Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Επιρροή Μόνιμου Φορτίου Βαρύτητας Δ03-2 Μέχρι τώρα στη διατύπωση της εξίσωσης κίνησης δεν έχει ληφθεί υπόψη το μόνιμο φορτίο βαρύτητας. Γιαναεξετάσουμετηνεπιρροήτου φορτίου βαρύτητας θεωρούμε το απλό σύστημα του σχήματος το οποίο μπορεί να κινείται (μόνο) κατακόρυφα. Υπό την επίδραση του ιδίου βάρους, το ελατήριο επιμηκύνεται κατά mg δ s = = σταθερό k Έστω u () η ολική κατακόρυφη μετατόπιση της μάζας (από την απαραμόρφωτη θέση του ελατηρίου) μετά την επιβολή ενός εξωτερικού δυναμικού φορτίου p(). Τότε η εξίσωση κίνησης του μονοβάθμιου συστήματος γράφεται mu&& + cu& + ku = p() + mg

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Επιρροή Μόνιμου Φορτίου Βαρύτητας (...) Δ03-3 όπου u = u = u+ δ s κατακόρυφη μετατόπιση μετρούμενη από τη θέση στατικής ισορροπίας του συστήματος Συνδυάζοντας τις εκφράσεις που δίνουν το u () και δ s και αναγνωρίζοντας ότι u& = u& και u&& = u&&, η εξίσωση κίνησης γράφεται ( δ ) () mu&& + cu& + k u + = p + mg και αντικαθιστώντας το δ s παίρνουμε mu&& + cu& + ku = p() s

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Επιρροή Μόνιμου Φορτίου Βαρύτητας (...) Δ03-4 Παρατηρούμε ότι το μόνιμο φορτίο βαρύτητας δεν υπεισέρχεται στην εξίσωση κίνησης του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι το φορτίο βαρύτητας μπορεί να αγνοηθεί κατά τη μόρφωση του μαθηματικού μοντέλου με την προϋπόθεση ότι ημετατόπισημετριέταιαπότηθέσηστατικήςισορροπίας. Παρόλα αυτά, υπάρχουν περιπτώσεις που τα φορτία βαρύτητας δεν μπορούν να αμεληθούν. Τέτοιες είναι οι περιπτώσεις όπου τα φορτία βαρύτητας δρουν ως (σταθεροποιητικές) δυνάμεις επαναφοράς ήως αποσταθεροποιητικές δυνάμεις.

Παράδειγμα Π3-1 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ03-5 Το απλό εκκρεμές αποτελεί κλασικό παράδειγμα όπου η δύναμη βαρύτητας δρα ως δύναμη επαναφοράς. Θεωρούμε το εκκρεμές του σχήματος που αποτελείται από μία συγκεντρωμένη μάζα m αναρτημένη από μία αβαρή χορδή μήκους l. Το ΔΕΣ της μάζας στη μετατοπισμένη θέση (όπως αυτή ορίζεται από τη γωνία θ μετρούμενη από την κατακόρυφη) συμπεριλαμβάνει το βάρος mg, την εφελκυστική δύναμη T της χορδής και την (φανταστική) αδρανειακή δύναμη f I με όπου a = αl α = I ( α ) f = ma = m l = m && θl εφαπτομενική επιτάχυνση γωνιακή επιτάχυνση Η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την ισορροπία ροπών γύρω από το κέντρο περιστροφής Ο Σ M = 0: f l+ ( mg)( lsin θ ) = 0 O I

Παράδειγμα Π3-1 (...) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ03-6 ή && g θ + sinθ = 0 l Αυτή είναι μία μη-γραμμική διαφορική εξίσωση που διέπει την δυναμική απόκριση (γωνία θ από την κατακόρυφη) της μάζας. Για μικρές στροφές sinθ θ και η εξίσωση κίνησης παίρνει τη γραμμική μορφή && g θ + θ = 0 l

Παράδειγμα Π3-2 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ03-7 Το αντεστραμμένο εκκρεμές αποτελεί κλασικό παράδειγμα όπου η δύναμη βαρύτητας δρα ως αποσταθεροποιητική δύναμη. Θεωρούμε το μονοβάθμιο σύστημα που αποτελείται από μία συγκεντρωμένη μάζα m ηοποίαστηρίζεται σε μία αβαρή στερεή ράβδο μήκους l. Το σύστημα εκτελεί μικρές ταλαντώσεις γύρω από τη θέση στατικής ισορροπίας. Το ΔΕΣ της μάζας στην μετατοπισμένη θέση (όπως αυτή ορίζεται από τη γωνία θ μετρούμενη από την κατακόρυφη) συμπεριλαμβάνει το βάρος mg, τη θλιπτική δύναμη S της χορδής, την ελαστική δύναμη του ελατηρίου f s και την (φανταστική) αδρανειακή δύναμη f I. Η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την ισορροπία ροπών γύρω από το κέντρο περιστροφής Ο Σ O I s M = 0: f l+ f lcosθ mglsinθ = 0 && θ + θcosθ sinθ = 0 2 2 ml kl mgl

Παράδειγμα Π3-2 ( ) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ03-8 Για μικρές στροφές sinθ θ, και η εξίσωση κίνησης γράφεται && mg mθ + k θ = 0 l H δύναμη βαρύτητας μειώνει την ισοδύναμη ακαμψία του συστήματος. Ειδικότερα, όταν το σύστημα γίνεται ασταθές (unsable) υπότοίδιοβάρος. m= kl g

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ03-9 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Σεισμική Φόρτιση Η σεισμική κίνηση του εδάφους αποτελεί μία από τις πιο σημαντικές μορφές δυναμικής διέγερσης των κατασκευών. Στο σχήμα φαίνεται το δυναμικό προσομοίωμα ενός μονοβάθμιου συστήματος, του οποίου το έδαφος στήριξης κινείται οριζόντια κατά u g (). Σε κάθε χρονική στιγμή, η συνολική μετατόπιση του συστήματος από την αρχική θέση ισορροπίας, u, αποτελείται από την εδαφική μετατόπιση u g, και τη σχετική μετατόπιση της κεφαλής του στύλου ως προς το έδαφος (βάση στύλου), u. m k u () g θέση ισορροπίας c u g u u k m c u = u + u g (1) (a) f I = mu&& (b) fd = cu& fs = ku (c)

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ03-10 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Σεισμική Φόρτιση Η δύναμη του ελατηρίου, f s, και η δύναμη απόσβεσης, f d, εξαρτώνται μόνο από τη σχετική παραμόρφωση u, ενώ η αδρανειακή δύναμη, f I, εξαρτάται από την ολική επιτάχυνση u του συστήματος: f = mu&&, f = ku, f = cu& I s d Από τη δυναμική ισορροπία του συστήματος προκύπτει: f + f + f = 0 mu&& + cu& + ku = 0 I d s Η πιο πάνω σχέση με τη βοήθεια της εξίσωσης (1) γράφεται: mu&& + cu& + ku = mu&& g (2) Στην πιο πάνω σχέση, η συνάρτηση mu&& g παίζει το ρόλο τού εξωτερικού δυναμικού φορτίου του συστήματος, γι αυτό και ονομάζεται ισοδύναμο φορτίο: p ()= mu&& eff g

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ03-11 Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Σεισμική Φόρτιση Με βάση την εξίσωση (2), η απόκριση ενός ταλαντωτή υπό σεισμική κίνηση τού εδάφους ταυτίζεται με την απόκριση του συστήματος θεωρώντας τη βάση του ακλόνητη, υπό τη δράση ισοδύναμου φορτίου p eff (). Η δυναμική απόκριση του συστήματος μπορεί να μελετηθεί αν είναι γνωστό το επιταχυνσιογράφημα του σεισμού, δηλαδή η καταγραφή u&& g.

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ03-12 Διατύπωση Δυναμικού Προβλήματος Με δεδομένη τη μάζα m, την ακαμψία k, το συντελεστή απόσβεσης c, καιτηδυναμικήδιέγερση(η οποίαμπορείνα είναι μία εξωτερική δύναμη p() ήηεδαφικήεπιτάχυνση u&& () ), g ένα βασικό πρόβλημα της δυναμικής ανάλυσης των κατασκευών είναι ο προσδιορισμός της απόκρισης ενός μονοβάθμιου συστήματος. Γενικά, απόκριση ενός μονοβάθμιου συστήματος καλούμε είτε τη μετατόπιση, είτε την ταχύτητα, είτε την επιτάχυνση της μάζας. Το πιο σημαντικό μέγεθος είναι η σχετική μετατόπιση u(), αφού μπορεί να συνδεθεί άμεσα με τις εσωτερικές δυνάμεις της κατασκευής. Όταν προσδιοριστεί η χρονοϊστορία της σχετικής μετατόπισης u() (με επίλυση της εξίσωσης κίνησης), μπορούν να προσδιοριστούν οι δυνάμεις στα μέλη της κατασκευής (καμπτικές ροπές, τέμνουσες και αξονικές δυνάμεις) από στατική ανάλυση σε κάθε χρονική στιγμή. Η στατική ανάλυση μίας μονώροφης κατασκευής μπορεί να γίνει με δύο τρόπους:

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ03-13 Διατύπωση Δυναμικού Προβλήματος (...) Σε κάθε χρονική στιγμή, γνωρίζοντας την πλευρική μετατόπιση u, μπορούμε να υπολογίσουμε τις στροφές των κόμβων. Γνωρίζοντας τις μετατοπίσεις και στροφές σε κάθε άκρο των μελών μπορούμε να υπολογίσουμε τις δυνάμεις των μελών της κατασκευής (καμπτικές ροπές και τέμνουσες δυνάμεις). Σε κάθε χρονική στιγμή, θεωρούμε μία ισοδύναμη στατική δύναμη f s, η οποία είναι εξωτερική δύναμη και προκαλεί μετατόπιση u() ίση μ αυτήν που υπολογίσαμε από τη δυναμική ανάλυση. Δηλαδή, f () = ku() s Οι δυνάμεις των μελών της κατασκευής μπορούν να προσδιοριστούν, για κάθε χρονική στιγμή, από στατική ανάλυση της κατασκευής υποβαλλόμενης στη δύναμη f s. Συνήθως σε πρακτικά προβλήματα είναι χρήσιμες οι ολικές δυνάμεις στην κατασκευή, οι οποίες οφείλονται στα στατικά φορτία (μόνιμα και κινητά φορτία της κατασκευής) και στα δυναμικά φορτία.

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ03-14 Μέθοδοι Επίλυσης της Εξίσωσης Κίνησης Η εξίσωση κίνησης ενός γραμμικού μονοβάθμιου συστήματος που υπόκειται σε εξωτερική δύναμη p(), όπως δείξαμε προηγουμένως, γράφεται: Η εξίσωση κίνησης είναι διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης, και για την επίλυση της χρειαζόμαστε τις αρχικές συνθήκες στο χρόνο =0, u() 0 και u& () 0. Συνήθως η κατασκευή βρίσκεται σε ηρεμία πριν την επιβολή του δυναμικού φορτίου και έτσι οι αρχικέςσυνθήκεςείναιίσεςμεμηδέν. Η λύση της εξίσωσης μπορεί να προκύψει από: κλασική επίλυση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης το ολοκλήρωμα Duhamel mu&& + cu& + ku = p() μετασχηματισμούς Laplace ή Fourier αριθμητική ολοκλήρωση

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ03-15 Μέθοδοι Επίλυσης της Εξίσωσης Κίνησης (...) Κλασική επίλυση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης Η λύση μίας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης δευτέρας τάξης προκύπτει από το άθροισμα της ομογενούς λύσης u h () και της μερικής λύσης u p (): u () = u() + u() Ολοκλήρωμα Duhamel Θεωρώντας τη δυναμική διέγερση p() ως μία σειρά από διαδοχικά πλήγματα απειροστής διάρκειας, ηαπόκρισητου συστήματος στο χρόνο, προκύπτει από το άθροισμα των αποκρίσεων όλων των πληγμάτων μέχρι εκείνη τη χρονική στιγμή. Για ένα μονοβάθμιο σύστημα χωρίς απόσβεση με μηδενικές αρχικές συνθήκες, το ολοκλήρωμα Duhamel γράφεται: h 1 u () = p()sin τ ω ( ) 0 n τ dτ mω n p όπου ω n = k / m είναι η ιδιοσυχνότητα του συστήματος.

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ03-16 Μέθοδοι Επίλυσης της Εξίσωσης Κίνησης (...) Μετασχηματισμοί Fourier & Laplace (Frequency-domain mehod) Οι μετασχηματισμοί Fourier και Laplace είναι χρήσιμα εργαλεία για επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. ΟμετασχηματισμόςFourier οδηγεί σε λύση της εξίσωσης στο πεδίο της συχνότητας. Αρχικά μετασχηματίζουμε τη διαφορική εξίσωση από τη μεταβλητή στη μεταβλητή iω. Μετά επιλύεται η αλγεβρικήεξίσωσηωςπρος ˆ( uiω) καιστησυνέχειαεφαρμόζουμε αντίστροφο μετασχηματισμό για να πάρουμε τη u(). Ηλύση έχει τη μορφή: όπου pˆ( iω) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της φόρτισης p() και δίνεται από iω pi ˆ( ω) F[ p ( )] e pd ( ) και Hiω ( ) είναι μιγαδική συνάρτηση στο πεδίο συχνότητας που περιγράφει την απόκριση σε περιοδική διέγερση. 1 iω u ( ) = Hi ( ω) pi ˆ( ω) e dω 2π = =

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ03-17 Μέθοδοι Επίλυσης της Εξίσωσης Κίνησης (...) Aριθμητική ολοκλήρωση Οι προηγούμενες τρεις μέθοδοι επίλυσης της εξίσωσης κίνησης μπορούν να εφαρμοστούν μόνο σε γραμμικά συστήματα. Στην περίπτωση μη-γραμμικών συστημάτων (έντονη σεισμική διέγερση), η μόνη μέθοδος υπολογισμού της δυναμικής απόκρισης του συστήματος είναι η αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης. Η μέθοδος της αριθμητικής ολοκλήρωσης της εξίσωσης κίνησης είναι επίσης χρήσιμη στον υπολογισμό της δυναμικής απόκρισης γραμμικών συστημάτων όταν η εξωτερική διέγερση είναι σύνθετη και δεν μπορεί να οριστεί αναλυτικά.