ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2011-2012 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χειμώνας-Άνοιξη Μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Βασίλης Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου 2 ο Πακέτο Ασκήσεων Ημερομηνία παράδοσης: 8 Μαΐου 2012 Οι σωστές απαντήσεις σημειώνονται με παχιά, πλάγια μαύρα γράμματα Μέρος Α. Σημειώστε μ ένα ένα κύκλο γύρω από το γράμμα που δίνει τη σωστή απάντηση. 1. Στην περίπτωση των δημόσιων αγαθών, η αγοραία καμπύλη ζήτησης α. Είναι η οριζόντια άθροιση των ιδιωτικών καμπυλών ζήτησης. β. Είναι η κάθετη άθροιση των ιδιωτικών καμπυλών ζήτησης. γ. Είναι ακριβώς η ίδια με την καμπύλη ζήτησης των ιδιωτικών αγαθών. δ. Όλα τα πιο πάνω είναι σωστά. 2. Η συνθήκη για άριστη παροχή δημόσιων αγαθών οδηγεί στο σημείο όπου α. Οι οριακές χρησιμότητες όλων των ατόμων είναι ίσες. β. Οι οριακές χρησιμότητες όλων των ατόμων είναι ίσες με το οριακό κόστος. γ. Το οριακό κόστος εξισώνεται με την ανώτατη οριακή χρησιμότητα. δ. Το άθροισμα των οριακών ωφελειών όλων των ατόμων ισούται με το οριακό κόστος. 3. Όταν υπάρχουν εξωτερικότητες, το κοινωνικά άριστο επίπεδο παραγωγής α. επιτυγχάνεται αυτόματα εφόσον οι αγορές είναι ανταγωνιστικές. β. δεν είναι εφικτό. γ. μπορεί να επιτευχθεί με ένα φόρο σταθερού ποσού. δ. μπορεί να επιτευχθεί με ένα φόρο Pigou. 4. Ο φόρος Pigou a. είναι ίσος με τη συνολική οριακή ζημιά στο άριστο σημείο. β. διαφέρει για κάθε επιχείρηση του κλάδου που προκαλεί την εξωτερικότητα. γ. είναι ένας φόρος που επιβάλλεται ανά μονάδα ρύπων. δ. δεν διορθώνει το πρόβλημα που προκαλεί η εξωτερικότητα. 5. Επειδή ο αέρας δεν κοστίζει α. οι επιχειρήσεις δεν μπορούν να τον αγοράσουν για να τον χρησιμοποιήσουν ως απόβλητο. β. ο φόρος Pigou δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. γ. οι επιχειρήσεις έχουν κίνητρο για να τον υποχρησιμοποιούν.. δ. οι επιχειρήσεις έχουν κίνητρο για να τον υπερχρησιμοποιούν 6. Ποιο από τα πιο κάτω είναι σωστό; α. Το άριστο επίπεδο μείωσης της ρύπανσης εξισώνει το οριακό κόστος με το οριακό όφελος μείωσης της ρύπανσης. β. Το άριστο επίπεδο ρύπανσης είναι μηδέν.
2 γ. Η άριστη πολιτική είναι να μειώσει τη ρύπανση στο ελάχιστο δυνατό. δ. Η άριστη πολιτική πρέπει να μειώνει το επίπεδο ρύπανσης στο σημείο που το μέσο κόστος παραγωγής ισούται με το μέσο όφελος. 7. Σύμφωνα με τον Coase, αν η κυβέρνηση ακολουθήσει την πρόταση του α. Η εξωτερικότητα θα εξαφανιστεί. β. Η ελεύθερη αγορά θα συνεχίζει να λειτουργεί αρκετά αποτελεσματικά γ. Η κάθε επιχείρηση θα χρεώνει τιμή ίση με το κόστος παραγωγής.. δ. Οι ιδιώτες θα διαπραγματευτούν το αποτελεσματικό επίπεδο της εξωτερικότητας. 8. Σύμφωνα με τον Coase, για να επιτευχθεί αποτελεσματικότητα, δικαιώματα ιδιοκτησίας α. Πρέπει να δοθούν είτε στον καταναλωτή είτε στον παραγωγό. β. Πρέπει να δοθούν στον παραγωγό. γ. Πρέπει να δοθούν στον καταναλωτή. δ. Πρέπει να δοθούν και στον παραγωγό και στον καταναλωτή. Μέρος Β. Σχολιάστε συνοπτικά τις πιο κάτω προτάσεις: 1. Ποια από τα παρακάτω θεωρείτε αμιγή δημόσια αγαθά; Ποια είναι ιδιωτικά αγαθά; Γιατί; α. Περιοχές με παρθένα φύση β. Δορυφορική τηλεόραση γ. Φοίτηση σε ιατρική σχολή δ. Δημόσια τηλεοπτικά προγράμματα ε. Μία σελίδα του Διαδικτύου που παρέχει πληροφορίες για τα δρομολόγια των αεροπορικών εταιρειών. Απάντηση α. Οι περιοχές με παρθένα φύση είναι ένα μη αμιγές δημόσιο αγαθό. Από κάποιο σημείο και πέρα η κατανάλωση είναι ανταγωνιστική, αλλά δεν υπάρχει δυνατότητα αποκλεισμού. β. Η δορυφορική τηλεόραση είναι μη ανταγωνιστική στη χρήση, αν και υπάρχει δυνατότητα αποκλεισμού. γ. Η φοίτηση σε ιατρική σχολή είναι ιδιωτικό αγαθό. δ. Το σήμα της δημόσιας τηλεόρασης είναι μη ανταγωνιστικό στην κατανάλωση και δεν υπάρχει αποκλεισμός. ε. Μια σελίδα του Διαδικτύου είναι μη ανταγωνιστική στη χρήση, αν και υπάρχει δυνατότητα αποκλεισμού. 2. Πείτε αν κάθε μια από τις πιο κάτω προτάσεις είναι σωστή, λάθος ή αβέβαιη και δικαιολογείστε την απάντηση σας α. Η αποτελεσματική παροχή ενός δημόσιου αγαθού είναι στο επίπεδο εκείνο όπου κάθε μέλος της κοινωνίας θέτει την ίδια αξία στην τελευταία μονάδα του αγαθού. β. Αν ένα αγαθό είναι μη ανταγωνιστικό και μη αποκλείσμο, τότε αυτό δεν θα παραχθεί ποτέ από τον ιδιωτικό τομέα. γ. Ένας δρόμος είναι μη ανταγωνιστικός επειδή η χρήση του από ένα άτομο δεν μειώνει τη χρήση κάποιου άλλου ατόμου. δ. Οι μεγαλύτερες κοινότητες τείνουν να καταναλώνουν μεγαλύτερες ποσότητες από ένα μη ανταγωνιστικό αγαθό σε σχέση με μικρότερες κοινότητες. Απάντηση
3 α. Λάθος. Η αποτελεσματική παροχή ενός δημόσιου αγαθού είναι στο επίπεδο εκείνο όπου η συνολική προθυμία για πληρωμή για μια επιπλέον μονάδα αγαθού ισούται με το οριακό κόστος παραγωγής της επιπλέον αυτής μονάδας. β. Λάθος. Λόγω του προβλήματος του δωρεάν χρήστη, είναι απίθανο μια ιδιωτική επιχείρηση να προσφέρει, με κέρδος, ένα αγαθό που δεν είναι αποκλείσιμο. Ωστόσο πρόσφατες έρευνες έχουν δείξει ότι το θέμα του δωρεάν χρήστη είναι κυρίως εμπειρικό και δεν πρέπει να το θεωρούμε κάτι αναπόφευκτο. Δημόσια αγαθά μπορούν να προσφερθούν από ιδιώτες εθελοντές. γ. Λάθος. Από ένα σημείο και πέρα, όταν αρχίσει να παρατηρείται συνωστισμός, η χρήση του δρόμου γίνεται ανταγωνιστική. δ. Λάθος. Στο βαθμό που η παροχή δημόσιων αγαθών συνεπάγεται διοικητικά κόστη, τότε όσο μεγαλύτερη είναι η κοινότητα τόσο μεγαλύτερο είναι το πλεονέκτημα από τον επιμερισμό αυτών των εξόδων σε μεγαλύτερη ομάδα χρηστών. Μέρος Γ: Απαντήστε όλα τα πιο κάτω προβλήματα. Πρόβλημα 1. Υποθέστε ότι η ζήτηση για βενζίνη δίνεται από τη σχέση Q = 50-2P, όπου η ποσότητα μετριέται σε βαρέλια. Η προσφορά δίνεται από τη σχέση MC = 10. Η διαδικασία διύλισης όμως του αργού πετρελαίου προκαλεί ατμοσφαιρική ρύπανση, που μπορεί να μετρηθεί από τη οριακή εξωτερική βλάβη 5 ανά βαρέλι. α. Ποια η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας χωρίς καμιά κρατική παρέμβαση; Λύνοντας ως προς P την εξίσωση ζήτησης βρίσκουμε P = 25-0.5Q. Την εξισώνουμε με την καμπύλη προσφοράς και έχουμε 10 = 25 0,5Q, που συνεπάγεται ότι Q = 30. Με αντικατάσταση στη συνάρτηση ζήτησης βρίσκουμε P = 10. β. Ποιο το κοινωνικά επιθυμητό επίπεδο του αγαθού; Ποιο το υπερβάλλον βάρος που συνδέεται με την ρύπανση; Υποθέστε ότι φορολογούμε τον παραγωγό με 5 ανά βαρέλι, όσο η οριακή βλάβη. Τότε έχουμε 15 = 25 0,5Q, που συνεπάγεται ότι Q = 20 και P = 15. Άρα, 20 είναι το κοινωνικά επιθυμητό επίπεδο παραγωγής, εκεί δηλαδή που το οριακό κοινωνικό κόστος είναι ίσο με το οριακό κοινωνικό όφελος. Το υπερβάλλον βάρος είναι DWL=1/2(MD)(ΔQ)=1/2(5)(30-20) = 25. γ. Ποιο επίπεδο φόρου οδηγεί στο κοινωνικά επιθυμητό επίπεδο παραγωγής; Ένας φόρος ίσος με την οριακή βλάβη δηλαδή 5 ανά βαρέλι. Πρόβλημα 2. Σε μια κοινότητα ζουν τρία άτομα τα Α, Β και Γ. Οι καμπύλες ζήτησης των ατόμων για αστυνόμευση είναι αυτές που απεικονίζονται στο πιο κάτω διάγραμμα. Το κόστος μιας ώρας επιπλέον αστυνόμευσης είναι 3, Ρ είναι η τιμή και Q η ποσότητα των ωρών αστυνόμευσης. α. Ποιος είναι ο αποτελεσματικός αριθμός ωρών αστυνόμευσης; Δείξτε το στο διάγραμμα β. Ποια η κοινωνική ευημερία (πλεόνασμα καταναλωτή) στο αποτελεσματικό επίπεδο; γ. Ποια η απώλεια ευημερίας αν δεν υπάρχει αστυνόμευση συγκριτικά με το αποτελεσματικό επίπεδο ; δ. Ποια η απώλεια ευημερίας αν έχουμε 40 ώρες αστυνόμευσης, αντί για τον αποτελεσματικό αριθμό;
4 6 5 4 3 2 1 0 D B D Γ D A 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Q Πρόβλημα 2. Απάντηση α) P 6 5 4 3 P* MC 2 D B D Γ 1 D συλλογική D A 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Q Q* Q d) Η συλλογική ζήτηση βρίσκεται με κάθετη άθροιση των καμπυλών ζήτησης. Στο σημείο τομής με την καμπύλη προσφοράς (MC) έχουμε Q = 20. β) Πλεόνασμα καταναλωτή είναι η περιοχή κάτω από τη συλλογική καμπύλη ζήτησης και πάνω από την «τιμή» = ΜC. Κοινωνική ευημερία = CS = 30. γ) Στο Q = 0 η απώλεια κοινωνικής ευημερίας είναι αυτή που θα είχαμε στο αποτελεσματικό επίπεδο = 30. δ) Q = 40 η απώλεια πλεονάσματος καταναλωτή είναι η περιοχή πάνω από τη συλλογική καμπύλη ζήτησης και κάτω από την τιμή (MC) = 20. (Μόνο δύο άτομα έχουν θετικά οριακά οφέλη από αστυνόμευση πάνω από 20 ώρες.)
5 Πρόβλημα 3. Σε ένα χωριό ζει ο Γιώργος (Γ) και η Κατερίνα (Κ). Και στους δύο αρέσει η πίτσα (Π) και η μουσική (Μ). Οι συναυλίες μουσικής χρηματοδοτούνται από εθελοντικές εισφορές του Γιώργου και της Κατερίνας. Ο συνολικός αριθμός των συναυλιών μουσικής είναι Μ = Μ Γ + Μ Κ. Υποθέστε ότι η τιμή της πίτσας και των συναυλιών είναι 100. Η συνάρτηση χρησιμότητας του Γιώργου είναι U Γ = 2 log(π Γ ) + 3 log(μ). Το εισόδημά του είναι 7.000. (α) Ποια είναι η ζήτηση του Γιώργου για συναυλίες ως συνάρτηση της ποσότητας των συναυλιών για τις οποίες πληρώνει η Κατερίνα; (β) Η Κατερίνα λέει στο Γιώργο ότι η δική της συνάρτηση χρησιμότητας είναι U Κ = 10 log(π Κ ) και ότι το εισόδημά της είναι 5.000. Αν ο Γιώργος την πιστέψει, πόσες συναυλίες θα προσφέρει; Πρόβλημα 3.. Απάντηση Ο Γιώργος μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό. Χρησιμοποιώντας τον εισοδηματικό περιορισμό, αντικαθιστούμε στη συνάρτηση χρησιμότητας το Π Γ. Εισόδημα = p Π *Π Γ + p Μ *Μ Γ 7.000 = 100* Π Γ + 100*Μ Γ 70 = Π J +Μ J Λύνουμε ως προς Π Γ : 70- Μ Γ = Π Γ Και αντικαθιστούμε στη συνάρτηση χρησιμότητας. Γνωρίζουμε επίσης ότι Μ = Μ Γ + Μ Κ.: U Γ = 2 log(π Γ ) + 3 log(μ) U Γ = 2 log(70- Μ Γ ) + 3 log(μ Γ + Μ Κ ). Τώρα μεγιστοποιούμε την U Γ ως προς Μ Γ. U Γ Μ Γ = 2 3 + = 0 70 Μ Γ Μ Γ + Μ Κ Δηλαδή: 2Μ Γ + 2Μ Κ = 3(70 Μ Γ ) 5Μ Γ = 210 2Μ Κ Μ Γ = (210 2Μ Κ )/5 Αυτή είναι η ζήτηση του Γιώργου για συναυλίες ως συνάρτηση της ποσότητας συναυλιών που προσφέρει η Κατερίνα. Επειδή η ποσότητα έχει αρνητικό πρόσημο, αυτό σημαίνει ότι όσες περισσότερες συναυλίες προσφέρει η Κατερίνα, τόσο λιγότερες θα προσφέρει ο Γιώργος. Αυτό δείχνει το πρόβλημα του δωρεάν χρήστη (τζαμπατζή). (β) Αν η συνάρτηση χρησιμότητας που έχει η Κατερίνα περιλαμβάνει μόνο πίτσες και όχι συναυλίες, η Κατερίνα μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά της ξοδεύοντας όλο το εισόδημά της σε πίτσες. Αν ο Γιώργος την πιστέψει, θα θέσει στη συνάρτηση ζήτησης για συναυλίες που έχει ο ίδιος το Μ Κ ίσο με το 0. Μ Γ = (210 2Μ Κ )/5 Μ Γ = (210 2*0)/5 μ Γ = 210/5 Πρόβλημα 4.
6 Ο Νίκος και Γιάννης είναι και οι δύο κηπουροί αλλά έχουν πολύ διαφορετικές ιδέες για την καλλιέργεια φυτών. Ο Νίκος χρησιμοποιεί εντομοκτόνα. Ραντίζοντας με εντομοκτόνα προκαλεί βλάβη στο γείτονα του το Γιάννη που καλλιεργεί τα φυτά με βιολογικές μεθόδους. Ο Νίκος θα μπορούσε να υψώσει ένα φράκτη που θα εμπόδιζε τα εντομοκτόνα να πηγαίνουν στον κήπο του Γιάννη. Τα σχετικά οφέλη και οι ζημιές για το Νίκο και το Γιάννη δίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Χωρίς φράκτη Με φράκτη Οφέλη στο Νίκο 400 τη βδομάδα 165 τη βδομάδα Βλάβη στο Γιάννη 238 τη βδομάδα 0 τη βδομάδα α. Αν ο Γιάννης δεν υποχρεώνεται από το νόμο να αποζημιώσει το Γιάννη και δεν υπάρχουν συναλλακτικά κόστη, θα κτίσει τον φράκτη; Εξηγείστε τους υπολογισμούς σας. Αν ο Νίκος δεν έχει νομική ευθύνη να αποζημιώσει το Γιάννη, τότε ο Γιάννης πρέπει να πληρώσει το Νίκο για να κτίσει το φράκτη. Ο Γιάννης είναι πρόθυμος να πληρώσει μέχρι 238 στο Νίκο για να κτίσει το φράκτη. Ο Νίκος από την άλλη πλευρά θα κτίσει το φράκτη αν λάβει τουλάχιστο 400 165=235 από το Γιάννη. Επομένως ο Γιάννης θα πληρώσει ένα ποσό μεταξύ 235 και 238 στο Νίκο και ο τελευταίος θα κτίσει το φράκτη. β. Αν ο Νίκος υποχρεούται από το νόμο να αποζημιώσει το Γιάννη και δεν υπάρχουν συναλλακτικά κόστη, θα κτίσει το φράκτη; Εξηγείστε τους υπολογισμούς σας. Αν ο Νίκος υποχρεούται να αποζημιώσει το Γιάννη, τότε θα τον αποζημιώσει για τη ζημιά που θα του προκαλέσει αν δεν κτίσει το φράκτη. Το καθαρό όφελος του Νίκου (το όφελος του Νίκου μείον η ζημιά του Γιάννη) χωρίς το φράκτη είναι 400-238 = 162. Το καθαρό όφελος του Νίκου όταν κτίσει το φράκτη είναι 165-0. Επομένως, για το Νίκο είναι καλύτερα να κτίσει το φράκτη. γ. Συγκρίνετε την απάντηση σας στο α και το β και εξηγείστε πως συνδέονται με το θεώρημα του Coase. Στο a και το β τα δικαιώματα ιδιοκτησίας είναι σαφώς προσδιορισμένα και τα συναλλακτικά κόστη είναι μηδενικά. Και στις δύο περιπτώσεις ο φράκτης κτίζεται. Έχουμε επομένως αποτελεσματικότητα επειδή μεγιστοποιείται η κοινωνική ευημερία 400-238=162 χωρίς φράκτη και 165-0=165 με φράκτη. Εκείνο που διαφέρει είναι η κατανομή της κοινωνικής ευημερίας με το Νίκο να είναι καλύτερα όταν δεν υποχρεούται να καταβάλει αποζημίωση στο Γιάννη και το Γιάννη να είναι καλύτερα όταν ο Νίκος υποχρεούται σε καταβολή αποζημίωσης. Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι ο Νίκος και ο Γιάννης θα προχωρήσουν σε διαπραγματεύσεις για την επίτευξη του άριστου αποτελέσματος. Επειδή ο αριθμός των εμπλεκομένων είναι μικρός και τα συναλλακτικά κόστη είναι μηδενικά, σύμφωνα με το θεώρημα του Coase οι ιδιώτες από μόνοι τους θα καταλήξουν σε αποτελεσματικό αποτέλεσμα. Πρόβλημα 5. Ένα εργοστάσιο παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας εκπέμπει στον αέρα διοξείδιο του άνθρακα. Το οριακό ιδιωτικό όφελος του εργοστασίου δίνεται από τη MPB=100-Q και το οριακό ιδιωτικό κόστος από τη σχέση MPC=30. Η οριακή βλάβη που προκαλεί το εργοστάσιο στον πληθυσμό δίνεται από τη σχέση MD=0,5Q. α. Ποια η παραγωγή αυτού του εργοστασίου υπό συνθήκες ελεύθερης αγοράς; Το εργοστάσιο παράγει στο σημείο όπου MPB = MPC, δηλαδή MPB = 100-Q = MPC = 30, και επομένως Q 1 =70. β. Ποιο είναι το κοινωνικά αποτελεσματικό επίπεδο παραγωγής; Το κοινωνικά αποτελεσματικό επίπεδο παραγωγής είναι στο σημείο όπου το οριακό ιδιωτικό όφελος ισούται με το οριακό κοινωνικό κόστος, δηλαδή (MSC=MPC+MD=30+0,5Q): MPB=100-Q= MSC=30+0,5Q, Άρα Q*=46,6. γ. Ποια είναι η καθαρή αύξηση της κοινωνικής ευημερίας όταν η παραγωγή του ερωτήματος α, μετατοπίζεται στο επίπεδο του ερωτήματος β;
7 Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος παρατηρούμε ότι το όφελος εκείνων που υποφέρουν από τη ρύπανση δίνεται από την περιοχή abcd. Η απώλεια του εργοστασίου δίνεται από την περιοχή abd. Το καθαρό όφελος δίνεται από την περιοχή bcd =1/2*(70-46,67)*(MSC(Q 1 =70)-MPC(Q 1 =70)) = 1/2*(70-46,67)*(65-30)=408,275. Πρόβλημα 6. Σε μια κοινωνία υπάρχουν δύο άτομα (1 και 2) με τις εξής συναρτήσεις ζήτησης για ένα δημόσιο αγαθό G. p 1 = 10 1 10 G p 2 = 20 1 10 G Όπου p i είναι η τιμή που το i άτομο είναι διατεθειμένο να πληρώσει για το G. α. Ποια η άριστη ποσότητα δημόσιου αγαθού αν το οριακό του κόστος είναι 25; Αν το άτομο 1 είναι πρόθυμο να πληρώσει p 1 για το δημόσιο αγαθό και το άτομο 2 είναι πρόθυμο να πληρώσει p 2, η συνολική πληρωμή είναι p 1 + p 2. Η αποτελεσματικότητα συνεπάγεται 25 = p 1 + p 2 = 10 1 10 G + 20 1 10 G = 30 2 10 G Η άριστη ποσότητα είναι G=25. β. Υποθέστε ότι το οριακό κόστος είναι 5, Ποια η άριστη ποσότητα δημόσιου αγαθού; Αν το οριακό κόστος είναι 5 τότε ή G=125. 5 = 30 2 10 G γ. Αν το οριακό κόστος είναι 40 ποιο είναι το άριστο επίπεδο του G;. Θα αποκαλύψουν τα άτομα τις πραγματικές τους προτιμήσεις; Αν το οριακό κόστος είναι 40, τότε
8 40 = 30 2 10 G Επειδή η εξίσωση αυτή δεν έχει θετική λύση για το δημόσιο αγαθό, η άριστη ποσότητα του G είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι το οριακό κόστος είναι τόσο μεγάλο που υπερβαίνει το ανώτατο ποσό που είναι διατεθειμένα να πληρώσουν τα άτομα για το δημόσιο αγαθό. Αν τα άτομα ερωτηθούν για την προθυμία τους να πληρώσουν μια τιμή για το δημόσιο αγαθό, μάλλον δεν θα δηλώσουν τις αληθινές τους προτιμήσεις, αφού ξέρουν ότι αν το άλλο άτομο ζητήσει δημόσιο αγαθό θα το απολαύσουν και αυτοί. Πρόβλημα 7. Θεωρείστε ότι υπάρχουν τρεις καταναλωτές (i =1,2,3) οι οποίοι καταναλώνουν ένα δημόσιο και ένα ιδιωτικό αγαθό. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας για τον κάθε καταναλωτή είναι αντίστοιχα u 1 = x 1 G, u 2 = x 2 G και u 3 = x 3 G όπου x i η κατανάλωση ιδιωτικού αγαθού από τον καταναλωτή i και G είναι η ποσότητα του δημόσιου αγαθού που καταναλώνεται από κοινού απ όλους. Το κόστος ανά μονάδα του ιδιωτικού αγαθού είναι 1 και δημόσιου αγαθού είναι 10. Το αρχικό επίπεδο πλούτου σε για κάθε καταναλωτή είναι αντίστοιχα w 1 =30, w 2 =50 και w 3 =20. Ποια η αποτελεσματική ποσότητα δημόσιου αγαθού; Πρόβλημα 7. Απάντηση Με βάση τον κανόνα του Samuelson έχουμε από τις συναρτήσεις χρησιμότητας τον οριακό λόγο υποκατάστασης μεταξύ δημόσιου και ιδιωτικού αγαθού για το άτομο h. u h h MRS G,x = G x h = u h G, h = 1, 2, 3. x h Το σχετικό κόστος δημόσιου και ιδιωτικού αγαθού είναι MRT G,x = 10. Συνδυάζοντας τις πιο πάνω σχέσεις με βάση τον κανόνα του Samuelson έχουμε 3 h=1 h MRS G,x = x 1 G + x 2 G + x 3 G = 10 = MRT G,x ή x 1 + x 2 + x 3 = 10G Ο συνολικός εισοδηματικός περιορισμός της οικονομίας είναι x 1 + x 2 + x 3 + 10G = w 1 + w 2 + w 3 ή x 1 + x 2 + x 3 + 10G = 100 Λύνοντας έχουμε G=5. Εναλλακτικά μεγιστοποιούμε τη συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας υπό τον περιορισμό του εισοδήματος. W = x 1 G + x 2 G + x 3 G = (x 1 + x 2 + x 3 )G Κάνοντας χρήση του εισοδηματικού περιορισμού W = (100 10G)G Και μεγιστοποιώντας ως προς G βρίσκουμε 100 10G 10G = 0 G=5