6 Tikimybių modelių avyzdžiai Sakome, kad atsitiktiis dydis X yra asiskirstęs agal biomiį dėsį su arametrais ir < <, jei jis įgyja reikšmes,,,, su tikimybe k k k P X k C q, q ~ Berulio schema realizuojama gaa dažai Pavyzdžiui, jei gamybos rocesas stabilus, tai gamiių su defektais skaičius gali būti laikomas biomiiu atsitiktiiu dydžiu Paaudojus reklamą, rekių ardavimas adidėja arba eadidėja Išdygusių sėklų skaičius iš asėtų 3 Teigiamų rezultatų, gautų gydat 5 ligoius, skaičius Žymima tai X B(, ) MX Biomiis skirstiys ( ) k kp k k k { X k} kc q Labiausiai tikėtia yra ta atsitiktiio dydžio reikšmė, kurios tikimybė yra didžiausia Biomiio atsitiktiio dydžio X labiausiai tikėtia reikšmė k radama iš elygybių + k + k DX q ( ) ( ) av Biomiis dėsis: takio ir asiskirstymo fukcijos Pracūzų matematikas Puasoas astebėjo,, kad didiat Berulio badymų skaičių ir mažiat sėkmės tikimybę tar, kad sadauga λ būtų ei labai maža, ei labaii didelė, e ribos: Kai badymų skaičius yra didelis, o sėkm gali įgyti reikšmes k,,, K ir tų reikšmių tikimybės yra Puasoo skirstiys sakoma, kad skirstiys yra Puasoo Žymima tai Puasoo atsitiktiio dydžio vidurkis ir disersija atitikamai yra lygios: Ekoomikoje Puasoo skirstiys audojamas retiems įvykiams agriėti < < biomiės tikimybės artėja rie k k k k λ λ C ( ) e k! mės tikimybė maža, biomiė tikimybė ( k) k λ P k! X ~ P λ λ ( X k) e, < m < i ( ) MX λ, DX λ P yra arti ribos Jei atsitiktiis dydis
av Puasoo dėsis: takio ir asiskirstymo fukcijos Pavyzdžiui: ) bake yra daug sąskaitų, o stebimą valadą ateia tik maža dalis visų klietų, todėl klietų skaičių galima arašyti Puasoo skirstiiu; ) ožemiio elektros kabelio gedimų skaičius vieo kilometro itervale, tai at arašomas Puasoo skirstiiu; 3) brokuotų tam tikros rodukcijos gamiių skaičiaus skirstiys tai at Puasoo; 4) gamybiių traumų er mėesį skaičių, arašomų Puasoo skirstiiu dar vadiame katastrofų modeliu Pavyzdys Vidutiiškai irmadieiais į darbą eateia 3 darbuotojai Kokia tikimybė, kad šį irmadieį į darbą eateis e mažiau kai darbuotojai? k 3 3 Taikysime Puasoo skirstiį, kai MX 3 t y λ 3 P( X k) e, K k! 3 3 P( ) P ( ) P( ) e 3e, 8 Tegu vieą kartą daromo badymo sėkmės tikimybė < < Neriklausomus badymus kartojame tol, kol sulaukiame irmos sėkmės Atsitiktiis dydis X yra badymų skaičius iki irmos sėkmės Sakysime, kad X turi geometriį skirstiį Geometriio skirstiio tikimybės usakomos formule Žymima tai Geom( ) X ~ MX Skaitiės charakteristikos, P DX Geometriis skirstiys k ( X k) ( ), k,, K 3 av Geometriis dėsis: takio ir asiskirstymo fukcijos Pavyzdys Naftos komaijos atstovai žio, kad tiriamajame rajoe 8% gręžiių aftos eturi Kokia tikimybė rasti aftos gręžiat ektą kartą? Kiek vidutiiškai gręžimųų reiks išgręžti, kol bus rasta afta? Tegu X adarytų gręžiių skaičius iki aftos radimo Atsitiktiis dydis X turi geometriį skirstiį su arametru, 4 (jeigu 8% gręžimų aftos ėra, tai % yra) Todėl ieškomoji tikimybė P( X 5), (,8 ), 89, o vidurkis MX 5, Būdigas geometriio skirstiio avyzdys yra miučių, kol klietas laukia eilėje, skaičius
Tai vieas iš svarbiausių skirstiių Sakome, kad atsitiktiis dydis X asiskirstęs agal ormalųjį į skirstiį su arametrais m ir >, jei jo takio fukcija ( m) e visiems R, o skirstiio fukcija Normalusis skirstiys žymimas N( m, ) skirstiiu Tokiu atveju takio fukcija lygi ( letelės duotos Normalusis dėsis usako skirstiį tokio atsitiktiio dydžio, kuris gauamas sumuojat didelį į skaičių kitų eriklausomų atsitiktiių dydžių, tar kurių ėra domiuojačių Normalusis skirstiys gerai arašo žmoių ūgį, svorį, vidutię oro temeratūrą, vidutiį elą, itelekto koeficietą Normaliojo atsitiktiio dydžio vidurkį ir disersiją skaičiuojame agal formules ( m) DX Normalusis skirstiys ( ) ( ) π ( m) π e d ) Kai m, ormalusis skirstiys vadiamas stadartiiu ormaliuoju π e ( ) e, o ( ) MX e π ( m) e π π d m ( m) d, dt ukcijų ų ( ) ir ( ) reikšmių 4 av Normalusis (Gauso) dėsis: takio ir asiskirstymo fukcijos Normaliojo skirstiio takio fukcijos grafiko adėtis lokštumoje riklauso uo vidurkio dydžio, o forma uo disersijos Atsitiktiio dydžio reikšmių išsiskaidymą charakterizuoja disersija Askaičiuosime tikimybę, kad atsitiktiis d X a, b bm ( m) b b t P( a X b) ( ) π π d e d e dt a a am įvedame keitiį t t m t t + m dd dt e dt bm am t t e dt e b m a m dt ; π π lygi čia fukcija ( ) ( dydis [ ] t π π ) e dt, ( ) ( )
b m a m P( a X b ) ( b, m, ) ( a, m, ) Pasiaudodami gauta formule, askaičiuosime tikimybę m + δ m m δ m δ δ P{ X m < δ} P{ m δ < X < m + δ} arba δ P { X m < δ} Kai δ t gauame sigmų taisyklę t P { X m < t} ( t) Atskirais atvejais gauame vieos, dviejų, trijų sigmų taisykles: P X m <,95 { } ( ) { X m < 3} ( 3) 3 P,997 Tikimybės, kad ormalusis atsitiktiis dydis ukrys uo vidurkio e daugiau kai ; arba 3, atitikamai lygios,68;,95;,997 Tai rodo, kad ormalusis atsitiktiis dydis vidurkio alikoje yra labai kocetruotas Sakome, kad atsitiktiis dydis asiskirstęs agal eksoetiį dėsį, jei jo takis Pasiskirstymo fukcija ( ) E Eksoetiis asiskirstymas lačiai taikomas atikimumo teorijoje, masiio ataravimo teorijoje Eksoetiio atsitiktiio dydžio vidurkį ir disersiją skaičiuojame agal formules Eksoetiis skirstiys žymimas ( λ) Eksoetiis skirstiys ( ), λe λ,, > λ λ λe d e d DX ( ) MX, e λ λ λ ( λ) e e, <, λ λ e d, λ ( ) λ λ MX e d λ 5 av Eksoetiis dėsis: takio ir asiskirstymo fukcijos Pavyzdys Gatvių ašvietimo lemų taravimo laiko vidurkis lygus 5 dieų, o stadartiis uokryis 5 dieų Kam lygo tikimybė, kad lema švies: a) uo 4 iki 6 dieų;
6 5 4 5 P 5 5 b) trumiau egu 4 dieų; 4 5 5 P X < 4 P < X < 4 5 5,977,3 ( 4 < X < 6) ( ) ( ) ( ),977, 954 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 5 6 5 c) P ( X > 4 ) P( 6 < X < ) ( + ) ( ) ( ),3 5 5 Pavyzdys Kiek rocetų sudaro gatvių ašvietimo lemos, kurių taravimo laikas skiriasi uo vidurkio mažiau egu 75 dieos? δ 75 m 5, 5 75 ( X 5 < 75) (,5),933, 866 P 5 Tolygusis skirstiys Tarkime, X yra atsitiktiis dydis Atidėkime keliose abscisių ašies vietose to aties ilgio itervalus Tikimybė, kad X reikšmė ateks į tuos itervalus atitikamai lygi lotui virš tų itervalų () Matome, kad ormalusis skirstiys teikia irmeybę reikšmėms, kurios yra arčiau vidurkio Kartais reikia tokio skirstiio, kuris visas atsitiktiio dydžio reikšmes traktuotų vieodai a, b, jei tikimybės takis Atsitiktiio dydžio X skirstiys vadiamas tolygiuoju itervale [ ], a b ( ) b a, [ a, b] Jei, kai ir aksčiau, atidėtume vieodo ilgio itervalus, gautume, kad tikimybės atsitiktiio dydžio reikšmėms atekti į tuos itervalus yra lygios ir riklauso tik uo itervalo ilgio b a () m a h h b Eksoetiis skirstiys žymimas ( a b) Skaitiės charakteristikos yra: T, Tolygiojo atsitiktiio dydžio skirstiio fukcija ( b a) a + b MX DX ( ), a, b a, < a, a b, > b
6 av Tolygusis dėsis: takio ir asiskirstymo fukcijos