ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ, -- Άσκηση. Δίνονται τα παρακάτω δεδομένα 5 7 8 9 5 X 8 5 5 5 9 7 Y. 5.. 7..7.7.9.. 5.... 8.. α) Να γίνει το διάγραμμα διασποράς β) εξετάστε τα μοντέλα Υ = β + β Χ + ε, (linear), Υ = β + β lnχ + ε, (logarithmic), Υ = β + β /Χ + ε, (inverse), lnυ = β + β Χ + ε. με ε ~ Ν(,σ ). γ. Ποιες οι εκτιμήσεις για τις άγνωστες παραμέτρους β, β σε κάθε μοντέλο; δ. Ποιο μοντέλο έχει τον μεγαλύτερο συντελεστή προσδιορισμού; Άσκηση. Πριν αντικατασταθούν μεταλλικοί σωλήνες από πλαστικούς ή από άλλα συνθετικά υλικά, μελετήθηκε η αντοχή πειραματικών τεμαχίων από πολυεστέρα. Έγινε έλξη του υλικού με ταχύτητα Χ (cm/min) και μετρήθηκε η αντοχή Υ σε κιλά ανά τετραγωνικό εκατοστό (kgr/cm ). Οι μετρήσεις έ- δωσαν: X Y X Y.5 55 7.5 59 75.5 57 7.5 9 75.5 58 8 8 79 57 795 77 77 8 Δίνονται τα δύο μοντέλα: i) Y = β + β Χ + ε, ii) Y = β + β lnx + ε Πραγματοποιήστε έλεγχο καλής προσαρμογής του μοντέλου (lack-of-fit) σε στάθμη α=.5 και στις δύο περιπτώσεις. α) Στο μοντέλο που θα γίνει δεκτό, βρείτε 95% δ.ε. για τη μέση και ατομική πρόβλεψη στο σημείο Χ=5. β) Ελέγξτε την υπόθεση (α=.5) H : β =, Η : β, ή Η : β >. γ) Ελέγξτε την υπόθεση (α=.5) H : β =.5, Η : β.5, ή Η : β <.5. δ) Υπάρχουν έκτροπες παρατηρήσεις στα κατάλοιπα; Άσκηση 5. Δημιουργήστε μία μεταβλητή e από τυχαίους αριθμούς από N(,). Δημιουργήστε μία μεταβλητή X από τυχαίους αριθμούς από U(-5,5). Δημιουργήστε τη μεταβλητή Y =..Χ + e α) Εξετάστε το γραμμικό μοντέλο Υ = β +β Χ+ε και ελέγξτε τις υποθέσεις H : β =., Η : β., H : β =., Η : β >. σε ε.σ. α =.5. β) Εξετάστε αν τα κατάλοιπα ακολουθούν κανονική κατανομή (μέσω ενός Q-Q, P-P plot, K-S τεστ) γ) Αν κατά λάθος γράψουμε y 5 αντί y 5, πώς αλλάζουν οι εκτιμήσεις των παραμέτρων; Από τον έλεγχο των καταλοίπων μπορούμε να εντοπίσουμε το λάθος μας; δ) Δημιουργήστε ένα αρχείο με τις παρατηρήσεις Ζ =..Χ + Χ e. Αν θεωρήσουμε το μοντέλο Ζ = β + β Χ + ε, εξετάστε τα κατάλοιπα. Είναι το μοντέλο αποδεκτό; Πως θα βελτιωθεί;
Άσκηση. Για τη μελέτη μιας ασθένειας της καρδιάς στα μικρά παιδιά, μετρήθηκε η ηλικία X σε μήνες και ένας δείκτης Υ για παιδιά. Τα δεδομένα ήταν: α/α Χ Υ α/α Χ Υ 5 95 9 9 7 8 8 8 9 9 5 5 5 87 7 5 7 8 9 8 57 8 9 7 9 8 8 9 7 α) Να γίνει η γραφική παράσταση (X,Y) και να εντοπιστούν οι έκτροπες παρατηρήσεις. β) Εφαρμόστε το απλό γραμμικό μοντέλο και υπολογίστε το leverage p ii για όλες τις παρατηρήσεις. Ποιες παρατηρήσεις επηρεάζουν περισσότερο το μοντέλο (p ii > /n) και ποιες θεωρούνται ασυνήθιστες ( e ˆ i > ); γ) Να γίνει έλεγχος κανονικότητας (P-P, K-S) και έλεγχος ανεξαρτησίας (runs-test) των παρατηρήσεων. Άσκηση 7. Μία εταιρία έστειλε τμηματικά το προσωπικό του λογιστηρίου να εξασκηθεί σε δύο νέα λογιστικά πακέτα. Μετά το τέλος των σεμιναρίων, έγιναν εξετάσεις για να διαπιστωθεί ο βαθμός εκμάθησης των πακέτων. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την βαθμολογία Υ,Υ και τη διάρκεια X των σεμιναρίων σε ώρες. Χ 5 5 5 8 8 8 8 Υ 9 9 9 5 5 Υ 99 97 9 7 5 Χ Υ 5 59 58 5 8 8 Υ 5 9 5 58 9 α) Να γίνουν τα διαγράμματα διασποράς (Χ, Υ ), (Χ, Υ ) β) Εξετάστε ποια από τα τρία μοντέλα γίνονται αποδεκτά: i) Y = β + β Χ + ε, ii) Y = β + β X + ε, iii) Y = β + β ln X + ε, Στα μοντέλα που γίνονται αποδεκτά (lof τεστ): γ) Εκτιμήστε τις παραμέτρους και τη διασπορά των σφαλμάτων. δ) Ελέγξτε την υπόθεση: H : β = 55, Η : β > 55. ε) Κάνετε έλεγχο της κανονικότητας των καταλοίπων με P-P, Q-Q plots, Κ-S τεστ. στ) Ελέγξτε αν τα κατάλοιπα ακολουθούν κατανομή Laplace με Q-Q plot. ζ) Ελέγξτε αν τα κατάλοιπα ακολουθούν ομοιόμορφη κατανομή με Q-Q plot, Κ-S, X test. η) Δώστε 95% δ.ε. για τη μέση και ατομική πρόβλεψη της απόδοσης στα δύο σεμινάρια, αν η διάρκεια είναι ώρες. θ) Εξετάστε με τα κατάλληλα διαγράμματα αν η διασπορά των σφαλμάτων εξαρτάται από τη διάρκεια ή από τη σειρά παρακολούθησης. ι) Εντοπίστε τις έκτροπες παρατηρήσεις που επηρεάζουν ή που είναι ασυνήθιστες. ια) Εξετάστε αν τα σφάλματα είναι ασυσχέτιστα, με διάγραμμα και με τεστ.
Απαντήσεις Άσκησης 7. α) Χρησιμοποιώντας την επιλογή Graphs/scatterplot λαμβάνουμε: Y Y X X Θα εξετάσουμε ξεχωριστά τη σχέση που υπάρχει μεταξύ της Υ και της Χ και μεταξύ της Υ και της Χ (παρατηρώντας ότι η σχέση μεταξύ των Υ, Χ φαίνεται παρόμοια με τη σχέση μεταξύ των Υ, Χ θα ή- ταν ίσως καλύτερο να εξετάσουμε τη σχέση μεταξύ της μέσης βαθμολογίας Υ = (Υ +Υ )/ και του Χ) β) Παρατηρούμε ότι στα δεδομένα μας υπάρχουν επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το lack-of-fit τεστ για τον έλεγχο καλής προσαρμογής του μοντέλου. iα) Για το μοντέλο Y = β + β Χ + ε (R =.977) έχουμε ότι n F ( SSE SSPE) /( r ) =, SSPE /( n r) SSPE = j όπου SSE j = i = ( Yij Yj ) είναι η δειγματική διασπορά του Υ για Χ = Χ j (Χ =, Χ =5, Χ =8, Χ =, Χ 5 =, Χ =). Το F δεν δίνεται αυτόματα από το πακέτο οπότε θα πρέπει να το υπολογίσουμε. Ένας σύντομος τρόπος να βρούμε το SSPE είναι μέσω της διαδικασίας Analyze/compare means/one-way ANOVA με Dependent: Y, Factor:X. Στον πίνακα ANOVA που προκύπτει ισχύει ότι SSPE = Within Groups Sum of Square = 59,5. Το SSE ως γνωστό βρίσκεται εκτελώντας παλινδρόμηση (βρίσκεται στον πίνακα ANOVA που προκύπτει από τη διαδικασία Analyze/Regression/Linear, Dependent:Y, Independent: X) και είναι ίσο με,7. Επομένως F r j= SSE j ( SSE SSPE) /( r ) (.7 59.5) / = 5.9 > Fr, n r; a = F SSPE /( n r) 59.5/ = και άρα απορρίπτουμε την Η : σωστό μοντέλο. iβ) Όμοια, για το μοντέλο Y = β + β Χ + ε (R =.977) έχουμε ότι F (5.7 9.75) / =.98 > F 9.75/,;.5.,;.5. Y Y X X
και άρα απορρίπτουμε την Η : σωστό μοντέλο. (Τα αντίστοιχα γραφήματα έγιναν με τη χρήση της διαδικασίας Graphs/scatter/simple όπου με διπλό κλικ στο σχήμα που παράγεται ανοίγουμε τον SPSS Chart Editor και επιλέγουμε Chart/options/Fit Line: Total με Fit Options: Linear Regression) iiα) Για το μοντέλο Y = β + β (78.9 59.5) / F =.5 < F 59.5/ και άρα δεν μπορούμε να απορρίψουμε την Η : σωστό μοντέλο. iiβ) Για το μοντέλο Y = β + β F X + ε (R =.998) έχουμε ότι (το SSPE είναι ίδιο με αυτό του iα),;.5. X + ε (R =.998) έχουμε ότι (το SSPE είναι ίδιο με αυτό του iβ) (. 9.75) / =.9 < F 9.75/,;.5. Y 5 Y 5 και άρα δεν μπορούμε να απορρίψουμε την Η : σωστό μοντέλο. iiiα) Για το μοντέλο Y = β + β ln X + ε (R = 97) έχουμε ότι (το SSPE είναι ίδιο με αυτό του iα) F (99. 59.5) / =.7 > F 59.5/,;.5. και άρα απορρίπτουμε την Η : σωστό μοντέλο. iiiβ) Για το μοντέλο Y = β + β ln X + ε (R =.97) έχουμε ότι (το SSPE είναι ίδιο με αυτό του iβ) F (95 9.75) / = 5. > F 9.75/,;.5. Y,,5,,5,,5 Y,,5,,5,,5 LX LX και άρα απορρίπτουμε την Η : σωστό μοντέλο. Συνεπώς αποδεκτό γίνεται μόνο το μοντέλο Y = β + β γραφήματα. X + ε, κάτι που είναι φανερό και από τα
γ) Μοντέλο: Y = β + β X + ε. Εκτελούμε τη διαδικασία Analyze/regression/Linear (Υ, = X ) από όπου λαμβάνουμε: Model (Constant) a. Dependent Variable: Y Unstandardized Coefficients Coefficients a Standardi zed Coefficien ts 95% Confidence Interval for B B Std. Error Beta t Sig. Lower Bound Upper Bound -,7,5-5,, -,58-5,95,7,5,999 7,798, 59,95,5 Model Regression Residual Total a. Predictors: (Constant), b. Dependent Variable: Y ANOVA b Sum of Squares df Mean Square F Sig. 59,7 59,5,7, a 78,89 8 9,99 57, 9 και άρα β ˆ =. 7 με s ( βˆ ) =, 5, β ˆ =. 7 με s ( βˆ ) =, 5, σˆ = MSE = 9. 99. Μοντέλο: Y = β + β X + ε. Αντίστοιχα λαμβάνουμε: Coefficients a Model (Constant) a. Dependent Variable: Y Unstandardized Coefficients Standardi zed Coefficien ts 95% Confidence Interval for B B Std. Error Beta t Sig. Lower Bound Upper Bound -8,7,8 -,97, -, -,89 59,9,59,999,7, 58,7,9 Model Regression Residual Total a. Predictors: (Constant), b. Dependent Variable: Y ANOVA b Sum of Squares df Mean Square F Sig. 5,7 5,78 5,7, a, 8,5 7,9 9 και άρα β ˆ = 8. 7 με s ( βˆ ) =, 8, β ˆ = 59. 9 με s ( βˆ ) =. 59, σˆ = MSE =. 5. δ) Για να ελέγξουμε την υπόθεση H : β = 55 έναντι της Η : β > 55 με τη βοήθεια του πακέτου θέτουμε γ = β 55 και το μοντέλο γίνεται = β + β X + ε Y = β + ( γ + 55) X + ε Y 55 X = β + γ X + ε = β + γ X + ε Y Y. Στο παραπάνω γραμμικό μοντέλο αρκεί τώρα να ελέγξουμε αν H : γ = έναντι της Η : γ >. Από το Transform/Compute κατασκευάζουμε τη νέα μεταβλητή Y = Y 55 X και εκτελώντας τη διαδικασία Analyze/Regression/Linear ( Y, = X ) λαμβάνουμε:
Model (Constant) Unstandardized Coefficients a. Dependent Variable: YPRIME Coefficients a Standardi zed Coefficien ts B Std. Error Beta t Sig. -,7,5-5,, 5,7,5,97 9,757, Επειδή το Τ = 5.7 είναι θετικό, το p-value του μονόπλευρου ελέγχου H : γ = β = 55 με Η : γ > β > 55 είναι p value = P( T > T T ~ tn ) = P( T > T T ~ tn ) = Sig. και άρα απορρίπτουμε την Η έναντι της Η (δηλ. β > 55) Όμοια, για το δεύτερο σεμινάριο Y = β + β X + ε, λαμβάνουμε τον πίνακα ( Y = Y 55 X ) Model (Constant) Unstandardized Coefficients a. Dependent Variable: YPRIME Coefficients a Standardi zed Coefficien ts B Std. Error Beta t Sig. -8,7,8 -,97,,9,59,88 7,8, Επειδή και εδώ Τ =.9 >, το p-value του μονόπλευρου ελέγχου H :β = 55 με Η : β > 55 είναι p value = Sig. και άρα και πάλι απορρίπτουμε την Η έναντι της Η (δηλ. β > 55). ε) Αρχικά εισάγουμε τη στήλη με τα κατάλοιπα (residuals) ως εξής: Εκτελούμε τη διαδικασία Analyze/Regression/Linear (με Y, και Υ,) και στο Save επιλέγουμε τα Studentized residuals. Από το Graphs/Q-Q Plot και το Graphs/P-P Plot (test distribution: Normal) λαμβάνουμε τα γραφήματα Q- Q, P-P για τα δύο σεμινάρια: Γραφήματα για τα κατάλοιπα του μοντέλου Y = β + β X + ε : Normal Q-Q Plot of Studentized Residual, Normal P-P Plot of Studentized Residual,75 Expected Normal Value - - - - Expected Cum Prob,5,5,,,5,5,75, Observed Value Observed Cum Prob Γραφήματα για τα κατάλοιπα του μοντέλου Y = β + β X + ε :
Normal Q-Q Plot of Studentized Residual, Normal P-P Plot of Studentized Residual,75 Expected Normal Value - - - - - Expected Cum Prob,5,5,,,5,5,75, Observed Value Observed Cum Prob Από τα παραπάνω γραφήματα δεν έχουμε κάποια ισχυρή ένδειξη για την απόρριψη της υπόθεσης της κανονικότητας των καταλοίπων. Για να μπορέσουμε να αποφανθούμε με δεδομένη πιθανότητα ε- σφαλμένης απόρριψης της Η (π.χ. α = 5%) θα πρέπει να προχωρήσουμε σε έναν έλεγχο με βάση το τεστ Kolmogorov-Smirnov. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας τη διαδικασία Analyze/non parametric tests/ One-Sample Kolmogorov-Smirnov test (test distribution Normal) προκύπτει (για τα δύο σεμινάρια) ότι: One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test N Normal Parameters a,b Most Extreme Differences Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (-tailed) a. Test distribution is Normal. Mean Std. Deviation Absolute Positive Negative SRE_ Studentized Residual,8E-,55,7,7 -,5,77,599 N Normal Parameters a,b Most Extreme Differences Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (-tailed) a. Test distribution is Normal. Mean Std. Deviation Absolute Positive Negative SRE_ Studentized Residual,79E-,889,7,8 -,7,75, b. Calculated from data. b. Calculated from data. Και στα δύο μοντέλα δεν μπορούμε να απορρίψουμε την υπόθεση της κανονικότητας διότι τα αντίστοιχα p-value είναι αρκετά υψηλά (.599 και.). στ) Από το Graphs/Q-Q Plot (test distribution: Laplace) λαμβάνουμε τα γραφήματα Q-Q για τα δύο σεμινάρια: Laplace Q-Q Plot of Studentized Residual Laplace Q-Q Plot of Studentized Residual Expected Laplace Value - - - - - - Expected Laplace Value - - - - - - Observed Value Observed Value Από τα παραπάνω γραφήματα δεν διακρίνεται κάποια ισχυρή ένδειξη για την απόρριψη της υπόθεσης ότι τα κατάλοιπα προέρχονται από κατανομή Laplace. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να επισημάνουμε ότι δεν υπάρχει αντίφαση σε σχέση με τον έλεγχο κανονικότητας που έγινε παραπάνω: και στις δύο περιπτώσεις δεν έχουμε αρκετά στοιχεία ώστε να απορρίψουμε ότι τα κατάλοιπα προέρχονται από την
κανονική ή την Laplace κατανομή (για να μπορέσουμε να καταλήξουμε στη μία από τις δύο κατανομές προφανώς χρειαζόμαστε μεγαλύτερο δείγμα). ζ) Από το Graphs/Q-Q Plot (test distribution: Uniform) λαμβάνουμε τα γραφήματα Q-Q για τα δύο σεμινάρια:,5 Uniform Q-Q Plot of Studentized Residual Uniform Q-Q Plot of Studentized Residual,,5, Expected Uniform Value -,5 -, -,5 -, -,5 - - - Expected Uniform Value - - - - Observed Value Observed Value Από τα παραπάνω γραφήματα διακρίνεται κάποια ένδειξη για την απόρριψη της υπόθεσης ότι τα σφάλματα προέρχονται από ομοιόμορφη κατανομή (τα σημεία δεν βρίσκονται «πολύ κοντά» σε μία ευθεία). Για να μπορέσουμε και πάλι να αποφανθούμε με δεδομένη πιθανότητα εσφαλμένης απόρριψης της Η (π.χ. α = 5%) θα πρέπει να προχωρήσουμε σε έναν έλεγχο με βάση το τεστ Kolmogorov- Smirnov και το τεστ χι-τετράγωνο. i) Xρησιμοποιώντας τη διαδικασία Analyze/non parametric tests/ One-Sample Kolmogorov-Smirnov test (test distribution Uniform) προκύπτει (για τα δύο σεμινάρια) ότι: One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test N Uniform Parameters a,b Most Extreme Differences Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (-tailed) Minimum Maximum Absolute Positive Negative a. Test distribution is Uniform. b. Calculated from data. SRE_ Studentized SRE_ Studentized Residual Residual -,5 -,,888,78,,7,,5 -,5 -,7,7,,7,9 Παρατηρούμε ότι τα p-value των ελέγχων στα δύο μοντέλα είναι μεν σχετικά μικρά, αλλά δεν βρίσκονται κάτω του ορίου του 5% (το ένα βρίσκεται κάτω του ορίου του %). Συνεπώς και πάλι δεν μπορούμε δεν μπορούμε να απορρίψουμε την υπόθεση Η : τα κατάλοιπα προέρχονται από ομοιόμορφη κατανομή σε ε.σ. 5%. Παρόλα αυτά, η πιθανότητα να εμφανιστούν τέτοια δείγματα υπό την Η (δηλ. το p-value) είναι μόλις,7% και 9,% αντίστοιχα. Η αδυναμία απόρριψης της Η ίσως να οφείλεται στο ότι το δείγμα είναι σχετικά μικρό (αν είχαμε στη διάθεσή μας λίγο μεγαλύτερο δείγμα μάλλον θα α- πορρίπταμε την Η ). ii) Υπενθυμίζεται ότι το χι-τετράγωνο τεστ βασίζεται στο γεγονός ότι αν ένα τυχαίο διάνυσμα (Ζ, Ζ, k..., Z k ) ακολουθεί πολυωνυμική κατανομή με παραμέτρους (n, p,p,...,p k ) με i = p i = (δηλαδή Ζ i είναι το πλήθος των επιτυχιών i-είδους σε μία ακολουθία n δοκιμών, η κάθε μία από τις οποίες είναι επιτυχία i-είδους με πιθανότητα p i, i=,,...,k) τότε η στατιστική συνάρτηση ( Z np ) X χ (ασυμπτωτικά) k i i = ~ k i= npi
(απαιτείται επίσης να ισχύει ότι npi 5). Στην περίπτωσή μας επιθυμούμε να ελέγξουμε την Η : τα studentized residuals e ˆ,..., eˆ n προέρχονται από την ομοιόμορφη κατανομή. Επειδή τα e ˆi είναι μεταξύ του (.5,.5) θα ελέγξουμε αν προέρχονται από την ομοιόμορφη στο (.5,.5) κατανομή (ή π.χ. θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε το (, )). Διαμερίζουμε το (.5,.5) στα διαστήματα Α = (.5,.5], Α = (.5, ], Α = (,.5], Α = (.5,.5) και θέτουμε Ζ i = πλήθος από τα e ˆ ˆ,..., en που ανήκουν στο Α i, i =,,,. Αν θεωρήσουμε ότι τα e ˆ ˆ,..., en είναι ανεξάρτητα, το τυχαίο διάνυσμα (Ζ, Ζ, Z, Ζ ) ακολουθεί (κάτω από την Η ) πολυωνυμική κατανομή με παραμέτρους (n =, p = p = p = p = /). Επομένως, αν ισχύει η Η θα ισχύει (προσεγγιστικά) ότι X = k i= ( Z i npi ) np i (εδώ έχουμε διαμερίσει το (.5,.5) έτσι ώστε να ισχύει ότι np i 5) και άρα απορρίπτουμε την Η όταν X ( = i= Z i (Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι τα δύο άκρα του διαστήματος της ομοιόμορφης κατανομής εκτιμώνται από τα δεδομένα και συνεπώς η στατιστική συνάρτηση Χ ακολουθεί κατανομή χ = χ ). Παρατηρούμε ότι τα e για τα δύο μοντέλα είναι ˆi = i= 5) 5 ( 5) (9 5) ( 5) ( 5) X = + + + = < χ;.5 = 7.8, p-value = F () =. χ 5 5 5 5 ( 5) (5 5) (9 5) ( 5) X = + + + =.8 < χ;.5 = 7.8, p-value = F (.8) =.87 χ 5 5 5 5 και επομένως δεν μπορούμε να απορρίψουμε την Η σε ε.σ. 5% σε κανένα από τα δύο μοντέλα. Αν θέλαμε να κάνουμε το συγκεκριμένο τεστ με τη βοήθεια του SPSS εργαζόμαστε ως εξής: Αρχικά μετασχηματίζουμε τα δεδομένα χρησιμοποιώντας τη διαδικασία Transform / Recode into Different Variables με sre_ e, sre_ e, με επιλογή old and new values: Range:.5 through.5,.5 through, through.5,.5 through.5. Στη συνέχεια εκτελούμε τη διαδικασία Analyze / Non-parametric tests / chi-square (Test variable list: e, e, Range: Get from Data, Expected values: All categories equal (διότι έχουμε ομοιόμορφη κατανομή και τα διαστήματα στα οποία έχουμε διαμερίσει το (.5,.5) έχουν ίσο πλάτος) από όπου προκύπτουν οι πίνακες: ( Z i > χ 5) 5 ; a ~ χ E E,,,, Total Observed N Expected N Residual 5, -, 9 5,, 5,, 5, -,,,,, Total Observed N Expected N Residual 5, -, 5 5,, 9 5,, 5, -, Test Statistics Chi-Square a df Asymp. Sig. E E,,8,,87 a. cells (,%) have expected frequencies less than 5. The minimum expected cell frequency is 5,.
(Αν χρησιμοποιούσαμε τη διαδικασία Analyze / Non-parametric tests / chi-square με Test variable list: τα αρχικά sre_, sre_ και Range:, τότε το SPSS προχωρά σε μία αυθαίρετη διαμέριση του (, ) η οποία δεν είναι πάντα η καλύτερη). η) Στην η γραμμή της στήλης sx= X εισάγουμε το. (οι υπόλοιπες θέσεις στην η γραμμή αφήνονται κενές). Στη συνέχεια εκτελούμε τη διαδικασία Analyze/Regression/Linear επιλέγοντας στο save τα Prediction Intervals με 95%. Στην η γραμμή λαμβάνονται τα αποτελέσματα: απόδοση ου σεμιναρίου: Δ.ε. 95% για την μέση πρόβλεψη: (97,7,,98) Δ.ε. 95% για την ατομική πρόβλεψη: (9,55, 5,999) απόδοση ου σεμιναρίου: Δ.ε. 95% για την μέση πρόβλεψη: (9,57, 99,7) Δ.ε. 95% για την ατομική πρόβλεψη: (9,87, 5,8) θ) Τα scatterplots μεταξύ του sx = X και του res_ (unstandardized residuals από ο σεμινάριο) και μεταξύ του sx = X και του res_ (unstandardized residuals από ο σεμινάριο) είναι 8 Unstandardized Residual - - - 5 Unstandardized Residual - - - -8 5 (θα μπορούσαμε να είχαμε χρησιμοποιήσει και τα studentized residuals). Δεν υπάρχει κάποια εμφανής τάση (π.χ. αυξητική ή μειωτική) στην απόσταση των καταλοίπων από τον οριζόντιο άξονα (τα σημεία φαίνεται να κατανέμονται τυχαία) και συνεπώς δεν έχουμε κάποια ένδειξη ότι η διασπορά των καταλοίπων εξαρτάται από τη διάρκεια. Τα scatterplots μεταξύ του i (σειρά παρακολούθησης) και του res_ και μεταξύ του i και του res_ είναι 8 Unstandardized Residual - - - Unstandardized Residual - - - -8 I I
Και σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει κάποια εμφανής τάση στην απόσταση των καταλοίπων από τον οριζόντιο άξονα και συνεπώς δεν έχουμε κάποια ένδειξη ότι η διασπορά των καταλοίπων εξαρτάται από τη σειρά παρακολούθησης. ι) Ως παρατηρήσεις που επηρεάζουν σημαντικά το μοντέλο (έκτροπες παρατηρήσεις ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή sx) θεωρούμε αυτές με μόχλευση (leverage) p ii > /n =.. Επίσης θεωρούμε ως «ασυνήθιστες» τις παρατηρήσεις με studentized residual e ˆ >. Οι μοχλεύσεις, καθώς και τα e των n = παρατηρήσεων δίνονται στον παρακάτω πίνακα (χρησιμοποιούμε Analyze / Regression / Linear / Dependent:Y, Independent:, Save Leverage Values, Studentized residuals): i x sx = X p ii i eˆi eˆi (Y,) (Υ,),7,97,8785,85,7,97,57,77,7,97,557,5759 5,,57,85,559 5 5,,57,9,97 5,,57,88,77 7 8,88,77,,7 8 8,88,77,79, 9 8,88,77,5, 8,88,77,559,,77,9,597,7,77,9,7,77,77,9,8,87,7,85,8, 5,7,85,9,78,7,85,77,597 7,7,85,85,85 8 5,77,,757,7 9 5,77,,8,579 5,77,,888,7 Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα, δεν υπάρχουν παρατηρήσεις που επηρεάζουν «σημαντικά» το μοντέλο διότι όλα τα p ii είναι μικρότερα του. (δηλαδή δεν υπάρχουν κάποιες τιμές του sx που να απέχει σημαντικά από τις υπόλοιπες). Παρατηρούμε απλά ότι οι τρεις τελευταίες παρατηρήσεις επηρεάζουν το μοντέλο περισσότερο από τις υπόλοιπες (αλλά δεν μπορούν να θεωρηθούν ως έκτροπες). Τέλος, ως «ασυνήθιστη» μπορεί να θεωρηθεί η παρατήρηση στο μοντέλο Y = β +β X +ε διότι e ˆ =, 888, και η παρατήρηση 9 στο μοντέλο Y = β + β X +ε διότι e ˆ 9 =, (και στις δύο όμως αυτές περιπτώσεις είναι e ˆ i <, οπότε οι συγκεκριμένες παρατηρήσεις δεν μπορούν να χαρακτηριστούν ως «έκτροπες» (outliers)). ια) Στα διαγράμματα του ερωτήματος (θ) δεν υπάρχει κάποιος εμφανής σχηματισμός των σημείων στο επίπεδο οπότε από τα διαγράμματα δεν φαίνεται να υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ των καταλοίπων. Για να πάρουμε μία ασφαλέστερη απόφαση θα προχωρήσουμε σε ένα τεστ ροών (runs test) των καταλοίπων. Εδώ, οι τιμές των studentized residuals που είναι μεγαλύτερες του έχουν θεωρηθεί ως + και οι τιμές που είναι μικρότερες του ως. ˆi
eˆi (Υ,) eˆi (Y,),8785,85 +,57 +,77 +,557,5759,85,559,9 +,97 +,88 +,77 +, +,7,79 +, +,5,,559 +, +,597,7 +,7,77,8 +,87 +,8 +,,9,78 +,77,597 +,85,85,757,7 +,8,579 +,888 +,7 Ροές: Ροές: Το πλήθος R των ροών από + και από στο πρώτο μοντέλο είναι ενώ στο δεύτερο. Γνωρίζουμε ότι κάτω από την μηδενική υπόθεση Η : «τα σφάλματα e i είναι ανεξάρτητα» τα κατάλοιπα μπορούν πρακτικά να θεωρηθούν ανεξάρτητα, οπότε μπορούμε (σχεδόν) ισοδύναμα να εξετάσουμε την υπόθεση H : «τα κατάλοιπα είναι ανεξάρτητα» (τα κατάλοιπα είναι γνωστά, αντίθετα από τα σφάλματα που είναι άγνωστα). Σύμφωνα με τη συναφή θεωρία, το πλήθος R των ροών (υπό την H ) ακολουθεί α- συμπτωτικά κανονική κατανομή με n n µ = +, n + n σ nn (nn n n) = ( n + n ) ( n + n ) (n :πλήθος από +, n : πλήθος από ) οπότε απορρίπτουμε σε ε.σ. α την Η όταν (θεωρούμε αμφίπλευρη εναλλακτική υπόθεση διότι όταν το R είναι «μικρό» υποδηλώνεται θετική συσχέτιση μεταξύ των σφαλμάτων, ενώ όταν το R είναι «μεγάλο» υποδηλώνεται αρνητική συσχέτιση μεταξύ των σφαλμάτων) R µ +.5 z = > σ (για καλύτερη προσέγγιση χρησιμοποιούμε και διόρθωση συνέχειας +.5). Ισοδύναμα, απορρίπτουμε σε ε.σ. α την Η όταν Z a / p value = P( Z > z Z ~ N(,)) = ( Φ( z )) < a. Στο ο μοντέλο ισχύει ότι n =9, n =. Συνεπώς µ =.9, σ.,.9 +.5.9 +.5 z = R =.8,.. p value = ( Φ( z )) = ( Φ(.8)) (.57) =.85 και άρα δεν μπορούμε να απορρίψουμε την Η π.χ. σε ε.σ. 5%. Αντίστοιχα, στο ο μοντέλο είναι n =, n =8 από όπου προκύπτει ότι z.9 και p value.
με συνέπεια να μην μπορούμε και πάλι να απορρίψουμε την Η σε ε.σ. 5%. Όλα τα παραπάνω δίνονται αυτόματα από το SPSS μέσω της διαδικασίας Analyze / nonparametric tests / Runs, test variables:studentized residuals[sre_], studentized residuals[sre_], Cut Point: Custom () από όπου προκύπτει ο πίνακας: Runs Test Test Value a Total Cases Number of Runs Z Asymp. Sig. (-tailed) a. User-specified. SRE_ Studentized Residual SRE_ Studentized Residual -,8,9,85, - Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να είχαμε χρησιμοποιήσει τη διάμεσο (median) ή το δειγματικό μέσο (mean) ως cut point (αντί του που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω).