«ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ»

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΠΣ: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ «ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ» ΓΟΝΑΛΑΚΗ ΕΛΕΝΗ-ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ Α.Μ. 96508 ιατριβή υποβληθείσα προς µερική εκπλήρωση των απαραιτήτων προϋποθέσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης Αθήνα Ιανουάριος, 00

Εγκρίνουµε τη διατριβή της Ελένης-Αναστασίας Γοναλάκη ΒΡΟΝΤΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΖΑΒΑΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

Περιεχόµενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ...iv. ΕΙΣΑΓΩΓΗ....σελ.. ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΚΑΙ ΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ. Τα κυριότερα Παράγωγα..σελ. 4. ικαιώµατα Προαίρεσης.. Ορισµός....σελ. 6.. Είδη ικαιωµάτων... σελ. 7..3 Αξία ικαιώµατος.σελ...4 Παράγοντες που επηρεάζουν την Αξία των ικαιωµάτων...σελ. 3..5 Σχέση Ισοτιµίας ικαιωµάτων Αγοράς και Πώλησης..σελ. 7.3 Η Αγορά Παραγώγων στην Ελλάδα...σελ. 9 3. ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ 3. Το ιωνυµικό Μοντέλο 3.. One-sep ιωνυµικό Μοντέλο και η Υπόθεση της Μη-Κερδοσκοπίας.....σελ. 3.. Two-sep ιωνυµικά έντρα. σελ. 6 3. Το Υπόδειγµα των Black Scholes 3.. Οι Υποθέσεις του Υποδείγµατος....σελ.8 3.. Το Λήµµα του Io..σελ. 9 3..3 Ο Τύπος Black Scholes και η ιεξαγωγή του σελ. 3 i

Περιεχόµενα 3..4 Οι Ευαισθησίες των ικαιωµάτων σελ. 35 4. ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 4. Είδη µεταβλητότητας.....σελ. 48 4. Smile Effec/Volailiy Effec.....σελ. 50 4.3 Χαρακτηριστικά Χρηµατοοικονοµικών εδοµένων..σελ. 5 4.4 Υποδείγµατα Μεταβαλλόµενης ιακύµανσης 4.4. ARCH....σελ. 55 4.4. GARCH. σελ. 60 4.4.3 EGARCH...σελ. 66 4.4.4 GJR-GARCH.....σελ. 69 4.4.5 TGARCH...σελ. 7 4.4.6 IGARCH....σελ. 73 4.4.7 EWMA..σελ. 74 4.4.8 ARCH-M... σελ. 76 5. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΩΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ 5. Χαρακτηριστικά της Χρονολογικής Σειράς...σελ.79 5. Αποτίµηση ικαιωµάτων 5.. Αποτίµηση µέσω GARCH....σελ. 9 5.. Αποτίµηση µέσω EGARCH. σελ. 94 5.3 Μελέτες για την Αποτίµηση ικαιωµάτων....σελ. 95 6. ΣΥΝΟΨΗ........ σελ. 00 ii

Περιεχόµενα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ......σελ. 0 iii

Περίληψη ΠΕΡΙΛΗΨΗ «ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ» Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η µελέτη των δικαιωµάτων προαίρεσης καθώς και οι µέθοδοι αποτίµησης τους. Η πιο γνωστή µέθοδος είναι αυτή των Black Scholes. Οι τιµές όµως που δίνει αυτή η µέθοδος διαφέρουν σηµαντικά από αυτές που παρατηρούνται στην αγορά. Αυτό συµβαίνει γιατί το υπόδειγµα των Black Scholes στηρίζεται στην περιοριστική υπόθεση ότι οι αποδόσεις του υποκείµενου τίτλου κατανέµονται κανονικά και έχουν σταθερή διακύµανση. Αυτή η υπόθεση προκαλεί στρέβλωση στην τιµολόγηση των δικαιωµάτων. Μία γνωστή ανακολουθία µεταξύ των τιµών που δίνει το υπόδειγµα Black Scholes και των τιµών που συναλλάσσονται στην αγορά τα δικαιώµατα εκφράζεται ως smile effec. Εµπειρικές µελέτες έχουν δείξει ότι η διακύµανση των χρηµατοοικονοµικών χρονολογικών σειρών δεν είναι σταθερή αλλά µεταβάλλεται στο χρόνο. Για να εξηγηθεί αυτό το φαινόµενο, έχει προταθεί στην βιβλιογραφία η µοντελοποίηση της διακύµανσης ως µία στοχαστική διαδικασία. Έτσι, χρησιµοποιούνται υποδείγµατα µεταβαλλόµενης διακύµανσης τα οποία συλλαµβάνουν τα χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών δεδοµένων όπως το volailiy clusering phenomenon, το leverage effec και τις παχιές ουρές. Τα υποδείγµατα αυτά ανήκουν στην οικογένεια των ARCH και GARCH υποδειγµάτων τα οποία θα αναλύσουµε. Η διακύµανση των χρηµατοοικονοµικών προϊόντων και η µελέτη της, ήταν πάντα πολύ σηµαντική για τους επενδυτές. Γνωρίζοντας αν η τιµή ενός προϊόντος µεταβληθεί και προς ποια κατεύθυνση, οι επενδυτές αποφασίζουν αν θα αγοράσουν ή θα πουλήσουν το συγκεκριµένο προϊόν. Στην εργασία αυτή, χρησιµοποιώντας τιµές κλεισίµατος του δείκτη FTSE/ASE- 0 του ελληνικού χρηµατιστηρίου θα µοντελοποιήσουµε τη διακύµανση αν αυτή ακολουθεί GARCH και EGARCH διαδικασία. Κάνοντας πρόβλεψη µία µέρα µπροστά θα τιµολογήσουµε δικαιώµατα αγοράς και πώλησης που είναι γραµµένα πάνω στο δείκτη FTSE/ASE-0, βάζοντας την πρόβλεψη της διακύµανσης στον τύπο Black Scholes. iv

Κεφάλαιο ο Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία τριάντα χρόνια τα παράγωγα είναι πολύ σηµαντικά στα χρηµατοοικονοµικά. Τα συµβόλαια µελλοντικής εκπλήρωσης (fuures ή forwards) και τα δικαιώµατα προαίρεσης (opions) συναλλάσσονται πολύ έντονα σε όλα τα χρηµατιστήρια στον κόσµο, ακόµα και σε αγορές εκτός του χρηµατιστηρίου (over he couner O.T.C). Τα δικαιώµατα προαίρεσης είναι παράγωγα των οποίων η αξία εξαρτάται από την τιµή ενός άλλου προϊόντος που λέγεται υποκείµενος τίτλος. Πρέπει να τονιστεί ότι ένα δικαίωµα προαίρεσης δίνει στον κάτοχό του το δικαίωµα να κάνει κάτι. Αυτό το δικαίωµα δεν είναι υποχρεωµένος να το εξασκήσει, δηλαδή δεν είναι υποχρεωµένος να αγοράσει ή να πουλήσει τον υποκείµενο τίτλο. Η διαφορά αυτή διαχωρίζει τα opions από τα άλλα παράγωγα, συν ότι υπάρχει κόστος αγοράς για ένα opion ενώ ένα συµβόλαιο µελλοντικής εκπλήρωσης δεν κοστίζει τίποτα. Στις αρχές του 970, οι Fischer Black, Myron Scholes και Rober Meron έκαναν µία σηµαντική ανακάλυψη για την τιµολόγηση των δικαιωµάτων προαίρεσης. Αυτή η ανακάλυψη οδήγησε στην δηµιουργία του γνωστού Black Scholes (ή Black- Scholes-Meron) υποδείγµατος. Το υπόδειγµα αυτό είχε τεράστια επιρροή στον τρόπο που οι συναλλασσόµενοι αποτιµούσαν και ασφάλιζαν τα δικαιώµατα. Ωστόσο έχει ένα σηµαντικό µειονέκτηµα: υποθέτει ότι οι αποδόσεις του υποκείµενου τίτλου κατανέµονται κανονικά και έχουν σταθερή διακύµανση. Πρακτικά όµως η διακύµανση ενός χρηµατοοικονοµικού τίτλου και συγκεκριµένα η τιµή του, είναι µία στοχαστική µεταβλητή. Σε αντίθεση µε τον τίτλο, η τιµή δεν είναι άµεσα παρατηρήσιµη. Σε θεωρητική βάση, τα υποδείγµατα αποτίµησης δικαιωµάτων που αναλύθηκαν από τους Geske (979) και Rubinsein (983) υποθέτουν και τα δύο ότι η διακύµανση µεταβάλλεται. Αυτά τα υποδείγµατα συλλαµβάνουν το leverage effec. Επίσης, ένας µεγάλος όγκος εµπειρικών µελετών Μία αγορά over he couner είναι µία εναλλακτική αγορά πέρα του χρηµατιστηρίου, όπου οι συναλλαγές γίνονται µέσω ενός δικτύου διακινητών (dealers) µέσω τηλεφώνου και ηλεκτρονικού υπολογιστή. Οι συµµετέχοντες στην αγορά αυτή είναι ελεύθεροι να διαπραγµατευτούν οποιαδήποτε ελκυστική συµφωνία για αγορά ή πώληση τίτλων. Υπάρχει όµως ο κίνδυνος η συµφωνία να µην τηρηθεί.

Κεφάλαιο ο Εισαγωγή στη βιβλιογραφία, εισηγείται ότι η διακύµανση των αποδόσεων των χρηµατοοικονοµικών προϊόντων έχει την τάση να σωρεύονται στο χρόνο (clusering phenomenon) και η κατανοµή των αποδόσεων να είναι πιο λεπτόκυρτη από την κατανοµή που χρησιµοποιεί ένα υπόδειγµα µε σταθερή διακύµανση. Πολλές µελέτες που έγιναν στη συνέχεια µπόρεσαν να συλλάβουν αυτά τα χαρακτηριστικά µοντελοποιώντας τη διακύµανση µέσω ARCH διαδικασιών, που πρώτος εισήγαγε ο Engle (98) και γενικεύτηκε µέσω GARCH διαδικασιών από τον Bollerslev (986). Η αποτίµηση δικαιωµάτων που βασίζεται σε ARCH και ιδιαίτερα σε GARCH υποδείγµατα, παρουσιάζει ενδιαφέρον από πρακτική και ακαδηµαϊκή σκοπιά. Η πρακτική σκοπιά βασίζεται από το ενδιαφέρον που δείχνουν χρηµατοοικονοµικά ιδρύµατα που γράφουν τίτλους πάνω σε δείκτες. Έχοντας την δίκαιη τιµή που δίνει ο τύπος των Black Scholes, κάποια τµήµατα της αγοράς παραγώγων υπερτιµούν τα δικαιώµατα και έτσι οι επενδυτές µπορούν να πουλήσουν τα δικαιώµατα αυτά και να βελτιώσουν την απόδοση του χαρτοφυλακίου τους. Από ακαδηµαϊκή σκοπιά, το υπόδειγµα GARCH είναι βασικό εργαλείο σε εµπειρικές µελέτες στα χρηµατοοικονοµικά και έχει χρησιµοποιηθεί στην τιµολόγηση δικαιωµάτων από πολλούς συγγραφείς όπως οι Noh, Engle και Kane (994), Heson και Nandi (997), Bauwens και Lubrano (00) και Corredor και Sanamaria (004). Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να παρουσιαστούν οι παραπάνω µέθοδοι αποτίµησης δικαιωµάτων καθώς και η εφαρµογή τους. Η δοµή της έχει ως εξής: Το πρώτο κεφάλαιο είναι το παρόν κείµενο και αποτελεί την εισαγωγή της εργασίας. Το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται στα παράγωγα και τα δικαιώµατα προαίρεσης. Παρουσιάζονται τα είδη δικαιωµάτων, τα βασικά χαρακτηριστικά τους καθώς και οι παράγοντες που επηρεάζουν την τιµή τους. Στο τέλος του κεφαλαίου, δίνεται η εικόνα της αγοράς παραγώγων στην Ελλάδα. Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύονται δύο από τα πιο δηµοφιλή υποδείγµατα τιµολόγησης των δικαιωµάτων: το διωνυµικό µοντέλο και το υπόδειγµα των Black Scholes. Όπως έχουµε ήδη πει, οι υποθέσεις του µοντέλου Black Scholes είναι περιοριστικές και θα εξακριβώσουµε το γιατί και ποιες είναι οι επιδράσεις των περιορισµών αυτών. Ακόµα, θα παρουσιαστούν οι ευαισθησίες των δικαιωµάτων που διεξάγονται από τον τύπο Black Scholes, γνωστές ως Greeks. Ακολουθεί το τέταρτο κεφάλαιο όπου εξετάζεται η µεταβλητότητα και τα κύρια χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών δεδοµένων. Θα αναφερθεί το

Κεφάλαιο ο Εισαγωγή volailiy smile ή αλλιώς smile effec που προκύπτει από την τιµολόγηση Black Scholes και έπειτα θα παραθέσουµε υποδείγµατα ARCH και GARCH, όπου η διακύµανση δεν είναι σταθερή αλλά µεταβάλλεται στο χρόνο. Πέρα από τα δύο βασικά αυτά υποδείγµατα θα δούµε και κάποιες επεκτάσεις τους όπως το EGARCH, GJR, TGARCH, IGARCH, EWMA και ARCH-M. Το πέµπτο κεφάλαιο αποτελεί την πρακτική εφαρµογή των υποδειγµάτων GARCH(,) και EGARCH(,) για την εύρεση της τιµής δικαιωµάτων αγοράς και πώλησης. Χρησιµοποιώντας 58 τιµές κλεισίµατος του δείκτη FTSE/ASE-0 του ελληνικού χρηµατιστηρίου για την περίοδο /9/007 ως 3/0/009 θα αναλύσουµε τη χρονολογική σειρά των αποδόσεων του δείκτη αυτού. Αφού εκτιµήσουµε τα υποδείγµατα όταν η διακύµανση ακολουθεί GARCH(,) και EGARCH(,) διαδικασία, κάνουµε πρόβλεψη πρώτα της αυριανής απόδοσης του δείκτη και κατά συνέπεια της αυριανής τιµής του. Αυτή την τιµή του FTSE/ASE-0 την χρησιµοποιούµε έπειτα και βρίσκουµε µέσω του υποδείγµατος Black Scholes την τιµή του δικαιώµατος call και pu. Επίσης, αναφέρονται συνοπτικά κάποιες µελέτες που έγιναν στο παρελθόν και τα συµπεράσµατά τους για την τιµολόγηση των δικαιωµάτων µέσω των υποδειγµάτων που αναλύθηκαν στο τέταρτο κεφάλαιο σε σύγκριση µε το υπόδειγµα Black Scholes και άλλες µεθόδους. Τέλος, ακολουθεί το έκτο κεφάλαιο που αποτελεί τη σύνοψη και τα συµπεράσµατα όλης της εργασίας. 3

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΚΑΙ ΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ Οι χρηµατοοικονοµικοί τίτλοι (financial asses) ή αξιόγραφα (securiies) µπορούν να χωριστούν σε δύο γενικές κατηγορίες, στους: πρωτογενείς τίτλους (primary asses), όπως µετοχές (socks, shares), οµόλογα (bonds), προϊόντα (commodiies) και ξένα νοµίσµατα (foreign currencies), και στους δευτερογενείς ή παράγωγους τίτλους ή απλά παράγωγα (secondary ή derivaive asses ή derivaives), όπως τα Συµβόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωσης (Σ.Μ.Ε- fuures) και τα δικαιώµατα προαίρεσης ή απλά δικαιώµατα (opions).. Τα κυριότερα Παράγωγα Οι παράγωγοι τίτλοι ή απλώς παράγωγα είναι συµβόλαια που υπόσχονται πληρωµή ή διάθεση ενός πρωτογενούς τίτλου σε µελλοντικό χρόνο ανάλογα µε την µελλοντική συµπεριφορά του τίτλου αυτού. Ο πρωτογενής τίτλος πάνω στον οποίο γράφεται το συµβόλαιο του παράγωγου τίτλου ονοµάζεται και υποκείµενος τίτλος (underlying asse). Τα παράγωγα επιτρέπουν στον επενδυτή να καθορίσει την τιµή µιας µελλοντικής αγοροπωλησίας τώρα, και µπορούν είτε να µειώσουν είτε να αυξήσουν τον κίνδυνο που αναλαµβάνει. Ένα συµβόλαιο δίχως κόστος στο οποίο ένας εκ των δύο συµβαλλοµένων συµφωνεί να πληρώσει την διαφορά µεταξύ της αξίας του τίτλου σε κάποιο µελλοντικό χρόνο και µιας προκαθορισµένης τιµής επιτρέπει και στις δύο πλευρές να αποφύγουν τον ενδογενή κίνδυνο που έχει ο κάτοχος µιας µετοχής, χωρίς να χρειάζονται το κεφάλαιο για την αγορά της. Τα παράγωγα µπορούν να χρησιµοποιηθούν είτε για εξισορρόπηση κινδύνων (hedging of risk) είτε για κερδοσκοπία (speculaion). 4

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης Συµβόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωσης (Σ.Μ.Ε): Ένα συµβόλαιο µελλοντικής εκπλήρωσης (forward conrac) είναι µια συµφωνία για την αγορά ή την πώληση ενός πρωτογενούς τίτλου σε προκαθορισµένο µελλοντικό χρόνο Τ, ο οποίος ονοµάζεται χρόνος λήξης του συµβολαίου (expiraion dae) ή χρόνος ωρίµανσης (mauriy ime), και σε µια προκαθορισµένη τιµή Κ, η οποία ονοµάζεται τιµή εξάσκησης (srike price). Λέµε ότι ο αγοραστής του Σ.Μ.Ε κατέχει την θετική ή καλυµµένη θέση (long posiion), και ο πωλητής του, την αρνητική ή ακάλυπτη θέση (shor posiion). Με τον όρο forward εννοούµε ένα οποιοδήποτε συµβόλαιο που συνάπτεται µεταξύ δύο επενδυτών για την αγοροπωλησία ενός τίτλου σε µελλοντικό χρόνο. Επειδή οι ακριβείς όροι των συµβολαίων αυτών µπορεί να διαφέρουν από περίπτωση σε περίπτωση, η τιµολόγησή τους είναι ιδιαίτερα δύσκολη και ως εκ τούτου, δεν γίνονται αντικείµενο ευρείας αγοροπωλησίας στην αγορά. Τυποποιηµένα Σ.Μ.Ε (Τ.Σ.Μ.Ε): Το τυποποιηµένο Σ.Μ.Ε (fuure conrac) είναι ένα συµβόλαιο οι ακριβείς όροι του οποίου, και κυρίως ο τρόπος και χρόνος εξόφλησης, είναι προκαθορισµένοι και σχετικά απλοί σε σχέση µε το Σ.Μ.Ε γενικής µορφής το οποίο µπορεί να περιέχει ειδικές ρήτρες και περιορισµούς που δυσχεραίνουν την µεταπώλησή του σε τρίτους γιατί οι ρήτρες αυτές δεν ταιριάζουν στις ανάγκες τους. Επειδή η τιµολόγηση των τυποποιηµένων τίτλων fuures είναι πολύ ευκολότερη και οι όροι ευρέως γνωστοί, τα συµβόλαια αυτά γίνονται αντικείµενο µεγάλου όγκου αγοραπωλησιών. Ανταλλαγές: Οι ανταλλαγές (swaps) είναι συµβόλαια µεταξύ δύο µερών που λέγονται αντισυµβαλλόµενοι. Με βάση τα συµβόλαια αυτά οι αντισυµβαλλόµενοι συµφωνούν να ανταλλάξουν χρηµατοροές σε µία ή και περισσότερες προκαθορισµένες χρονικές στιγµές στο µέλλον µε προκαθορισµένο τρόπο και αναλογία που προσδιορίζεται την στιγµή που συνάπτεται το συµβόλαιο. Οι ανταλλαγές στην πλειονότητά τους διαπραγµατεύονται εκτός κύκλου, δηλαδή δεν είναι εισηγµένες σε κάποιο χρηµατιστήριο παραγώγων (O.T.C.). ικαιώµατα Προαίρεσης: Σε αντίθεση µε τα συµβόλαια µελλοντικής εκπλήρωσης, που είναι δεσµευτικά τόσο για τον αγοραστή όσο και για τον πωλητή, ένα συµβόλαιο δικαιώµατος (opion) δίνει στον αγοραστή του το δικαίωµα (αλλά όχι την υποχρέωση) να επιλέξει αν τελικά θα το εξασκήσει. Έτσι, ο αγοραστής ανάλογα µε 5

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης τις συνθήκες που διαµορφώνονται στην αγορά αποφασίζει αν τελικά τον συµφέρει να προβεί σε χρήση αυτού του δικαιώµατος ή όχι. Η υποκείµενη αξία των δικαιωµάτων προαίρεσης, όπως και για τα Σ.Μ.Ε., µπορεί να είναι µία ποικιλία προϊόντων ή αγαθών. Οι συναλλασσόµενοι χρησιµοποιούν τα δικαιώµατα προαίρεσης για να αγοράσουν ή να πουλήσουν σιτάρι, πολύτιµα µέταλλα, συνάλλαγµα, µετοχές, δείκτες και άλλα αξιόγραφα, τα οποία αποτελούν ένα µικρό µέρος από το σύνολο των προϊόντων που σήµερα συναλλάσσονται.. ικαιώµατα Προαίρεσης (Opions).. Ορισµός Ένα προαιρετικό δικαίωµα ή δικαίωµα προαίρεσης ή απλά δικαίωµα (opion), είναι ένα συµβόλαιο που δίνει στον αγοραστή του το δικαίωµα, αλλά όχι την υποχρέωση, να αγοράσει ή να πουλήσει σε κάποιο µελλοντικό χρόνο ένα πρωτογενή τίτλο (για παράδειγµα µία µετοχή ή µία ποσότητα προϊόντος) σε µία προκαθορισµένη τιµή. Ο τίτλος που ο αγοραστής του δικαιώµατος µπορεί να αγοράσει ή να πουλήσει στο µελλοντικό χρόνο ονοµάζεται υποκείµενος τίτλος (underlying asse), ενώ η προκαθορισµένη τιµή που ο υποκείµενος τίτλος µπορεί να αγορασθεί ή να πουληθεί ονοµάζεται τιµή εξάσκησης (srike price). Ο χρόνος σύναψης του συµβολαίου ονοµάζεται χρόνος εγγραφής του δικαιώµατος, ενώ ο χρόνος πέρα από τον οποίο το δικαίωµα δεν µπορεί πλέον να εξασκηθεί ονοµάζεται χρόνος λήξης του δικαιώµατος (expiraion dae) ή χρόνος ωρίµανσης (mauriy ime). Είναι σηµαντικό να τονίσουµε ότι όλα τα δικαιώµατα είναι προαιρετικά, δηλαδή ο αγοραστής οποιουδήποτε δικαιώµατος δεν υποχρεούται να το εξασκήσει, παρά µόνο όταν αυτός το επιθυµεί, δηλαδή όταν η εξάσκηση είναι επικερδής για τον ίδιο. Συνοψίζοντας, ο αγοραστής του δικαιώµατος (aker ή holder) έχει τη δυνατότητα να εξασκήσει το δικαίωµα και να απαιτήσει την εκτέλεση της συναλλαγής που περιγράφεται από τους όρους του συµβολαίου. 6

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης Ο πωλητής του δικαιώµατος (wrier ή granor) είναι υποχρεωµένος να ανταποκριθεί στην εκτέλεση της συναλλαγής που περιγράφεται από τους όρους του συµβολαίου εφόσον το δικαίωµα εξασκηθεί από τον αγοραστή. ΠΙΝΑΚΑΣ. Αγοραστής Πωλητής ικαίωµα Αγοράς ικαίωµα να αγοράσει Υποχρέωση να πουλήσει ικαίωµα Πώλησης ικαίωµα να πουλήσει Υποχρέωση να αγοράσει.. Είδη ικαιωµάτων A) ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΟΝ ΧΡΌΝΟ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ ΤΟΥΣ i. Ευρωπαϊκού τύπου: είναι ένα opion που δίνει στον αγοραστή του το δικαίωµα να αγοράσει ή να πουλήσει τον υποκείµενο τίτλο σε ένα προκαθορισµένο χρόνο Τ και σε µία προκαθορισµένη τιµή εξάσκησης Κ. Αυτό το είδος δικαιώµατος µπορεί να εξασκηθεί µόνο στην λήξη του και όχι νωρίτερα. ii. Αµερικάνικου τύπου: είναι ένα opion που δίνει στον αγοραστή του το δικαίωµα να αγοράσει ή να πουλήσει τον υποκείµενο τίτλο σε οποιονδήποτε χρόνο από τον χρόνο 0 (χρόνος εγγραφής) ως τον χρόνο Τ (χρόνος λήξης), σε µία προκαθορισµένη τιµή εξάσκησης Κ. Τα δικαιώµατα αυτά επειδή δίνουν στον κάτοχό τους το πλεονέκτηµα εξάσκησης σε οποιονδήποτε χρόνο, είναι πιο ακριβά. Β) ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗΝ ΣΥΝΑΛΛΑΓΗ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΥΝ i. Call Opion: είναι το δικαίωµα αγοράς ενός υποκείµενου τίτλου στον χρόνο Τ (ή από τον χρόνο 0 ως τον χρόνο Τ) σε µία προκαθορισµένη τιµή Κ, καταβάλλοντας σήµερα ο αγοραστής ένα premium στον πωλητή για να αποκτήσει το δικαίωµα. ii. Pu Opion: είναι το δικαίωµα πώλησης ενός υποκείµενου τίτλου στον χρόνο Τ (ή από τον χρόνο 0 ως τον χρόνο Τ) σε µία προκαθορισµένη τιµή Κ. Όπως αναφέρθηκε για τα Σ.Μ.Ε έτσι και εδώ ο αγοραστής ενός δικαιώµατος έχει θέση long και ο πωλητής shor. Σύµφωνα µε τα παραπάνω θα εξετάσουµε τέσσερεις περιπτώσεις: 7

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης Αγορά δικαιώµατος αγοράς (long call) Πώληση δικαιώµατος αγοράς (shor call) Αγορά δικαιώµατος πώλησης (long pu) Πώληση δικαιώµατος πώλησης (shor pu) Αγορά δικαιώµατος αγοράς Αν στον χρόνο Τ (χρόνος λήξης), η τιµή του υποκείµενου τίτλου υψηλότερη της τιµής Κ (srike) δηλαδή ισχύει ST και η αξία του είναι ST S T είναι K, τότε το δικαίωµα εξασκείται K. Το κέρδος που έχει ο αγοραστής του call είναι η αξία (απόδοση) του opion αφαιρώντας το premium C που πληρώθηκε για την αγορά του call. Αν στον χρόνο Τ, η τιµή του υποκείµενου τίτλου S T είναι κατώτερη της τιµής Κ δηλαδή ισχύει ST < K, τότε το δικαίωµα δεν εξασκείται και συνεπώς δεν αξίζει τίποτα. Το κέρδος (ζηµιά) του αγοραστή του call σε αυτήν την περίπτωση είναι C (-C). Συνεπώς, η αξία (απόδοση) long call είναι max{ S K, 0} και το κέρδος long call είναι max{ S K, 0} C T T ΙΑΓΡΑΜΜΑ.: Long Call Η αγορά ενός δικαιώµατος αγοράς χρησιµοποιείται τόσο από συντηρητικούς επενδυτές που επιθυµούν µειωµένο κίνδυνο από την κατοχή του ίδιου του υποκείµενου τίτλου όσο και από κερδοσκόπους. Η στρατηγική αυτή χρησιµοποιείται 8

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης όταν ο επενδυτής αναµένει µελλοντική άνοδο της τιµής του υποκείµενου όσο και άνοδο της µεταβλητότητας. Η επιλογή της τιµής εξάσκησης Κ εξαρτάται από τις προσδοκίες του επενδυτή για την αγορά. Συνεπώς όσο πιο σίγουροι είµαστε για την άνοδο της τιµής του υποκείµενου τόσο πιο ou of he money πρέπει να είναι το δικαίωµα. Καµία άλλη στρατηγική δεν δίνει τόσο µεγάλη µόχλευση µε µειωµένο κίνδυνο σε περιπτώσεις ανόδου της τιµής όσο η αγορά δικαιώµατος αγοράς. Πώληση δικαιώµατος αγοράς ισχύει Εφόσον έχουµε πάλι δικαίωµα αγοράς (call), το δικαίωµα εξασκείται αν ST Kκαι δεν εξασκείται αν S T < K. Τώρα όµως για τον πωλητή του call η αξία του στον χρόνο Τ, είναι αντίθετη του αγοραστή και µε την επιπλέον διαφορά ότι το premium C είναι για αυτόν έσοδο. Συνεπώς, η αξία (απόδοση) shor call είναι max{ ST K,0} = min{ K S T,0} και το κέρδος shor call είναι max{ ST K,0} + C = min{ K S T,0} + C ΙΑΓΡΑΜΜΑ.: Shor Call Η πώληση ενός δικαιώµατος αγοράς χρησιµοποιείται όταν ο επενδυτής αναµένει σταθερότητα της αγοράς ή µελλοντική πτώση της τιµής του υποκείµενου τίτλου η οποία συνδυάζεται µε πτώση της µεταβλητότητας. Ο πωλητής αναλαµβάνει µία υποχρέωση απέναντι στον αγοραστή του δικαιώµατος και ελπίζει ότι το δικαίωµα θα λήξει ανεκτέλεστο. Όσο πιο σίγουροι είµαστε για την πτώση της τιµής του υποκείµενου, τόσο πιο in he money πρέπει να είναι το δικαίωµα. Αν το δικαίωµα 9

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης εξασκηθεί πρόωρα, τότε ο επενδυτής υποχρεούται να αγοράσει τον υποκείµενο τίτλο και να τον παραδώσει στον κάτοχο του δικαιώµατος, λαµβάνοντας ως αντίτιµο την αξία του υποκείµενου µε βάση την τιµή εξάσκησης. Όπως παρατηρούµε, η στρατηγική αυτή εµπεριέχει απεριόριστη ζηµιά σε περίπτωση ανόδου της τιµής S. (δεν υπάρχει όριο στο αρνητικό µέρος του κέρδους - δεν είναι φραγµένο). Αγορά δικαιώµατος πώλησης Αν στον χρόνο Τ (χρόνος λήξης), η τιµή του υποκείµενου τίτλου S T είναι κατώτερη της τιµής Κ (srike) δηλαδή ισχύει K S, τότε το δικαίωµα εξασκείται T και η αξία του είναι K S. Το κέρδος που έχει ο αγοραστής του pu είναι η αξία T (απόδοση) του opion αφαιρώντας το premium P που πληρώθηκε για την αγορά του Pu. Αν στον χρόνο Τ, η τιµή του υποκείµενου τίτλου τιµής Κ δηλαδή ισχύει T S T είναι υψηλότερη της K < S, τότε το δικαίωµα δεν εξασκείται και συνεπώς δεν αξίζει τίποτα. Το κέρδος (ζηµιά) του αγοραστή του call σε αυτήν την περίπτωση είναι P (-P). Συνεπώς, η αξία (απόδοση) long pu είναι max{ K S T, 0} και το κέρδος long pu είναι max{ K S,0} P T ΙΑΓΡΑΜΜΑ.3: Long Pu Η αγορά ενός δικαιώµατος πώλησης αποτελεί µία αµυντική στρατηγική. Χρησιµοποιείται από επενδυτές οι οποίοι προσπαθούν να µειώσουν τον κίνδυνο από 0

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης την κατοχή του υποκείµενου τίτλου όσο και από κερδοσκόπους που επιθυµούν να κερδίσουν από την πτώση της τιµής του υποκείµενου. Η στρατηγική αυτή χρησιµοποιείται όταν ο επενδυτής αναµένει άνοδο της µεταβλητότητας. Όσο πιο σίγουροι είµαστε για την άνοδο της τιµής του υποκείµενου τόσο πιο ou of he money πρέπει να είναι το δικαίωµα. Η αγορά δικαιώµατος πώλησης δίνει µεγάλη µόχλευση µε µειωµένο κίνδυνο σε περιπτώσεις πτώσης της τιµής. Πώληση δικαιώµατος πώλησης ισχύει Εφόσον έχουµε πάλι δικαίωµα πώλησης (pu), το δικαίωµα εξασκείται αν K S και δεν εξασκείται αν K < S. Τώρα όµως για τον πωλητή του pu η T αξία του στον χρόνο Τ είναι αντίθετη του αγοραστή και µε την επιπλέον διαφορά ότι το premium P είναι για αυτόν έσοδο. T Συνεπώς, η αξία (απόδοση) shor pu είναι max{ K S T, 0} = min{ ST K,0} και το κέρδος shor pu είναι max{ K S T, 0} + P = min{ ST K,0} + P ΙΑΓΡΑΜΜΑ.4: Shor Pu Η πώληση ενός δικαιώµατος πώλησης χρησιµοποιείται όταν ο επενδυτής αναµένει αύξηση στην τιµή του υποκείµενου τίτλου και πτώση της µεταβλητότητας. Όσο πιο σίγουροι είµαστε για την άνοδο της τιµής του υποκείµενου τόσο πιο in he money πρέπει να είναι το δικαίωµα. Αν το δικαίωµα εξασκηθεί πρόωρα, τότε ο επενδυτής υποχρεούται να αγοράσει τον υποκείµενο τίτλο από τον κάτοχο του δικαιώµατος πληρώνοντας αντίτιµο µε βάση την τιµή εξάσκησης Κ. Έπειτα, αν δεν επιθυµεί το υποκείµενο προϊόν πρέπει να το πουλήσει στην αγορά µετρητοίς. Όπως

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης παρατηρούµε, η στρατηγική αυτή εµπεριέχει απεριόριστη ζηµιά σε περίπτωση πτώσης της τιµής του υποκείµενου τίτλου, S. Γ) ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΙΜΗΣ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΟΥ ΤΙΤΛΟΥ (MONEYNESS) i. A he money: λέγονται τα δικαιώµατα όταν η τιµή του υποκείµενου τίτλου είναι ίση µε την τιµή εξάσκησης, δηλαδή όταν S T = K. ii. In he money: λέγονται τα δικαιώµατα αγοράς (πώλησης) όταν η τιµή του υποκείµενου τίτλου είναι µεγαλύτερη (µικρότερη) από την τιµή εξάσκησης, δηλαδή όταν ST > K ( ST < K ). iii. Ou of he money: λέγονται τα δικαιώµατα αγοράς (πώλησης) όταν η τιµή του υποκείµενου τίτλου είναι µικρότερη (µεγαλύτερη) από την τιµή εξάσκησης, δηλαδή όταν ST < K ( S T > K ). Από τα παραπάνω φαίνεται ότι ένα δικαίωµα θα ασκηθεί µόνο όταν είναι in he money. Ένα ou of he money δικαίωµα δε θα εξασκηθεί ποτέ αφού δίνει στον κάτοχό του αρνητική εισροή. ) ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΙΑΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ i. Physical delivery: λέγονται τα δικαιώµατα παράδοσης υποκείµενου τίτλου ή δικαιώµατα µε φυσική παράδοση. ii. Cash seled: λέγονται τα δικαιώµατα εκκαθάρισης µετρητοίς ή δικαιώµατα µε ρευστά διαθέσιµα ή διαθέσιµα χρηµατικού διακανονισµού...3 Αξία ικαιώµατος Η αξία ενός δικαιώµατος µπορεί να χωριστεί σε δύο µέρη, την εσωτερική και την χρονική αξία. Εσωτερική αξία: ως εσωτερική αξία ενός δικαιώµατος αγοράς (call) ορίζουµε την διαφορά µεταξύ της τρέχουσας τιµής του υποκείµενου τίτλου µείον την τιµή εξάσκησης του δικαιώµατος αν αυτή η διαφορά είναι θετική ( S T K ), και 0 αν η διαφορά αυτή είναι αρνητική ( ST < K ). ηλαδή ορίζεται ως max{ S K, 0}. Για το T

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης δικαίωµα πώλησης (pu), ως εσωτερική αξία ορίζουµε την διαφορά µεταξύ της τιµής εξάσκησης µείον την τρέχουσα τιµή του υποκείµενου τίτλου αν αυτή η διαφορά είναι θετική ( K S ), και 0 αν η διαφορά αυτή είναι αρνητική ( K < S ). ηλαδή ορίζεται ως max{ K S T,0}. T Χρονική αξία: ως χρονική αξία ορίζουµε µια επιπλέον αξία η οποία συνδέεται µε την τιµή του δικαιώµατος και αντικατοπτρίζει την τιµή που ο αγοραστής ενός δικαιώµατος διατίθεται να πληρώσει για να διεκδικήσει ένα πιθανό κέρδος µέχρι την ηµεροµηνία λήξης του δικαιώµατος. Όσο µεγαλύτερη είναι η πιθανότητα κέρδους καθώς και το χρονικό διάστηµα µέχρι τη λήξη του δικαιώµατος, τόσο µεγαλύτερη είναι η χρονική αξία. Η χρονική αξία µηδενίζεται κατά την ηµεροµηνία λήξης του δικαιώµατος. Σύµφωνα µε τους παραπάνω ορισµούς ένα δικαίωµα in he money έχει θετική εσωτερική αξία, ένα a και ou of he money έχει µόνο χρονική αξία καθώς η εσωτερική του αξία είναι µηδενική. Για παράδειγµα, έστω ότι ένα δικαίωµα αγοράς που κοστίζει 0$ σε µία µετοχή που διαπραγµατεύεται στα 60$ µε τιµή εξάσκησης 57$ (δηλαδή είναι in he money αφού S = 60> K = 57 ). H εσωτερική αξία του δικαιώµατος είναι 60 57= 3$ και η χρονική του αξία του είναι 0 3= 7 $. T T..4 Παράγοντες που επηρεάζουν την αξία (τιµή) των ικαιωµάτων προαίρεσης: Υπάρχουν έξι παράγοντες που επηρεάζουν την τιµή των δικαιωµάτων i. Η τιµή του υποκείµενου τίτλου ( S T ) Η τιµή του υποκείµενου τίτλου προσδιορίζει σε σηµαντικό βαθµό την τιµή του δικαιώµατος. Για ένα δικαίωµα αγοράς, όσο υψηλότερη είναι η τρέχουσα τιµή του υποκείµενου τίτλου τόσο µεγαλύτερη είναι η πιθανότητα να κινηθεί το δικαίωµα εντός της ισοδύναµης χρηµατικής του αξίας. Συνεπώς, είναι αρκετά πιθανό ο αγοραστής να καλύψει το κόστος αγοράς του δικαιώµατος και να πετύχει κέρδη. Για τον λόγο αυτό, όταν αυξάνει η τιµή της υποκείµενης αξίας, αυξάνει και η τιµή του δικαιώµατος αγοράς. Για ένα δικαίωµα πώλησης, όσο χαµηλότερη είναι η τρέχουσα τιµή του υποκείµενου τίτλου, τόσο µεγαλύτερη είναι η πιθανότητα να κινηθεί το 3

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης δικαίωµα εντός της ισοδύναµης χρηµατικής του αξίας. Συνεπώς, κι εδώ είναι αρκετά πιθανόν ο αγοραστής να καλύψει το κόστος αγοράς του δικαιώµατος και να πετύχει κέρδη. Για το λόγο αυτό, όταν µειώνεται η τιµή της υποκείµενης αξίας, αυξάνει και η τιµή του δικαιώµατος πώλησης. ii. Η τιµή εξάσκησης του δικαιώµατος Κ Για ένα δικαίωµα αγοράς όσο υψηλότερη είναι η τιµή εξάσκησης τόσο µεγαλύτερη είναι η πιθανότητα να βρεθεί το δικαίωµα εκτός της ισοδύναµης χρηµατικής του αξίας και να είναι µικρότερη η πιθανότητα επίτευξης κέρδους από την πλευρά του επενδυτή. Εποµένως, όσο υψηλότερη είναι η τιµή εξάσκησης τόσο µικρότερη θα είναι η τιµή του δικαιώµατος αγοράς. ηλαδή, επειδή η απόδοση ενός δικαιώµατος αγοράς είναι max{ S K, 0}, η αξία ενός δικαιώµατος αγοράς αυξάνει T µε την µείωση της τιµής Κ. Για ένα δικαίωµα πώλησης, όσο υψηλότερη είναι η τιµή Κ τόσο µεγαλύτερη είναι η πιθανότητα να βρεθεί το δικαίωµα εντός της ισοδύναµης χρηµατικής του αξίας και έτσι να είναι µεγαλύτερη η πιθανότητα επίτευξης κέρδους από τον επενδυτή. Άρα, όσο υψηλότερη είναι η τιµή Κ τόσο µεγαλύτερη θα είναι η τιµή του δικαιώµατος πώλησης εφόσον η απόδοσή του δίνεται από την διαφορά της τιµής εξάσκησης από την τιµή του υποκείµενου τίτλου, max{ K S T, 0}. iii. Ο χρόνος ως τη λήξη του συµβολαίου ( χρόνος ωρίµανσης mauriy) Όσο µεγαλύτερος είναι ο χρόνος που αποµένει µέχρι τη λήξη του δικαιώµατος τόσο υψηλότερη είναι η τιµή του. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι όταν µεσολαβεί αρκετός χρόνος µέχρι τη λήξη του δικαιώµατος υπάρχουν αυξηµένες πιθανότητες να κινηθεί το δικαίωµα εντός της ισοδύναµης χρηµατικής του αξίας και να εκτελεστεί το δικαίωµα µε κέρδος. Από την άλλη πλευρά, όσο πλησιάζει η ηµεροµηνία λήξης του δικαιώµατος, µειώνονται τα περιθώρια σηµαντικής απόκλισης της υποκείµενης αξίας από τα τρέχοντα επίπεδα τιµών µε αποτέλεσµα να περιορίζονται οι πιθανότητες µίας εξέλιξης της τιµής προς όφελος του επενδυτή. Ουσιαστικά όµως, το γεγονός αυτό ισχύει κυρίως για τα δικαιώµατα αµερικανικού τύπου. Στην περίπτωση των ευρωπαϊκών opions η ύπαρξη αρκετού χρόνου µέχρι τη λήξη δεν συνεπάγεται αναγκαστικά την αύξηση της τιµής του δικαιώµατος. Πραγµατικά, ο κάτοχος ενός δικαιώµατος αγοράς που λήγει σε τέσσερις µήνες δεν έχει τις ίδιες ευκαιρίες άσκησης µε τον κάτοχο ενός ευρωπαϊκού δικαιώµατος που λήγει σε ένα µήνα. Ο λόγος 4

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης έγκειται στο γεγονός ότι τα δικαιώµατα ευρωπαϊκού τύπου µπορούν να ασκηθούν µόνο στην ηµεροµηνία λήξης. Αντίθετα ας υποθέσουµε ότι έχουµε δύο επενδυτές µε δικαιώµατα αγοράς αµερικανικού τύπου µε διαφορετικούς µήνες λήξης το καθένα. Ιουνίου του πρώτου και Σεπτεµβρίου του δεύτερου επενδυτή. Γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι ο αγοραστής του call opion µε µήνα λήξης το Σεπτέµβριο, έχει τις ίδιες ευκαιρίες άσκησης του δικαιώµατος µε τον αγοραστή του δικαιώµατος µε µήνα λήξης τον Ιούνιο και ακόµα περισσότερες. Έτσι, σε περίπτωση που η τιµή του υποκείµενου τίτλου δε φτάσει στα προσδοκώµενα επίπεδα µέχρι τον Ιούνιο, ο κάτοχος του δικαιώµατος µε µακρύτερη λήξη έχει άλλους δύο µήνες µέσα στους οποίους ενδέχεται να κινηθεί η τιµή προς όφελός του. iv. Η µεταβλητότητα (volailiy) του υποκείµενου τίτλου Μεταβλητότητα είναι το µέγεθος που εκφράζει την αβεβαιότητα ως προς την µελλοντική έκβαση της τιµής του υποκείµενου τίτλου. Υψηλή µεταβλητότητα σηµαίνει αυξηµένη πιθανότητα ότι το υποκείµενο µέσο θα έχει υψηλή απόδοση ή υψηλή ζηµιά. Η µεταβλητότητα δηλαδή, ή κατά την τεχνική ορολογία η τυπική απόκλιση της απόδοσης, αποτελεί ένα µέτρο των προσδοκώµενων τιµών στις οποίες µπορεί να φτάσει ο υποκείµενος τίτλος µέσα σε κάποιο συγκεκριµένο διάστηµα. Όσο µεγαλύτερες και πιο απότοµες είναι οι διακυµάνσεις πάνω και κάτω από τη µέση τιµή της υποκείµενης αξίας, τόσο µεγαλύτερη είναι η µεταβλητότητα της αντίστοιχης υποκείµενης αξίας και τόσο µεγαλύτερες πιθανότητες υπάρχουν να κινηθεί το δικαίωµα εντός της ισοδύναµης χρηµατικής αξίας. Για το λόγο αυτό όταν η µεταβλητότητα αυξάνεται, αυξάνεται και η τιµή των δικαιωµάτων προαίρεσης. ηλαδή η αύξηση της µεταβλητότητας αυξάνει την τιµή των δικαιωµάτων αγοράς εφόσον η πιθανότητα υψηλών αποδόσεων αυξάνεται και αυξάνει την τιµή των δικαιωµάτων πώλησης εφόσον η πιθανότητα µεγάλης πτώσης αυξάνεται. v. Το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου (risk free rae) Η απόφαση ενός επενδυτή να αγοράσει το υποκείµενο µέσο από την τρέχουσα αγορά η να αποκτήσει το δικαίωµα να το αγοράσει σε µελλοντική χρονική στιγµή, επηρεάζεται από το επιτόκιο που επικρατεί στην αγορά. Αυτό διότι, η αγορά ενός call opion απαιτεί τη δέσµευση µικρότερου κεφαλαίου από αυτό που θα χρειαζόταν για την αγορά του υποκείµενου τίτλου στην τρέχουσα αγορά. Συνεπώς, το κεφάλαιο που αποµένει στη διάθεση του επενδυτή µπορεί να επενδυθεί στο risk free rae. ηλαδή 5

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης όσο η τιµή του επιτοκίου αυξάνεται, τόσο λιγότερο ελκυστική γίνεται η αγορά του υποκείµενου µέσου στην τρέχουσα αγορά, συνεπώς η τιµή του call opion αυξάνεται. Μία άλλη προσέγγιση είναι ότι όσο υψηλότερο το επιτόκιο, τόσο χαµηλότερη η παρούσα αξία της τιµής εξάσκησης όπου ο αγοραστής έχει συµφωνήσει να αποδώσει σε περίπτωση άσκησης. Συνεπώς η ύπαρξη ενός υψηλού επιτοκίου έχει την ίδια επίδραση µε την ύπαρξη χαµηλής τιµής εξάσκησης, µε αποτέλεσµα υψηλότερα επιτόκια να οδηγούν σε υψηλότερη αξία δικαιωµάτων αγοράς. Όσον αφορά τα δικαιώµατα πώλησης, η ανάλυση κόστους οφέλους του επενδυτή έγκειται στο αν θα πουλήσει τον υποκείµενο τίτλο στο παρόν στην τρέχουσα αγορά ή θα αποκτήσει το δικαίωµα για να το πουλήσει σε µελλοντική χρονική στιγµή. Αν το υποκείµενο µέσο πουληθεί, το κεφάλαιο µπορεί να επενδυθεί σε επενδύσεις µηδενικού ρίσκου, ενώ σε περίπτωση δικαιώµατος πώλησης το κεφάλαιο αυτό δεν υπάρχει, και συνεπώς δεν επενδύεται. Στην περίπτωση δηλαδή των δικαιωµάτων πώλησης, µε αυξηµένα επιτόκια, τα δικαιώµατα χάνουν ελκυστικότητα, και συνεπώς η αξία τους µειώνεται. vi. Η προσδοκώµενη µερισµατική απόδοση του υποκείµενου τίτλου κατά τη διάρκεια ισχύς του συµβολαίου (dividends) Ο κάτοχος µίας µετοχής που συνθέτει τον υποκείµενο τίτλο εισπράττει κατά καιρούς µερίσµατα. Αυτό το δικαίωµα προνόµιο δεν το έχει ο κάτοχος ενός opion. Επειδή οι πληρωµές µερισµάτων έχουν ως αποτέλεσµα µια µείωση της τιµής του υποκείµενου τίτλου, τα υψηλότερα µερίσµατα µειώνουν την αξία ενός δικαιώµατος αγοράς και αυξάνουν την αξία ενός δικαιώµατος πώλησης. Συγκεντρωτικά οι παράγοντες που επηρεάζουν την τιµή του δικαιώµατος παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα καθώς και ο τρόπος που την επηρεάζουν για το δικαίωµα αγοράς και πώλησης χωριστά όταν οι παράγοντες αυτοί αυξάνονται. 6

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης Τιµή υποκείµενου τίτλου Τιµή εξάσκησης Χρόνος ως τη λήξη Μεταβλητότητα Risk free rae Dividends ΠΙΝΑΚΑΣ. ικαίωµα Αγοράς ικαίωµα Πώλησης..5 Σχέση Ισοτιµίας ικαιωµάτων Αγοράς και Πώλησης (Pu-Call Pariy) Τα δικαιώµατα αγοράς και πώλησης είναι διαφορετικά επιφανειακά αλλά στην πραγµατικότητα µπορούν να συνδυαστούν µε τέτοιο τρόπο ώστε να είναι πλήρως συσχετισµένα. Για να βρούµε αυτή τη σχέση θεωρούµε ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο αποτελείται από: αγορά µίας µετοχής αγορά ενός δικαιώµατος πώλησης πάνω στην ίδια µετοχή πώληση ενός δικαιώµατος αγοράς πάνω στην ίδια µετοχή µε την ίδια τιµή εξάσκησης K και λήξη Τ όπως το παραπάνω δικαίωµα πώλησης. Έστω ότι η τρέχουσα αξία του χαρτοφυλακίου αυτού είναι Π, η τρέχουσα αξία της µετοχής είναι S, η τρέχουσα αξία του δικαιώµατος πώλησης είναι P και η τρέχουσα αξία του δικαιώµατος αγοράς είναι του χαρτοφυλακίου αυτού είναι: C. Από τα παραπάνω η τρέχουσα αξία Π = S + P C (.) Η αξία του χαρτοφυλακίου στην λήξη T των δικαιωµάτων είναι Π T = ST + PT CT 7

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης = S + max{ K S,0} max{ S K,0} T T T = K (.) Αυτό προκύπτει γιατί για ST K Π T = ST + PT CT = S + max{ K S,0} max{ S K,0} T T T = S + 0 ( S K ) T = K T Και για ST < K Π T = ST + PT CT = S + max{ K S,0} max{ S K,0} T T T = S + K S 0 T = K T Άρα η απόδοση του χαρτοφυλακίου αυτού στο χρόνο T είναι βέβαιη και ίση µε την τιµή εξάσκησης των δικαιωµάτων Κ. Συνεπώς η τιµή του χαρτοφυλακίου για οποιοδήποτε χρόνο < T είναι η παρούσα αξία του Κ, δηλαδή Π = (.3) r ( T ) e K Αντικαθιστώντας την εξίσωση (.3) στην (.),παίρνουµε την σχέση ισοτιµίας δικαιωµάτων αγοράς και πώλησης (pu-call pariy) P = C + e K S (.4) r( T ) [ ] 8

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης.3 Η Αγορά Παραγώγων στην Ελλάδα Στις Νοεµβρίου 997 ιδρύθηκε το Χρηµατιστήριο Παραγώγων Αθηνών (Χ.Π.Α) και η Εταιρεία Εκκαθάρισης Συναλλαγών επί Παραγώγων (ΕΤ.Ε.Σ.Ε.Π.) και στις 7 Αυγούστου 999 έγινε η επίσηµη έναρξη της λειτουργίας του Χ.Π.Α και της ΕΤ.Ε.Σ.Ε.Π. µε πρώτο προϊόν τα Σ.Μ.Ε. στο δείκτη FTSE/ASE-0. Τα παράγωγα προϊόντα που διαπραγµατεύονται στην αγορά παραγώγων του Χ.Α. Α.Ε. είναι συµβόλαια βασισµένα σε διάφορες χρηµατοοικονοµικές αξίες, όπως µετοχές, δείκτες µετοχών, επιτόκια και οµόλογα. Η αξία τους, η επενδυτική συµπεριφορά τους και η απόδοσή τους εξαρτώνται από τη χρηµατοοικονοµική αξία πάνω στην οποία εκδίδονται. Καθώς τα συµβόλαια αυτά συναλλάσσονται στην αγορά παραγώγων του Χ.Α. Α.Ε., είναι τυποποιηµένα και προσδιορίζονται πλήρως από το είδος του συµβολαίου (π.χ. δικαίωµα προαίρεσης), την υποκείµενη αξία (π.χ. δείκτες) και τους συγκεκριµένους όρους του συµβολαίου (π.χ. το µέγεθος του συµβολαίου). Η λειτουργία της αγοράς παραγώγων του Χ.Α. Α.Ε. προσφέρει στην ελληνική οικονοµία διεύρυνση των επιλογών των επενδυτών µε νέα χρηµατοοικονοµικά προϊόντα, παροχή µέσων για επιµερισµό, συγκέντρωση και αντιστάθµιση κινδύνου, µείωση του κόστους συναλλαγών, αύξηση της ρευστότητας στην αγορά, παροχή νέων εργαλείων για την επίλυση συµβατικών προβληµάτων και πληροφόρησης, ενώ κάνει αποτελεσµατικότερη την κατανοµή των οικονοµικών πόρων. ικαιώµατα Προαίρεσης στο δείκτη FTSE/ASE-0 Στις Σεπτεµβρίου 000 άρχισε η διαπραγµάτευση δικαιωµάτων προαίρεσης στο δείκτη FTSE/ASE-0. Ένα δικαίωµα προαίρεσης επί του δείκτη FTSE/ASE-0 δίνει στον αγοραστή του το δικαίωµα, και όχι την υποχρέωση, να αγοράσει (δικαίωµα αγοράς, call) ή να πουλήσει (δικαίωµα πώλησης, pu) το δείκτη σε συγκεκριµένη µελλοντική ηµεροµηνία (3 η Παρασκευή του µήνα λήξης), σε καθορισµένη τιµή (τιµή εξάσκησης). Ο πωλητής του δικαιώµατος αναλαµβάνει την αντίστοιχη υποχρέωση. Τα opions στους δείκτες όπως και τα Σ.Μ.Ε. είναι τυποποιηµένα συµβόλαια, o διακανονισµός είναι χρηµατικός και πραγµατοποιείται κατά την ηµεροµηνία εξάσκησης. Αν ο δείκτης κατά την ηµεροµηνία λήξης είναι πάνω από την τιµή εξάσκησης, ο πωλητής του δικαιώµατος αγοράς πληρώνει τη διαφορά, σε χρήµατα, στον αγοραστή του δικαιώµατος αγοράς. Αν κατά την 9

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης ηµεροµηνία λήξης ο δείκτης είναι κάτω από την τιµή εξάσκησης, ο αγοραστής ενός δικαιώµατος πώλησης πιστώνεται τη διαφορά από τον πωλητή. Πρέπει να σηµειώσουµε ότι στα δικαιώµατα ο αγοραστής καταβάλει το τίµηµα την επόµενη εργάσιµη µετά τη συναλλαγή στον πωλητή (µέσω της ΕΤ.Ε.Σ.Ε.Π.), εποµένως, κατ' αυτήν την έννοια, δεν υπάρχει ο ηµερήσιος χρηµατικός διακανονισµός που υπάρχει στα Σ.Μ.Ε. Η τιµή του συµβολαίου εκφράζεται πάντα σε µονάδες του δείκτη (FTSE/ASE-0), ενώ η χρηµατική αξία του συµβολαίου υπολογίζεται µε τον πολλαπλασιασµό της τιµής του δικαιώµατος επί τον πολλαπλασιαστή του κάθε δείκτη. Όπως και για τα Σ.Μ.Ε. έτσι και για τα δικαιώµατα στο δείκτη FTSE/ASE-0 ο πολλαπλασιαστής είναι 5 ευρώ ανά µονάδα. Για παράδειγµα, ένα συµβόλαιο που διαπραγµατεύτηκε στις.400 µονάδες, έχει χρηµατική αξία 7.000 ευρώ (.400 µονάδες x 5 ευρώ). Τα δικαιώµατα επί του δείκτη FTSE/ASE-0 στην αγορά παραγώγων είναι ευρωπαϊκού τύπου. ικαιώµατα Προαίρεσης στο δείκτη FTSE/ASE Mid 40 Στις 5 Ιουνίου 00 άρχισε η διαπραγµάτευση δικαιωµάτων προαίρεσης στο δείκτη FTSE/ASE Mid 0. Ο δείκτης FTSE/ASE Mid 40 είναι βασισµένος σε 40 εταιρίες του χρηµατιστηρίου Αθηνών (Χ.Α. Α.Ε) µεσαίας κεφαλαιοποίησης και εµπορευσιµότητας από διαφόρους κλάδους της ελληνικής χρηµατιστηριακής αγοράς. Η κεφαλαιοποίηση των 40 εταιριών που συµµετέχουν στο δείκτη FTSE/ASE Mid 40 ξεπερνά το 5% της συνολικής κεφαλαιοποίησης του Χ.Α. Α.Ε. Είναι σηµαντικό να σηµειωθεί η υψηλή διαφοροποίηση του δείκτη, στον οποίο αντιπροσωπεύονται περισσότεροι από 0 διαφορετικοί κλάδοι δραστηριότητας. Το γεγονός αυτό τον καθιστά ιδιαίτερα αντιπροσωπευτικό της µεσαίας κεφαλαιοποίησης και πολύ χρήσιµο για την αντιστάθµιση κινδύνου σε διαφοροποιηµένα χαρτοφυλάκια. Η σύνθεση και το βάρος των µετοχών του δείκτη µεταβάλλεται µε το χρόνο. ικαιώµατα Προαίρεσης σε µετοχές Από τις 7 Ιανουαρίου 003 άρχισε η διαπραγµάτευση δικαιωµάτων προαίρεσης σε µετοχές ΕΤΕ, ΟΤΕ, Alpha Bank και ΙΝΤΡΑΚΟΜ. Τα δικαιώµατα που διαπραγµατεύονται είναι αµερικανικού τύπου και έχουν πολλά κοινά χαρακτηριστικά µε τα δικαιώµατα επί των δεικτών FTSE/ASE-0 και FTSE/ASE Mid 40 αλλά και ορισµένες σηµαντικές διαφορές. Κάποια από τα βασικά πλεονεκτήµατα των opions 0

Κεφάλαιο ο Παράγωγα & ικαιώµατα Προαίρεσης σε µετοχές είναι η ευκολία και η ρευστότητα συναλλαγών, το µικρό κόστος που έχει η αγορά τους, καθώς κοστίζουν µόνο ένα κλάσµα της υποκείµενης αξίας του τίτλου καθώς και η χρηστικότητά τους, αφού ο επενδυτής µπορεί να εκµεταλλευτεί όλες τις τάσεις της αγοράς µε πολλές στρατηγικές, ανάλογα µε το µε το προφίλ κινδύνου και τις προσδοκίες του επενδυτή.

Κεφάλαιο 3 ο Υποδείγµατα Αποτίµησης ικαιωµάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ Στη βιβλιογραφία έχει προταθεί ένα πλήθος µοντέλων συνεχούς και διακριτού χρόνο για την εύρεση της αξίας-τιµής των δικαιωµάτων προαίρεσης. Το πιο γνωστό µοντέλο συνεχούς χρόνου είναι το µοντέλο των Black-Scholes, ενώ ένα από τα πιο δηµοφιλή µοντέλα διακριτού χρόνου είναι το διωνυµικό µοντέλο. Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούµε µε τα παραπάνω µοντέλα. 3. Το ιωνυµικό Μοντέλο (Binomial Model) Το πιο απλό υπόδειγµα υποτίµησης δικαιωµάτων είναι το διωνυµικό µοντέλο που αναπτύχθηκε από τον Cox, Ross και Rubinsein το 979. Tο µοντέλο αυτό είναι ένα διάγραµµα που παρουσιάζει διαφορετικές πιθανές τιµές που µπορεί να πάρει ο υποκείµενος τίτλος κατά τη διάρκεια ζωής του δικαιώµατος. Η υπόθεση που κάνουµε είναι ότι η τιµή αυτή ακολουθεί τυχαίο περίπατο (Random Walk) όπως έχουµε πει και στο προηγούµενο κεφάλαιο. Σε κάθε χρονική περίοδο, η τιµή S έχει πιθανότητα να κινηθεί ανοδικά ή καθοδικά. Όσο η χρονική περίοδος γίνεται µικρότερη τόσο το µοντέλο αυτό τείνει να ακολουθήσει την λογαριθµοκανονική κατανοµή που υποθέτει το µοντέλο Black-Scholes για την τιµή του υποκείµενου τίτλου. 3.. One-Sep ιωνυµικό Μοντέλο και η Υπόθεση της Μη- Κερδοσκοπίας Για να τιµολογηθεί ένα δικαίωµα κάνουµε την απλή υπόθεση ότι δεν υπάρχουν ευκαιρίες κερδοσκοπίας (no-arbirage). Φτιάχνουµε ένα χαρτοφυλάκιο από τη µετοχή και το δικαίωµα έτσι ώστε να µην υπάρχει αβεβαιότητα για την αξία του

Κεφάλαιο 3 ο Υποδείγµατα Αποτίµησης ικαιωµάτων χαρτοφυλακίου αυτού µετά το τέλος κάποιου χρόνου. Αφού το χαρτοφυλάκιο δεν έχει κίνδυνο, υποθέτουµε ότι η απόδοση που θα δώσει πρέπει να είναι ίση µε το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου (risk free rae). Αυτό βοηθάει στο να βρούµε το κόστος κατασκευής του χαρτοφυλακίου και έπειτα την αξία του δικαιώµατος. Εφόσον έχουµε ένα χαρτοφυλάκιο µε δύο µόνο τίτλους και δύο µόνο πιθανά αποτελέσµατα, µπορούµε πάντα να κατασκευάσουµε το χαρτοφυλάκιο χωρίς κίνδυνο. Έστω τώρα ότι έχουµε µία µετοχή που η τιµή της είναι S 0, και ένα δικαίωµα επί της µετοχής αυτής µε τρέχουσα τιµή f. Υποθέτουµε ότι το δικαίωµα έχει διάρκεια ζωής Τ και µέσα στο χρόνο αυτό η τιµή της µετοχής µπορεί να κινηθεί ανοδικά από S 0 σε S0u, όπου u>, ή καθοδικά από S 0 σε S0d, όπου d <. Το ποσοστό αύξησης της τιµής της µετοχής όταν υπάρχει ανοδική πορεία είναι u και το ποσοστό µείωσης όταν υπάρχει καθοδική πορεία είναι d. Αν η µετοχή κινηθεί ανοδικά σε S0u υποθέτουµε ότι η απόδοση του δικαιώµατος είναι f u ενώ αν κινηθεί καθοδικά σε S0d, η απόδοση του δικαιώµατος είναι παρουσιάζεται στο παρακάτω διάγραµµα. f d. Η κατάσταση ΙΑΓΡΑΜΜΑ 3.: Τιµές µετοχής και δικαιώµατος στο one-sep δέντρο Υποθέτουµε ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από θέση αγοράς µετοχών και θέση πώλησης σε ένα δικαίωµα. Υπολογίζουµε την αξία που κάνει το χαρτοφυλάκιο ακίνδυνο. Αν η µετοχή κινηθεί ανοδικά, η αξία του χαρτοφυλακίου στο λήξη του δικαιώµατος είναι S u f 0 u 3

Κεφάλαιο 3 ο Υποδείγµατα Αποτίµησης ικαιωµάτων Αν η µετοχή κινηθεί καθοδικά, η αξία του χαρτοφυλακίου γίνεται S d f 0 d Οι δύο αυτές αξίες γίνονται ίσες όταν S u f = S d f 0 u 0 d fu fd = S u S d 0 0 (3.) Σε αυτή την περίπτωση, το χαρτοφυλάκιο είναι ακίνδυνο και αφού δεν υπάρχουν ευκαιρίες arbirage, πρέπει να έχει αξία ίση µε το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου r. Η παρούσα αξία του χαρτοφυλακίου είναι ( S0u fu ) e κατασκευής του S0 δηλαδή rt και το κόστος f. Για να µην έχουµε κερδοσκοπία αυτά πρέπει να είναι ίσα, ( S u f ) e = S f rt 0 u 0 rt rt f = S0 ( ue ) + fue (3.) Αντικαθιστώντας την (3.) στην (3.) έχουµε rt f = e [ pf + ( p) f ] (3.3) u d όπου p= rt e d u d (3.4) Οι εξισώσεις (3.3) και (3.4) τιµολογούν ένα δικαίωµα όταν οι κινήσεις της µετοχής δίνονται από ένα one-sep διωνυµικό δέντρο. Βλέπουµε ότι στους τύπους αυτούς δεν υπάρχουν οι πιθανότητες της ανοδικής ή καθοδικής κίνησης της µετοχής. Αυτό συµβαίνει γιατί αυτές οι πιθανότητες έχουν ήδη ενσωµατωθεί στην τιµή της µετοχής, κι έτσι δεν χρειάζεται να τις λάβουµε πάλι υπόψη µας όταν αποτιµούµε το δικαίωµα σε όρους της τιµής της 4

Κεφάλαιο 3 ο Υποδείγµατα Αποτίµησης ικαιωµάτων µετοχής. Παρατηρούµε όµως ότι η µεταβλητή p στην εξίσωση (3.4), µπορεί να ερµηνευθεί ως η πιθανότητα ανοδικής κίνησης της τιµής της µετοχής. Συνεπώς, η πιθανότητα καθοδικής κίνησης είναι p και η αναµενόµενη απόδοση του δικαιώµατος είναι pf u + ( p) f d Με αυτή την ερµηνεία του p η εξίσωση (3.3) υποδεικνύει ότι η αξία ενός δικαιώµατος σήµερα είναι η αναµενόµενη µελλοντική του απόδοση προεξοφληµένη στο επιτόκιο µηδενικού κινδύνου. Η αναµενόµενη απόδοση τώρα της τιµής της µετοχής τον χρόνο Τ είναι E( S ) = ps u+ ( p) S d T 0 0 = ps ( u d) + S d (3.5) 0 0 Αντικαθιστώντας την (3.4) στην (3.5) έχουµε rt E( S ) = S e (3.6) T 0 Ερµηνεύοντας το p ως την πιθανότητα ανόδου της τιµής της µετοχής, είναι σαν να λέµε ότι η απόδοση της µετοχής είναι ίση µε το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου. Σε µία αγορά χωρίς κίνδυνο (risk-neural world), όλα τα άτοµα είναι αδιάφορα ως προς τον κίνδυνο. Σε έναν τέτοιο κόσµο, οι επενδυτές δεν απαιτούν αποζηµίωση για τον κίνδυνο, και η αναµενόµενη απόδοση όλων των τίτλων είναι το risk-free rae. Η εξίσωση (3.6) δείχνει ότι υποθέτουµε µία αγορά χωρίς κίνδυνο όταν θεωρούµε το p ως πιθανότητα ανοδικής κίνησης. Η εξίσωση (3.3) δείχνει ότι η αξία ενός δικαιώµατος είναι η αναµενόµενη απόδοσή του σε µία αγορά χωρίς κίνδυνο, προεξοφληµένη στο επιτόκιο µηδενικού κινδύνου. Αυτό το αποτέλεσµα είναι παράδειγµα µίας γενικής αρχής τιµολόγησης δικαιωµάτων, γνωστή ως ουδέτερηκινδύνου αποτίµηση (risk-neural valuaion). Η αρχή αυτή λέει ότι µπορούµε µε απόλυτη ασυδοσία να υποθέσουµε ότι η αγορά είναι ουδέτερη ως προς τον κίνδυνο κατά την τιµολόγηση δικαιωµάτων. Οι τιµές των δικαιωµάτων που εξάγονται είναι 5

Κεφάλαιο 3 ο Υποδείγµατα Αποτίµησης ικαιωµάτων σωστές, όχι µόνο για µία αγορά ουδέτερη ως προς τον κίνδυνο, αλλά και για άλλες αγορές. 3.. Two-Sep ιωνυµικά έντρα Μπορούµε να επεκτείνουµε την ανάλυση σε ένα wo-sep διωνυµικό δέντρο που παρουσιάζεται στο παρακάτω διάγραµµα. ΙΑΓΡΑΜΜΑ 3.: Τιµές µετοχής και δικαιώµατος στο wo-sep δέντρο Η τιµή της µετοχής είναι S 0 αρχικά. Κάθε χρονική περίοδο αυτή κινείται ανοδικά u ή καθοδικά d. Η αξία του δικαιώµατος φαίνεται στο δέντρο. (Για παράδειγµα, µετά από δύο ανοδικές κινήσεις η αξία του δικαιώµατος γίνεται f uu ). Υποθέτουµε ότι το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου είναι r και το µήκος της χρονικής περιόδου είναι περιόδου είναι έτη. Επειδή σε αυτή την περίπτωση το µήκος της χρονικής και όχι Τ οι εξισώσεις (3.3) και (3.4) γίνονται r f = e [ pf + ( p) f ] (3.7) u d 6

Κεφάλαιο 3 ο Υποδείγµατα Αποτίµησης ικαιωµάτων r e d p= u d (3.8) Επαναλαµβάνοντας την εφαρµογή του τύπου (3.7) για µία ακόµη ανοδική ή καθοδική κίνηση έχουµε r f = e [ pf + ( p) f ] (3.9) u uu ud r f = e [ pf + ( p) f ] (3.0) d ud dd Αντικαθιστώντας τις (3.9) και (3.0) στην εξίσωση (3.7) έχουµε f = e [ p f + p( p) f + ( p) f ] (3.) r uu ud dd Η τελευταία εξίσωση είναι συνεπής µε την αρχή της ουδέτερου κινδύνου αποτίµησης που αναφέραµε στην προηγούµενη ενότητα. Οι µεταβλητές p, p( p) και ( ) p είναι οι πιθανότητες των πάνω, µεσαίου και κάτω τελικών κόµβων του δέντρου. Η τιµή του δικαιώµατος είναι ίση µε την αναµενόµενη απόδοση σε µία αγορά χωρίς κίνδυνο προεξοφληµένη στο επιτόκιο µηδενικού κινδύνου όπως πριν. Όσο προσθέτουµε περισσότερες χρονικές περιόδους στο διωνυµικό δέντρο η αρχή της ουδετέρου κινδύνου αποτίµησης, συνεχίζει να ισχύει. Η τιµή του δικαιώµατος είναι ίση µε την αναµενόµενη απόδοση σε µία αγορά χωρίς κίνδυνο προεξοφληµένη στο επιτόκιο µηδενικού κινδύνου 3. Το Υπόδειγµα των Black Scholes Οι Fischer Black και Myron S. Scholes δηµοσίευσαν το 973 το Black- Scholes υπόδειγµα για την τιµολόγηση δικαιωµάτων ευρωπαϊκού τύπου, στο άρθρο τους «The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies». Η λύση του υποδείγµατος 7

Κεφάλαιο 3 ο Υποδείγµατα Αποτίµησης ικαιωµάτων αυτού, στην οποία συνεισέφερε και ο Rober C. Meron, µας δίνει ένα αναλυτικό τύπο για την τιµολόγηση των δικαιωµάτων, ο οποίος έγινε γνωστός ως τύπος Black- Scholes. Οι Myron S. Scholes και Rober C. Meron έλαβαν για αυτό το υπόδειγµα το 997 το Nobel Οικονοµικών. Λόγω του θανάτου του το 995 ο Fischer Black δε πρόλαβε να µοιραστεί το βραβείο αλλά αναγνωρίστηκε η συνεισφορά του από την Σουηδική Ακαδηµία. 3.. Οι Υποθέσεις του Υποδείγµατος Ο τύπος του υποδείγµατος αυτού είναι συνεχούς µορφής και δεν επιτρέπει στην τιµή του υποκείµενου αγαθού να παίρνει µόνο δύο τιµές σε κάθε χρονική περίοδο, όπως κάνει το διωνυµικό µοντέλο. Παραθέτουµε παρακάτω τις υποθέσεις του υποδείγµατος.. Το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου r και η µεταβλητότητα του πρωτογενούς τίτλου σ είναι γνωστές συναρτήσεις του χρόνου κατά τη διάρκεια ζωής του δικαιώµατος.. εν υπάρχουν κόστη συναλλαγών στις αγοραπωλησίες τίτλων. 3. Ο πρωτογενής τίτλος δεν πληρώνει µέρισµα κατά τη διάρκεια ζωής του δικαιώµατος. 4. εν υπάρχουν δυνατότητες αρµπιτράζ. (Η υπόθεση αυτή είναι µία υπόθεση ισορροπίας της αγοράς και η τιµή που θα εξαχθεί θα είναι µία τιµή ισορροπίας.) 5. Οι συναλλαγές στον πρωτογενή τίτλο µπορούν να γίνονται σε συνεχή χρόνο. 6. Οι τίτλοι είναι απείρως διαιρέσιµοι και επιτρέπονται οι πωλήσεις µε αρνητική θέση. 7. Η τιµή του πρωτογενούς χρηµατοοικονοµικού τίτλου πάνω στον οποίο το ευρωπαϊκό δικαίωµα αγοράς είναι γραµµένο ακολουθεί τον λογαριθµοκανονικό τυχαίο περίπατο (Random Walk), ds = µ Sd+ σ SdX (3.) ds = µ d+ σ dx S 8

Κεφάλαιο 3 ο Υποδείγµατα Αποτίµησης ικαιωµάτων όπου, ds : η µεταβολή του πρωτογενούς τίτλου dx : µία τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέσο 0 και διακύµανση d και ισχύει dx = Z d όπου Z ~ N (0,) d : η χρονική µεταβολή µ : η µέση απόδοση του αξιόγραφου (ρυθµός µεταβολής της τιµής ή drif ή τάση της τιµής) σ : η τυπική απόκλιση των αποδόσεων (µεταβλητότητα ή volailiy) Πρέπει να σηµειώσουµε ότι ο τυχαίος περίπατος στην (3.) δεν είναι ρεαλιστικός για τις αποδόσεις των αξιόγραφων στην πραγµατική αγορά. Οι αποδόσεις αυτές είναι συχνά ασυµµετρικές και έχουν παχιές ουρές (fa ails). Όµως το πλεονέκτηµα του είναι ότι δίνει αναλυτικές λύσεις στο πρόβληµα τιµολόγησης των παραγώγων. Αν τα στοιχεία µας δείχνουν ότι οι αποδόσεις των αξιόγραφων δεν είναι κανονικές, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε άλλα υποδείγµατα τυχαίων περιπάτων που οι λύσεις τους όµως δεν θα είναι αναλυτικές και θα πρέπει να τις υπολογίσουµε µε υπολογιστικές µεθόδους. Η υπόθεση λοιπόν της κανονικότητας του dxείναι απλουστευτική που µπορεί όµως εύκολα να αντικατασταθεί χωρίς ιδιαίτερο κόστος. 3.. Το Λήµµα του Iô Το Λήµµα του Iô είναι το πιο σηµαντικό αποτέλεσµα του διαφορικού λογισµού. Από την στοχαστική διαφορική εξίσωση, ds = µ Sd+ σ SdX Ο όρος Χ εµπεριέχει την τυχαιότητα της διαδικασίας της τιµής και είναι γνωστός ως διαδικασία Wiener (Wiener process) ή κίνηση Brown (Brownian moion). Αναφέραµε και πριν ότι το dx είναι µία τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέσο 0 και διακύµανση d. ηλαδή το dx µπορούµε να το εκφράσουµε ως 9