Συχν Τοπικός ταλαντωτής Υπερετερόδυνος δέκτης FΜ: Δομικό διάγραμμα Στερεοφωνικές εκπομπές FM Στον ΠΟΜΠΟ, δύο μικρόφωνα (ή δύο ομάδες μικροφώνων) δίνουν ένα αριστερό σήμα l(t) και ένα δεξί σήμα r(t). Τα σήματα αυτά αφαιρούνται και προστίθενται δίνοντας αντίστοιχα τα σήματα (t) (διαφοράς) και + (t) (αθροίσματος), των οποίων το εύρος ζώνης περιορίζεται στα 15 khz. Στη συνέχεια, το σήμα (t) διαμορφώνει (κατά DSB) ένα «υπο-φέρον» (sub-carrier) συχνότητας f sc2 = 38 khz και προστίθεται στο + (t) και στο άλλο «υπο-φέρον» συχνότητας f sc1 = 19 khz, σχηματίζοντας το (τελικό) σήμα πληροφορίας (t). To σήμα αυτό οδηγείται στο διαμορφωτή FM όπου και διαμορφώνει το παρεχόμενο ημιτονοειδές φέρον. (t) = l(t) r(t) + (t) = l(t) + r(t) (10.33.α) (10.33.β) (t) = (t).cos(2π.f sc2 t) + + (t) + K.cos(2π.f sc1 t) (10.34) s(t)= A c.cos[2π.f c t+k F (t)dt] (10.35) Στο ΔΕΚΤΗ, το λαμβανόμενο σήμα s(t) αποδιαμορφώνεται και στη συνέχεια τα τρία φίλτρα που ακολουθούν επιλέγουν (από επάνω προς τα κάτω) τις συχνότητες f sc2 = 38 khz (εμφανίζοντας το σήμα (t).cos(2π.f sc2 t)), f sc1 = 19 khz καθώς και τη ζώνη συχνοτήτων [0 έως B = 15 khz] εμφανίζοντας το σήμα αθροίσματος + (t) που μπορεί να ληφθεί και από μονοφωνικούς δέκτες. Στη συνέχεια, το σήμα - (t).cos(2π.f sc2 t) υφίσταται σύγχρονη φώραση (DSB), οπότε στην έξοδο του φωρατή εμφανίζεται το σήμα διαφοράς (t)/2 = [l(t) r(t)]/2. Το σήμα αυτό προσθαφαιρείται με το σήμα αθροίσματος + (t)/2 = [l(t)+r(t)]/2 δίνοντας τα σήματα l(t), και r(t) που αποτελούν στερεοφωνικό σήμα. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.14

l(t) - (t) ΙΔ (t)cos(2π.f sc2 t) Κεραία f sc2=38 khz FM Διπλασ + (t) Διαμορφωτής s(t) συχνότ. f sc1=19 khz FM r(t) + + (t) Ταλαντ Στερεοφωνικός πομπός FM: Δομικό διάγραμμα Φίλτρο (t)cos(2π.f sc2 t) Σύγχρονος (t)/2 + l(t) φωρατής +φίλτρο f sc2 =38kHz s(t) Φωρατής Φίλτρο f sc1 =19kHz Διπλασιαστής FM συχνότητας Φίλτρο + (t) x + (t)/2 r(t) (1/2) Μονοφωνική λήψη Στερεοφωνικός δέκτης FM: Δομικό διάγραμμα Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.15

10.3. Διαμόρφωση Φάσης (Phase Modulation - PM) 10.3.1. Το σήμα πληροφορίας Θεωρείται ότι το σήμα πληροφορίας παρουσιάζει ημιτονοειδή μεταβολή. (t)= A.cos(2πf.t) (10.36) 10.3.2. Mεταδιδόμενο σήμα s(t) Μορφή του s(t) s(t) = A c.cos[2πf c.t + k P.(t) ] = A c.cos[2πf c.t + k P.A.sin(2πf.t)] (10.37) Συχνότητα f(t) του s(t) (10.2) f(t) = f c + k P.A.f.cos(2πf.t) = f c + (Δf) ax.cos(2πf.t) (10.38) (10.37) f ax = f c + k P.A.f = f c + (Δf) ax (10.39.α) f in = f c k P.A.f = f c (Δf) ax (10.39.β) Χαρακτηριστικές παράμετροι Μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δf ax = k P.A.f (10.40) Δείκτης διαμόρφωσης β P = Δf f ax = k P.A (10.41) Εύρος ζώνης Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.16

Αποδεικνύεται ότι ποσοστό άνω του 98% της ισχύος του μεταδιδόμενου σήματος s(t) περιέχεται σε εύρος ζώνης B P = 2.(β P +1).f = 2.(Δf ax + f ) (10.42) Σχόλιο Το γεγονός ότι η μέγιστη απόκλιση συχνότητας εξαρτάται, όχι μόνο από το πλάτος Α αλλά και από τη συχνότητα f του σήματος πληροφορίας (t) (βλ. σχέση (10.40)), συνιστά μειονέκτημα για τη διαμόρφωση φάσης (PM) και αποτελεί τη βασική αιτία της πολύ περιορισμένης χρήσης της. 10.3.3. Διατάξεις διαμόρφωσης Το σήμα πληροφορίας (t) αρχικά παραγωγίζεται και, στη συνέχεια, υφίσταται διαμόρφωση συχνότητας από τα αντίστοιχα κυκλώματα FM. 10.4. Ασκήσεις Άσκηση 1 Φέρον c(t) συχνότητας f c =100 ΜΗz υφίσταται διαμόρφωση FM, από σήμα (t) με εύρος ζώνης Β = 15 khz, από την οποία προκύπτει μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δf ax = 60 khz. (α) Να υπολογιστεί ο δείκτης διαμόρφωσης β F. (β) Να υπολογιστεί το εύρος ζώνης μετάδοσης B s. (γ) Να καθοριστεί η ζώνη συχνοτήτων [f 1, f 2 ] που χρησιμοποιείται για τη μετάδοση. Λύση Δf (α) β F = B ax = 4 (β) Β s = 2.(β+1).Β = 150 khz (γ) [f 1, f 2 ] = [100 MHz 75 khz, 100 MHz + 75 khz] = [99,925 MHz έω; 100,075 MHz] Άσκηση 2 Να επαναληφθούν οι παραπάνω υπολογισμοί, αν το πλάτος του σήματος πληροφορίας (t) μειωθεί κατά 6 db. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.17

Λύση Μείωση του πλάτους (τάση) κατά 6 db σημαίνει ότι αυτό υποδιπλασιάζεται, άρα υποδιπλασιάζεται και η μέγιστη απόκλιση συχνότητας. Συνεπώς, Δf ax = 30 khz Δf ax (α) β F = = 2 B (β) Β s = 2.(β+1).Β = 90 khz (γ) [f 1, f 2 ] = [100 MHz 45 khz, 100 MHz + 45 khz] = [99,955 MHz, 100,045 MHz] Άσκηση 3 Δίνεται το σήμα s(t) = 10.cos [2π.10 8.t + 5.sin(2π.15000.t)]. (α) Να υπολογιστεί ο δείκτης διαμόρφωσης β F. (β) Να υπολογιστεί το εύρος ζώνης μετάδοσης B s. (γ) Να καθοριστεί η ζώνη συχνοτήτων [f 1, f 2 ] που χρησιμοποιείται για τη μετάδοση. (δ) Να δοθεί η έκφραση για τη στιγμιαία συχνότητα f(t). Λύση (α) Συγκρίνοντας το σήμα s(t) με αυτό της εξίσωσης (10.2), προκύπτει ότι f c = 10 8 = 100 MHz, β F = 5 και f = 15000 = 15 khz. (β) Β s = 2.(β F +1).f = 180 khz (γ) f 1 f c B s /2 = 100 Mz 90 khz = 99,01 MHz f 2 f c + B s /2 = 100 Mz + 90 khz = 100,09 MHz (δ) Αφού θ(t) = 2π.10 8.t + 5.sin(2π.15000.t) 1 dθ(t) f(t) = = 10 8 1 +.5.2π.15.10 3.cos(2π.15.10 3.t) = 10 8 +.75.10 3.cos(2π.15.10 3.t) 2π dt 2π Άσκηση 4 Δίνεται το σήμα FM s(t) = 10.cos[2π.10 7.t + 20.cos(2π.10 4.t)]. (α) Να υπολογιστεί ο δείκτης διαμόρφωσης β F. (β) Να υπολογιστεί το εύρος ζώνης μετάδοσης B s. (γ) Να καθοριστεί η ζώνη συχνοτήτων [f 1, f 2 ] που χρησιμοποιείται για τη μετάδοση. (δ) Να δοθεί η έκφραση για τη στιγμιαία συχνότητα f(t). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.18

Να υπολογιστεί το εύρος ζώνης Β s. Λύση (α) Συγκρίνοντας το σήμα s(t) με αυτό της εξίσωσης (10.2), προκύπτει ότι f c = 10 7 = 10 MHz, β F = 20 και f = 10 4 = 10 khz. (β) Β s = 2.(β F +1).f = 420 khz (γ) f 1 f c B s /2 = 10 Mz 420 khz = 9,580 MHz f 2 f c + B s /2 = 10 Mz + 420 khz = 10,420 MHz (δ) Αφού θ(t) = 2π.10 7.t + 20.cos(2π.10 4.t) 1 dθ(t) f(t) = = 10 7 1.20.2π.10 4.sin(2π.10 4.t) = f c 20.10 4.sin(2π.10 4.t) 2π dt 2π Άσκηση 5 Για το σήμα FM που δίνεται από τον τύπο s(t) = A c.cos[2π.f c.t+2.cos(2π.10 4.t)], να υπολογιστούν: (α) Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δf ax. (β) H στιγμιαία απόκλιση συχνότητας Δf για t = 100 μs. Λύση (α) f(t) = 1 dθ(t) 1 = f c.2.2π.10 4.sin(2π.10 4.t) Δf ax = 2.10 4 = 20 khz 2π dt 2π (β) (10.11) Δf = (Δf ax )sin(2π.f.t) = 2.10 4.sin(2π.10 4.t) t = 100 μs = 10 4 s Δf = 2.10 4.sin(2π.10 4.10 4 ) = 0 Άσκηση 6 Να σχεδιαστεί πρόχειρα το σήμα s(t) που προκύπτει όταν ημιτονοειδές φέρον c(t) = A c.cos(2π.f c.t) διαμορφωθεί, κατά FM, από: (α) Παλμοσειρά p T (t) με τιμές +Α και 0. (β) Περιοδική σειρά πριονωτών παλμών r T (t) που κυμαίνονται από 0 έως +Α. Λύση (α) Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.19

(β) Άσκηση 7 Δίνεται το σήμα FM s(t) = 10.cos[2π.10 5.t+cos(4π.10 4.t)]. Να σχεδιαστεί πρόχειρα η συνάρτηση f(t) όπου f(t) η στιγμιαία συχνότητα του σήματος s(t). Λύση f(t) = 1 dθ(t) = 10 5 2.10 4.sin(2π.2.10 4.t) 2π dt Άσκηση 8 Σε διαμορφωτή συχνότητας (FM): Το σήμα πληροφορίας (t) είναι τόνος πλάτους A = 1 V και συχνότητας f = 12,5 khz. Η συχνότητα του φέροντος c(t) είναι ίση με f c = 450 khz. Η σχέση μεταξύ απόκλισης συχνότητας Δf (σε khz) και τιμής του (t) (σε Volts) δίνεται από τον τύπο Δf = 50.(t). (α) Να υπολογιστεί η μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δf ax. (β) Να υπολογιστούν ο δείκτης διαμόρφωσης β F και το εύρος ζώνης Β s του σήματος FM. Λύση (α) Δf ax = 50.A = 50 khz Δf ax 50 (β) β F = = = 4 f 12, 5 B s = 2.( β F +1).f = 125 khz Άσκηση 9 H μέγιστη απόκλιση συχνότητας ενός σήματος FM με φέρουσα συχνότητα f c,in = 5 ΜHz είναι Δf ax,in = 4 khz. Να σχεδιαστεί διάταξη για την παραγωγή σήματος FM με φέρουσα συχνότητα f c,out = 50 ΜHz και μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δf ax,out = 24 khz Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.20

Λύση Στη διάταξη, θα υπάρχει πολλαπλασιαστής x6 (f c,in = 5 MHz f c = 30 MHz, Δf ax,in = 4 khz Δf ax = 24 khz) και στη συνέχεια μείκτης με ταλαντωτή f osc = 20 MHz για την παραγωγή της f c,out = 30 + 20 = 50 ΜHz. f c,in = 5 MHz Πολ/στής f c,x = 30 MHz Μείκτης f c,out = 50 MHz Δf ax,in = 4 khz x6 Δf ax,out = 24 khz Δf ax,out = 24 khz f osc =20MHz Άσκηση 10 Στο συγκριτή φάσης του σχήματος: (α) Να διαπιστωθεί το γεγονός ότι η εν λόγω διάταξη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάκτηση του σήματος πληροφορίας (t) = sin(2π.f.t) από ένα σήμα FM (υποτίθεται ότι α << 1) (β) Να γίνουν οι κατάλληλες προσθήκες, ώστε η διάταξη να μετατραπεί σε PLL. s FM (t) = A c cos[2π.f c.t + α.sin(2π.f.t)] s 2 (t) = sin(2π.f c.t) X s x (t) Βαθυπερατό s LP (t) φίλτρο Λύση (α) Διοχετεύοντας, στην είσοδο 2 του πολλαπλασιαστή, το φέρον c(t) («ολισθημένο» κατά 90 ), προκύπτει s 2 (t) = c(t) = sin(2π.f c.t) οπότε s x (t) = A c cos[2π.f c.t + α.sin(2π.f.t)].sin(2π.f c.t) = A c sin[2π.2f c.t + α.sin(2π.f.t) + 2π.f c.t] A c sin[α.sin(2π.f.t)] και s LP (t) = A c sin[α.sin(2π.f.t)] α.sin(2π.f.t) (t) (β) Βλέπε παράγραφο 10.2.4. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.21

Άσκηση 11 Στην ενότητα 10.2.5, δίνονται τα παρακάτω στοιχεία για τις ραδιοφωνικές εκπομπές FM. To ακουστικό σήμα πληροφορίας έχει εύρος ζώνης B = 15 khz. H μέγιστη απόκλιση συχνότητας έχει προδιαγραφεί στη τιμή Δf ax = 75 khz. Από τα δεδομένα αυτά, προέκυψε ότι ο δείκτης διαμόρφωσης είναι β F = Δf ax /B = 5 ενώ το εύρος ζώνης του μεταδιδόμενου σήματος s(t) είναι B s = 2.(β F +1).Β = 180 khz. Να υπολογιστούν οι αρμονικές του μεταδιδόμενου (FM) σήματος s(t) Λύση Δεδομένου ότι οι «σημαντικές» (από άποψη ισχύος) αρμονικές του σήματος FM όπως εμφανίζονται στην εξίσωση S(f) = A c.σ (n=-,+ ) J n (β F ).sin[2π(f c +n.f )t] εμπεριέχονται σε εύρος 180/2 = 90 khz εκατέρωθεν της φέρουσας, τότε το εύρος τιμών του δείκτη n αρκεί να είναι τέτοιο ώστε 90 khz n.f +90 khz. Αφού f = 15 khz, θα πρέπει 6 n 6. Γενικά (β F +1) n β F +1. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον πίνακα της ενότητας 10.2.2, εστιαζόμενοι στη στήλη β F = 5. β F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 0 0,765 0,224 0,260 0,397 0,178 0,151 0,300 0,172 0,090 0,246 1 0,440 0,577 0,339 0,066 0,328 0,277 0,005 0,235 0,245 0,043 2 0,115 0,353 0,486 0,364 0,047 0,243 0,301 0,113 0,145 0,255 3 0,020 0,129 0,309 0,430 0,365 0,115 0,168 0,291 0,181 0,058 4 0,002 0,034 0,132 0,281 0,391 0,358 0,158 0,105 0,266 0,220 5 0,040 0,130 0,260 0,360 0,350 0,190 0,060 0,230 6 0,010 0,050 0,130 0,250 0,340 0,340 0,200 0,010 Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.22

Από τη στήλη αυτήν (και λαμβανομένου υπόψη ότι J n (x) = ( 1) n J n (x)) προκύπτουν Συχνότητα (αρμονική) Συντελεστής Fourier Τιμή συντελεστή (από τον πίνακα) Ισχύς αρμονικών J 2 n (β F =5) f c + J ο (β F =5) 0,178 0,032 f c f J 1 (β F =5) +0,328 0,108 f c + f + J 1 (β F =5) 0,328 0,108 f c 2f + J 2 (β F =5) +0,047 0,002 f c + 2f + J 2 (β F =5) +0,047 0,002 f c 3f J 3 (β F =5) 0,365 0,133 f c + 3f + J 3 (β F =5) +0,365 0,133 f c 4f + J 4 (β F =5) +0,391 0,153 f c + 4f + J 4 (β F =5) +0,391 0,153 f c 5f J 5 (β F =5) 0,260 0,068 f c + 5f + J 5 (β F =5) +0,260 0,068 f c 6f + J 6 (β F =5) +0,130 0,017 f c + 6f + J 6 (β F =5) +0,130 0,017 Αθροίζοντας τις ισχείς των αρμονικών υπολογίζεται η συνολική μέση ισχύς που εμπεριέχεται στις αρμονικές για 6 n 6. Πράγματι το άθροισμα των όρων της τελευταίας στήλης προκύπτει ίσο με 0,994 οπότε P ( 6 n 6) = 0,994. A 2 c 2 = 0,994.P total Το αποτέλεσμα αυτό καταδεικνύει ότι πράγματι όλη, σχεδόν, η ισχύς του σήματος FM (ποσοστό 99,4%) εμπεριέχεται σε εύρος ζώνης B s = 2.(β F +1).Β = 180 khz (90 khz εκατέρωθεν της συχνότητας του φέροντος f c ). Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.23

Άσκηση 12 Σε ραδιοφωνική εκπομπή FM, το ακουστικό σήμα πληροφορίας έχει εύρος ζώνης B = 20 khz ενώ η μέγιστη απόκλιση συχνότητας έχει προδιαγραφεί στη τιμή Δf ax = 80 khz. (α) Να υπολογιστεί ο δείκτης διαμόρφωσης β F. (β) Να υπολογιστεί το εύρος ζώνης του μεταδιδόμενου σήματος s(t). (γ) Να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν οι αρμονικές του μεταδιδόμενου (FM) σήματος s(t). Λύση (α) β F = Δf f ax 80 = = 4 20 (β) B s = 2.( β F +1).f = 200 khz (γ) Δεδομένου ότι οι «σημαντικές» (από άποψη ισχύος) αρμονικές του σήματος FM όπως εμφανίζονται στην εξίσωση S(f) = A c.σ (n=-,+ ) J n (β F ).sin[2π(f c +n.f )t] εμπεριέχονται σε εύρος 200 = 100 khz εκατέρωθεν της φέρουσας, τότε το εύρος τιμών 2 του δείκτη n αρκεί να είναι τέτοιο ώστε 100 khz n.f +100 khz. Αφού f = 20 khz, θα πρέπει 5 n 5. Γενικά (β F +1) n β F +1. β F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 0 0,765 0,224 0,260 0,397 0,178 0,151 0,300 0,172 0,090 0,246 1 0,440 0,577 0,339 0,066 0,328 0,277 0,005 0,235 0,245 0,043 2 0,115 0,353 0,486 0,364 0,047 0,243 0,301 0,113 0,145 0,255 3 0,020 0,129 0,309 0,430 0,365 0,115 0,168 0,291 0,181 0,058 4 0,002 0,034 0,132 0,281 0,391 0,358 0,158 0,105 0,266 0,220 5 0,040 0,130 0,260 0,360 0,350 0,190 0,060 0,230 Σημειώνεται ότι, για τη στήλη με β F = 4, ισχύει ότι J 0 2 (β F ) + 2.Σ (n=1,+5) J n 2 (β F ) 0,99. Άσκηση 13 Σε διαμορφωτή FM, η συχνότητα του μεταδιδόμενου (FM) σήματος δίνεται από τον τύπο f(t) = 100 MHz + (40 khz/v).(t), ενώ το σήμα πληροφορίας (t) έχει τη μορφή του 2 σχήματος με Α = 2 V, τ = 100 μs και B =. τ (α) Να δοθεί η συχνότητα του φέροντος f c και να υπολογιστεί η μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δf ax. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.24

(β) Να υπολογιστούν ο δείκτης διαμόρφωσης β F και το εύρος ζώνης Β s του σήματος FM. (t) Α Λύση (α) f c = 100 MHz Δf = (40 khz/v).(t) Δf ax = (40 khz/v). ax = (40 khz/v).a = (40 khz/v).(2 V) = 80 khz τ/2 (β) β F = Δf B ax 80 = = 4 20 2 2 B = = τ -4 = 20 khz 10 B s = 2.( β F +1).Β = 200 khz Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.25

10.5. Παραπομπές Νασιόπουλος Α., Τηλεπικοινωνίες, Εκδ. Αράκυνθος 2007: Κεφάλαιο 4 και ενότητες 7.4, 7.5. Κωττής Π., Διαμόρφωση και Μετάδοση Σημάτων, Εκδ. Τζιόλα 2003: Κεφάλαιο 4. Κωνσταντίνου Φ., Καψάλης Χ., Κωττής Π., Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες, Εκδ. Παπασωτηρίου 1995: Ενότητες 4.5 4.10. Taub H., Schilling D. L., Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα, Εκδ. Τζιόλα 1997: Κεφάλαιο 4. Haykin S., Συστήματα Επικοινωνίας, Εκδ. Παπασωτηρίου 1995: Κεφάλαιο 4. Γερ. Κ. Παγιατάκης: Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα 10.26