Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος -, 7ο Εξάμηνο Ρομποτική Ι: Ανάλυση, Έλεγχος, Εργαστήριο Κινηματική/Στατική/Δυναμική Ανάλυση και Έλεγχος Ρομποτικών Χειριστών Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ. Μηχ/κών & Μηχ/κών Υπολ., Ε.Μ.Π. Τηλ.: ( 77-687 (Κτήριο Ηλεκτρ., Γραφείο. E-mail: ktzaf@cs.ntua.gr Web: http://www.softlab.ntua.gr/~ktzaf/ Περιεχόμενα Μαθήματος Κινηματική Ανάλυση Ορθή και αντίστροφη κινηματική ανάλυση Διαφορική κινηματική ανάλυση Στατική Ανάλυση Ρομποτικών Χειριστών Δυναμική Ανάλυση Ρομποτικών Μηχανισμών Ρομποτικός Έλεγχος Γραμμικός / Μη-Γραμμικός Έλεγχος Τροχιάς Σχεδιασμός Τροχιάς Ρομποτικών Χειριστών Προγραμματισμός Ρομπότ
Βιβλιογραφία (Εισαγωγή στη Ρομποτική Τζαφέστας, Σπύρος Γ., «Ρομποτική. Τομ. : Ανάλυση και έλεγχος» (69.89 ΤΖΑ Craig John J. Εισαγωγή στη Ρομποτική Μηχανική και Αυτόματος Έλεγχος, Εκδόσεις Τζιόλα, 9. Δουλγέρη Ζωή, «Ρομποτική. Κινηματική, Δυναμική και Έλεγχος Αρθρωτών Βραχιόνων», ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Α.Ε. (Σελίδες: Εμίρης Δημήτριος, «Ρομποτική», Εκδόσεις Άνωση, 999. B. Siciliano et al., Robotics: modelling, planning and control, Springer, 9 Asada, H., Slotine, J.-J., Robot Analysis and Control, Wiley, 986. Yoshikawa, Tsuneo, Foundations of robotics : analysis and control, The MIT Press, 99. (69.89 YOS Craig, John J., Introduction to robotics : mechanics and control, Addison- Wesley, 989. (69.89 CRA Schilling, Robert J., Fundamentals of robotics : analysis and control, Prentice Hall, 99. (69.89 SCH K. S. Fu, R. C. Gonzalez, G. S. G. Lee, Robotics : control, sensing, vision, and intelligence, McGraw-Hill, 987. (69.89 FU Βιβλιογραφία (advanced robotics Murray, R.M., Li, Z., and Sastry, S., A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation, CRC Press, 994. (69.89 MUR Mason, Matthew, Mechanics of Robotic Manipulation, MIT Press,. Mason, M. and Salisbury, J.K., Jr., Robot Hands and the Mechanics of Manipulation, MIT Press, 985. Latombe, Jean-Claude, "Robot motion planning," Kluwer Academic Publishers, 99. (69.89 Meystel, A., "Autonomous mobile robots : vehicles with cognitive control," World Scientific, 99. (69.89 MEY Borenstein, Johann, "Navigating mobile robots : systems and techniques," Wellesley, MA.: : AK Peters, Ltd., 996. (69.89. Sheridan, Thomas B., "Telerobotics, automation, and human supervisory control," The MIT Press, 99. (6.46 SHE 4
Τι είναι Ρομπότ? (/ Ετυμολογία του όρου: robota (Τσέχικα: άμισθη/εξαναγκασμένη εργασία rabu (Σλάβικα: σκλάβος, работать (rabotat : Ρώσικα: εργασία arbeit (Γερμανικά: εργασία, ή Erbe (κληρονόμος Ρίζα : rob ή rab επίσης, orb ή orph οrphelin - ορφανός... serf - σκλαβιά orbh (Ινδο-Ευρωπαϊκή ρίζα: κληρονόμος, κληρονομιά Πρώτη εμφάνιση της έννοιας: Karel Capek (9, «RUR: Les robots universels de Rossum", εμφάνιση ενός «Ανδροϊδούς» το οποίο αποκαλείται «robot»... 5 Τι είναι Ρομπότ? (/ Μπορούμε να ορίσουμε ως ρομπότ μια μηχανή που «αισθάνεται», «σκέφτεται» και «επενεργεί» (sense, think, act. Άρα, ένα ρομπότ διαθέτει: αισθητήρες (sensors, για την απόκτηση πληροφορίας (a από το εξωτερικό περιβάλλον (exteroceptive, ή (b σε σχέση με την εσωτερική κατάσταση (proprioceptive δυνατότητες επεξεργασίας (processing αντίληψη, συλλογισμός, λήψη αποφάσεων, σχεδιασμός δράσης (cognition επενεργητές (actuators, για την εκτέλεση κάποιας εργασίας στο περιβάλλον (motion, manipulation 6
Τι είναι Ρομπότ? (/ Τρείς βασικές ιδιότητες ενός ρομπότ: δυνατότητες επαναπρογραμματισμού (programmability: a robot is a computer (information/data processing δυνατότητες μηχανικής δράσης (mechanical abilities, εκτέλεση φυσικών εργασιών πάνω στο περιβάλλον (physical -not data- processing a robot is a machine (mechatronic device προσαρμοστικότητα, ευελιξία, πολυσχιδής λειτουργικότητα (adaptability, versatility, flexibility: adapt to different environment and task requirements 7 Ρομποτική Εισαγωγή ( Ρομπότ: «Ευφυείς», «ευέλικτοι», «προσαρμοζόμενοι» μηχανισμοί κίνηση και δράση στο χώρο Κατηγορίες Ρομποτικών Συστημάτων: - Βιομηχανικοί (κλασσικοί ρομποτικοί χειριστές (industrial robot manipulators - Επιδέξιοι ρομποτικοί χειριστές (dextrous robots - Αυτοκινούμενα ρομπότ ρομπότ προσφοράς υπηρεσιών (mobile/service robotics - Μικρο-ρομποτική (micro-robotics Τηλε-Ρομποτική vs. Ευφυή/Αυτόνομα ρομπότ 8
Ρομποτική Εισαγωγή ( Ρομποτική: «κατακόρυφη» κατάτμηση σε θεματολογικά επιστημονικά πεδία / «οριζόντια» κατάτμηση σε πεδία εφαρμογών Μηχανική (ανάλυση/σχεδίαση Ηλεκτρονική (μικρο-επεξεργαστές, Αισθητήρες, embedded systems etc. Αυτόματος Έλεγχος Συστημάτων Προγραμματισμός Υπολογιστών Διασύνδεση ανθρώπου-μηχανής Υπολογιστική Νοημοσύνη... Βιομηχανικές Εφαρμογές (robotized manufacturing etc. Προσφορά Υπηρεσιών (service & intervention robots - mobile robotics (wheeled, legged - dextrous robotics (medical etc. - telerobotics - microrobotics 9 Ρομποτική και Αυτοματοποιημένα Συστήματα Παραγωγής Staubli Kuka Fanuc Ολοκληρωμένα συστήματα προγραμματισμού αυτοματο- ποιημένων διαδικασιών παραγωγής Computer Integrated Manufacturing (CIM
Επιδέξιοι Ρομποτικοί Χειριστές Ρομποτικοί Χειριστές με πλεονέζοντες βαθμούς ελευθερίας (redundant robot manipulators DLR lightweight 7dof robot On-line obstacle avoidance (kinematic redundancies Ρομποτικοί Χειριστές με Πλεονάζοντες Βαθμούς Ελευθερίας NASA RoboticsResearch - ModArm DLR KineMedic Redundant Robot Εφαρμογές στο Διάστημα Ιατρικές Εφαρμογές (όπου απαιτείται αυξημένη «ικανότητα χειρισμού»
Ρομποτικοί Χειριστές στην (τηλε χειρουργική Da Vinci Surgical Robot «Φιλικές» Ρομποτικές Εφαρμογές Η Τεχνολογία είναι «αρκετά ώριμη» για ενσωμάτωση σε τόσο «επεμβατικές» εφαρμογές; Ποιό το «αποδεκτό ρίσκο»; Η κοινωνία είναι «έτοιμη» να αποδεχτεί τέτοιες σημαντικές μεταβολές στην παροχή υπηρεσιών υγείας; Περισσότερο «φιλικές» (μη επεμβατικές εφαρμογές ρομποτικής τεχνολογίας: Ρομπότ βοηθοί / νοσηλευτές Ρομποτικά - Απτικά συστήματα στη χειρουργική εκπαίδευση, άσκηση και πιστοποίηση δεξιοτήτων 4
Επιδέξια (Ανθρωπόμορφα Ρομποτικά Χέρια (Dexterous Robot Hands Δεξιότητα: Συνεργασία πολλαπλών βαθμών ελευθερίας για τον έλεγχο σύνθετων/λεπτών εργασιών χειρισμού JPL/NASA hand Utah/MIT robot hand 5 Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια Παραδείγματα ( Utah/MIT robot hand Robonaut Humanoid / NASA 6
Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια Παραδείγματα ( DLR Hand ΙΙ Shadow Robot Hand 7 Συνεργαζόμενοι Ρομποτικοί Χειριστές Ανθρωπόμορφα Ρομποτικά Συστήματα ( ARM Autonomous Robotic Manipulation Program (DARPA 8
Συνεργαζόμενοι Ρομποτικοί Χειριστές Ανθρωπόμορφα Ρομποτικά Συστήματα ( Justin Humanoid Robot with DLR-III arms and DLR-II hands DLR: German Aerospace Center Germany's National Research Center for Aeronautics and Space (Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt, DLR 9 Αυτοκινούμενα Ρομπότ Αισθητήρες (mobile robots sensors Laser Range Finder Μικρός Gripper Σύστημα Όρασης Ασύρματο Ethernet Αισθητήρες Υπερήχων Αισθητήρες Υπέρυθρων Video- ActiveMedia Robots RWI IS Robotics Video-
Βαδίζοντα Ρομπότ με Σύστημα Όρασης (biped walking robots Σύστημα Κατευθυνόμενης Στερεοσκοπικής Όρασης Σχεδιασμός και Έλεγχος της κίνησης του Ρομπότ Sample movie (Johnnie Johnnie Πολυτεχνείο Μονάχου (TUM Αυτοκινούμενα ρομπότ με πόδια (Legged/walking robots Παραδείγματα Εξάποδο ρομπότ Dante (NASA Εξάποδο ρομπότ Ambler (Robotics Institute, CMU
Mobile / Walking robots Research (e.g. adaptive behaviors Edutainement Genghis 6-legged robot AI lab / MIT SONY - Aibo Sample movie Δυναμικός ρομποτικός βηματισμός D One-Leg Hopper (98-984 D Biped (989-995 Quadruped (984-987 ΜΙΤ Legged-Lab. Mark Raibert, Legged Robots that Balance, MIT Press, 986. 4
Biologically-inspired legged robots Uniroo (99-99 Troody 5 Βαδίζοντα Ρομπότ - Εφαρμογές Εφαρμογές intervention, exploration, rescue, service, etc. Εξερεύνηση «δύσβατων» περιοχών Μεταφορά «Υλικού» - Επιχειρήσεις διάσωσης Εξάποδο (hexapod ρομπότ Dante Τετράποδο Ρομπότ BigDog, CMU / Boston Dynamics 6
Τροχοφόρα αυτοκινούμενα ρομπότ με σύνθετο σύστημα οδήγησης τροχών 7 Ολοκληρωμένα Κινούμενα Ρομποτικά Συστήματα Υπηρεσιών (Service Robots Κινητά Ρομπότ με Ενσωματωμένο Ρομποτικό Βραχίονα Βαδίζοντα Ανθρωπόμορφα Ρομπότ walk step χειρισμός συνεργασία Honda Humanoid Robot 8
Humanoid Robots Asimo (Honda REEM-H (PAL Robotics, Barcelona / Spain Charli (USA Cognitive Humanoid Autonomous Robot with Learning Intelligence Justin / DLR (Germany HRP- / JAIST (Japan NAO (France BD Petman HRP-4 9 About Robot Control ( Autonomous vs. Human-Intervention (supervisory robot control Isaak Asimov s laws of robotics :. A robot should never harm a human being. A robot should obey a human being, unless this contradicts the first law. A robot should not harm another robot, unless this contradicts the first or the second law Levels of Robot Control: At the lowest level, we want to ensure motors driving robots joints or wheels are used in stable configurations (no oscillations At the next level, we want to ensure that no collisions occur We also expect robots to perform other intelligent behaviors
About Robot Control ( Human Input Goal Setting Global Planning High-level Control Strategic Level, Global Planning: Long-range goals Navigation Obstacle Avoidance Intermediate- Level Control Tactical Level Local Planning Short-term goals Stability Attitude Control Servo Control Low-level Control Actuators Plant Feedback Sensors Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος -, 7ο Εξάμηνο Μάθημα: «Ρομποτική Ι». Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας ΕΝΟΤΗΤΑ : Κινηματική Ανάλυση Ρομποτικών Χειριστών
Κινηματική Ανάλυση των Ρομπότ Προκαταρκτικά Γεωμετρικά Εργαλεία Μετασχηματισμοί στο χώρο κλπ. Ορθή κινηματική ανάλυση ρομπότ (γεωμετρικό μοντέλο Μετατοπίσεις αρθρώσεων {q i } Θέση/Προσανατολισμός (x,θ τελικού στοιχείου δράσης του ρομπότ Αντίστροφη κινηματική ανάλυση Ορθή διαφορική κινηματική ανάλυση (κινηματικό μοντέλο Ιακωβιανή μήτρα J: ταχύτητες αρθώσεων {q i } ταχύτητα (v,ω τελικού στοιχείου δράσης του ρομπότ Αντίστροφη διαφορική κινηματική ανάλυση Βασικοί Ορισμοί Αρχές Ρομποτικοί βραχίονες (βιομηχανικοί ρομποτικοί χειριστές (robot manipulators: ανοικτές κινηματικές αλυσίδες Κινηματική αλυσίδα (kinematic chain: σύστημα στερεών σωμάτων που συνδέονται μέσω αρθρώσεων (joints Βαθμοί ελευθερίας (degrees of freedom - DOF: αριθμός ανεξάρτητων μεταβλητών για την περιγραφή της διάταξης (configuration ενός μηχανισμού στο χώρο 4
Βασικές Ρομποτικές Αρθρώσεις Περιστροφική άρθρωση (revolute joint βαθμός ελευθερίας (degree of freedom DOF (Μεταβλητή : θ ή q Γραμμική (πρισματική άρθρωση (prismatic joint DOF (linear (Variable - d Σφαιρική άρθρωση (Spherical Joint DOF (Variables - θ, θ, θ 5 Ρομποτικοί Βραχίονες / Χειριστές: Ανοικτές (σειριακές κινηματικές αλυσίδες Ορολογία: Link = σύνδεσμος Joint = άρθρωση Actuator = κινητήρας (κινητήριο στοιχείο End-effector = τελικό στοιχείο δράσης 6
Παράλληλες κινηματικές αλυσίδες Επίπεδος παράλληλος μηχανισμός Πλατφόρμα Stewart (6 DOF 7 Παράδειγμα Ρομποτικού Βραχίονα Το ρομπότ PUMA 56 PUMA: Programmable Universal Machine for Assembly Unimation Inc. 978 (now Staübli 4 The PUMA 56 has SIX (6 revolute joints A revolute joint has ONE degree of freedom ( DOF that is defined by its angle 5 6 8
Παράδειγμα Αρθρωτού Ρομπότ 6 DOF: Το ρομπότ Τ 4 5 6 9 Ρομπότ Adept 85 Palletizer 4
Κινηματική Δομή Κλασσικών Ρομποτικών Χειριστών: Ταξινόμηση Αρθρωτό ρομπότ (τύπου PUMA Ρομπότ τύπου SCARA Καρτεσιανό ρομπότ Κυλινδρικό ρομπότ Σφαιρικό ρομπότ 4 Κινηματική Ανάλυση: Προκαταρκτικά Γεωμετρικά Εργαλεία Θέση και προσανατολισμός στερεού σώματος x O z r y n a z σ x σ O σ y σ o Θέση: r = OO σ = Μήτρα προσανατολισμού (ή στροφής ( x : r x r y r z Προσανατολισμός: R = [ n, o, a ] R = [ n, o, a] : ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς μοναδιαία διανύσματα : n = n x + n y + n z =, κλπ... κάθετα μεταξύ τους : n o=, n a=, o a= n x o x a x n y o y a y n z o z a z 4
Μετασχηματισμοί στο χώρο x O Μετασχηματισμοί συντεταγμένων z r Σ y n a z σ x σ O Σ y σ o P Έστω p Σ = [p n, p o, p a ] T οι συντεταγμένες του σημείου P στο σύστημα αναφοράς R Σ p O = (OP O = r Σ + (O Σ P O (O Σ P O = p n n+ p o o+ p a a= O R Σ p Σ όπου O R Σ =[n, o, a] Άρα: p O = r Σ + O R Σ p Σ p Σ = -( O R Σ Τ r Σ + ( O R Σ Τ p Ο Στροφή του R Σ ως προς το R O Μετατόπιση ΟΟ Σ (εκφρασμένη στο R O 4 Στροφή Ειδικές Περιπτώσεις Περιστροφή γύρω από τον άξονα z (R R a O sin(θ z x n θ z x z z o cos(θ z y θ z y n x n = = n y n z O R =[n, o, a]= cos(θ z sin(θ z cos(θ z sin(θ z o x o = = o y o z -sin(θ z cos(θ z Περιστροφή γύρω από τον άξονα x : R x (θ x = θ z cos(θ x sin(θ x -sin(θ z cos(θ z = R z (θ z -sin(θ x cos(θ x Περιστροφή γύρω από τον άξονα y : R y (θ y = cos(θ y -sin(θ y sin(θ y cos(θ y 44
Παραμετροποίηση Στροφής Γωνίες Euler (στροφή ως προς: z x (or y z Euler(φ,θ,ψ = R z (φ R x (θ R z (ψ = c φ c ψ -s φ c θ s ψ -c φ s ψ -s φ c θ c ψ s φ s θ s φ c ψ +c φ c θ s ψ -s φ s ψ +c φ c θ c ψ -c φ s θ s θ s ψ s θ c ψ c θ Γωνίες κύλισης, ανύψωσης, στροφής, (roll,pitch,yaw x z y R(φ,θ,ψ = R z (φ R y (θ R x (ψ = c φ c θ c φ s θ s ψ -s φ c ψ c φ s θ c ψ +s φ s ψ s φ c θ s φ s θ s ψ +c φ c ψ s φ s θ c ψ -c φ s ψ -s θ c θ s ψ c θ c ψ 45 Ομογενείς Μετασχηματισμοί p O = r Σ + O R Σ p Σ P O = O A Σ P Σ Ο p x Ο p y όπου: P O =, P Σ = Ο p z p O σ p x σ p y σ p z p Σ z O x ομογενή διανύσματα συντεταγμένων r Σ y n a z σ O Σ y σ x σ o P και : O A Σ = O R Σ r Σ ομογενής μήτρα μετασχηματισμού (4 x 4 ( O A Σ - = (O R Σ Τ ( O R Σ Τ r Σ (ανάστροφη ομογενής μήτρα 46
Ομογενείς Μετασχηματισμοί (συνέχεια O z x y p ( x^ v x n n V ( v = y = v z n z^ = a = n x y z O o o o v ( ( A V x y z y^ v ( V a a a x y z = o p x py p z Το ομογενές διάνυσμα V ( = [v n,v o,v a,] T εκφρασμένο στο «τοπικό» σύστημα αναφοράς R (n,o,a, ενώ το διάνυσμα V ( = [v x,v y,v z,] T εκφράζεται ως προς το «κοινό» σύστημα αναφοράς R -X,Y,Z της βάσης v a Η μήτρα περιστροφής και το διάνυσμα μετατόπισης p ( μπορούν να συνδυαστούν σε μία ομογενή μήτρα μετασχηματισμού, εφόσον εκφράζονται ως προς κοινό σύστημα αναφοράς. v n v o V ( = A V ( v ( = v n n + v o o + v a a + p ( v x = v n n x + v o o x + v a a x + p x 47 Z Ομογενείς Μήτρες Μετασχηματισμών Ειδικές Περιπτώσεις ( R O Y P X Γραμμική μετατόπιση (μεταφορά χωρίς στροφή Z o a Y a n o R N X n Στροφή χωρίς μεταφορά Α O N Α N O = nx n y = nz o o o x y z Μήτρα στροφής a a a px py p z x y z Γραμμική Μετατόπιση 48
Ομογενείς Μήτρες Μετασχηματισμών Ειδικές Περιπτώσεις ( Rot(x,θ x = cosθ x -sinθ x sinθ x cosθ x Tra(x,d x = d x Rot(y,θ y = cosθ y sinθ y -sinθ y cosθ y Tra(y,d y = d y Rot(z,θ z = cosθ z -sinθ z sinθ z cosθ z Tra(z,d z = d z 49 Διαδοχικοί ομογενείς μετασχηματισμοί i- Α i : 4x4 ομογενής μήτρα μετασχηματισμού από το πλαίσιο i- στο πλαίσιο i (i=,,n δηλαδή, n διαδοχικοί μετασχηματισμοί από το πλαίσιο στο πλαίσιο n. Τότε : i- i n- n X = A A A A X X : ομογενές (4x διάνυσμα θέσης στο πλαίσιο n X : ομογενές (4x διάνυσμα θέσης στο πλαίσιο n n 5
Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος -, 7ο Εξάμηνο Μάθημα: «Ρομποτική Ι». Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας Ορθή Κινηματική Ανάλυση (Γεωμετρικό μοντέλο ρομποτικού βραχίονα 5 Κινηματική Ανάλυση: Εισαγωγή Ορθή κινηματική ανάλυση Μετατοπίσεις αρθρώσεων {q i } Μετατόπιση τελικού στοιχείου δράσης (θέση p, προσανατολισμός R Μετασχηματισμός από το χώρο αρθρώσεων στο χώρο δράσης (εργασίας proprioception Αντίστροφη κινηματική ανάλυση Θέση τελικού στοιχείου δράσης (p, R {q i } Αντίστροφη διαφορική κινηματική ανάλυση Ταχύτητα τελικού στοιχείου δράσης (v, ω {q i } Σχεδιασμός δρόμου ρομπότ 5
Ορθή κινηματική ανάλυση: ανοικτές κινηματικές αλυσίδες Σύνδεσμος Σύνδεσμος Άρθρωση q z y Βάση z Σύνδεσμος O O x x y Γεωμετρικό μοντέλο : q... pn (q = O O n (q Σύνδεσμος i Άρθρωση i q q i Άρθρωση i+ q i+ Άρθρωση O i ανοικτή κινηματική αλυσίδα x n y n Σύνδεσμος n z n Τελικό στοιχείο δράσης Δοσμένων των μεταβλητών αρθρώσεων {q i, i=,,n} Υπολογισμός των : - Θέση: p n = Γ(q R(q p n (q - Προσανατολισμός: R n n(q A n(q =... O n R = n x y z n n n συνημίτονα κατεύθυνσης 5 Ορθή κινηματική ανάλυση: ανοικτές κινηματικές αλυσίδες (συνέχεια Κινηματική εξίσωση (γεωμετρικό μοντέλο ρομποτικού βραχίονα: i- Συνδυασμός των διαδοχικών μετασχηματισμών Α i (i=, n (από τη βάση Ο -x y z προς τον καρπό Ο n -x n y n z n της σειριακής κινηματικής αλυσίδας. T(q = n Α (q = A (q A (q A (q i A (q n i- i n- n z O y z O x A (q y x y i- z i- x i- O i- i- A i (q i y i O i z i T(q = A (q n x i y n z n O n x n 54
Ορθή κινηματική ανάλυση: Παράδειγμα ( βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y Ε O Ε x Ε θ Κινηματική μοντέλο: ( ανεξ. μεταβλητές: q και q Θέση : p Ε = [(p Ε x,(p Ε y ] Τ Προσανατολισμός : θ (ως προς q και q y y l q (p Ε x = l cos(q + l cos(q + q (p Ε y = l sin(q + l sin(q + q O O l q x x i- A (q i = Rot(z,q i Tra(x, l i = i T = A = A A E θ = q + q cos(q i -sin(q i l i cos(q i sin(q i cos(q i l i sin(q i 55 Ορθή κινηματική ανάλυση: Παράδειγμα ( βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y O y O l q x l y Ε l q x Ε q y x x O O Ε θ Κινηματική μοντέλο: (p Ε x = l c + l c + l c (p Ε y = l s + l s + l s θ = q + q + q όπου : c = cos(q c = cos(q + q c = cos(q + q + q s = sin(q s = sin(q + q s = sin(q + q + q 56
Μέθοδος Denavit-Hartenberg ( Άρθρωση i- Άρθρωση i Άρθρωση i+ α i (i =,, n Σύνδεσμος i- Σύνδεσμος i- Σύνδεσμος i y i z i Σύνδεσμος i+ Σ i z i- d i a i O i x i O i- x i- θ i α i Βασική αρχή (ιδέα: 4 παράμετροι για την περιγραφή της σχετικής τοποθέτησης του πλαισίου (i ως προς το (i-: γωνία α, μετατοπίσεις a, d, και γωνία θ 57 Μέθοδος Denavit-Hartenberg ( Άρθρωση i- Άρθρωση i Άρθρωση i+ α i (i =,, n Σύνδεσμος i- Σύνδεσμος i- Σ i z i- O i- Σύνδεσμος i y i z i a i O i d i α x θ i i- i x i Σύνδεσμος i+ θ i : γωνία μεταξύ του άξονα x i- και της κοινής καθέτου Σ i Ο i (στροφή γύρω από τον άξονα z i- άρθρωση i d i : η απόσταση O i- και Σ i (μετατόπιση κατά μήκος του z i- άρθρωση i a i : το μήκος της κοινής καθέτου Σ i Ο i (άρθρωση i άρθρωση i+ α i : γωνία μεταξύ του άξονα z i- και z i (στροφή γύρω από τον άξονα x i 58
Μέθοδος Denavit-Hartenberg ( Άρθρωση i- Σύνδεσμος i- Σύνδεσμος i- Άρθρωση i Άρθρωση i+ Σ i z i- O i- Σύνδεσμος i x i- d i a i θ i y i z i O i α i x i (i =,, n Σύνδεσμος i+ Βήμα : περιστροφή του πλαισίου i- γύρω από τον άξονα z i- κατά γωνία θ i Βήμα : μετατόπιση d i του πλαισίου i- κατά μήκος του άξονα z i- Βήμα : μετατόπιση a i (μήκος της κοινής καθέτου κατά το νέο (στραφέντα άξονα x i- (που τώρα συμπίπτει με τον x i α i Βήμα 4: περιστροφή γύρω από τον άξονα x i κατά γωνία α i 59 Μέθοδος Denavit-Hartenberg (4 Βήμα : περιστροφή γύρω από τον z i- κατά θ i Βήμα : μετατόπιση d i κατά μήκος του άξονα z i- i- Α = Σ i cosθ i -sinθ i sinθ i cosθ i d i Βήμα : μετατόπιση a i κατά τον άξονα x i Βήμα 4: περιστροφή γύρω από τον άξονα x i κατά γωνία α i Σ i Α = i a i cosα i -sinα i sinα i cosα i 6
Η Μήτρα Denavit-Hartenberg Θέση και προσανατολισμός του πλαισίου i ως προς το i-: i- i- Σ Α i = Α A i i = Σ i cosθ i -sinθ i cosα i sinθ i sinα i a i cosθ i sinθ i cosθ i cosα i -cosθ i sinα i a i sinθ i sinα i cosα i d i q i = θ i για περιστροφική άρθρωση q i = d i για πρισματική άρθρωση a i και α i ορίζονται από τη γεωμετρία του συνδέσμου και είναι σταθερές 6 Μέθοδος Denavit-Hartenberg: Παράδειγμα q z z q y z y q z d y x x x x a a y Σύνδεσμος i a i α i d i θ i Πίνακας Παραμέτρων Denavit-Hartenberg a a -9 o q q d q 6
Παράδειγμα : Ρομποτικός Βραχίονας -R--P z O y x Κινηματική Δομή: Διάγραμμα P Πίνακας Παραμέτρων Denavit-Hartenberg άρθρωση O d x z q l l z y O x O άρθρωση z q x y l R O x l q z z O y x z z d y O y x R Σύνδεσμος i a i α i -9 o +9 o d i l l d θ i q q q O x y Εύρεση κινηματικού μοντέλου 6 Παράδειγμα (-R--P (συνέχεια ( Πίνακας Παραμέτρων Denavit-Hartenberg Σύνδεσμος i a i T = A = α i -9 o +9 o d i l l d R (q,q θ i q q p (q,q,d c c -s c s -l s +d c s s c c s s l c +d s s -s c l +d c A = A = A = cosq -sinq sinq cosq - l cosq sinq sinq -cosq l d 64
Παράδειγμα (-R--P (συνέχεια ( Γεωμετρικό μοντέλο : «Εποπτική» (γεωμετρική λύση q p z = l + d z όπου: d z = d cosq l z p z O d z l l O d d xy q p y y O p y = l cosq + d y όπου: d y = d xy sinq p x = -l sinq + d x όπου: d x = d xy cosq ( d xy = d sinq l q d xy d y y Άρα: p x = -l s + d s c p y = l c + d s s p z = l + d c x x p (q,q,d 65 Παράδειγμα : Ρομποτικός Βραχίονας -R βαθμοί ελευθ. D, στο χώρο y q άρθρωση z l y O z y O l q q άρθρωση x x q z O y y E l z O E Ε άρθρωση x x x E q q q Ρομποτικός Βραχίονας -R ( περιστροφικές αρθρώσεις: q, q, q Κινηματικό (γεωμετρικό μοντέλο: O Ε l O l O l O z y x A = Rot(z,q Tra(z,l A = Rot(y,q Tra(z,l A = Rot(y,q Tra(z,l A = A A A 66
Παράδειγμα (-R (συνέχεια( A (q = c -s s c l c s l s, A (q =, -s c l c A (q = c s l s -s c l c O Ε q l O l A (q = c s l s -s c l c c s l s -s c l c = c s l s + l s -s c l c + l c q q O l O z y x A (q = c -s s c l c s l s + l s -s c l c + l c 67 Παράδειγμα (-R (συνέχεια( z q Γεωμετρικό μοντέλο ρομπότ -R : O q O Αλγεβρικό γινόμενο διαδοχικών μετασχηματισμών: p (q,q,q = A [:, 4 ] = (l s + l s c (l s + l s s l + l c + l c x l O l O q p xy p y «Εποπτική» (γεωμετρική λύση: y p z = l + l cosq + l cos(q +q p y = p xy sinq p x = p xy cosq όπου: p xy = l sinq + l sin(q +q p p x = (l s + l s c x p x = (l s + l s s p (q,q,q p z = l + l c + l c 68
Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος -, 7ο Εξάμηνο Μάθημα: «Ρομποτική Ι». Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας Αντίστροφη Κινηματική Ανάλυση Ρομποτικών Χειριστών 69 Αντίστροφη Κινηματική Ανάλυση Ορθή κινηματική ανάλυση (ευθύ γεωμετρικό μοντέλο: κινηματική εξίσωση ρομπότ, δηλ. από τις μετατοπίσεις q i (i=,..,n των n αρθρώσεων εύρεση θέσης και προσανατολισμού τελικού στοιχείου δράσης Αντίστροφη κινηματική ανάλυση: εύρεση των μετατοπίσεων q i (i=,..,n των αρθρώσεων που οδηγούν το τελικό στοιχείο δράσης σε επιθυμητή θέση και προσανατολισμό Για την τοποθέτηση του τελικού στοιχείου σε οποιαδήποτε θέση/προσανατολισμό μέσαστοχώροεργασίας(workspace απαιτείται το ρομπότ να έχει τουλάχιστον 6 βαθμούς ελευθερίας 7
Αντίστροφη κινηματική ανάλυση: Ένα απλό παράδειγμα Σφαιρικός επίπεδος μηχανισμός (planar polar mechanism Δεδομένα: p x, p y Εύρεση: [q, q ] = [θ, d] Y (p x, p y d θ X p x = d cos(θ p y = d sin(θ Εύρεση θ : tan(θ =p y / p x py θ = arctan( ( ± k π rad p py Πιο συγκεκριμένα: θ = arctan ( p Εύρεση d : d = ( px + py x x 7 Αντίστροφη κινηματική ανάλυση: Παράδειγμα p y y O y O l q x l y Ε (p x, p y O Ε q x p x x Ε θ θ Δεδομένα: l, l, p x, p y Εύρεση: [q, q ] p x = l cos(q + l cos(q + q p y = l sin(q + l sin(q + q θ = q + q ( p + ( p = l c + l c + ll cc + x y + l s + l s + ll ss q ( px + ( py l l = ± arccos ll ( p + ( p = l + l + ll (cc + ss x y cosq 7
Αντίστροφη κινηματική ανάλυση: Παράδειγμα (συνέχεια p y η λύση y Ε O Ε x Ε θ q ( px + ( py l l = ± arccos ll y l q Γεωμετρική λύση για το q l q O x O p x Νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο Ο Ο Ο Ε : sinϕ = sinψ l d l sin(8 ο -q = d sinψ ψ = arcsin(l s /d [p x,p y ] όπου: d = sqrt((p x +(p y d q φ ψ q Άρα: tan(q +ψ = p y /p x q = arctan(p y /p x - ψ py l s = arctan arcsin px (p x + (p y q 7 O Αντίστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 6 βαθμών ελευθερίας (5-R--P x z x z y z -q x y Σφαιρικός Καρπός y O E n a o d -d cosq d sinq Σ l d z a z x y l y l z y o Σ O O 4 O 5 z z 5 x x 4 x 5 z 4 Σύνδεσμος i 4 5 +9 o q O 5 6 Παράμετροι D-H a i α i -9 o +9 o -9 o d i l l d l θ i q q q 4 q 6 74
Αντίστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 5-R--P (συνέχεια ( A (q = c -s s c - l A (q = c s s -c l A (d = d A 4(q 4 = c 4 -s 4 s 4 c 4-4 A 5(q 5 = c 5 s 5 s 5 -c 5 5 A 6(q 6 = c 6 -s 6 s 6 c 6 l T = A (q A (q A (d A (q 4 A (q 5 A (q 6 Ανάστροφο κινηματικό πρόβλημα: δοσμένου Τ εύρεση {q i } 4 4 5 5 6 75 Αντίστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 5-R--P (συνέχεια ( l a o Έστω T = n x o x a x p x n y o y a y p y n z o z a z p z Σ O O 4 O 5 z z 5 p p * O d z z x y l y l z y z 4 Έστω επίσης: Σ (η θέση του σημείου Σ p * = p -l a p = p * = [p* x p* y p* z ] T * p x * p y = * p z p x -l a x p y -l a y p z -l a z 76
Αντίστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 5-R--P (συνέχεια ( (A - (q = c s - l -s c A (q,d = c s d s s -c -d c l A = (A - A = c s - l -s c *......... p * * x p x c +p y s......... p * y -p*......... p * = z + l z -p* x s +p* y c * * * * * px± ( px + ( py l = - s c arctan x + y = l + p* y l p p q q * * px c + py arctan p* z l s = * * * d =± ( p c + p s + ( p l x y z τ = tan(θ/ sinθ = (τ/(+τ cosθ =(-τ /(+τ 77 Αντίστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 5-R--P (συνέχεια (4 Έστω T = 6 (A A A - T = A = n x o x a x p x n y o y a y p y n z o z a z p z A 4(q 4 = c 4 -s 4 s 4 c 4-4 4 5 A 6(q 5,q 6 = A 5(q 5 A 6(q 6 = c 5 c 6 -c 5 s 6 s 5 l s 5 s 5 c 6 -s 5 s 6 -c 5 -l c 5 s 6 c 6 4 6 4 A (q 5,q 6 = (A - T = a xc 4 +a ys 4 -n z -o z -a z -n xs 4 +n yc 4 -o xs 4 +o yc 4 -a xs 4 +a yc 4 78
Αντίστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 5-R--P (συνέχεια (5 -a xs 4 +a yc 4 = q 4 = arctan(a y / a x a xc 4 +a ys 4 = s 5 -a z = -c 5 q ac + as ' ' x 4 y 4 5 = arctan a' z -n xs 4 +n yc 4 = s 6 -o xs 4 +o yc 4 = c 6 q -n s + n c ' ' x 4 y 4 6 = arctan -o ' ' x s 4 o y c + 4 79