MATEMATINĖS STATISTIKOS PRADMENYS. STATISTINIŲ DUOMENŲ ANALIZĖ NAUDOJANT MS EXCEL

Transcript

1 EduardasVaria MATEMATINĖ TATITIKO PRADMENY. TATITINIŲ DUOMENŲ ANALIZĖ NAUDOJANT M ECEL METODINIAI NURODYMAI NEAKIVAIZDININKAM 007

2 T u r i y s Įvadas... 3 Geeraliė aibė ir itis Duoeų grupavias Ities saitiės charateristios Ities viduris Ities vidurio radias audojat M Ecel Ities dispersija Ities dispersijos saičiavias audojat M Ecel Pataisyto ities vidutiio vadratiio uorypio radias Ities asietrijos oeficietas Ities esceso oeficietas... 5 Nežioų pasisirstyo paraetrų statistiis įvertiias Tašiiai įverčiai Pasiliautiųjų itervalų ( itervaliių įverčių ) radias Noraliai pasisirsčiusio atsititiio dydžio teoriio vidurio a pasiliautiio itervalo radias, ai žioas σ Noraliai pasisirsčiusio atsititiio dydžio teoriio vidurio apasiliautiojo itervalo radias, ai σ ežioas Pasiliautiasis itervalas oraliai pasisirsčiusio atsititiio dydžio vidutiia vadratiia uorypiui σ Koreliacijos teorijos eleetai Koreliaciio ryšio reišias regresijos lygtii Tiesiė regresijos lygtis Epiriio oreliacijos oeficieto ir epiriės tiesiės regresijos lygties radias su M ECEL Vidutiės Y reišės progozavias audojat tiesiį tredą, ai žioa reišė Vidutiė vadratiė palaida tiesiės regresijos lygčiai y a + b... 49

3 Įvadas Šis etodiis darbas sirtas susipažiiui su M ECEL statistiių fucijų paaudojiu atlieat paprasčiausią statistię aalizę. tatistia (lot. status bulė ) reišia: ) ieybię asiių reišiių apsaitą; ) oslą, uris tiria ieybiius poyčius visuoeės ir ūio vystyesi ir apdoroja tų tyrių duoeis oslo ir pratios tislas. Jei reišiius, stebius įvairiose oslo srityse (fizioje, cheijoje, biologijoje, edicioje) ar visuoeės gyveie, vertisie aip ta tirus esperietus, tai pastebėsie ad jų rezultatus leia daugybė atsititiių fatorių, todėl esperieto rezultatas paprastai yra atsititiis dydis arba įvyis. Tyrėjo uždaviys už atsititiių svyravių paatyti priežastiio fatoriaus veiią ir surasti dėsiguus. Tiiybių teorijoje įvedaa eilė svarbių sąvoų atsititiių įvyių ir atsititiių dydžių apibūdiiui: tiiybės, pasisirstyo fucijos, teoriio vidurio, dispersijos, oreliacijos oeficieto, regresijos lygties ir t. Pratioje teoriius odelius orečios tiiybiės situacijos galie prisirti ti redaiesi esperietiiais duoeiis. Mateatiės statistios turiį sudaro statistiių esperietų plaavias, statistiių duoeų grupavias ir jų aalizė. Čia taioi tyrio etodai gali būti bedri aalizuojat įvairių oslo sričių ir visuoeiių reišiių dėsiguus. 3

4 Geeraliė aibė ir itis Dažiausisi tea spręsti toius uždaviius: pareaa tiriaoji aibė, urios objetai (eleetai) turi vieą ar eletą tyrėją doiačių požyių. Pavyzdžiui, sociologą doia adidatų į prezideto postą reitigai. Čia tiriaoji aibė visi potecialūs riėjai; tyrėją doiatis požyis uooė apie vieą ar itą adidatą. Eergetiai plauoja pajaas, sureaas iš daugiabučių aų gyvetojų už oualies paslaugas. Tiriaoji aibė daugiabučių gyvetojai, tiriaas požyis gyvetojų, laiu suoačių oualiius oesčius, saičius. Tiriaoji aibė - visi gaylos vieo tipo gaiiai; požyis gaiio atitiias stadartų reialavias, t.y., gaiio oybė. tatistiių tyrių agriėjaų objetų aibė vadiaa geeralie aibe (populiacija ). Piliausius tyrio duoeis gautue, jei galėtue ištirti visus geeraliės aibės eleetus. Pratioje dažiausisi tai padaryti eįaoa ( objetų labai daug; tyrias susijęs su didžiulėis lėšų ar laio sąaudois, su tiriaojo objeto suaiiiu ir t.). Todėl dažiausiai tiriaa ti aibės dalis, o apie visų aibės eleetų savybes spredžiaa iš šios dalies savybių. Geeraliės aibės tiriaų objetų dalį vadiae itii. Ities eleetų saičių vadiae ities tūriu. Ities eleetų tiriao požyio reišes vadiae duoeiis. Vieas iš svarbiausių reialavių itis turi būti reprezetatyvi, t.y., ji turi teisigai atspidėti tiriao požyio galių reišių proporcijas geeraliėje aibėje. Būtet reprezetatyvuas leia, ar ištyrus itį galie daryti patiias išvadas apie visą geeralię aibę. Ši sąlyga yra išpildyta, jei itis sudaroa atsititiiu būdu, t.y., jei ievieas geeraliės aibės eleetas su vieoda tiiybe gali pateti į itį. Reprezetatyvuas prilauso ir uo ities dydžio.. Mateatiės statistios etodais agriėjat ities eleetų tiriaojo požyio reišių seą, sudaroas epyriis (statistiis, ities) tiriaojo požyio pasisirstyas, apsaičiuojaos epyriio pasisirstyo saitiės charateristios. Dėl 4

5 ities atsititiuo šios charateristios yra atsititiiai dydžiai, tuo besisiriatys uo tirųjų geeraliės aibės pasisirstyo saitiių charateristių. Pagridiiai ateatiės statistios uždaviiai yra: ) statistiių duoeų grupavias; ) ežioų teoriio pasisirstyo paraetrų tašiių ir itervaliių įverčių radias; 3) hipotezių apie teoriį pasisirstyą ir jo paraetrus tiriias; 4) regresiė ir oreliaciė aalizė, leidžiati tirti prilausoybės tarp atsititiių dydžių pobūdį ir stipruą. 5

6 3 Duoeų grupavias Į vieos geeraliės aibės eleetų požyio stebėjių rezultatus galie žiūrėti aip į eprilausoų vieodai pasisirsčiusių atsititiių dydžių arba aip į vieo atsititiio dydžio eprilausoų reišių ir jas agriėti jų pasirodyo tvara, pagal jų diduą arba atsititie tvara. tebėjių rezultatai,, 3,..., i, i+,..., paprastai taip pat vadiai itii. Tarie, ad tiriat geeraliės aibės požyį, gauta itis,, 3,..., i, i+,...,. Kai urios stebėtos reišės gali būti vieodos, tarie pasiartoja artą,, - artų,, - artų, čia aičius,,..., vadiae reišių i dažiais, o satyius νi - satyiiais dažiais i (i,,, ) Reišes,, 3,..., išdėstoe didėjio tvara ir sudaroe letelę... i... Šią letelę vadiae variacie eilute. Galie sudaryti letelę, urios pirojoje eilutėje yra ities,, 3,..., reišės o atrojoje šių reišių satyiiai dažiai ν, ν,, ν :... νi i ν ν... ν 6

7 čia ν + ν + + ν. Gausie požyio epiriį sirstiį, arba statistię eilutę. Esat tolydies dydžias arba didelės itis, variaciėje eilutėje vietoj variatų,, 3,..., rašoi itervalai. Jei visos požyio stebėtos reišės patea į itervalą [ a; b ], čia a yra ažiausia ities reišė, o b didžiausia ities reišė, tai šį itervalą tašais a ao a a a- a b padaliae į lygių dalių. Dalijio itervalo ilgis h b a artais reišę a truputį suažia, o reišę b padidia). (ad žigsis būtų patogesis saičius, Tarie, i yra saičius ities reišių, prilausačių itervalui [ai- ; ai), i,,,. udaroe itervalię statistię eilutę. Itervalai Dažiai i atyiiai dažiai νi / h νi i / [ a0 ; a ) ν ν / h [ a ; a ) ν ν / h [ a- ; a ] ν ν / h / h Pastaba. Paprastai sudaroi 5 6, ii 0 itervalų. Didesį itervalų saičių iti etisliga, es labai padidėja tyrio sąaudos, o gauaos iforacijos patiiuas padidėja ežyiai. Epiriį sirstiį grafišai galie pavaizduoti daugiaapiu. Abscisų ašyje atidedae reišes,, 3,...,, o ordiačių ašyje atitiaas satyiių dažių reišes ν, ν, ν3,, ν. ujugę gautus ploštuos tašus atarpois, turėsie epiriio sirstiio satyiių dažių daugiaapį. 7

8 Norėdai grafišai pavaizduoti itervalię statistię eilutę, abscisų ašyje atidedae ievieo itervalo vidurio tašus, o ordiačių ašyje - dažius i arba satyiius dažius νi, i,,,. Gautus ploštuos tašus sujugiae laužtie liija. Dažiausiai itervaliės eilutės vaizduojaos histograois. Histograa sudaroa iš stačiaapių, urių pagridai itervalai [ ai- ; ai ), i,,,, o auštiės - i arba νi / h, i,,,. Piruoju atveju gauaa dažių histograa (visas jos ribojaas plotas lygus ), atruoju satyiių dažių histograa (visas jos ribojaas plotas lygus ). atyiių dažių histograa yra tolydaus atsititiio dydžio taio fucijos grafio statistiis aalogas. pavyzdys. Atsititiio dydžio ities reišės i, tų reišių dažiai i ir satyiiai dažiai νi i duoti letelėje: i i νi 0,5 0,9 0,35 0, 0,9 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, pav. Šį grafią galie gauti audodai M ECEL. Letelėje įvedae statistiės eilutės duoeis, t. y. ities reišes ir satyiius dažius. Tada letelės viršuje esačioje 8

9 sibolių eilutėje paspaudę siboliu pažyėtą lavišą, išviečiae lagą Chart Wizard, pasireae uorodas, urios pav. pažyėtos ir paspaudžiae lavišą Fiish. pav. pavyzdys. Atsititiio dydžio ities reišės i duotos letelėje:,3 5,0 3,7 4,0,70,7 4,5 3,5,80, 3, 3,6,4,0,5,8 3,7,7,4,7,9 4,4,7,0 0,9,3 3,8 3,7,4,7 3,8, 3,7 4,4 3,,5,5 0,0,9 0, 3,,7,9 3,6 0,4 4,6 4, 4,4 5,0 3,3 Kadagi ities tūris didelis (50 reišių), tai sudarysie itervalię statistię eilutę. Ities plotis yra 5,0 0,0 5. Visą ities plotį padalisie į 5 itervalus, urių ilgiai h. Itervalai Dažiai atyiiai i dažiai νi / h 9

10 νi i / [ 0; ) 5 0,0 0,0 [ ; ) 0 0,0 0,0 [ ; 3) 3. 0,6 0,6 [ 3; 4 ) 4 0,8 0,8 [ 4; 5] 8 0,6 0,6 uos 50,00,00 Žeiau patalpita šios itervaliės eilutės dažių histograa (3 pav.). Dažių histograa Dažiai i pav. Šią diagraą galie gauti grafiės fucijos Chart Wizard pagalba, į du ECEL letelės stulpelius įvedę itervalų dešiiųjų galų ir dažių (arba satyiių dažių) stulpelius ir juos pažyėję (užtasię), po to išviestae Chart Wizard lage pasirię diagraos tipą, urį atoe 5 paveislėlyje. Turėdai 4 paveislėlyje atoą diagraą, jos stulpelius galie suglauditi 0

11 atyvavę eries Rows. Toiu būdu gausie 3 paveislėlyje atoą histograą. i pav. 5 pav.

12 Itervaliės eilutės poligoą gausie laužtie liija sujugę tašus, urių abscisės yra itervalų vidurio tašai, o ordiatės tų itervalų reišių dažiai (6 pav.) ,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 6 pav. Aalogišai galie gauti satyiių dažių histograą ir poligoą ( 6 pav.)

13 4 Ities saitiės charateristios 4. Ities viduris Požyio epiriiu viduriu vadiae saičių arba i i () i i i. () Pavyzdys.Tarie, turie itį ; 3; 5; ; 4; ; 7; 6; 9. Epiriį vidurį apsaičiuojae pagal forulę (A): 9, i i i i Pavyzdys. Požyio variaciė eilutė toia: ,33. i i 3 4 Epiriį vidurį apsaičiuojae pagal forulę (): i i ; i i i 67 ( ) 5,

14 4. Ities vidurio radias audojat M Ecel Vidurio radio būdą pailiustruosie pavyzdžiu. Tarie, turie itį ; 3; 5; ; 4; ; 7; 6; 9. Šios ities reišes Ecel letelėje patalpiae į urio ors stulpelio (eilutės) lagelius, suforuodai saičių asyvą, pvz., A:A9, ir pažyie lagelį (ūsų pavyzdyje B0), uriae orie gauti iešoąjį rezultatą. Letelės viršuje esačioje sibolių eilutėje paspaudę siboliu lavišą, išviečiae lagą Paste Fuctio (7 pav.): pažyėtą 7 pav. Kairėje lago dalyje stulpelyje Fuctio category pažyie eilutę tatistical, dešiiajae Fuctio ae stulpelyje pažyie fuciją AVERAGE (viduris). Paspaudę OK, erae atoe lagą AVERAGE, uriae, į lagelį Nuber įrašius asyvo pavadiią A:A9 (ECEL lage pažyėjus (užtasius) ities reišių stulpelį ir žyelį uvedus į AVERAGE lago Nuber lagelį, jae atsirada asyvo pavadiias), išart gauae vidurio reišę 5, (žiūr.8 pav.). 4

15 Paspaudus OK, lagas išys, o vidurio reišė atsiras asčiau pažyėtae lagelyje B0. 8 pav. Tą patį rezultatą turėsie, jei lagelyje Nuber išvardisie visus ities eleetus, atsirdai juos vieą uo ito tašo ablelio želu. Šiuo atveju ities asyvą preliiariai įvesti į Ecel letelę ereiia Ities vidurį galie surasti eaudodai AVERAGE lago, o tiesiog lagelyje prie fucijos sibolio įvesdai oadą AVERAGE(A:A9) Pavyzdys. Požyio epiriis sirstiys duotas variacie eilute: i i 3 4 Rasie epiriį vidurį. Ecel letelėje į urio ors stulpelio (eilutės) lagelius patalpiae visas ities reišes, paartodai jas tie artų, ie urodyta variaciės eilutės dažių eilutėje: ; ; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 7; 8; 8; 8; 8, ir suforuojae saičių asyvą, pvz., A:A3. Pažyie 5

16 lagelį (ūsų pavyzdyje B0), uriae orie gauti iešoąjį rezultatą. Paspaudę OK, B0 lagelyje gausie vidurio reišę 5, pav. Pastaba. Kai variaciėje eilutėje i eišės didelės, auščiau aprašytas vidurio radio būdas epatogus. Patogiau būtų saičiavius atliti tiesiogiai Ecel letelėje: i i i*i ua: :3 5,53846 (Darbas su Ecel letelėis aptariaas visose su šia prograa supažidiačiose ygose.) 6

17 4.3 Ities dispersija Požyio epirie dispersija vadiae saičių i ( i ) (3) arba i ( i ) i (4) Forulėje (C), išsleidę ( i ) ir pasiaudoję vidurio apibrėžiu, legvai gauae patogesę pratiia saičiaviui forulę: Pavyzdys.Tarie, turie itį ; 3; 5; ; 4; ; 7; 6; 9. Apsaičiuosie ities dispersiją. Epiriį vidurį apsaičiuojae pagal forulę (): (5) 9, i i 48. i i ,33. i i 34, i i ; 38 5,33 9,5555 Įrašius duotosios ities reišių asyvą A:A9, išart gauae uorypių uo vidurio vadratų suą 86. Paspaudus OK, lagas išys, o iėta sua atsiras asčiau pažyėtae lagelyje. 7

18 4.4 Ities dispersijos saičiavias audojat M Ecel Kaip ir asčiau aptartais atvejais, ities asyvas užrašoas Ecel letelėje ir išviečiaas lagas Paste Fuctio, uriae pasireaa tatistical VARP (0 pav.): 0 pav. u atidarytu VARP lagu elgiaės taip pat, aip ir saičiuojat ities vidurį ir uorypį. Ities dispersiją galie surasti eaudodai VARP lago, o tiesiog lagelyje prie fucijos sibolio įvesdai oadą VARP(;3;5;;4;;7;6;9) Pastaba.Ities dispersiją padaugię iš, čia ities tūris, gauae pataisytą ities dispersiją Pavyzdys. Požyio epiriis sirstiys duotas variacie eilute: i i 3 4 8

19 Rasie epirię dispersiją, paaudodai Ecel letelę. i ( i ) ( i ) ( i ) i 5, , , , , , , , , ,53846, , , , , , ,53846, , , ,53846, , , uos: 3 34, , ,693 :3 5, Pataisyto ities vidutiio vadratiio uorypio radias Epiriės ities iš epiriės dispersijos vidutiiu vadratiiu uorypiu vadiae vadratię šaį ; pataisytu vadratiiu uorypiu - vadratię šaį iš pataisytos dispersijos. Norėdai rasti, ities asyvą užrašoe Ecel letelėje ir išviečiae lagą Paste Fuctio. tatistical ategorijoje pažyie fuciją TDEV ( pav.): 9

20 pav. Toliesė darbo eiga aalogiša auščiau aptarties atvejas 4.6 Ities asietrijos oeficietas Cetriiu epiriiu -osios eilės oetu vadiaas ( i ), čia i i i.yra ities viduris. 3 Ities asietrijos oeficietas g, 3 čia ( i ) yra ities stadartiis uorypis (šais iš pataisytos i dispersijos). Asietrijos oeficietas yra statistiių dažių sirstiio sietrijos atas arba histograos sietrijos atas. Histograa sietriša, ai g 0. Kai g < 0, ities viduris ažesis už ediaą. Kai g > 0, ities viduris yra didesis už ediaą. 0

21 Ities ediaa yra saičius, už urį 50% variaciės eilutės arių yra e didesės ir 50% e ažesės, ( Variaciė eilutė yra ities reišės išdėstytos eažėjio tvara ). Asietrijos oeficieto radią audojat M ECEL pailiustruosie pavyzdžiu. Tarie, turie itį ; 3; 5; ; 4; ; 7; 6; 9, 0, 5, 8, 4. Šios ities reišes Ecel letelėje patalpiae į urio ors stulpelio (eilutės) lagelius ir pažyie lagelį (ūsų pavyzdyje B0), uriae orie gauti iešoąjį rezultatą. Letelės viršuje esačioje sibolių eilutėje paspaudę siboliu pažyėtą lavišą, išviečiae lagą Paste Fuctio. tulpelyje Fuctio category pažyie eilutę tatistical, dešiiajae Fuctio ae stulpelyje pažyie fuciją KEW. Paspaudę OK, erae atoe lagą KEW, žyelį uvedę į AVERAGE lago Nuber lagelį ECEL lage pažyėję (užtasię) ities reišių stulpelį, išart gauae asietrijos oeficieto reišę 0,3548 (žiūr. pav.). Paspaudus OK, lagas išys, o asietrijos oeficieto reišė atsiras asčiau pažyėtae lagelyje B6. Ities asietrijos oeficietą galie surasti eaudodai KEW lago, o tiesiog lagelyje prie fucijos sibolio įvesdai oadą KEW (A:A4), prieš tai pažyėję lagelį, uriae orie gauti asietrijos oeficieto reišę. pav.

22 4.7 Ities esceso oeficietas 4 Ities esceso oeficietas g 3 yra statistiio sirstiio histograos 4 lėštuo ( arba sailuo ) atas. Jeigu g > 0, histograa saila, t.y. duoeų slaida apie vidurį ažesė ei oraliosios ( Gauso) reivės. Jeigu histograa lėšta, t.y. duoeų slaida apie vidurį didesė ei oraliosios reivės atveju. Kai epiriiai asietrijos ir esceso oeficietai artii uliui, galia laiyti, ad histograa paaši į oralijo sirstiio taio fucijos grafią. g < 0, Esceso oeficieto radią audojat M ECEL pailiustruosie tuo pačiu pavyzdžiu. Apsaičiuosie ities ; 3; 5; ; 4; ; 7; 6; 9, 0, 5, 8, 4 esceso oeficietą. Paste Fuctio lage pasireae tatistical KURT. Fucijos KURT lage žyelį uvedę į lago Nuber lagelį ir ECEL lage pažyėję (užtasię) ities reišių stulpelį, išart gauae esceso oeficieto reišę - 0,88359 (žiūr. 3 pav.). Paspaudus OK, lagas išys, o esceso oeficieto reišė atsiras asčiau pažyėtae lagelyje B6. Ities esceso oeficietą galie surasti eaudodai KURT lago, o tiesiog lagelyje prie fucijos sibolio įvesdai oadą KURT (A:A4), prieš tai pažyėję lagelį, uriae orie gauti esceso oeficieto reišę. 3 pav.

23 5 Nežioų pasisirstyo paraetrų statistiis įvertiias 5. Tašiiai įverčiai i+,...,. Tarie, tiriat geeraliės aibės požyį, sudaryta itis,, 3,..., i, Jeigu ai urios ities reišės artojasi, sudaroa variaciė eilutė... i... čia i i. Poligoas ir histograa yra atsititiio dydžio, jei šis yra tolydusis, teoriės taio fucijos grafio statistiiai aalogai. Pagal poligoo, histograos forą ar oių ors sudėtigesių saprotavių pagalba pareaas hipotetiis požyio sirstiys (tiiybiis pasisirstyas) Tiriat tolydžius atsititiius dydžius, ateatiiu odeliu dažai pareaas oralusis pasisirstyas. Šio pasisirstyo fucijų lase laiysie aibę fucijų F (, a, σ) ( ta) e dt, urios viea uo itos siriasi bet vieu paraetru ( a arba σ ), arba abie. Jeigu pasiritas itas, pavyzdžiui, Puasoo pasisirstyas, tai reiia įvertiti ti vieą paraetrą λ. Tarie, bedru atveju, turie pasisirstyo fuciją F(, θ ), čia θ ežioas paraetras. Nagriėsie šio paraetro statistiį įvertiią (tašiį įvertį) ˆ, uris yra ta tira ities reišių fucija ˆ (,,..., ). uprataa, ad paėę itą itį, gausie itą ˆ (,,..., ) reišę, todėl tašiis įvertis ˆ yra 3

24 atsititiis dydis. Vieos ities atveju turie vieą šio atsititiio dydžio realizaciją ˆ ir ją vadiae ežioo paraetro θ tašiiu įverčiu. Geras tašiis įvertis turi būti artias tirajai vertiao paraetro reišei, todėl ja eliai toi reialaviai: a) įvertis ˆ (,, 3,..., ) turi būti pagrįstas, t.y., jis turi overguoti pagal tiiybę į vertiaą teorię charateristią θ, ai stebėjių saičius eribotai didėja: li P{ ˆ (,, 3,..., ) - θ < ε } esat bet oia teigiaa ε ; itaip saat, didėjat ičiai, įvertis turi būti tislesis; b) įvertis ˆ (,, 3,..., ) turi būti epaslitas, t.y., jo teoriis viduris turi būti lygus vertiaai charateristiai θ eprilausoai uo stebėjių saičiaus: M[ˆ (,, 3,..., )] θ ; c) įvertis turi būti efetyvus, t.y., turėti ažiausią galią dispersiją. Pateisie eletą tašiių įverčių pavyzdžių arba Požyio epiriiu viduriu vadiae saičių i i i (6) i i. (7) Platesiae ateatiės statistios urse įrodoa, ad oraliojo sirstiio atveju epiriis ities viduris yra suderitasis, epaslitas ir efetyvus ežioo paraetro (teoriio vidurio) a įvertis. T. y. a. Požyio epirie dispersija vadiae saičių i ( i ) (8) arba i ( i ), (9) i 4

25 čia - atsititiio dydžio vadrato viduris, - šio dydžio vidurio vadratas Įrodoa, ad oraliojo sirstiio atveju epiriė dispersija yra paslitasis teoriės dispersijos įvertis, todel dažai epiriė dispersija paeičiaa epaslituoju dispersijos D() įverčiu - pataisytąja ities dispersija Taigi, geras paraetro tašiis įvertis yra. (Kai didelis, sirtuas tarp ir pratišai išysta.) Atlius badyų, įvyio A pasirodyų satyiis dažis W(A) suderitasis, epaslitas ir efetyvus bioiio sirstiio paraetro p įvertis: yra pˆ Čia yra atlitų badyų saičius, o saičius badyų, urius atlieat įvyis A pasirodė (įvyo). Espoetiio pasisirstyo atveju, dydis efetyvus paraetro λ įvertis: ˆ. Epyriis ities viduris yra taip pat geras tašiis įvertis yra suderitasis, epaslitas ir ˆ teoriia Puassoo sirstiio viduriui M() ir dispersijai D(). ežioa. 5. Pasiliautiųjų itervalų ( itervaliių įverčių ) radias Vietoje ežioo pasisirstyo paraetro θ audodai jo tašiį įvertį ˆ (,,..., ), ieada ežioe, oio dydžio palaidą daroe, todėl daugeliu atvejų patogesis yra itervaliis įvertis, apibrėžiatis itervalą, uriae su ta tira tiiybe yra paraetro θ reišė. Tarie, ad pagal ities reišes surastas ežioo paraetro θ tašiis įvertis ˆ ˆ (,,..., ). Įverčio ˆ patiiuu (arba pasiliovio lygeiu) vadisie elygybės θ - ˆ < ε galiojio tiiybę. Žyėsie 5

26 P ( θ - ˆ < ε ) α arba P (ˆ - ε < θ < ˆ + ε ) α. Itervalas (ˆ - ε,ˆ + ε ), su tiiybe α uždegiatis ežioą paraetrą θ, vadiaas pasiliautiiu itervalu. Kuo ažesis šio itervalo ilgis ε, tuo didesis tisluas. ε dydis prilauso uo ities tūrio ir uo patiiuo, t. y., dydžiai ε, ir α yra tarpusavy susiję - žiodai du iš jų, galie surasti trečią. Bedra pasiliautiojo itervalo sudaryo schea yra toia: a) iš geeraliės aibės, urios pasisirstyo fucija yra F(, θ ), sudaroa tūrio itis ir iš jos gauaas ežioo paraetro θ tašiis įvertis b) sudaroas atsititiis dydis Y (θ ), susietas su paraetru θ ir turitis žioą taio fuciją f (y, θ ); c) pareaas reiiaas patiiuas α ( paprastai 0,95 arba 0,99 ); d) pasiaudojat Y pasisirstyo taiu, suradai du saičiai c ir c, toie, ad galiotų lygybė ˆ ; P (c < Y (θ ) < c ) c c f ( y, ) dy α. aičiai c ir c paprastai pareai taip, ad būtų teisigos lygybės P (Y (θ ) < c ) ir P (Y (θ ) > c ), t.y., ad plotas, apribotas taio fucijos f (y, θ ) grafiu iš viršaus, y ašii iš apačios ir tiesėis y c, y c būtų lygus α, o plotai, esatys tiesės y c airėje ir tiesės y c dešiėje ievieas būtų lygus. 6

27 5.. Noraliai pasisirsčiusio atsititiio dydžio teoriio vidurio a pasiliautiio itervalo radias, ai žioas σ Tarie, esperietas aprašoas atsititiiu dydžiu, ir šio esperieto dėsiguų aalizei sudaroas oralusis odelis su pasisirstyo fucija F (, a, σ) ( ta) e dt. Laiysie, ad šiae odelyje σ žioas, o a ežioas. Šio paraetro ustatyui iš geeraliės aibės paita itis,,..., teoriio vidurio įvertis Į itį,,..., â i i. ir surastas tašiis ežioo galie žiūrėti aip į vieodai (oraliai) pasisirsčiusių eprilausoų atsititiių dydžių,,, su pasisirstyo fucija F (, a, σ). Reiatis šiois prielaidois yra įrodyta, ad atsititiis dydis u a. yra pasisirstęs pagal oralųjį dėsį su paraetrais 0 ir (t.y. N0 ( 0, )). pagal forulę: Tiiybė, ad šis dydis uryps uo savo teoriio vidurio dydžiu P( u M(u ) < u u ) P( u < u ) P(- u < a < e dt e t dt Φ ( u ) α. u t u 0 u u radaa Iš pabrautos lygybės, audodai Laplaso fucijos leteles, suradae ) sirstiio N(0;) ritię reišę u. 7

28 Kritiės reišės u surasti galie paaudoti ECEL statistię fuciją NORMINV. Atsidarę NORMINV lagą Probability eilutėje turie įvesti tiiybę - P ( u > u ). Mūsų uždaviyje - 0,05 0,975 4 pav. Kritię reišę galie surasti eaudodai NORMINV lago, o tiesiog lagelyje prie fucijos sibolio įvesdai oadą NORMINV(0,975;0;) uradę reialigą ritię reišę, pertvaroe sliaustuose esačią elygybę: P(-u < a < u ) P(- u < a < u ) P( - u < a < + u ) α. Gavoe pasiliautiį itervalą ežioa oraliai pasisirsčiusio atsititiio dydžio teoriia viduriui a : 8

29 - u < a < + u Pažyėie u dydis ažėja, t.y., didėja įverčio tisluas. Didiat patiiuą α Φ (. Nesuu pastebėti, ad didėjat ities tūriui, u ) didėja, es Φ ( u ) didėjati fucija, todėl ažėja įverčio tisluas. Pavyzdys. Noraliai pasisirsčiusio atsititiio dydžio epiriis viduris 5, o vidutiis vadratiis uorypis 3. u pasiliovio lygeiu 0.95 rasie teoriio vidurio (sirstiio paraetro a ) pasiliautiąjį itervalą ai 36. predias. α Φ ( u ) 0,95. Aučiau pateitoje letelėje arba ECEL statistiės fucijos pagalba NORMINV suradae: u.96, u ,96.0,5 0,98, todėl pasiliautiasi itervalas yra ( Arba P(4,0< a <5,98) ,98 ; + 0,98 ), čia - ities viduris. 5.. Noraliai pasisirsčiusio atsititiio dydžio teoriio vidurio apasiliautiojo itervalo radias, ai σ ežioas udaroas atsititiis dydis: T a, čia - ities viduris, ities tūris, pataisytas ities vidutiis vadratiis uorypis,, - ities dispersija. Platesiae ateatiės statistios urse parodoa, ad atsititiis dydis T yra pasisirstęs pagal tjudeto dėsį su ( ) laisvės laipsiu ir patogus tuo, ad 9

30 prilauso uo vieitelio paraetro ities tūrio, t.y., eprilauso ei uo vidurio a, ei uo vidutiio vadratiio uorypio σ. gauae: Iš lygybės a P t ) ; - P( - t ; a t ; ) arba P ( - t ; a + t ; ). itervalas, su patiiuu Iš šios lygybės turie, ad ( - t ; degiatis teoriį vidurį a. a + t ; ) yra Žiodai α ir, sirstiio ritiių reišių letelių. t ; reišes suradae iš tjudeto Pavyzdys. Iš oraliai pasisirsčiusio atsititiio dydžio ities surastas ities viduris 0. ir ities (epiriė) dispersija Rasie teoriio vidurio a pasiliautiąjį itervalą ai 0,95. 6 tūrio 0,6. sirstiio letelių, ai Tada predias. uradae - + 0,95 ( α 0,05 ) ir 5, radae t 0,8 0,,3. ; 6 6.0,6 0,8. Iš tjudeto 5 0, 0, ; t 0,8 0, , + 0, ; 6 t,3. ; 30

31 Gavoe, ad su patiiuu 0,95 itervalas (9,774; 0,66) degia atsititiio dydžio teoriį vidurį a. Pastaba. Pasiaudodai lygybe galie parašyti: t ; t ; t ;, čia epataisytas ities vidutiis vadratiis uorypis. Kritiės reišės fuciją t ; surasti galie paaudoti ECEL prograos statistię TINV. Atsidarę TINV lagą Probability eilutėje turie įvesti tiiybę - P ( u > u laipsių saičių ). Mūsų uždaviyje - 0,05 0,975. Deg_freedo lagelyje - laisvės 5 pav. 3

32 Kritię reišę t ; galie surasti eaudodai TINV lago, o tiesiog lagelyje prie fucijos sibolio įvesdai oadą TINV(0,975;5) 5..3 Pasiliautiasis itervalas oraliai pasisirsčiusio atsititiio dydžio vidutiia vadratiia uorypiui σ Atsititiis dydis yra pasisirstęs pagal ( ) dėsį su - laisvės laipsiu, todėl teisiga lygybė; P ; ( ) < ; ) -, urioje ; atitiaai. Pertvarę ir ; yra sirstiio ritiės reišės ir eilės sliaustuose esačias elygybes, gauae pasiliautiąjį itervalą oraliojo atsititiio dydžio dispersijai : P( ; ; ) - Ištrauę vadratię šaį iš visų sliaustuose esačias elygybes sudaračių reišiių, turėsie pasiliautiąjį itervalą oraliojo sirstiio paraetrui. P( ; < < ; ) - 3

33 Pavyzdys.Tarie, turie itį 7;9;4; 3; 5; ; 4; ; 7; 6; 9;0;;8 paitą iš oraliosios geeraliės aibės. u pasiliovio lygeiu 0,99 surasie pasiliautiąjį itervalą paraetrui. Pataisyta ities vidutiia vadratiia uorypiui rasti pasiaudoie, aip buvo paaišita auščiau, ECEL statistię fuciją TDEV: 6 pav sirstiio ritiės reišės 0.005;4 ir 0.005;4 paaudosie ECEL statistię fuciją CHIINV. 7 pav. 33

34 Krities reišes, pavyzdžiui 0.005;4, galie surasti eaudodai CHIINV lago, o tiesiog lagelyje prie fucijos sibolio CHIINV(0,005;3) įvesdai oadą 3,075068, 0.005;4 8 pav. 3,56504, 9, ;4 3 P( 3, < 9,893 < 3 3, ) - 0,0 3,56504 P(3, ,66078 < < 3, , ) - 0,0 P(,03038 < < 5,87 ) 0,99. 34

35 6 Koreliacijos teorijos eleetai Paprasčiausia ryšio tarp dydžių fora yra fuciė prilausoybė. Ji išreišia toį ryšį tarp dviejų itaų dydžių, ai ievieą vieo iš jų reišę atitia viea griežtai apibrėžta ito dydžio y reišė: y f ( ). Gatos ir visuoeės reišiiuose fuciiai ryšiai sutiai retai. Dažiau sutiae ryšius tarp atsititiių dydžių, ai ievieą vieo itaojo reišę atitia e viea, o elios ito dydžio reišės. Pavyzdžiai..Gaiio saviaia susijusi su darbo ašuu, bet ši atititis ėra griežta: saviaią sąlygoja ir eilė itų fatorių, todėl esat toia pat darbo ašuui, gaiių saviaia gali svyruoti, įgydaa sirtigas saities reišes..derlius prilauso uo trąšų ieio, tačiau, esat ta pačia išbertų trąšų ieiui ir oybei, derliai gali būti sirtigi. 3.Ryšys tarp ruošiosi egzaiui laio ir egzaio įvertiio. Jei tarp dviejų atsititiių dydžių ir Y egzistuoja tos ryšys, ad ievieą dydžio reišę atitia apibrėžtas dydžio Y sirstiys, dėsigai besieičiatis itat reišei, tai toį ryšį tarp ir Y vadiae statistiiu. Jei eičiatis viea atsititiia dydžiui eičiasi ito atsititiio dydžio v i d u r i s, tai toį s t a t i s t i į ryšį vadiae oreliaciiu. Tarie, atsititiio dydžio stebios reišės yra,,,, o atsititiio dydžio Y stebios reišės yra y, y,, y. Esat statistiia ryšiui tarp ir Y, ievieą dydžio reišę i atitia dydžio Y sirstiys Y y y... yj... y i i ij i (0) 35

36 ij j arba ievieą dydžio Y reišę yj atitia dydžio sirstiys i... i... j j ij j ( ) ij i Taigi, stebėjių rezultatus galie surašyti letelėje: y j Y i y i y y i y i i i i yj j j ij j y y i y j j j j i ij j j j j ij i i i N Šią letelę vadiae oreliacie letele. Ji yra statistiės prilausoybės tyriėjio pagridas. Letelės aalizė:.,,, - atsititiio dydžio reišės ; y, y,, y - atsititiio dydžio Y reišės. 36

37 . Eilutės ir stulpelio susiirtie esatis saičius ij parodo, ie artų stebėta reišių pora (i, yj ). ij vadiaas dažiu. 3. Pasutiėj eilutėj esatys saičiai,,, visuose stebėjiuose pasirodė reišės,,, atitiaai. i ij j i + i + + i. parodo, ie artų 4.Pasutiiae stulpelyje saičiai y, y,, y parodo, ie artų visuose stebėjiuose pasirodė reišės y, y,, y atitiaai. y j ij i j + j + + j. 5. Visų saičių y j sua lygi N; visų saičių i sua lygi N, t.y., i i j y j N visų stebėjių saičiui. 6. tatistiiai sirstiiai (0 ) ir ( ) vadiai sąlygiiais atsititiio dydžio Y (dydžio ) sirstiiais, atitiačiais reišę i ( Y yj ). 7. Letelės piroji ir pasutiė eilutės... i... j j j j i ij j j j sudaro požyio besąlygiį pasisirstyą; pirasis ir pasutiis stulpeliai Y y y... yj... y y y i i y i i y j i ij... y i i 37

38 sudaro požyio Y besąlygiį pasisirsty 6. Koreliaciio ryšio reišias regresijos lygtii reišę i : Tarie, turie atsititiio dydžio Y sąlygiį pasisirstyą, atitiatį Y y y... yj... y i i i ij i iboliu Y dydžio reišę i: i pažyėie sąlygiį atsititiio dydžio Y vidurį, atitiatį atsititiio Y i i y i y... i y j i i... i ij i y j uradę sąlygiius Y vidurius visos reišės, gausie letelę... i... Y Y Y Y i Y Kievieą reišę atitia pilai apibrėžta sąlygiio vidurio todėl Y yra reišių fucija, t.y., Aalogišai Y f ( ) ( ) Y reišė, y j j j... ij... ij i j j i ij y j i ir sąlygiių vidurių letelė: 38

39 Y y y... yj... y y y y y j y Iš jos: y g (y ) ( 3 ) Lygybė () vadiaa oreliacie lygtii arba Y regresijos lygtii atžvilgiu, o (3) - oreliacie lygtii arba regresijos lygtii Y atžvilgiu. Šių lygybių grafius vadiae regresijos liijois. Jos gali būti tiesės arba reivės. Jei grafiai tiesės, tai turie tiesię regresiją; jei grafiai reivės ( parabolė, hiperbolė, espoetė ir t.) reivię regresiją. Vieas iš oreliacijos teorijos uždaviių ustatyti regresiės prilausoybės tarp duotųjų dydžių forą, t.y., ustatyti regresijos lygties pavidalą ir tos lygties paraetrus. Atidėję ploštuoje tašus su oordiatėis ( i, Y i ) i,,,, gauae vaizdą, iš urio spredžiae apie ryšio tarp ir Y forą. Y Y a + b Dabar reiia rasti spėjaos lygties paraetrus. 39

40 6. Tiesiė regresijos lygtis Kai regresijos lygtys Y f ( ) ir y g (y ) yra tiesiės, t. y., išreišiaos pavidalu Y a + b ir y cy + d, tai oreliaciė prilausoybė tarp ir Y vadiaa tiesie. Šios lygtys vadiaos tiesiės regresijos lygtiis, o jų grafiai tiesiės regresijos tiesėis. udarydai lygtį Y regresijos tiesė būtų arčiausiai prie tašų ( i, a + b oeficietus a ir b pareae taip, ad + b atuosie jų uorypiais uo tiesės Oy ašies ryptii. Tegul Y ~ i - tiesės Y Y i ). Tašų atstuus uo tiesės a + b tašo su abscise i ordiatė, o Y ~ i Y - tašo a ( i, Y i ) ordiatė. Tada Y ~ i - Y i a i + b - Y i, i,,,. udaroe šių uorypių vadratų, padaugitų iš dažių, suą: (a, b) i ( a i i b Y i ). Reialaujae, ad uorypių vadratų sua būtų ažiausia, t. y., iešoe (a, b) iiuo: ( a ) 0, i i b Y i i a i ( a ) 0. i i b Y i b i (4) Atsliaudę reišiius, esačius po suų želais įvedae toius pažyėjius: i i i i, i i, i Y i Y, i iy Y, i i. 40

41 Dabar sistea (4) virsta toia: a b Y a b Y, (5) Tai dviejų tiesiių lygčių sistea iešoų oeficietų a ir b atžvilgiu. Iš (5) sisteos atrosios lygties turie: b Y ( Y a a ), iš čia a( ) Y Y ir Y a, tada a Y Y a Y b Y Y Į regresijos lygtį Y a + b įstatę b Y a, galie užrašyti: Y - Aalogišai gautue: Y a ( - ), y c (Y - Y ). Matoe, ad abi tiesės eia per tą patį tašą ( ir Y pasisirstyo cetras., Y ). Šis tašas yra atsititiių dydžių Dydžiai ir Y paprastai yra sirtigų diesijų ( pvz., ilgis, Y svoris), todėl, paeitus atavio vieetus, eisis ir tiesių rypties oeficietas. Kad taip eįvytų, uorypių atavio vieetu iaas vidutiis vadratiis uorypis. Lygtį Y - Y a ( - ) pertvaroe: Y Y y a y. Pažyėję a y Y Y r, gauae y r, arba Y Y r y ( - ). 4

42 Koeficietas r a y eprilauso uo atavio vieetų ir vadiaas oreliacijos oeficietu. Jei tiesiės oreliacijos oeficietas r Y Y y lygus uliui, tai tarp ir Y ėra tiesiio oreliaciio ryšio (ors etiesiis ryšys gali būti). Jeigu r, tai tarp ir Y yra fuciis ryšys. Kuo r artiesis vieetui, tuo stipresis ryšys tarp ir Y. Jeigu r teigiaas, tai didėjat Y taip pat didėja; jei eigiaas, tai didėjat Y ažėja ( ir atvirščiai ). Pavyzdys. Badyo etu stebėtos toios ir Y reišės: Nr Y Rasie Y regresijos lygtį atžvilgiu ( ir regresijos lygtį Y atžvilgiu.). udaroe letelę yj i 3 4 y

43 . Apsaičiuojae sąlygiius vidurius Y i ij y j j : i Y ; Y Y ,33; Y ,33; udaroe letelę: i 3 4 Y i 3 4,33 5,33 7 Atidėję tašus (i, Y i ) oordiačių sisteoje ato, ad jie išsidėstę bevei tiesėje 9 pav.), todėl turie tiesiės regresijos atvejį. Užpildoe dar tris leteles: pav. i i i i i i 43

44 i i 0,; i i ,8; 5,8 - (.) 0,96; 0,979796; y j y j y y j j y y j j Y y yj j ,5; Y y yj j 9 0,9; Y Y,9 - y (4,5),65; y,8453 i y j i y j ij i y j ij

45 Y y i j ij 0,;,,.4,5 r 0,953466; 0, ,8453 a 0,953466, ,49999; Epiriė tiesiės regresijos lygtis yra toia: Y - 4,5,5 (,) arba Y,5 +, Epiriio oreliacijos oeficieto ir epiriės tiesiės regresijos lygties radias su M ECEL Norėdai gauti epiriį oreliacijos oeficietą su ECEL prograa stebėtas dviačio atsititiio dydžio (,Y) reišių poras patalpiae Ecel letelėje į uriuos ors du stulpelius (eilutes) suforuodai saičių asyvą, pvz., A:A9. Kievieą reišių porą įvedae tie artų, os yra šios poros dažis ij.pažyie lagelį, uriae orie gauti iešoąjį rezultatą. Letelės viršuje esačioje sibolių eilutėje paspaudę siboliu pažyėtą lavišą, išviečiae lagą Paste Fuctio Kairėje lago dalyje stulpelyje Fuctio category pažyie eilutę tatistical, dešiiajae Fuctio ae stulpelyje pažyie fuciją CORREL. Paspaudę OK, erae atoe lagą CORREL, uriae, į lagelį Nuber įrašoe asyvą A4:A3, o į lagelį Nuber asyvą. B4:B3 išart atoe epiriio oreliacijos oeficieto reišę 0, (žiūr.0 pav.). Paspaudus OK, lagas išys, o vidurio reišė atsiras asčiau pažyėtae lagelyje B6. 45

46 0pav. Galia eviesti CORREL lago, o tiesiog sibolio eilutėje įvesti oadą CORREL(A4:A3;B4:B3) ir paspausti Eter. Epiriės tiesiės regresijos lygties oeficietas a ir b surasti taip pat užtea paaudoti oadas LINET(B4:B3; A4:A3;true;false) ir INTERCEPT(B4:B3; A4:A3). Kitas būdas yra išsiviesti LINET lagą, ad pažyėtae lagelyje gautue regresijos lygties oeficietą a. Pav. LINET lage atoe abu regresijos lygties oeficietus. Kai oeficieto a reišė turi daugiau saiteų, laisvojo ario b gali ir esiatyti. Koeficietui b pažyėtae lagelyje gauti audojae INTERCEPT lagą ( pav.) 46

47 pav. pav. 47

48 6.4 Vidutiės Y reišės progozavias audojat tiesiį tredą, ai žioa reišė Paaudodai epyrię regresijos lygtį galie progozuoti vidutię Y reišę, ai reišė žioa arba pasireaa. ECEL statistiės fucijos TREND pagalba galia atliti šią progozę esuradę prieš tai regresijos lygties. Past Fuctio lage tatistical ategorijoje pažyie fuciją TREND (3pav.). Į pirus du lagelius įvedae yi ir i reišių asyvus, į trečią lagelį New_ s įrašoe laisvai pasiritą reišę (ūsų pavyzdyje,5). Lagelyje Cost įrašius logiio itaojo reišę true, gauae vidutiės Y reišės progozę pagal tiesiį tredą y a+b, o parię reišę false pagal tiesiį tredą y a. Paspaudę OK, progozuojaą vidutię Y reišę 4,875 gausie iš asto paritae Ecel letelės lagelyje ( ūsų pavyzdyje lagelyje B5). 3 pav 48

49 6.5 Vidutiė vadratiė palaida tiesiės regresijos lygčiai y a + b uforavę yi ir i reišių asyvus, Paste Fuctio lage tatistical ategorijoje pažyie fuciją TEY (4pav.). Į lagelius įvedę yi ir i reišių asyvus, atoe vidutię vadratię palaidą s i ( y i i b), daroą progozuojat pagal tiesiį tredą y a + b. Paspaudę OK, vidutiės vadratiės palaidos reišę 0,43303 gausie iš asto paritae lagelyje ( ūsų pavyzdyje lagelyje B5). 4 pav. 49

50 Literatūra. A.Žeaitis. Trupas tiiybių teorijos ir ateatiės statistios ursas. Vilius: Techia F.Mišeiis. tatistia ir eooetrija. Vilius: Techia J.Raulyaitis,V.Podvezo,.Variieė, J.Dauoravičius. Mateatiė statistia. Vilius: Techia A.Apyis, E.taus. Mateatia. Vilius: TEV