Γενικές ασκήσεις Θέματα εξετάσεων από το 1ο κεφάλαιο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Ένα σώμα m=1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνεται στο σχήμα α Να βρείτε τη σταθερά D και την ολική ενέργεια του ταλαντωτή β Να γράψετε τις εξισώσεις x=f(t) και υ=f(t) γ Ποιες χρονικές στιγμές το σώμα έχει στιγμιαία υ = 0 ; δ Ποια χρονικά διαστήματα είναι τα διανύσματα υ και F ομόρροπα; (π 2 =10) 2 Σώμα μάζας m =2 kg ισορροπεί στερεωμένο στο κάτω άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο στερεωμένο Το σώμα εκτρέπεται κατακόρυφα από τη ΘΙ του ώστε το ελατήριο να είναι στο φυσικό του μήκος Δίνουμε στο σώμα αρχική ταχύτητα υ0 3 m/s, προς τα κάτω θεωρώντας τη χρονική στιγμή αυτή t=0 και y>0 α Να γράψετε την εξίσωση της επιτάχυνσης α=f(t) β Να υπολογήσετε το μέτρο της μέγιστης δύναμης που δέχεται το σώμα από το ελατήριο γ Ποια χρονική στιγμή το σώμα αποκτά τη μέγιστη ταχύτητά του για πρώτη φορά μετά τη στιγμή t=0; δ Να βρείτε μέχρι τότε το έργο της συνισταμένης δύναμης που ενεργεί στον ταλαντωτή Δίνεται g=10 m/s 2 3 Ένα σώμα μάζας m=10 kg συνδέεται στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k Το σύστημα κάνει αατ πλάτους 0,2 m και στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα φάσης - χρόνου α Να υπολογίσετε τη σταθερά k του ελατηρίου β Να γράψετε τις εξισώσεις x=f(t) και υ=f(t) γ Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για να γίνει μέγιστη η ταχύτητα του σώματος δ Το έργο της δύναμης επαναφοράς στο χρονικό διάστημα του ερωτήματος γ 4 Το σώμα μάζας m=1 kg του σχήματος αρχικά ηρεμεί στερεωμένο στο άκρο του ελατηρίου σταθεράς k=100 Ν/m Ασκούμε κατακόρυφη δύναμη σταθερού μέτρου F=10 Ν όπως φαίνεται στο σχήμα α Να δείξετε ότι το σύστημα κάνει αρμονική ταλάντωση και να βρείτε το πλάτος της β Όταν το σώμα αποκτήσει μέγιστη ταχύτητα καταργείται η δύναμη F Να υπολογίσετε: i Την ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που καταργείται η δύναμη 147
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γενικές ασκήσεις Θέματα εξετάσεων από το 1ο κεφάλαιο ii Το νέο πλάτος ταλάντωσης 5 Ένα σώμα m=1 kg κάνει ευθύγραμμη κίνηση και η εξίσωση κίνησής του είναι: x=0,1+0,05 ημ(10t) SI α Να δείξετε ότι το σώμα κάνει αατ και να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης β Να υπολογίσετε την μέγιστη ταχύτητα του σώματος γ Να βρείτε το μέτρο της δύναμης επαναφοράς F επαν τη στιγμή 3π s 20 δ Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας τη στιγμή 2π s 5 6 Tο σώμα του σχήματος ισορροπεί με τη βοήθεια της δύναμης F μέτρου 20 N Tη χρονική στιγμή t=0 η δύναμη F καταργείται Δίνονται: k=200 N/m, m=2 kg, g=10 m/s 2 α Να γράψετε την χρονική εξίσωση της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης Θεωρείστε ότι για t=0 είναι x>0 β Ποιο είναι το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή που το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα; γ Ποια είναι η σχέση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με τον χρόνο F ελ =f(t); δ Σε ποιες θέσεις το σώμα αποκτά ταχύτητα μέτρου υ max /2; ε Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος; 7 Σύστημα ελατήριο k=200 N/m και σώμα μάζας m=2 kg κάνει αατ και η μέγιστη κινητική του ενέργεια είναι: K max = 4J α Να υπολογιστούν το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης β Φέρνουμε το σύστημα σ ένα μέσο που ασκεί δύναμη τριβής της μορφής F 4 υ (SI) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης μετά από χρόνο π 5Τ n2 και την ενέργεια που έχει χάσει το σύστημα μέχρι τότε b Δίνονται ότι Λ και η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι περίπου ίση με την 2m ιδιοπερίοδο 8 Ένα σώμα μάζας m=1 kg συνδέεται στα άκρα συστήματος ελατηρίων ίδιου φυσικού μήκους όπως στο σχήμα, τα οποία έχουν σταθερές k 1 =100 N/m και k 2 =300 N/m Το σώμα εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του κατά 0,05 m και αφήνεται ελεύθερο α Να δειχθεί ότι εκτελεί αρμονική κίνηση και να βρεθεί η περίοδος της κίνησης β Τη στιγμή που το σώμα έχει μέγιστη ταχύτητα, κόβεται το 2ο ελατήριο Να βρείτε το νέο πλάτος ταλάντωσης του σώματος γ Όταν το σώμα είναι σε ακραία θέση ασκείται δύναμη τριβής της μορφής F = b υ (SI) Αν σε χρόνο t=3τ το πλάτος ελαττώνεται κατά 50%, να βρείτε την σταθερά Λ και το έργο της δύναμης απόσβεσης μέχρι τότε Η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι περίπου ίση με την ιδιοπερίοδο 9 Σώμα μάζας m=1 kg ισορροπεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m Εκτρέπουμε το σώμα από τη ΘΙ του μέχρι το φυσικό μήκος του ελατηρίου και το αφήνουμε ελεύθερο τη στιγμή t=0 θεωρώντας x>0 α Να κάνετε το διάγραμμα κινητικής ενέργειας με το χρόνο και να βρείτε την κινητική ενέργεια του ταλαντωτή τη στιγμή t 1 =0,4π s 148
Γενικές ασκήσεις Θέματα εξετάσεων από το 1ο κεφάλαιο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 β Τη στιγμή t 1 =0,4π s αρχίζει να επενεργεί δύναμη απόσβεσης F= 0,2 υ (SI) Nα βρείτε το πλατος του ταλαντωτή μετά από 20 n2 s Δίνονται: Λ=b/2m, g=10m/s 2 10 Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο Στο άλλο άκρο του είναι σταθερά συνδεμένο σώμα Α μάζας Μ=3 kg, πάνω στον οποίο είναι τοποθετημένο σώμα Β μάζας m=1 kg To σύστημα ισορροπεί και το ελατήριο είναι συσπειρωμένο από το φυσικό του μήκος κατά 0,4 m Πιέζουμε το σύστημα προς τα κάτω κατά d=0,8 m και το αφήνουμε ελεύθερο τη στιγμή t=0 α Nα υπολογίσετε την γωνιακή συχνότητα ω του συστήματος και τη σταθερά D κάθε μάζας χωριστά β Nα αποδείξετε ότι το σώμα Β θα χάσει την επαφή του με το σώμα Α γ Ποιο θα είναι τότε το μέτρο της ταχύτητας και το μέτρο της επιτάχυνσης του κάθε σώματος; Δίνεται: g=10m/s 2 11 Δίνεται η διάταξη του σχήματος Τη χρονική στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα και όταν το σώμα μάζας m 2 =3 kg φτάνει στο έδαφος, το σώμα μάζας m 1 =1 kg έχει εκτελέσει δύο πλήρεις ταλαντώσεις α Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, της απλής αρμονικής ταλάντωσης που κάνει το σώμα μάζας m 1 β Να υπολογίσετε το ύψος h Δίνονται η σταθερά του ελατηρίου k=100n/m, η επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2, να θεωρήσετε θετική τη φορά προς τα κάτω και π 2 =20 12 Οριζόντιος δίσκος κάνει απλή αρμονική ταλάντωση σε κατακόρυφη διεύθυνση, με πλάτος A=0,25 m και περίοδος T=2 s Όταν ο δίσκος βρίσκεται στην κατώτατη θέση της τροχιάς, τοποθετούμε πάνω του μικρό σώμα μάζας 2kg α Αν θεωρήσουμε ότι το σύστημα διατηρεί σταθερό πλάτος και περίοδο, να βρεθεί η σχέση της δύναμης που δέχεται το σώμα από το δίσκο σε σχέση με την απομάκρυνση y και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση β Αν η περίοδος παραμείνει σταθερή, για ποια μέγιστη τιμή του πλάτους, το σώμα οριακά τείνει να εγκαταλείψει το δίσκο; γ Αν μεταβάλλουμε τη συχνότητα της ταλάντωσης, για ποια μέγιστη γωνιακή συχνότητα μόλις που χάνεται η επαφή σώματος - δίσκου, αν το πλάτος είναι Α=0,25m; Δίνονται: π 2 = 10 και g = 10 m/s 2 13 Σώμα μάζας m=4 kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πλάτους Α=0,4 m, στερεωμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k=400 N/m, υπό την επίδραση εξωτερικής περιοδικής 3 δύναμης με συχνότητα f Δ = Hz Το σώμα τη χρονική στιγμή π t=0 βρισκόταν στην θέση ισορροπίας του, ξεκινώντας κατά τη θετική φορά α Να γραφεί η εξίσωση της ταλάντωσης που πραγματοποιεί το σύστημα και να υπολο-γιστεί η ολική ενέργεια 4 β Αυξάνουμε τη συχνότητα του διεγέρτη σε f Δ = Hz Τι θα π συμβεί με το πλάτος της ταλάντωσης και γιατί; γ Πόση θα έπρεπε να ήταν η μάζα m 1 του σώματος στο αρχικό πείραμα, για να παρουσίαζε το σύστημα μέγιστη ικανότητα απορρόφησης ενέργειας από το διεγέρτη; Θεωρείστε ότι η σταθερά απόσβεσης b του συστήματος είναι πολύ μικρή 149
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γενικές ασκήσεις Θέματα εξετάσεων από το 1ο κεφάλαιο 14 Σώμα m=1 kg κάνει φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και η απομάκρυνση με - n8 t το χρόνο είναι: x = 0,4 e συν ωt SI Αν σε χρόνο t=3τ το πλάτος ελαττώνεται κατά 50%, να βρείτε: α την σταθερά Λ και την περίοδο Τ της φθίνουσας ταλάντωσης, β τον χρόνο υποδιπλασιασμού του πλάτους, γ τον χρόνο υποδιπλασιασμού της ενέργειας δ το έργο της δύναμης απόσβεσης μέχρι τη στιγμή 3Τ (π 2 =10) 15 Σώμα μάζας m=2 kg κάνει αατ και η κινητική ενέργειά του μεταβάλλεται σε συνάρτηση με την απομάκρυνση y, από τη θέση ισορροπίας του, σύμφωνα 2 με τη σχέση: K = 4 100 y SI α Να υπολογιστούν το πλάτος και η γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης β Να βρείτε τις θέσεις που είναι U=3K γ Στις θέσεις του ερωτήματος β να βρείτε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης 8 kg δ Φέρουμε το σύστημα σ ένα μέσο που έχει b π s τριβής της μορφής F και ασκεί δύναμη bυ Αν δίνεται ότι σε μία φθίνουσα ταλάντωση είναι Λ=b/2m, να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης μετά από 5T n2 και την ενέργεια που έχει χαθεί μέχρι τότε Θεωρείστε ότι το αρχικό πλάτος Α 0 είναι η τιμή που βρήκατε στο ερώτημα (α) και ότι η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι περίπου ίση με αυτήν της απλής αρμονικής ταλάντωσης 16 Ένα υλικό σημείο εκτελεί αατ Η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από το διάγραμμα του σχήματος k φ Σ1 Να υπολογιστούν: α τα μεγέθη Α, ω, φ 0 της κίνησης β Ο χρόνος στον οποίο η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι x 0,2m στα πρώτα 22s γ Η χρονική στιγμή που το σώμα περνάει για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του 17 Σώμα Σ 1 μάζας m 1 = 1kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ = 30 ο Το σώμα Σ 1 είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100ν/m το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα Εκτρέπουμε το σώμα Σ 1 κατά d 1 =0,1m από τη θέση ισορροπίας του κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και το αφήνουμε ελεύθερο 1 Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ 1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση 2 Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος Σ 1 150
Γενικές ασκήσεις Θέματα εξετάσεων από το 1ο κεφάλαιο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μετακινούμε το σώμα Σ 1 προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου μέχρι το ελατήριο να συμπιεστεί από το φυσικό του μήκος κατά ΔL=0,3m Τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα Σ μάζας m 2 =1kg στο κεκλιμένο επίπεδο, ώστε να είναι σε επαφή με το σώμα Σ 1, και ύστερα αφήνουμε τα σώματα ελεύθερα 3 Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του σώματος Σ 2 κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του 4 Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από τη θέση που αφήσαμε ελεύθερα τα σώματα, χάνεται η επαφή μεταξύ τους k φ Σ1 Σ2 Δίνονται: ημ30 o = 1/2, g = 10m/s 2 18 Ένα σώμα, μάζας m=0,5 kg, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα f=(5/π) Ηz, ενώ διανύει σε κάθε περίοδο της ταλάντωσής του διάστημα d=2 m Το σώμα δέχεται κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του, και στη διεύθυνση της κίνησής του, δύο δυνάμεις F και 1 F, εκ των οποίων η 2 F είναι σταθερή 2 με μέτρο F 2 =10 Ν και φορά αρνητική Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο διέρχεται επιταχυνόμενο από τη θέση x 1 = 3 / 4 m α Να υπολογίσετε το πλάτος και τη σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης β Να υπολογίσετε την αρχική φάση φ 0 της ταλάντωσης γ Να υπολογίσετε το ποσοστό % της κινητικής ενέργειας του σώματος ως προς την ολική ενέργεια ταλάντωσης, τη χρονική στιγμή t=0 δ Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης F 1 σε συνάρτηση με το χρόνο 19 Ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=100 N/m έχει το άνω άκρο του στερεωμένο σε οροφή Στο κάτω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα Σ 1 μάζας m 1 =3 kg που ισορροπεί Τη χρονική στιγμή t 0 =0, ένα βλήμα Σ 2 μάζας m 2 =1 kg, που κινείται στον άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα μέτρου υ και φορά προς τα πάνω, προσκρούει στο σώμα Σ 1 και σφηνώνεται σ αυτό Το συσσωμάτωμα ξεκινά να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με αρχική ταχύτητα μέτρου υ συσ = 3 /2 m/s Θεωρώντας θετική την κατακόρυφη προς τα κάτω φορά, να βρείτε: α την επιμήκυνση d 1 του ελατηρίου ως προς το φυσικό του μήκος, στη θέση ισορροπίας ΘΙ του σώματος Σ 1, β το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος υ, γ το πλάτος Α της ταλάντωσης του συσσωματώματος, δ την εξίσωση υ=f(t) της ταχύτητας ταλάντωσης του συσσωματώματος Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s 2 20 Στα δύο άκρα λείου επιπέδου στερεώνουμε τα άκρα δύο ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k 1 =60 Ν/m και k 2 =140 Ν/m αντίστοιχα Στα ελεύθερα άκρα των ελατηρίων, δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m=2 kg ώστε τα ελατήρια να έχουν το φυσικό τους μήκος (όπως φαίνεται στο σχήμα) Εκτρέπουμε το σώμα Σ κατά Α=0,2 m προς τα δεξιά και τη χρονική στιγμή t 0 =0 αφήνουμε το σώμα ελεύθερο α Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση 151
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γενικές ασκήσεις Θέματα εξετάσεων από το 1ο κεφάλαιο β Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του σώματος Σ από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο Να θεωρήσετε θετική την φορά προς τα δεξιά γ Να εκφράσετε το λόγο της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης προς τη μέγιστη κινητική ενέργεια σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x δ Τη στιγμή που το ελατήριο βρίσκεται στη θέση x=+α/2 αφαιρείται ακαριαία το ελατήριο k 2 Να υπολογίσετε το πλάτος της νέας ταλάντωσης 21 Το αριστερό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 400 Ν/m στερεώνεται ακλόνητα και στο δεξιό άκρο του προσδένεται σώμα Σ 1 μάζας m 1 =3 kg, το οποίο μπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο Πάνω στο Σ 1 τοποθετείται δεύτερο σώμα Σ 2 μάζας m 2 =1 kg Εκτοξεύουμε προς τα δεξιά το σύστημα από τη θέση ισορροπίας του, με ταχύτητα μέτρου υ και παράλληλη με το οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα, οπότε το σύστημα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση Τα δύο σώματα διατηρούν την επαφή στη διάρκεια της ταλάντωσης α Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης καθώς και τις σταθερές ταλάντωσης D ολ, D 1 και D 2 του συστήματος και των σωμάτων Σ 1 και Σ 2 αντίστοιχα β Να τοποθετήσετε το σύστημα σε μια τυχαία θέση της ταλάντωσής του, να σχεδιάσετε και να περιγράψετε σε τρία κατάλληλα σχήματα τις δυνάμεις, που δέχονται: το σύστημα Σ 1 Σ 2, το Σ 1 και το Σ 2 γ Να παραστήσετε γραφικά την αλγεβρική τιμή της στατικής τριβής από το Σ 1 στο Σ 2 σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x από τη ΘΙ του, για πλάτος ταλάντωσης Α=3 cm δ Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης υ max, του συστήματος των Σ 1, Σ 2 ώστε το σώμα Σ 2 να μην ολισθήσει πάνω στο σώμα Σ 1 Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s 2 και ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων Σ 1 και Σ 2 είναι μ=0,5 22 Σώμα μάζας m=1 kg αφήνεται από ύψος h=1,2 m πάνω από το ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο έδαφος Όταν το σώμα συναντά το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου, προσκολλάται και παραμένει σε συνεχή επαφή μ αυτό Αν η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου είναι Δx max = 0,6 m α Να υπολογιστεί η σταθερά k του ελατηρίου β Να υπολογιστεί το πλάτος Α και η γωνιακή συχνότητα ω της αατ που εκτελεί το σώμα γ Όταν το σώμα είναι σε ακραία θέση ασκείται δύναμη τριβής της μορφής F = b υ (SI) Αν σε χρόνο t=2τ το πλάτος ελαττώνεται κατά 50%, να βρείτε την σταθερά Λ και το έργο της δύναμης απόσβεσης μέχρι τότε Η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι περίπου ίση με την ιδιοπερίοδο Δίνεται g=10m/s 2 23 Σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση δεχόμενο δύναμη τριβής F bυ, με το b να παίρνει μικρές τιμές Το σώμα αρχικά έχει ενέργεια Εο 50J και 152
Γενικές ασκήσεις Θέματα εξετάσεων από το 1ο κεφάλαιο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 μετά από 10 πλήρεις αιωρήσεις έχει Ε =12,5J α Αν οι 10 αιωρήσεις χρειάζονται 5 s για να πραγματοποιηθούν, να υπολογίσετε την τιμή του Λ β Πόση ενέργεια είχε το σύστημα μετά από 5 πλήρεις αιωρήσεις; 24 Tο σύστημα του σχήματος κάνει φθίνουσα ταλάντωση ( F bυ ) Δίνονται τα μεγέθη k= 10 N/m και m=0,1 kg Τη στιγμή t=0 που αρχίζει το φαινόμενο το πλάτος είναι Α 0 =0,4 m α Ποια από τις επόμενες τιμές της περιόδου είναι πιθανότερη για τη φθίνουσα μηχανική ταλάντωση; i 0,2 π s, ii 0,3 π s, iii 0,45 π s β Να βρείτε την τιμή της σταθεράς b, αν γνωρίζετε ότι σε χρόνο n2 10 s, το πλάτος είναι Α 0 /4 Δίνεται: Λ= b/2m 25 Σώμα μάζας m=2 kg ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=200 N/m, το πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση και η δύναμη απόσβεσης που επενεργεί πάνω του είναι της μορφής F=-0,5υ (SI) Εφαρμόζουμε στο σύστημα περιοδική δύναμη διέγερσης με συχνότητα 5/π Ηz, οπότε αποκαθίσταται ταλάντωση σταθερού πλάτους που είναι ίσο με 0,2m Αν η αρχική φάση της ταλάντωσης σταθερού πλάτους είναι φ 0 =0, τότε: α Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας της εξαναγκασμένης ταλάντωσης β Να υπολογίσετε το μέγιστο ρυθμό απορρόφησης ενέργειας του ταλαντωτή από τον διεγέρτη, κατά τη διάρκεια μιας περιόδου γ Να δικαιολογήσετε αν θα αυξηθεί ή θα ελαττωθεί το πλάτος της ταλάντωσης αν αυξήσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη 26 Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αατ πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Οι γραφικές παραστάσεις των απομακρύνσεων σε συνάρτηση με το χρόνο για τις δύο ταλαντώσεις φαίνονται στο σχήμα α Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης με το χρόνο για κάθε μία αρμονική ταλάντωση β Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για τη σύνθετη κίνηση που προκύπτει γ Να βρείτε ποια χρονική στιγμή οι απομακρύνσεις των δύο αρχικών ταλαντώσεων είναι αντίθετες για πρώτη φορά 27 Σώμα μάζας m=0,1 Kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο αατ της ίδιας διεύθυνσης και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις x 1 =Α 1 ημ(ωt+π/2) και x 2 =Α 2 ημ(ωt+π) με Α 1 =Α 2 Αν η κινητική ενέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης μηδενίζεται 10 φορές το δευτερόλεπτο και η μέγιστη δύναμη επαναφοράς που ασκείται στο σώμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης είναι F max =60 Ν, να υπολογίσετε: α τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης, β τα πλάτη των συνιστωσών ταλαντώσεων γ Να γράψετε τη χρονική εξίσωση απομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης δ Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης 153
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γενικές ασκήσεις Θέματα εξετάσεων από το 1ο κεφάλαιο ε Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της ορμής έχει μέτρο 30 Ν Να θεωρήσετε ότι π 2 =10 28 Σώμα μάζας m=1 kg εκτελεί δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις: x 1 = π 3 ημ 10t 3 και x 2 = π 1 ημ 10t 6 (x 1, x 2 σε cm, t σε s) α Να γράψετε την εξίσωση ταχύτητας - χρόνου της σύνθετης ταλάντωσης β Να βρείτε την ενέργεια του υλικού σημείου που εκτελεί τη σύνθετη ταλάντωση γ Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν x=1cm 29 Η κίνηση ενός σωματιδίου περιγράφεται από την εξίσωση: y 8 συν 2t ημ 202t ( y σε cm, t σε s) α Αναγνωρείστε το είδος της κίνησης και αναφέρετε τις προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν για τις δύο συνιστώσες κινήσεις β Γράψτε τις εξισώσεις των δύο κινήσεων που είναι οι συνιστώσες της κίνησης που δίνεται γ Πόσες φορές σε χρόνο Δt=2π s μεγιστοποιείται το πλάτος της συνισταμένης κίνησης; δ Πόσες φορές γίνεται η κίνηση στο χρονικό διάστημα που μηδενίζεται δύο διαδοχικές φορές το πλάτος; 154