Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε. ) Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή ασκείται πάνω του μια οριζόντια σταερή δύναμη F, όπως στο σχήμα. i) Σε ποια διεύυνση α κινηεί το σώμα; ii) Η επιτάχυνση που α αποκτήσει το σώμα α μεταβάλλει: β) Μόνο την κατεύυνση της ταχύτητας. γ) Και το μέτρο και την κατεύυνση της ταχύτητας. r r i) Με βάση το ο νόμο του Νεύτωνα F = ma το σώμα α αποκτήσει σταερή επιτάχυνση ίδιας διεύυνσης με τη δύναμη. Αλλά τότε το σώμα α αποκτήσει και ταχύτητα στην ίδια διεύυνση και α κινηεί ευύγραμμα με ταχύτητα το μέτρο της οποίας α υπακούει στην εξίσωση υ=α t. ii) Από τη στιγμή που η επιτάχυνση και η ταχύτητα, την οποία α αποκτήσει το σώμα, α έχουν την ίδια κατεύυνση, α αλλάζει το μέτρο της ταχύτητας, αλλά όχι η κατεύυνσή της. Σωστό το α). Β) Ένα σώμα μάζας kg ηρεμεί στο κάτω άκρο νήματος μήκους L=m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεεί σε σταερό σημείο Ο. Εκτρέπουμε το σώμα ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο, όπως στο σχήμα (έση Α), και το αφήνουμε να κινηεί. Δίνεται g=10m/. F r κάτοψη F r F r κάτοψη 1) Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, αμέσως μόλις α- φεεί να κινηεί, στη έση Α και να υπολογιστούν τα μέτρα τους. Οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, είναι το βάρος και η τάση του νήματος, όπως εμφανίζονται στο διπλανό T r σχήμα. ια τα μέτρα τους έχουμε: υ w=mg= 10Ν=0Ν και T = m = 0 R όπου η τάση του νήματος παίζει το ρόλο της κεντρομόλου, αφού είναι η μοναδική δύναμη που έχει τη διεύυνση της ακτίνας, της κυκλικής τροχιάς που α διαγράψει το σώμα. Αλλά τη στιγμή που αφήνεται η ταχύτητα είναι μηδενική συνεπώς και το μέτρο της τάσης είναι επίσης μηδενικό. Συμπέρασμα; Στο σώμα ασκείται μόνο το βάρος w!!! ) Να υπολογίστε την επιτάχυνση που α αποκτήσει το σώμα στη έση Α. Η επιτάχυνση αυτή α μεταβάλει: β) Μόνο την κατεύυνση της ταχύτητας. γ) Και το μέτρο και την κατεύυνση της ταχύτητας. www.likonet.gr 1
Εφαρμόζοντας το ο νόμο του Νεύτωνα βρίσκουμε: ΣF=mα mg=mα α= g=10m/. Κατακόρυφη με φορά προς τα κάτω, ίδια με το βάρος. Η επιτάχυνση αυτή έχει διεύυνση εφαπτόμενη στην κυκλική τροχιά, συνεπώς ίδια διεύυνση με την ταχύτητα. Αυτό σημαίνει ότι α μεταβάλλει μόνο το μέτρο της ταχύτητας. Σωστό το α). 3) Μετά από λίγο το σώμα φτάνει στην αρχική έση ισορροπίας του (έση με κατακόρυφο νήμα), με ταχύτητα μέτρου υ 1. Να την σχεδιάστε στο σχήμα. Το μέτρο της μπορούμε να το υπολογίσουμε: i) Χρησιμοποιώντας τους τύπους της ομαλής κυκλικής κίνησης. ii) Ενεργειακά, δηλαδή με χρήση του εωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας ή της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Να δικαιολογήστε την επιλογή σας. Η ταχύτητα υ 1 στη έση είναι οριζόντια, εφαπτόμενη στην κυκλική τροχιά που διαγράφει το σώμα. ια να υπολογίσουμε το μέτρο της α πρέπει να δουλέψουμε ενεργειακά, είτε με χρήση του εωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας είτε εφαρμόζοντας την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας. Οι εξισώσεις κίνησης για την ομαλή κυκλική κίνηση, δεν μπορούν να εφαρμοστούν, αφού η κίνηση δεν είναι ομαλή κυκλική. Το σώμα δεν κινείται με ταχύτητα σταερού μέτρου. 4) Να υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας υ 1 στη έση. T r Κατά τη διάρκεια της κίνησης του σώματος η μηχανική ενέργεια διατηρείται, αφού το βάρος είναι συντηρητική δύναμη, ενώ η τάση του νήματος δεν παράγει έργο, αφού είναι διαρκώς κάετη στη μετατόπιση. Συνεπώς, ορίζοντας το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το κατώτερο σημείο της τροχιάς, ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, έχουμε: K + U = K U + 1 0+ mgl= mυ1 + 0 1 gl υ = υ 1 10 1,5m / 5m/ 5) Να βρεεί η επιτάχυνση του σώματος στη έση. Η επιτάχυνση αυτή α μεταβάλει: β) Μόνο την κατεύυνση της ταχύτητας. γ) Και το μέτρο και την κατεύυνση της ταχύτητας. Η επιτάχυνση στη έση αυτή είναι κεντρομόλος με κατεύυνση προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς και μέτρο: υ 5 a = aκ R 1,5 1 = m/ 0m / www.likonet.gr
Η επιτάχυνση αυτή είναι κάετη στην ταχύτητα και μεταβάλλει μόνο τη διεύυνση της ταχύτητας και όχι το μέτρο της. Συμπέρασμα: Η επιτάχυνση ισούται με το ρυμό μεταβολής της ταχύτητας: r d a = dt Αν η επιτάχυνση έχει την ίδια διεύυνση με την ταχύτητα, τότε μεταβάλλει μόνο το μέτρο της ταχύτητας. Έτσι στο σχήμα (1) το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται, ενώ στο σχήμα () μειώνεται. ar r υ r υ ( 1) () ( 3) (4) ( 4a) 1 Αν η επιτάχυνση είναι κάετη στην ταχύτητα, σχήμα (3), τότε μεταβάλλεται μόνο η διεύυνση της ταχύτητας, αλλά όχι το μέτρο της. Τέλος, αν το διάνυσμα της επιτάχυνσης σχηματίζει κάποια άλλη γωνία με το διάνυσμα της ταχύτητας, νσχήμα (4), α προκαλεί μεταβολή ΚΑΙ στο μέτρο ΚΑΙ στη διεύυνση της ταχύτητας. Στο σχήμα (4 α ) εύκολα μπορείτε να δείτε ότι στην περίπτωση αυτή η επιτάχυνση μπορεί να α- ναλυεί σε δυο συνιστώσες, όπου η συνιστώσα α 1 μεταβάλλει το μέτρο της ταχύτητας, ενώ η συνιστώσα α την διεύυνσή της. 6) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος στη έση. Από το ο νόμο του Νεύτωνα (εμελιώδη νόμο της δυναμικής) παίρνουμε: r r Σ F = ma Τ-w=m α κ Τ=mg+mα κ = 10Ν+ 0Ν=60Ν. 7) Στη συνέχεια το σώμα φτάνει σε μια έση Δ, όπου το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφη γωνία, ό- που ημ=0,6 και συν=0,8. ια τη έση αυτή να βρεούν: i) Η ταχύτητα του σώματος υ. h T r Ορίζοντας το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το σημείο της τροχιάς Δ, ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, έχουμε: K + U = K + U 1 0+ mgh= mυ + 0 gh υ = Αλλά από το σχηματιζόμενο τρίγωνο με κάετη πλευρά h και υποτείνουσα L έχουμε: h συνϑ = h= L συνϑ οπότε: L www.likonet.gr 3
ii) Η κεντρομόλος επιτάχυνση:. υ = gh = gl συνϑ = 10 1,5 0,8m/ 5m/ = ( 5) m/ 16m/. a = υ κ R 1,5 Με κατεύυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς Ο. iii) Πάρτε δύο κάετους άξονες, ο ένας στη διεύυνση της ακτίνας και ο άλλος στη διεύυνση της εφαπτόμενης στη έση Δ. Αναλύστε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα πάνω στους άξονες αυτούς και στη συνέχεια: α) Υπολογίστε την επιτάχυνση στη διεύυνση της εφαπτομένης του κύκλου. Τι μετράει η επιτάχυνση αυτή; β) Υπολογίστε το μέτρο της τάσης Τ του νήματος. Στο παραπάνω σχήμα έχουν σχεδιαστεί το βάρος και η τάση του νήματος Τ που ασκούνται στο σώμα. Αναλύουμε το βάρος σε δυο συνιστώσες w =mg ημ= 10 0,6Ν=1Ν και w =mg συν= 10 0,8Ν=16Ν. Εφαρμόζοντας τώρα το ο κ νόμο του Νεύτωνα στους δυο άξονες έχουμε: ΣF =m α w =m α a w m 1 6 = m, Με διεύυνση τη διεύυνση της εφαπτομένης του κύκλου, ίδια με τη διεύυνση της ταχύτητας, αλλά με αντίετη από τη φορά της ταχύτητας. Συνεπώς η επιτάχυνση αυτή μεταβάλλει το μέτρο της ταχύτητας. Στην περίπτωσή μας δε, επειδή έχει αντίετη φορά, το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται (επιβραδυνόμενη κίνηση) Η συνιστώσα αυτή της επιτάχυνσης, ονομάζεται επιτρόχια επιτάχυνση (α ε ) και ισούται με το ρυμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του σώματος. β) Στη διεύυνση της ακτίνας: ΣF =m α Τ -w =m α Όπου α =α κ η γνωστή μας κεντρομόλος επιτάχυνση. Έτσι: Τ =w +m α κ =16Ν+ 16Ν=48Ν / ε Συμπέρασμα: κ ε F r υ r Σε κάε καμπυλόγραμμη κίνηση, η ταχύτητα είναι εφαπτόμενη στην τροχιά σε κάε σημείο (σκεφτείτε οριζόντια βολή ή κυκλική κίνηση). Η επιτάχυνση όμως έχει την κατεύυνση της συνισταμένης δύναμης και κατευύνεται πάντα προς το εσωτερικό μέρος της τροχιάς. Η επιτάχυνση αυτή, μπορεί να αναλυεί σε δυο συνιστώσες. Μία, στη διεύυνση της ταχύτητας, η οποία ονομάζεται επιτρόχια επιτάχυνση και η ο- www.likonet.gr 4
ποία ευύνεται για την αλλαγή του μέτρου της ταχύτητας και μία κάετη στην ταχύτητα, η οποία ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχυνση, η οποία προκαλεί μεταβολή στην διεύυνση της ταχύτητας. Υλικό Φυσικής-Χημείας ιατί το να µοιράζεσαι ράγµατα, είναι καλό για όλους Επιμέλεια: Διονύσης Μάργαρης www.likonet.gr 5