Κεφ 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση

Κεφ 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση Κεφάλαιο 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε την απόκριση διαφόρων συντηρητικών ή μη συντηρητικών μηχανικών συστημάτων στα οποία προσδίδεται μια αρχική ενέργεια και κατόπιν αφήνονται να κινηθούν ελεύθερα. Για το λόγο αυτό άλλωστε τις ταλαντώσεις αυτές τις ονομάσαμε ελεύθερες ταλαντώσεις. Στην περίπτωση όμως που ένα αίτιο ενεργεί συνεχώς σε ένα μηχανικό σύστημα είναι προφανές ότι αυτό θα ταλαντωθεί με διαφορετικό τρόπο αφού τώρα υπάρχει το στοιχείου του εξαναγκασμού. Σκοπός του παρόντος κεφαλαίου είναι η μελέτη της συμπεριφοράς ενός μηχανικού συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας που υπόκεινται σε γνωστό εξαναγκασμό, δηλαδή η μορφή του είναι μια γνωστή συνάρτηση του χρόνου. Ανάλογα με τη μορφή της διέγερσης οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις διακρίνονται σε δυο κατηγορίες: τις περιοδικές και τις μη-περιοδικές. Γενικά περιοδικές ταλαντώσεις σε ένα ταλαντούμενο σύστημα προκαλούν μηχανές με περιστρεφόμενα μέρη, αζυγοστάθμητοι τροχοί κ.α. Όταν οι εξαναγκασμοί είναι ημιτονοειδής ονομάζονται αρμονικοί. Τέλος οι μη περιοδικές φορτίσεις μπορεί να είναι μικρής διάρκειας όπως ένα κρουστικό φορτίο, ένα ωστικό κύμα κ.α, είτε μακράς διάρκειας όπως ένας σεισμός ή οι κραδασμοί σε ένα όχημα που κινείται σε ανώμαλο έδαφος κ.α. Είναι γνωστό ότι κάθε μη-περιοδική φόρτιση, μέσω του μετασχηματισμού Fourier, μπορεί να αναλυθεί σε ένα άθροισμα πολλών αρμονικών φορτίσεων. Έτσι, λόγω της γραμμικότητας των προβλημάτων που μελετάμε, η συνολική απόκριση του συστήματος σε μη-περιοδική φόρτιση θα ισούται με το άθροισμα των αποκρίσεων του συστήματος στις αρμονικές φορτίσεις που προέκυψαν από τον Fourier. Είναι φανερό ότι η μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης σε αρμονική διέγερση αποτελεί ένα δομικό πρόβλημα για την επίλυση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης με μη-περιοδική φόρτιση. 1. Απόκριση συντηρητικού συστήματος σε αρμονική δύναμη Θεωρούμε ότι το μηχανικό σύστημα ελατηρίου-μάζας του σχήματος 4.1 στο οποίο ενεργεί η αρμονική δύναμη: F () = F cos Ω (4.1) όπου F είναι εύρος και Ω η κυκλική συχνότητα του εξαναγκασμού. O +x F = F cosù Σχήμα 4.1 57

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών Η διαφορική εξίσωση κίνησης του συστήματος είναι: cos x + kx = F Ω (4.) Η διαφορική εξίσωση (4.) είναι μη-ομογενής, δεύτερης τάξης, με σταθερούς συντελεστές. Η λύση x() μιας τέτοιας εξίσωσης είναι το άθροισμα της λύσης x () της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης (το δεύτερο μέλος της (4.) ίσον με το μηδέν) συν τη ειδική λύση x () της διαφορικής, δηλαδή: x = x + x (4.3) Όμως η ομογενής εξίσωση της (4.) είναι η ίδια με την ομογενή εξίσωση (3.6) που περιγράφει την ελεύθερη ταλάντωση του συστήματος ελατηρίου-μάζας. Άρα σύμφωνα με την (3.14) η λύση x () είναι: x () = a siω + b cosω (4.4) όπου ω = k/ η φυσική συχνότητα του συστήματος και α και b σταθερές που θα προσδιορισθούν με από τις αρχικές συνθήκες. Επειδή ο εξαναγκασμός είναι αρμονικός η ειδική λύση x () είναι επίσης αρμονική συνάρτηση με την ίδια συχνότητα Ω. Επειδή μάλιστα δεν υπάρχει στοιχείο διάχυσης στο σύστημα που μελετάμε η ειδική λύση και ο εξαναγκασμός θα βρίσκονται σε φάση. Άρα η x () θα είναι της μορφής: x () = X cosω (4.5) όπου Χ σταθερά που υποδηλώνει το μέγιστο εύρος της x () και για να την προσδιορίσουμε αντικαθιστούμε την (4.5) στην (4.): F F / Ω + k X cosω = F cos Ω X = X = X = F / ( ω Ω ) ( k Ω ) ( k/ Ω ) (4.6) Σύμφωνα με τις (4.4)-(4.6) η συνολική λύση x() από την (4.3) γράφεται: F / x = a siω + b cosω + cos Ω () ( ω Ω ) (4.7) Εφαρμόζοντας τι ακόλουθες γενικές συνοριακές: x = x και x = v (4.8) 58

Κεφ 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση προκύπτουν τελικά οι σταθερές α και b : a v = και ω και τελικά η απόκριση του συστήματος είναι: b = x F / ( ω ) Ω (4.9) v F / x() = siω x cosω cos cosω ω + + Ω [ ] ω Ω (4.1) Η (4.1) δίνει τη απόκριση ενός συστήματος ελατηρίου μάζας σε αρμονικό φορτίο με κυκλική συχνότητα Ω. 1.1 Συντονισμός Όταν Ω=ω το πλάτος ταλάντωσης X στην (4.6) απειρίζεται. Αυτή η κατάσταση, στην οποία δηλαδή η συχνότητα του εξαναγκασμού ισούται με την φυσική συχνότητα του συστήματος ονομάζεται συντονισμός και έχει ως αποτέλεσμα σε ένα συντηρητικό σύστημα τον απειρισμό του πλάτους της ταλάντωσης. Παρατηρώντας κάποιος την (4.1) διαπιστώνει ότι στην περίπτωση που Ω=ω μηδενίζονται συγχρόνως ο παρανομαστής ( ) ω Ω και ο αριθμητής [ Ω ω ] cos cos. Επειδή λοιπόν προκύπτει απροσδιόριστη μορφή / πρέπει να εφαρμόσουμε το κανόνα του L Hosial για να βρούμε τη συμπεριφορά αυτού του όρου. Επομένως έχουμε: d [ cos Ω cosω ] [ cos cos ] Ω ω li = li dω = ω ( ω ) Ω Ω ω d ( ω Ω ) dω si Ω 1 li = siω ω Ω ω Ω Ω (4.11) Επομένως στην περίπτωση του συντονισμού η λύση x() από την (4.1) γράφεται: v F 1 x = + x + (4.1) () si cos si ω ω ω ω ω Παρατηρώντας την (4.1) είναι φανερό ότι όσο αυξάνει ο χρόνος ο τελευταίος όρος της αυξάνει συνεχώς τείνοντας στο άπειρο. Στο σχήμα (4.) αναπαρίσταται η απόκριση x() σύμφωνα με την (4.1) για v =x =, =1 Kgr, ω = 5 rad/sec και F = N. 59

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών x() 3 1 F 1 x() = siω ω F 1 ω ω =5 rad/sec F = N =1 kgr (sec) 4 6 8 1 1 14-1 π/ω 1. Διακρότημα - -3 Σχήμα 4. F ω 1 Όταν η κυκλική συχνότητα του εξαναγκασμού Ω είναι κοντά, αλλά δεν ισούται, με τη φυσική συχνότητα ω του συστήματος τότε λαμβάνει χώρα το φαινόμενο του διακροτήματος. Στην περίπτωση αυτή το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης δεν είναι σταθερό αλλά αυξομειώνεται με ένα κανονικό ρυθμό πολύ πιο αργό από αυτό της φυσική συχνότητα ω. Για να μελετήσουμε το φαινόμενο του διακροτήματος και για λόγους απλότητας θεωρούμε μηδενικές αρχικές συνθήκες και επομένως η (4.1) γράφεται: F / x = Ω () [ cos cosω ] ω Ω (4.13) Έστω ότι η Ω διαφέρει πολύ λίγο από την ω και ισχύει: ω Ω= ε (4.14) όπου ε ένας μικρός αριθμός. Με βάση την (4.14) το άθροισμα και η διαφορά των τετραγώνων των δυο συχνοτήτων γράφονται: Ω+ ω =Ω+ ε +Ω Ω (4.15) ω Ω = ε +Ω Ω = 4ε + 4εΩ+Ω Ω 4εΩ (4.16) Λαμβάνοντας υπόψη την τριγωνομετρική ταυτότητα (Παράρτημα Α) ο αντίστοιχος όρος της (4.13) γράφεται a+ b a b cos a cosb= si si (4.17) (4.14),(4.15) Ω+ ω Ω ω cosω cosω = si si = si Ω siε (4.18) 6

Κεφ 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση Με βάση τις (4.16) και (4.18) η (4.13) γίνεται: με F () / x = siε si Ω ή x() = A()si Ω ε Ω F () / A = siε ε Ω (4.19) (4.) Από τις (4.19) και (4.) μπορεί να παρατηρήσει κάποιος ότι ενώ η εξαναγκασμένη ταλάντωση, όπως αναμενόταν, γίνεται στην συχνότητα του εξαναγκασμού Ω συγχρόνως το πλάτος της ταλάντωσης A() μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο με πολύ αργό ρυθμό έχοντας συχνότητα ε. Στο σχήμα 4.3 αναπαρίσταται η απόκριση x() σύμφωνα με την (4.19), όπου παρουσιάζεται το φαινόμενο του διακροτήματος, για, =1 Kgr, Ω = 47 rad/sec, ω = 5 rad/sec και F = N..15 () () F / A()si, si x Ω A ε = = ε Ω Ω=47 rad/sec ω =5 rad/sec F = N =1 kgr.1.5 x() (sec)...5 1. 1.5..5 3. 3.5 4. 4.5 5. 5.5 -.5 -.1 -.15 π/ω π / ε Σχήμα 4.3. Λυμένες ασκήσεις εξαναγκασμένης ταλάντωσης συντηρητικών συστημάτων Άσκηση 1: Σε ένα μηχανικό σύστημα ελατηρίου-μάζας με = 5 kgr και k=4 N/ δρα σε μια αρμονική δύναμη με μέτρο F = 6 N και συχνότητα f=6 Hz. Βρείτε α) τη μετατόπιση του ελατηρίου λόγω του βάρους της μάζας β) Τη στατική μετατόπιση του ελατηρίου λόγω της μέγιστης εφαρμοζόμενης δύναμης. γ) Το εύρος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης της μάζας (Θεωρήστε μηδενικές αρχικές συνθήκες) 61

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών α) Έστω ότι το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά δ ώστε η δύναμη επαναφοράς να επαναφοράς του να εξισορροπήσει το βάρος, δηλαδή: k,l g 5 9.81 W = Fελ g = kδ δ = δ = δ =.1 k 4 ä g kä x s kx s F β) Με την εφαρμογή της στατικής δύναμης F έστω ότι το ελατήριο θα επιμηκυνθεί κατά χ s από τη θέση στατικής ισορροπίας ώστε η επιπλέον δύναμη επαναφοράς να εξισορροπήσει την F, δηλαδή: F 6 F = kxs xs = δ = δ =.15 k 4 γ) Για μηδενικές αρχικές συνθήκες (x = και v =) η (4.1) γράφεται F / x = Ω () [ cos cosω ] ω Ω Άρα το εύρος της ταλάντωσης είναι ω / 6 = k Ω= π f F / F / A= A= A= 5 A=.185 ( ω ) ( / 4 ) 4 Ω k π f 4π 6 5 Άσκηση : Ένα μηχανικό σύστημα ελατηρίου-μάζας ταλαντώνεται κοντά στην ιδιοσυχνότητα με αποτέλεσμα να εμφανίζεται το φαινόμενο του διακροτήματος. Η συχνότητα του εξαναγκασμού είναι f= 39.8 Hz και η φυσική συχνότητα f = 4 Hz. Βρείτε την περίοδο του διακροτήματος. Η (4.14) γράφεται ω Ω f f ω Ω= ε ε = ε = π ε = π ( 39.8 4) ε =.π Άρα η κυκλική συχνότητα του διακροτήματος ε =.π και επομένως η περίοδος: T = π π T T 1sec ε =.π = 6

Κεφ 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση Άσκηση 3: Ένα μηχανικό σύστημα ελατηρίου-μάζας με = 1 kgr και k = 1 N/ ταλαντώνεται με δύναμη εξαναγκασμού F = 5cos1. Βρείτε τη μετατόπιση σε α) ¼ β) ½ και γ) 5 ¾ και κύκλους ταλάντωσης. Θεωρήστε μηδενικές αρχικές συνθήκες. Η συχνότητα εξαναγκασμού Ω=1 rad/sec συμπίπτει με τη φυσική συχνότητα του συστήματος, δηλαδή: k 1 ω = ω = ω = 1 rad / sec Ω 1 και επομένως στο μηχανικό θα εμφανισθεί το φαινόμενο του συντονισμού. Η απόκριση του συστήματος στην περίπτωση αυτή περιγράφεται από την (4.1) η οποία για μηδενικές αρχικές συνθήκες γράφεται: F 1 5 1 x() = siω x() = siω x() =.15siω ω 1 1 α) Ο χρόνος που αντιστοιχεί σε ¼ κύκλους ταλάντωσης είναι: και το εύρος 1 1 1 = T = π = π sec ή =.157sec 1 1 1 4 4 ω ω π 1 x () =.15.157si ω x () =.1965 ω β) Ο χρόνος που αντιστοιχεί σε ½ κύκλους ταλάντωσης είναι: και το εύρος 5 5 1 = 1 T 1 5 sec 1 1.57 sec = π π ή ω = ω = 1 x () =.15 1.57si ω5π x () = ω β) Ο χρόνος που αντιστοιχεί σε 5 ¾ κύκλους ταλάντωσης είναι: και το εύρος 3 3 3 1 = T = π = π sec ή = 3.618sec 1 1 1 4 4 ω ω 3π 1 =.15 3.618si =.4516 ω () ω x () x 63

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών Άσκηση 4: Ένα μηχανικό σύστημα ελατηρίου-μάζας με k=4 N/ οδηγείται με μια δύναμη εξαναγκασμού 5 N και συχνότητα 4 Hz. Παρατηρήθηκε ότι το πλάτος ταλάντωσης είναι. Να βρεθεί η μάζα του συστήματος. Θεωρήστε μηδενικές αρχικές συνθήκες. To πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι: ω = k/ Ω= π f / / F F Ak F A= A= A( k 4π f ) = F = 4π f A ( ω Ω ) ( k/ 4π f ). 4 5 = =.3749 π 4 4. Άσκηση 5: Ένας σμυριδοτροχός μάζας Μ=1 kgr και ακτίνας R=.1, στηρίζεται πάνω σε ελαστική έδραση με σταθερά ελατηρίου k=1 KN/. Ενώ ο τροχός περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω=1 rad/sec αποκολλάται από την εξωτερική του περιφέρεια του ένα κομμάτι μάζας = gr. Το αποτέλεσμα της αποκόλλησης είναι ο σμυριδοτροχός να αποσπαστεί την έδραση του και να προκληθεί εργατικό ατύχημα. Να εξηγηθεί γατί συνέβη αυτό. Όπως φαίνεται στο σχήμα, η αποκόλληση της μάζας των gr έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία αζυγοσταθμίας στον τροχό. Ο τροχός χάνει πλέον την ομοιόμορφη κατανομή μάζας και με την αποκόλληση δημιουργείται αντιδιαμετρικά από τη μάζα που αποκολλήθηκε μια έκκεντρη μάζα. Η έκκεντρη μάζα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω ως προς τον άξονα περιστροφής του τροχού και δημιουργεί φυγόκεντρη δύναμη που ισούται με: v R v=ωr F = F = Ω R Η φυγόκεντρη δύναμη ασκείται στον άξονα περιστροφής του τροχού και έχει φορά από το κέντρο προς την έκκεντρη μάζα. Η προβολή της φυγόκεντρης δύναμης στην διεύθυνση των ελατηρίων θα είναι: () () F = F cos Ω F = Ω R cos Ω Επομένως στη διεύθυνση των ελατηρίων έχουμε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η οποία περιγράφεται από την εξίσωση: 64

Κεφ 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση Mx+ kx= Ω RcosΩ Η φυσική συχνότητα του μηχανικού συστήματος είναι: k 1 1 N/ ω = = ω = 1 rad / sec Ω 1 kgr Η φυσική συχνότητα λοιπόν του συστήματος ταυτίζεται με την κυκλική συχνότητα του εξαναγκασμού Ω και επομένως θα εκδηλωθεί το φαινόμενο του συντονισμού με αποτέλεσμα το απειρισμό του εύρους της ταλάντωσης και την αστοχία των συνδέσμων του τροχού στη βάση του. Αξίζει να σημειωθεί ότι το φαινόμενο του συντονισμού λόγω της αζυγοσταθμίας εκδηλώθηκε ανεξάρτητα από το μέγεθος της μάζας που αποκολλήθηκε. 3. Απόκριση μηχανικού συστήματος με απόσβεση σε αρμονική δύναμη Η εξίσωση κίνησης ενός μηχανικού συστήματος ελατηρίου-μάζας-απσβεστήρα στο οποίο ενεργεί αρμονική δύναμη της μορφής cos F = F Ω είναι η εξής: () cos x + cx + kx = F Ω (4.1) Η ειδική λύση x () της (4.1) είναι επίσης αρμονική συνάρτηση της μορφής: x () = X cos( Ω ϕ ) (4.) όπου X είναι το πλάτος της απόκρισης και φ η διαφορά φάσης μεταξύ της δύναμης του εξαναγκασμού και της απόκρισης. Τα X και φ είναι άγνωστες σταθερές και πρέπει να προσδιορισθούν. Η ειδική λύση (4.) ονομάζεται απόκριση μόνιμης κατάστασης, μιας και η απόκριση x της ελεύθερης ταλάντωσης, λόγω της ύπαρξης της απόσβεσης, σβήνει με το χρόνο Αντικαθιστώντας την (4.) στην (4.1) και κάνοντας χρήση των τριγωνομετρικών σχέσεων (Παράρτημα Α) cos Ω ϕ = cos Ω cosϕ + si Ω siϕ si Ω ϕ = si Ωcosϕ cosω siϕ (4.3) προκύπτει το ακόλουθο γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων: X k Ω cosϕ + cω siϕ = F (4.4) 65

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών X k siϕ c cosϕ Ω Ω = με αγνώστους τα X και φ. Από την επίλυση του (4.4) προκύπτει: X F = 1/ k Ω + c Ω και (4.5) ϕ = a 1 cω k Ω Με σκοπό την αδιαστατοποίηση της (4.4) ορίζουμε ως αδιάστατη συχνότητα r τον λόγο: Ω r = (4.6) ω και ως αδιάστατο πλάτος ταλάντωσης ή συντελεστής ενίσχυσης R τον λόγο: X R = (4.7) F k / Αντικαθιστώντας τις (4.6) και (4.7) από την (4.5) προκύπτει: X F k = R και (4.8) ϕ Jr 1 r 1 = a (4.9) με R = 1 ( 1 r ) + ( Jr) (4.3) όπου J είναι ο λόγος απόσβεσης σύμφωνα με την (3.41). Στο σχήματα 4.4 και 4.5 φαίνεται η μεταβολή του συντελεστή ενίσχυσης R και της διαφοράς φάσης φ, αντίστοιχα, ως συναρτήσεις της αδιάστατης συχνότητας r για χαρακτηριστικές τιμές του λόγου απόσβεσης J. 66

Κεφ 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση.5 Συντελεστής ενίσχυσης R.5. 1.75 1.5 1.5 1..75 J= J=.3 J=.4 J=.771 J=1 J=.1.5.5 J=5 J=...5.5.75 1. 1.5 1.5 1.75..5.5.75 3. Αδιάστατη συχνότητα r = Ω / ω Σχήμα 4.4 18 Διαφορά φάσης φ (μοίρες) 16 14 1 1 8 6 4 J=5 J= J=1 J=.4 J=.3 J= J=.1 J=.1 J=.3 J=.77 J=.77 J=.4 J=1 J= J=5..5.5.75 1. 1.5 1.5 1.75..5.5.75 3. Αδιάστατη συχνότητα r = Ω / ω Σχήμα 4.5 67

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών Από τις σχέσεις (4.8)-(4.3) και από τα σχήματα 4.4 και 4.5 μπορούν να γίνουν οι εξής παρατηρήσεις: 1) Για μηδενικό συντελεστή απόσβεσης (J=) η διαφορά φάσης φ γίνεται μηδέν και η (4.) απλοποιείται στην (4.5). ) Για δεδομένη τιμή της αδιάστατης συχνότητας r αύξηση της απόσβεσης προκαλεί μείωση του εύρους ταλάντωσης. 3) Για δυο δεδομένες τιμές J και J 1 με J > J 1 η μείωση του αδιάστατου πλάτους R 1 - R είναι πολύ πιο σημαντική για τιμές του r κοντά στη μονάδα (ή για τιμές της Ω κοντά στην ιδιοσυχνότητα του συστήματος). 4) Στην περίπτωση χωρίς απόσβεση (J=) έχουμε συντονισμό για r=1 ή Ω=ω, με επακόλουθο τον απειρισμό του εύρους ταλάντωσης. Όταν τώρα στο σύστημα έχουμε απόσβεση το πλάτος δεν απειρίζεται αλλά απλά μεγιστοποιείται (και μάλιστα για μεγάλες τιμές του J δεν παρατηρείται καν μέγιστο). Από το σχήμα 4.4. είναι φανερό ότι η μεγιστοποίηση αυτή του πλάτους δεν γίνεται για Ω=ω αλλά για μικρότερες τιμές του r. Πράγματι σύμφωνα με την (4.3) η μεγιστοποίηση του πλάτους γίνεται για συχνότητα εξαναγκασμού Ω που προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης: d ( 1 r ) ( ) ( 1 )( ) 4 + Jr = r r + J ( r) = dr r = 1 J ή Ω = ω 1 J (4.31) Από την (4.31) προκύπτει ότι η συχνότητα εξαναγκασμού Ω είναι μικρότερη από τη φυσική συχνότητα ω, αλλά και από την ιδιοσυχνότητα ω ( ω = ω 1 ). d d J Από την (4.3), το μέγιστο αδιάστατο εύρος ταλάντωσης R που αντιστοιχεί στην αδιάστατη συχνότητα r είναι: R 1 1 = R = J 1 J ( 1 r ) + ( Jr) (4.3) Αντίστοιχα το αδιάστατο εύρος ταλάντωσης R που αντιστοιχεί στην φυσική συχνότητα ω (r=1) είναι: Πράγματι από τις (4.3) και (4.33) προκύπτει R R = 1 J (4.33) > R 5) Από την (4.31) προκύπτει ότι όταν ο συντελεστής απόσβεσης J είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 1/ το εύρος ταλάντωσης φθίνει μονότονα με την αύξηση της συχνότητα του εξαναγκασμού Ω και δεν υπάρχει κάποια τιμή αυτής που να έχουμε μεγιστοποίηση. 68

Κεφ 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση 6) Από την (4.9) προκύπτει ότι η διαφορά φάσης εξαρτάται από όλες τις φυσικές σταθερές του μηχανικού συστήματος, c, k, είναι ανεξάρτητη όμως από το πλάτος F του εξαναγκασμού. 7) Σχετικά με τη διαφορά φάσης από το σχήμα 4.5 προκύπτει ότι για τιμές του r<1 ή Ω<ω αύξηση του συντελεστή απόσβεσης J συνεπάγεται αύξηση της διαφοράς φάσης φ. Αντίθετα για r>1 ή Ω>ω αύξηση του J συνεπάγεται μείωση της φ. 8) Η διαφορά φάσης για r=1 ή Ω=ω είναι σταθερή ίση με 9 ο ανεξάρτητη από την τιμή του συντελεστή απόσβεσης J. 4. Λυμένες ασκήσεις εξαναγκασμένης ταλάντωσης συστημάτων με απόσβεση Άσκηση 1: Μια μηχανή 11 kgr εδράζεται πάνω σε ελαστικό θεμέλιο δυσκαμψίας x1 6 N/. Όταν λειτουργεί με γωνιακή ταχύτητα Ω=15 rad/sec, η μηχανή καταπονείται με μια αρμονική δύναμη πλάτους 15 Ν. Εάν το μόνιμο πλάτος ταλάντωσης μετρήθηκε 1.9, να βρεθεί ο συντελεστής απόσβεσης J. Η φυσική συχνότητα του συστήματος είναι: 6 k 1 ω = = ω = 134.8 rad / sec 11 Η αδιάστατη συχνότητα r και ο συντελεστής ενίσχυσης R είναι: Ω 15 r = = r = 1.113 και ω 134.8 X.19 R = R.53 6 F / k = 15 / 1 = Επίσης το R ισούται με: 1 = 1 + = 1 ( 1 r ) + ( Jr) R R r Jr ( r ) 1 R 1 1.53 1 1.113 J = = J =.1415 4rR 4 1.113.53 Άσκηση : Να βρεθεί το μόνιμο πλάτος ταλάντωσης της μάζας. 69

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών M siù k + kaè = 1kgr +x k O a a caè O kaè ÄÅÓ ãéá ñüíï I cyl O 5 =1.6 1 N/ =.1kgr- a = 1c k c=64 N-s/ M = 1 N- Ω=18rad/sec Με βάση το ΔΕΣ εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Newo για την περιστροφική κίνηση τoυ κυλίνδρου ως προς το κέντροτου O και έχουμε: cyl ( O ) cyl I θ =ΣM I + a θ = kaθ a kaθ a ca θ a+ M siω O O O I + a θ + ca θ + 5ka θ = M siω (i) Η γωνία περιστροφής θ συνδέεται με τη μετατόπιση x της μάζας μέσω της σχέσης: x = aθ (ii) oπότε η (i) γράφεται: cyl ( IO + a ) x + cax + 5kax = M siω (iii) a Πολλαπλασιάζοντας και τα δυο μέλη της (iii) με 1/α η (iii) γράφεται: cyl ( IO + a ) 1 1 1 1 x + cax + 5kax = M siω a a a a a cyl I O M + x cx 5kx si ή + + = Ω a a x+ c x + k x= F si Ω eq eq eq eq Από την (iv) προκύπτουν, η φυσική συχνότητα ω, ο συντελεστής απόσβεσης J, η αδιάστατη συχνότητα r και ο συντελεστής μεγέθυνσης ως εξής: 5 keq 5k 5 1.6 1 ω = = = ω = rad/sec cyl.1 eq IO + + 1 a.1 (iv) J ceq c 64 = = = J =.8 cyl.1 eqω I O + ω 1 + a.1 7

Κεφ 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση Ω 18 r = = r =.9 ω 1 1 R = = R= 4.19 1 r + ( Jr) ( 1.9 ) + (.8.9) Άρα το μόνιμο πλάτος ταλάντωσης της μάζας είναι: M Feq 1 X = R a R 4.19 X.55 5 K = 5k =.1 5 1.6 1 = eq Άσκηση 3: Μια μηχανή βάρους 1 Kgr εδράζεται στη μέση ενός αμφιέρεστου δοκαριού με μέτρο Ελαστικότητας Ε= Ga και ροπή αδράνειας διατομής Ι= 1.53x1-6 4. Mε σκοπό να βρεθεί ο λόγος απόσβεσης J, το σύστημα υπόκειται σε μια σειρά από αρμονικούς εξαναγκασμούς πλάτους Ν. Από τις πειραματικές μετρήσεις που έγιναν παρατηρήθηκε ότι το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης στην μόνιμη κατάσταση είναι ίσο με.5. Να βρεθεί το J. Από τον πίνακα.1 προκύπτει ότι για αμφιέρεστο δοκάρι με φορτίο στη μέση του η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου είναι: 9 6 48EI 48 1 1.53 1 Keq = = K 3 3 eq = L 1.5 και επομένως η φυσική συχνότητα του συστήματος είναι: 6 4.35 1 N/ 6 keq 4.35 1 ω = = ω = 19.4 rad/sec 1 Λαμβάνοντας υπόψη την (4.3) για το μέγιστο εύρος ταλάντωσης X ισχύει: Θέτω x (4.3) F F 1 F X = R = X 1 J J = k k J 1 J k X J F = kx ( 1 J ) = J και παραπάνω εξίσωση γράφεται x και έχει λύσεις: F x+ = kx 71

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών x x 1, 1, F 1± 1 4 kx 1± 1 4 6 4.35 1.5 = = 3 1±.989 x1 = 8.55 1 J1 =.95 = x =.99145 J =.9957 Εάν η απόσβεση του συστήματος ήταν η J τότε επειδή αυτή είναι μεγαλύτερη από 1/ δεν θα παρατηρούταν πειραματικά μεγιστοποίηση του εύρους. Άρα αποδεκτή λύση είναι η πρώτη και επομένως ο συντελεστής απόσβεσης του συστήματος είναι J =.95 Άσκηση 4: Ένας ηλεκτροκινητήρας μάζας 35 kgr λειτουργεί στα 35 Hz και εδράζεται σε ελαστική θεμελίωση δυσκαμψίας 3x1 6 N/. H διαφορά φάσης μεταξύ της δύναμης του εξαναγκασμού και της απόκρισης της μόνιμης κατάστασης ισούται με 1 ο. Να βρεθεί ο συντελεστής απόσβεσης J του συστήματος. Η φυσική συχνότητα ω και η αδιάστατη συχνότητα r ισούνται είναι: 6 k 3 1 ω = = ω = 9.8rad/sec 35 Ω π 6 r = = r = 1.88 ω 9.8 Η τιμή της αδιάστατης συχνότητας είναι μεγαλύτερη της μονάδας και όπως προκύπτει από το o o σχήμα 4.5 για τιμές r>1 η διαφορά φάσης παίρνει τιμές τέτοιες ώστε: 9 < ϕ 18. Επομένως η κατάλληλη τιμή για τη διαφορά φάσης είναι φ = 18 ο -1 ο =159 ο. Από την (4.9) προκύπτει: 1 Jr 1 r 1 1.88 o ϕ = a J aϕ a159 J.98 1 r = = = r 1.88 5. Απόκριση μηχανικού συστήματος με απόσβεση σε εξαναγκασμό βάσης Στην παρούσα παράγραφο θα μελετήσουμε την ταλάντωση ενός μηχανικού συστήματος ελατηρίουμάζας-αποσβεστήρα, στο οποίο η βάση του κινείται υπό την επήρεια ενός εξαναγκασμού y(), όπως φαίνεται στο σχήμα 4.6. Για παράδειγμα σε τέτοιου είδους τέτοιου είδους ταλάντωση υπόκειται ένας τροχός ενός οχήματος που κινείται σε ανώμαλο έδαφος ή μια κατασκευή σε μια σεισμική δόνηση. Έστω ότι η βάση υπόκειται σε αρμονική κίνηση y()=υ si Ω. k c + y =Y si O +x Σχήμα 4.6 Ù ÄÅÓ ãéá ñüíï k( x-y) c( x-y) 7

Κεφ 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση Με βάση το ΔΕΣ του σχήματος 4.6 γράφουμε τον ο Νόμο του Newo, και προκύπτει η εξίσωση κίνησης: ή x + c x y + k x y = x + cx + kx = cy + ky (4.34) Αντικαθιστώντας την y()=υ si Ω στην (4.34) προκύπτει: x + cx + kx = ky si Ω + cωy cos Ω ή x + cx + kx = F cos Ω ϕ 1 (4.35) όπου F = Y k + c Ω ϕ k cω 1 1 = a και (4.36) Η σχέση (4.35) δείχνει ότι ο εξαναγκασμός βάσης y() δημιουργεί ισοδύναμη ταλάντωση με αυτή που θα δημιουργούσε μια αρμονική δύναμη F cos( ϕ ) Ω ασκούμενη στη μάζα του 1 συστήματος. Ακολουθώντας παρόμοια διαδικασία με αυτή της παραγράφου 3 προκύπτει ότι η απόκριση μόνιμης κατάστασης x () είναι: όπου X = Y R με x () = X cos Ω ϕ ϕ (4.37) 1 R 1+ ( Jr) = ( 1 r ) + ( Jr) και 1 Jr ϕ = a 1 r 1 (4.38) (4.39) Σύμφωνα με το ΔΕΣ του σχήματος 4.6 η ολική δύναμη που δέχεται η βάση θα είναι (4.34) cos F = c x y + k x y = x = Ω Ω ϕ ϕ (4.4) 1 παρατηρώντας ότι η δύναμη F βρίσκεται σε φάση με την κίνηση x () της μάζας. Πολλές φορές, ειδικά στον αντισεισμικό σχεδιασμό είναι βολικό να έχουμε την σχετική απόκριση z της μάζας ως προς τη βάση, δηλαδή: z=x-y. Στην περίπτωση αυτή η (4.34) γράφεται προσθέτοντας στα δυο μέλη τον όρο y γίνεται: 73

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών x y + c x y + k x y = y z + cz + kz = Ω Y Ω si (4.41) Επιλύνοντας την (4.41) προκύπτει: z () = Zsi Ω ϕ (4.4) όπου Z = Y R με R = r ( 1 r ) + ( Jr) (4.43) Και το φ δίνεται από την (4.39) 74