Δημήτρης Αγαλόπουλος Σελίδα 1

ΛΥΣΗ Δ1. Η ράβδος διαγράφει γωνία μέχρι να συγκρουστεί με το σώμα (Σ 1 ). Τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στην οριζόντια θέση (Α), την χρονική στιγμή t 1 γίνεται κατακόρυφη θέση (Γ) και συγκρούεται με το σώμα (Σ 1 ). Επειδή μόνο το βάρος παράγει έργο κατά τη στροφική κίνησή της, ισχύει η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας (ΑΔΜΕ) οπότε για μια τυχαία θέση (Β) όπου η γωνία στροφής είναι φ και την αρχική οριζόντια θέση της (Α) έχουμε : Εμηχ (Α) = Εμηχ (Β) Κ Α +U A = Κ B +U B επειδή ω ο =0 άρα Κ Α =0 και U B =0 ως επίπεδο αναφοράς της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας που διέρχεται από το σημείο Κ. Άρα έχουμε U A = Κ B Με θεώρημα Steiner : Από σχήμα : Συνεπώς : (SI) (1) για 0 φ Άρα το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας είναι: (SI) (2) και με αντικατάσταση τιμών έχουμε : για φ= στην κατακόρυφη θέση (Γ) μόλις πριν την κρούση με το σώμα (Σ 1 ), όπου Στ=0 και αγ=0. Η δύναμη της άρθρωσης δεν δημιουργεί ροπή, ενώ το βάρος που δημιουργούσε ροπή, στην κατακόρυφη θέση (Γ), η ροπή του είναι μηδέν, αφού ο φορέας του διέρχεται από την άρθρωση. Στην κατακόρυφη θέση (Γ) μόλις πριν την κρούση της ράβδου με το σώμα (Σ 1 ) σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο. Το βάρος και της άρθρωσης που είναι κατακόρυφη αφού στη θέση (Γ) η γωνιακή επιτάχυνση είναι μηδέν, άρα και η επιτρόχια, συνεπώς δεν υπάρχει οριζόντια συνιστώσα της δύναμης της άρθρωσης. Από το θεμελιώδη νόμο στη διεύθυνση της ακτίνας (κατά μήκος της ράβδου) έχουμε για το κέντρο μάζας της ράβδου ότι : Δημήτρης Αγαλόπουλος Σελίδα 1

( ) Άρα το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση στην κατακόρυφη θέση είναι. Δ2. Για την ελαστική κρούση της ράβδου και του ακίνητου σώματος (Σ 1 ) στην κατακόρυφη θέση (Γ) τη χρονική στιγμή t 1 ισχύουν : Αρχή διατήρησης στροφορμής ως προς την άρθρωση που στρέφεται η ράβδος (ΑΔΣ): (3) Αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας (ΑΔΚΕ): (4) Από την επίλυση του συστήματος (3) και (4) έχουμε τις λύσεις :,που απορρίπτονται και, που είναι δεκτές. Άρα το (Σ 1 ) μετά τη κρούση εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση μέχρι να συγκρουστεί με το (Σ 2 ) ενώ η ράβδος μένει ακίνητη στην κατακόρυφη θέση (Γ). Τα σώματα (Σ 1 ), (Σ 2 ) έχουν ίσες μάζες και συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά σε θέση της ΑΑΤ του (Σ 2 ), έτσι ώστε για την ΑΑΤ του (Σ 2 ) μετά τη κρούση με το (Σ 1 ). Άρα εξαιτίας της ελαστικής κρούσης με ίσες μάζες τα σώματα ανταλλάσουν ταχύτητες. Συνεπώς και στη x όπου τα μέτρα των ταχυτήτων των (Σ 1 ),(Σ 2 ) αμέσως μετά τη κρούση. Από τη διατήρηση της κινητικής ενέργειας (ΑΔΚΕ) λόγω της ελαστικής κρούσης των (Σ 1 ),(Σ 2 ) έχουμε : (5) Δημήτρης Αγαλόπουλος Σελίδα 2

Για την ΑΑΤ του (Σ 2 ) πριν τη κρούση από τη διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης (ΑΔΕΤ), έχουμε: (6) Για την ΑΑΤ του (Σ 2 ) μετά τη κρούση από τη διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης (ΑΔΕΤ), έχουμε: (7) Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του (Σ 2 ) παραμένει σταθερή κατά τη κρούση αφού γίνεται σε μια θέση x και η θέση ισορροπίας τόσο πριν όσο και μετά τη κρούση δεν αλλάζει. Από (ΑΔΚΕ) των (Σ 1 ),(Σ 2 ) και προσθέτοντας τη δυναμική της ΑΑΤ του (Σ 2 ) σε κάθε μέλος έχουμε από τη σχέση (5) ότι: (8) Αλλά για πρέπει συνεπώς (Σ 1 ), άρα και (Σ 2 ). Μηδενική ταχύτητα όμως για το (Σ 2 ) μόλις πριν τη κρούση έχουμε στη θέση x=+α 2 Τ ης ΑΑΤ αφού x 0. Το πλάτος Α 2 της ΑΑΤ του (Σ 2 ) πριν τη κρούση το υπολογίζουμε από τη σχέση :, με σταθερά επαναφοράς. Άρα. Άρα η θέση της ελαστικής κρούσης των (Σ 1 ) και (Σ 2 ). Η περίοδος της ΑΑΤ του (Σ 2 ) είναι:. Συνεπώς η χρονική στιγμή που γίνεται η πρώτη κρούση των (Σ 1 ),(Σ 2 ) αντιστοιχεί σε:. Άρα τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα (Σ 2 ) βρισκόταν στη θέση:. Δ3. Το χρονικό διάστημα Δt 1 της κίνησης του (Σ 1 ) από τη χρονική στιγμή t 1 που συγκρούστηκε με τη ράβδο μέχρι τη χρονική στιγμή που συγκρούεται με το (Σ 2 ) για πρώτη φορά, υπολογίζεται από την ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (ΕΟΚ) που εκτελεί. Άρα : Ο χρόνος καθόδου της ράβδου διάρκειας που γίνεται η κρούση της με το (Σ 1 ) και το χρονικό διάστημα της κίνησης του (Σ 1 ) μέχρι να συγκρουστεί με το (Σ 2 ) στη θέση για πρώτη φορά, ισούται με τη χρονική στιγμή t 2. Άρα : ( ) Δημήτρης Αγαλόπουλος Σελίδα 3

Άρα η χρονική στιγμή της πρώτης κρούσης της ράβδου με το (Σ 1 ) είναι. Δ4. Τη χρονική στιγμή γίνεται η πρώτη ελαστική κρούση των (Σ 1 ),(Σ 2 ) και τα σώματα ανταλλάσουν ταχύτητες λόγω ίσων μαζών στη θέση (Σ 1 ). της ΑΑΤ του Έτσι το (Σ 1 ) ακινητοποιείται, ενώ το (Σ 2 ) ξεκινά νέα ΑΑΤ γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, ίδιας περιόδου, αλλά μεγαλύτερου πλάτους Α 2, αφού η μέγιστη ενέργεια που απέκτησε μετά τη κρούση, από τη σχέση (8) για, είναι: ( ) Άρα : με συνεπώς. Θεωρώντας ως t =0 την θετική η φορά προς τα δεξιά είναι: οι αρχικές συνθήκες της νέας ΑΑΤ του (Σ 2 ) επειδή συνεπώς τότε :. Όμως και Οπότε: Αλλά τότε : Η γωνιακή συχνότητα της ΑΑΤ του (Σ 2 ) είναι: Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης για την νέα ΑΑΤ του (Σ 2 ) είναι: ( ) ή ( ). Για x έχουμε τη δεύτερη ελαστική κρούση του (Σ 2 ) με το ακίνητο (Σ 1 ). Από τη σχέση απομάκρυνσης - χρόνου της ΑΑΤ του (Σ 2 ) έχουμε: ( ) ( ) ή ή Πρέπει και. Άρα : ή Δημήτρης Αγαλόπουλος Σελίδα 4

Η ταχύτητα του (Σ 2 ) την είναι: όπου. Άρα ( ) ( ). Το μέτρο ταχύτητας είναι ίδιο με την αφού το (Σ 2 ) είναι στην ίδια θέση της ΑΑΤ. Οπότε η δεύτερη ελαστική κρούση των (Σ 2 ),(Σ 1 ) γίνεται τη χρονική στιγμή ΑΑΤ του (Σ 2 ) και την από την έναρξη της νέας ( ) από την έναρξη t=0 του φαινομένου. Τα σώματα (Σ 1 ),(Σ 2 ) ίσης μάζας ανταλλάσουν στη δεύτερη ελαστική κρούση τους ταχύτητες και το (Σ 1 ) αποκτά ταχύτητα μέτρου με φορά προς τη ράβδο, ενώ το (Σ 2 ) ακινητοποιείται στιγμιαία και ξεκινά ΑΑΤ πλάτους Α 2 =0,2m, αλλά ίδιας περιόδου και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Το (Σ 1 ) συγκρούεται ελαστικά με την ακίνητη ράβδο την ( ), αφού εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (ΕΟΚ) με ίδιου μέτρου ταχύτητα και διανύει την ίδια απόσταση. Το (Σ 2 ) τη χρονική στιγμή t 4 βρίσκεται στη θέση x,δηλαδή στη διάρκεια Δt 1 της κίνησης του (Σ 1 ) μετατοπίστηκε από την μια ακραία θέση της ΑΑΤ στην άλλη, αφού Για την ελαστική κρούση του σώματος (Σ 1 ) και της ράβδου στη κατακόρυφη θέση (Γ) τη χρονική στιγμή ισχύουν: Αρχή διατήρησης της στροφορμής στη θέση (Γ) ως προς την άρθρωση που στρέφεται η ράβδος (ΑΔΣ, όπως και στην κάθοδο της ράβδου) (9) Αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας (ΑΔΚΕ) Δημήτρης Αγαλόπουλος Σελίδα 5

(10) Από την επίλυση του συστήματος των (9), (10) έχουμε τις λύσεις: Άρα το (Σ 1 ) μετά τη κρούση μένει ακίνητο στην κατακόρυφη θέση (Γ) ενώ η ράβδος εκτελεί στροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ίδιου μέτρου αλλά αντίθετης φοράς από την. Άρα το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου στην κατακόρυφη θέση (Γ) είναι το ίδιο τόσο στην κάθοδο όσο και στην άνοδό της και ίσο με. Επειδή μόνο το βάρος παράγει έργο κατά τη στροφική κίνηση της ράβδου, ισχύει η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας (ΑΔΜΕ) για την αρχική κατακόρυφη θέση ((Γ) και για μια τυχαία θέση (Β) που η γωνία στροφής είναι φ από την οριζόντια θέση της (Α): Εμηχ (Γ) = Εμηχ (Β) Κ Γ +U Γ = Κ B +U B,αλλά U Γ =0 ως επίπεδο αναφοράς της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας που διέρχεται από το σημείο Κ. Άρα έχουμε: (ΑΔΜΕ) Από το σχήμα: και από τη σχέση (2), η ροπή αδράνειας είναι από το θεώρημα του Steiner: Άρα η ΑΔΜΕ γίνεται: (SI) (11) Για φ=0 έχουμε ω=0 και η ράβδος φθάνει μέχρι την οριζόντια θέση (Α). Οι σχέσεις (1) και (11) αποδεικνύουν ότι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας είναι το ίδιο για ορισμένη γωνία στροφής φ τόσο στην κάθοδο όσο και στην άνοδο της ράβδου. Δημήτρης Αγαλόπουλος Σελίδα 6

Για κάθοδο ή άνοδο της ράβδου υπολογίζουμε τη γωνιακή επιτάχυνση επιβράδυνση αντίστοιχα. Από θεμελιώδη νόμο στροφικής για μια τυχαία θέση που η γωνία στροφής είναι φ : για (SI) (12) Η σχέση (12) αποδεικνύει ότι το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης επιβράδυνσης είναι το ίδιο για ορισμένη γωνία στροφής φ τόσο στην κάθοδο όσο και στην άνοδο της ράβδου. Ισχύει ότι:, ίδιες για dφ 0 λόγω της σχέσης (12) Ισοδύναμα : αλλά (μέτρα) λόγω των σχέσεων (1),(11) Συνεπώς: Άρα οι χρόνοι καθόδου και ανόδου της ράβδου από την οριζόντια στην κατακόρυφη θέση και αντίστροφα είναι ίσοι. Επειδή Άρα η ράβδος επιστρέφει στην αρχική οριζόντια θέση της τη χρονική στιγμή:. Τότε το (Σ 2 ) βρίσκεται στη θέση, που βρισκόταν και τη χρονική στιγμή t=0 ενώ το (Σ 1 ) είναι ακίνητο στην κατακόρυφη θέση της ράβδου. Στην συνέχεια το φαινόμενο επαναλαμβάνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Άρα το μοτίβο, όπου Τ η περίοδος της ΑΑΤ του (Σ 2 ). Δημήτρης Αγαλόπουλος Σελίδα 7

Σύνοψη του μοτίβο για το φαινόμενο των κινήσεων και των κρούσεων ράβδου (Ρ), σωμάτων (Σ 1 ), (Σ 2 ) Άρα Την, (Ρ) αφήνεται από θέση (Α), το (Σ 1 ) ακίνητο στη θέση (Γ), (Σ 2 ) ΑΑΤ στη θέση x=-a 2 με u 2 =0 Την, (Ρ) συγκρούεται ελαστικά με (Σ 1 ) στη θέση (Γ), μόλις πριν τη κρούση (Ρ) έχει μέτρο γωνιακής ταχύτητας ω max δεξιόστροφη και (Σ 1 ) ακίνητο, ενώ μόλις μετά τη κρούση, (Ρ) ακίνητη και (Σ 1 ) ΕΟΚ προς (Σ 2 ) με ταχύτητα μέτρου u 1, (Σ 2 ) ΑΑΤ στη θέση x=-a 2 με u 2 =0. Την, (Ρ) ακίνητη στη θέση (Γ), (Σ 1 ) συγκρούεται ελαστικά με (Σ 2 ) στη θέση x=+a 2 και ανταλλάσουν ταχύτητες αφού m 1 =m 2, μόλις πριν τη κρούση (Σ 1 ) έχει μέτρο ταχύτητας u 1 και (Σ 2 ) ακίνητο ενώ μόλις μετά τη κρούση (Σ 1 ) ακίνητο και (Σ 2 ) ταχύτητα μέτρου V 2 =u 1 προς αρνητικό ημιάξονα ΑΑΤ. Έναρξη νέας ΑΑΤ (Σ 2 ) πλάτους Α 2 =2Α 2 από τη θέση. Την, (Ρ) ακίνητη στη θέση (Γ), (Σ 2 ) συγκρούεται ελαστικά με (Σ 1 ) στη θέση και ανταλλάσουν ταχύτητες αφού m 1 =m 2, μόλις πριν τη κρούση (Σ 2 )έχει μέτρο ταχύτητας V 2 =u 1 προς θετικό ημιάξονα ΑΑΤ και (Σ 1 ) ακίνητο ενώ μόλις μετά τη κρούση (Σ 2 ) ακίνητο έναρξη ΑΑΤ πλάτους Α 2 και (Σ 1 ) με ταχύτητα μέτρου u 1 εκτελεί ΕΟΚ προς τη (Ρ). Την, (Σ 1 ) συγκρούεται ελαστικά με (Ρ) στη θέση (Γ), μόλις πριν τη κρούση (Ρ) ακίνητη και (Σ 1 ) έχει μέτρο ταχύτητας u 1 ενώ μόλις μετά (Ρ) έχει μέτρο γωνιακής ταχύτητας ω max αριστερόστροφη και (Σ 1 ) ακίνητο, (Σ 2 ) ΑΑΤ στη θέση x=-a 2 με u 2 =0. Την, (Ρ) φθάνει στη θέση (Α), το (Σ 1 ) ακίνητο στη θέση (Γ), (Σ 2 ) ΑΑΤ στη θέση x=-a 2 με u 2 =0. όπου όλα τα σώματα (Σ 1 ), (Σ 2 ), (Ρ) βρίσκονται στις αρχικές θέσεις τους και το φαινόμενο θα επαναλαμβάνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο αφού οι κρούσεις είναι ελαστικές και υπάρχει συγχρονισμός των κινήσεων-κρούσεων των σωμάτων ώστε να βρεθούν στις «κατάλληλες θέσεις» τις «κατάλληλες χρονικές στιγμές». Δημήτρης Αγαλόπουλος Σελίδα 8

Δ5. Υπολογίζουμε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ως προς την άρθρωση της ράβδου στο σημείο Ο. Για φ=0, οριζόντια θέση (A) της ράβδου έχουμε: και τότε η βαρύτικη δυναμική ενέργεια της ράβδου σε σχέση με το επίπεδο αναφοράς( το οριζόντιο επίπεδο ταλάντωσης) είναι: Η στιγμή μετά τη 12 η κρούση των (Σ 1 ), (Σ 2 ), ράβδου όπου είναι η χρονική στιγμή:. Το (Σ 2 ) που εκτελεί ΑΑΤ σε χρόνο έχει διανύσει διάστημα: από την ως την από την ως την από την ως την. από την ως την. από την ως την Άρα Άρα τη χρονική στιγμή το (Σ 2 ) έχει διανύσει Σχόλια : 1. Μια περίπτωση ακόμη λίγο διαφορετική. Την t=0 που αφήνεται η ράβδος γνωρίζουμε τη θέση του (Σ 2 ) που είναι η x=+a 2. Δεν μας δίνουνε τη χρονική στιγμή της πρώτης κρούσης των (Σ 1 ), (Σ 2 ) αλλά μας πληροφορούν ότι το (Σ 2 ) έχει εκτελέσει μέχρι τη πρώτη κρούση του με το (Σ 1 ) τρεις πλήρεις ταλαντώσεις. Δίνεται επίσης η απόσταση των (Σ 1 ), (Σ 2 ) την t=0. Τώρα όμως δεν μας δίνουν τη μάζα του m 2 την οποία υπολογίζουμε ότι είναι ίση με τη m 1, αφού η πρώτη κρούση είναι προφανές ότι γίνεται στη x=+a 2 άρα u 2 =0, επειδή μας δίνεται ότι (θυμίζει τώρα 5.27 σχολικού ενώ πριν τις επαναληπτικές του 2011). Τα δεδομένα κατά τ άλλα είναι τα ίδια, ενώ στα ερωτήματα το Δ2 αλλάζει στο δεύτερο σκέλος του που ζητάμε την μάζα m 2. Το πρώτο δεν το πειράζουμε, να έχουμε και κάτι απλό, μόνο που το απαντάμε δεύτερο αριθμητικά γιατί πρέπει να γνωρίζουμε τη μάζα m 2. Τα αποτελέσματα: Δ1 (75Ν), Δ2(0,2m,1kg), Δ3(π/5 s), Δ4(2π/3 s), Δ5(48J, 2πs,18m). Δημήτρης Αγαλόπουλος Σελίδα 9

2. Μόνο για καθηγητές. α) Υπολογισμός χρόνου κίνησης της ράβδου, χρόνος καθόδου. Η γωνιακή ταχύτητα στη τυχαία θέση από τη σχέση (1) είναι : Αλλά για το ολοκλήρωμα έχουμε: Wolfram Alpha) Συνεπώς: β) Επειδή η περίοδος της ταλάντωσης του (Σ 2 ) είναι : και ο χρόνος κίνησης της ράβδου είναι ίδιος τόσο στην κάθοδο όσο και στην άνοδο, δηλαδή έχουμε ότι ο λόγος γ) Η δημοσίευση αυτή έγινε με αφορμή το θέμα Δ του Πανελληνίου Διαγωνισμού Φυσικής της Ε.Ε.Φ. 2016 και τις συζητήσεις που ακολούθησαν μεταξύ των συναδέλφων στην ιστοσελίδα Θέματα Εξετάσεων του ylikonet. Δημήτρης Αγαλόπουλος Δημήτρης Αγαλόπουλος Σελίδα 10