Θέμα 1 (1) Γνωρίζουμε ότι η αξία του προθεσμιακού συμβολαίου δίνεται από

Transcript

1 1 ΔΕΟ31 - Λύση 3ης γραπτής εργασίας Θέμα 1 (1) Γνωρίζουμε ότι η αξία του προθεσμιακού συμβολαίου δίνεται από f ( S I ) Ke t t t r( T t) Aρχικά βρίσκουμε τη παρούσα αξία των μερισμάτων που πληρώνει η μετοχή σε 3 μήνες και 9 μήνες από σήμερα Η παρούσα αξία των μερισμάτων σήμερα είναι 3 9 0,04 0, I 0,5 e 1e 1, 47 Με δεδομένο ότι γνωρίζουμε τη τρέχουσα τιμή της μετοχής St 50 και τη τιμή παράδοσης K 55, η αξία του προθεσμιακού συμβολαίου σήμερα θα βρεθεί από f ( S I ) Ke t t t r( T t) ft 0,04 (50 1, 47) 55e 4,31 Παρατηρούμε ότι η αξία του συμβολαίου είναι αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι καθώς το συμβόλαιο αυτό είναι υπερτιμημένο κάποιος θα έπρεπε να πληρωθεί 4,31 προκειμένου να το αγοράσει. (2) Είδαμε ότι το προθεσμιακό συμβόλαιο είναι υπερτιμημένο. Αυτό σημαίνει ότι ένας επενδυτής θα πρέπει να δανειστεί και να αγοράσει μια μετοχή σήμερα πουλώντας παράλληλα το προθεσμιακό συμβόλαιο. Αναλυτικά τα βήματα φαίνονται παρακάτω

2 2 Σήμερα (t=0) Επενδυτική Κίνηση Χρηματοροή 1 Δάνειο 50 ευρώ για αγορά 1 μετοχής στη τρέχουσα αγορά Αγορά 1 μετοχής στη τιμή 50 ευρώ Πώληση ΠΣ για παράδοση μετοχής σε 1 έτος με τιμή παράδοσης Σύνολο 0.00 Μετά από 3 μήνες (t=3m) Επενδυτική Κίνηση Χρηματοροή 1 Είσπραξη μερίσματος στους 3 μήνες Κατάθεση μερίσματος για τους υπόλοιπους 9 μήνες με επιτόκιο 4% Σύνολο 0.00 Μετά από 9 μήνες (t=9m) Επενδυτική Κίνηση Χρηματοροή 1 Είσπραξη μερίσματος στους 9 μήνες Κατάθεση μερίσματος για τους υπόλοιπους 3 μήνες με επιτόκιο 4% ) Μετά από 1 έτος (t=0) Επενδυτική Κίνηση Σύνολο 0.00 Χρηματοροή 9 3 0,04 0, ,5 e 1 e 1 Από τη κατάθεση των μερισμάτων στους 3 και 9 μήνες = Σύμφωνα με το ΠΣ παράδοση μιας μετοχής και είσπραξή Αποπληρωμή δανείου Κέρδος χωρίς κίνδυνο 0,04 50e , =4.48

3 3 (3) H τιμή παράδοσης Κ για να μην υπάρχουν ευκαιρίες αρμπιτράζ θα βρεθεί από ft 0 Επομένως έχουμε f S I Ke r( T t) t 0 ( t t ) 0 ( ) r( T t) Ke St It Ke e ( S I ) e r( T t) r( T t) r( T t) t t K ( S I ) e t t r( T t ) K 0,04 (50 1, 47) e 50,52 4) Σε 6 μήνες από σήμερα η παρούσα αξία του μερίσματος που εισπράττει τον 9 ο μήνα θα είναι 3 0,04 12 I 1e 0,99 H αξία του προθεσμιακού συμβολαίου σε 6 μήνες από σημερα θα είναι f ( S I ) Ke r( T t) 6 0,04 12 f (S 0,99) 50,52e Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την αξία του προθεσμιακού συμβολαίου καθώς δεν γνωρίζουμε τη τιμή της μετοχής τον 6 ο μήνα Εάν υποθέσουμε ότι η τιμή της μετοχής παραμείνει σταθερή στους 6 μήνες τότε η αξία του προθεσμιακού συμβολαίου θα ήταν 6 0,04 12 f6 (50 0,99) 50,52e 0,51 Β) Η αξία της θέσης του επενδυτή είναι = 2 ΣΜΕ Τιμή ΣΜΕ πολλαπλασιαστής

4 4 Η αξία της θέσης είναι = ευρώ Mε δεδομένο ότι θα πρέπει να υπάρχει στο λογαριασμό περιθωρίου ασφάλισης ως εγγύηση το 10% της τιμής του δείκτη ανά συμβόλαιο, η αρχική κατάθεση του επενδυτή στο λογαριασμό περιθωρίου για τα 2 συμβόλαια ΣΜΕ θα είναι 10% ευρώ Προσοχή! Την ανάλυση με τα κόκκινα μπορείτε να τη παραλείψετε (το επιτόκιο 10% που χρησιμοποιώ είναι από το ερώτημα 3) Η ανάλυση αυτή είναι σωστή για όποιον θέλει να τη γράψει. Ας υποθέσουμε ότι στην αγορά των παραγώγων υπάρχει δίκαιη αποτίμηση των συμβολαίων ( υποθέτουμε ετήσιο ανατοκισμό) Στη περίπτωση αυτή θα πρέπει να ισχύει t Ft, T St (1 r ) 360 Όπου t = o αριθμός των ημερών μέχρι τη λήξη. Γνωρίζουμε ότι το οικονομικό έτος λειτουργεί με τον κανόνα 30/360 Αντικαθιστώντας τα δεδομένα μας έχουμε t t (1 0,10 ) 1, , t 3600, 025 0, 025 0,10 t ,10 Αυτό σημαίνει ότι το συμβόλαια που πουλήσαμε έχουν λήξη στους τρείς μήνες (90 ημέρες) Ο επενδυτής δεν θα χρειαστεί να καταβάλει χρήματα στο λογαριασμό του εάν ισχύει αρχικό περιθώριο ασφάλειας - Ημερήσια Ζημιά =10% 2 Τιμή ΣΜΕ πολλαπλασιαστής ( F - 410) 5 10% 2 F 5 1 1

5 F 4100 F 11F 4510 F Για οποιαδήποτε τιμή του ΣΜΕ μεγαλύτερη από 410 θα χρειαστεί να καταβάλει χρήματα στο λογαριασμό περιθωρίου. Επομένως εάν η τιμή του συμβολαίου την επόμενη μέρα διαμορφωθεί σε 410 ο επενδυτής θα ικανοποιούσε οριακά την απαίτηση να υπάρχει ως εγγύηση το 10% της θέσης του. Για οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη από 410 ο επενδυτής θα έπρεπε να καταθέσει χρήματα στο λογαριασμό περιθωρίου. Αυτό σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του δείκτη του ΧΑΑ πάνω από 400 ο επενδυτής θα έπρεπε να βάλει χρήματα στο λογαριασμό περιθωρίου. Υποθετικό παράδειγμα για τιμή μεγαλύτερη από 410 (μπορείτε να το παραλείψετε) Έστω για παράδειγμα ότι η τιμή την επόμενη μέρα η τιμή του ΣΜΕ ήταν 415 Το κέρδος από το ΣΜΕ θα ήταν = 2 ( ) 5 50 Η ζημιά αυτή θα έπρεπε να αφαιρεθεί από το λογαριασμό περιθωρίου της προηγούμενης ημέρας. Το υπόλοιπο του λογαριασμού θα διαμορφωνόταν σε Το 10% της αξίας των 2 συμβολαίων που απαιτείται να υπάρχει στο λογαριασμό στο τέλος της 1 ης μέρας είναι 10% Αυτό σημαίνει ότι ο επενδυτής θα πρέπει να καταθέσει τη διαφορά Τιμή ΣΜΕ Κέρδος Λογαριασμός περιθωρίου πριν την κατάθεση Λογαριασμός περιθωρίοιυ μετά κατάθεση Επιπλέον κατάθεση

6 6 (2) Ο επενδυτής μπορεί να πάρει 50 ευρώ από το λογαριασμό περιθωρίου ασφάλισης εάν το υπόλοιπο του στο τέλος μιας ημέρας ξεπερνά κατά 50 ευρώ το ελάχιστο απαιτούμενο ποσό ως ασφάλεια. αρχικό περιθώριο ασφάλειας +Κέρδος απο ΣΜΕ =50+10% 2 Τιμή ΣΜΕ πολλαπλασιαστής ( F - 410) % 2 F F F 11F 4510 F 405, Επομένως εάν η τιμή του ΣΜΕ την επόμενη μέρα ήταν 405,45 Το κέρδος από το ΣΜΕ θα ήταν = 2 (405,45 410) 5 45,45 Το κέρδος αυτό θα έπρεπε να πιστωθεί στο λογαριασμό περιθωρίου της προηγούμενης ημέρας. Το υπόλοιπο του λογαριασμού θα διαμορφωνόταν σε , , 45 Το 10% της αξίας των 2 συμβολαίων που απαιτείται να υπάρχει στο λογαριασμό στο τέλος της 1 ης μέρας είναι 10% 2 405, ,45 Αυτό σημαίνει ότι ο επενδυτής θα πρέπει να πάρει από το λογαριασμό περιθωρίου τη διαφορά 455, , Αξίζει να σημειωθεί ότι τα χρήματα στο λογαριασμό περιθωρίου τοκίζονται επομένως ο επενδυτής που θα αποσύρει τα 50 ευρώ, υφίσταται κόστος ευκαρίας ( τους τόκους που θα μπορούσε να κερδίσει εάν άφηνε τα χρήματα στο λογαριασμό. Τιμή ΣΜΕ Κέρδος Λογαριασμός περιθωρίου πριν την ανάληψη Λογαριασμός περιθωρίου μετά την κατάθεση Κατάθεση

7 7 Εάν υποθέσουμε δίκαιη αποτίμηση των ΣΜΕ η τιμή του δείκτη στο ΧΑΑ που αντιστοιχεί σε τιμή ΣΜΕ 405,45 θα βρεθεί από , 45 S1 (1 0,10 ) S1 395, Επομένως εάν ισχύει η δίκαιη αποτίμηση των συμβολαίων και η τιμή του δείκτη στο ΧΑΑ μειωθεί από 400 σε 395,67 και αντίστοιχα η τιμή του ΣΜΕ στο δείκτη μειωθεί από 410 σε 405,45 ο επενδυτής που έχει αρνητική θέση σε δύο συμβόλαια θα είναι σε θέση να πάρει 50 ευρώ από το λογαριασμό περιθωρίου. 3) Το κέρδος από τη αρνητική θέση στα ΣΜΕ είναι ίσο με Κέρδος θέσης στα ΣΜΕ = - Αριθμός ΣΜΕ (F F ) 5 Στη περίπτωση 1) που έχουμε την άνοδο της τιμής του υποκείμενου τίτλου και του ΣΜΕ Το κέρδος θα υπολογιστεί ως Κέρδος θέσης στα ΣΜΕ = - 2 (F 410) 5 t1 t1 t Στην περίπτωση 2 Κέρδος θέσης στα ΣΜΕ = - 2 (405,45 410) 5 45,45 ΘΕΜΑ 2 Γνωρίζουμε ότι η θέση στην αγορά μετρητοίς είναι γαλόνια καυσίμου Με δεδομένο ότι η εταιρία θέλει να αγοράσει τα γαλόνια καυσίμου σε 6 μήνες, η θέση που έχει σήμερα στην αγορά μετρητοίς είναι αρνητική C (1)

8 8 Για να αντισταθμίσει το κίνδυνο της μεταβολής της τιμής του καυσίμου η εταιρία θα πρέπει να λάβει στα ΣΜΕ την αντίθετη θέση από την θέση στην αγορά μετρητοίς. Συνεπώς θα πρέπει να λάβει θετική θέση στη προθεσμιακή αγορά και να αγοράσει συμβόλαια ΣΜΕ (2) Γνωρίζουμε ότι η τυπική απόκλιση της μεταβολής της ανά γαλόνι είναι C 0,016 η τυπική απόκλιση της μεταβολής της τιμής ΣΜΕ είναι F 0,020 και ο συντελεστής συσχέτισης των μεταβολών της τιμής μετρητοίς με την τιμή ΣΜΕ είναι, 0,8 C F H αναλογία αντιστάθμισης είναι ίση με C, F C 0,8 0,016 0,64 0,020 F Συνεπώς στην προθεσμιακή αγορά θα πρέπει να λάβει θέση για αριθμό γαλονιών καυσίμου F C AA ( ) 0, F Ο αριθμός των συμβολαίων ΣΜΕ που θα πρέπει να αγοράσει είναι n 30,47 ΣΜΕ Επομένως θα πρέπει να αγοράσει 30 ΣΜΕ Παρατηρούμε όταν οι μεταβολές των τιμών μετρητοίς δεν είναι ίδιες με τις μεταβολές του υποκείμενου τίτλου, για αποτελεσματική αντιστάθμιση δεν θα πρέπει να λάβουμε στα ΣΜΕ ισόποση θέση με τη θέση στην αγορά μετρητοίς Β) Γνωρίζουμε ότι το ύψος του δείκτη σήμερα είναι S0 400 και το ετήσιο επιτόκιο είναι r 10% (1) H τιμή του ΣΜΕ σήμερα θα βρεθεί από

9 9 F S e e 0,1 0,1 r , 06 Η χρηματική αξία του ΣΜΕ σήμερα είναι ίση με Τιμή ΣΜΕ πολλαπλασιαστής =442,06 5=2210,34 (2) Μετά από 6 μήνες εάν η τιμή του δείκτη είναι S6 375 και το ετήσιο επιτόκιο είναι r 10% H τιμή του ΣΜΕ μετά από 6 μήνες θα είναι 6 6 r 0, F6,12 S6e 375e 394, 22 Η χρηματική αξία του ΣΜΕ σε 6 μήνες είναι ίση με Τιμή ΣΜΕ πολλαπλασιαστής =394,22 5=1971,13 (3) Εάν ο επενδυτής κλείσει τη θέση του μετά από 6 μήνες θα έχει ζημιά ίση με (Τιμή πώλησης ΣΜΕ - Τιμή αγοράς ΣΜΕ) πολλαπλασιαστής (394, ,06) 5 = -239,2 Ο επενδυτής θα έχει ζημιά 239,2 ευρώ ΘΕΜΑ 3 Θα βρούμε τη δίκαιη τιμή του δικαιώματος αγοράς και δικαιώματος πώλησης από τον τύπο των Black & Scholes. Στην περίπτωση που η τιμή του δικαιώματος είναι μικρότερη από τη δίκαιη τιμή (Τιμή από Black & Scholes )το δικαίωμα θα είναι υποτιμημένο. Αντίθετα όταν η τιμή του δικαιώματος είναι μεγαλύτερη από τη δίκαιη τιμή (Τιμή από Black & Scholes )το δικαίωμα θα είναι υπερτιμημένο Tιμή δικαιώματος αγοράς θα υπολογιστεί ως r * t f C S * N d X * e N d όπου 0 1 2

10 10 d 1 2 S0 ln rf t X 2 και d2 d1 t t Ενδεικτικά υπολογίζουμε τις τιμές των δικαιώματων αγοράς και πώλησης με λήξη σε 30 ημέρες και τιμή εξάσκησης 385 μονάδες Γνωρίζουμε ότι : S ,1 0,1 0, r 5% 30 t 365 Μετά από αντικατάσταση: d 1 2 S0 ln r 386 0,1 30 f t ln 0, 05 * X ,1193 t 30 0,3162* 365 Και 30 d2 d1 t 0,1193 0,3162 0, Από τον πίνακα 1 (σελ.167, τόμος Γ ) έχουμε ότι : N N d1 0,1193 0,5475 και

11 11 N N d2 0, ,5114 Συνεπώς r f * t ,05* 365 C S * N d X * e N d 386 0, e 0, , 24 Η τιμή του δικαιώματος πώλησης θα βρεθεί από την ισοδυναμία Put Call Parity. 30 r * 0,05* f t 365 P C S Xe e 0 15, * 12, 66 Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι υπολογισμοί και για τα υπόλοιπα δικαιώματα. Με πράσινο βλέπουμε τα υποτιμημένα δικαιώματα και με κόκκινο τα υπερτιμημένα 3B. ( Προσοχή! Οι πίνακες αυτοί δείχνουν την χρηματοροή (πληρωμή ) στη λήξη και όχι το κέρδος. Εάν ήθελα να βρω το κέρδος θα έπρεπε να αφαιρέσω την τιμή του δικαιώματος)

12 12 Xαρτοφυλάκιο Α S T <S T 400 S T>400 Αγορά δικαιώματος πώλησης με τιμή εξάσκησης S T 0 0 Πώληση δικαιώματος πώλησης με τιμή εξάσκησης 400 -(400-S T) -(400-S T) S T-400+S T = (400- S T) = Σύνολο S T Xαρτοφυλάκιο B ST <ST 400 ST>400 Πώληση δικαιώματος αγοράς με τιμή εξάσκησης (S T-385) -(S T-385) Αγορά δικαιώματος αγοράς με τιμή εξάσκησης S T-400 Σύνολο S T -S T+385+S T-400 = -15 ΘΕΜΑ 4 Α) Θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε δικαιώματα πώλησης. Συγκεκριμένα θα πρέπει να αγοράσουμε δικαιώματα πώλησης, ώστε σε περίπτωση πτώσης του δείκτη και μείωση της αξίας του χαρτοφυλακίου να αντισταθμίσουμε τη μείωση της αξίας του χαρτοφυλακίου από το κέρδος των δικαιωμάτων πώλησης. Συγκεκριμένα τα δικαιώματα αγοράς θα έχουν θετική εσωτερική αξία όταν η τιμή του υποκείμενου τίτλου είναι μεγαλύτερη από τη τιμή εξάσκησης. Η θέση αγοράς των δικαιωμάτων αγοράς θα αποφέρει κέρδος στη περίπτωση της ανόδου της τιμής του υποκείμενου τίτλου

13 13 Από την άλλη πλευρά τα δικαιώματα πώλησης θα έχουν θετική εσωτερική αξία όταν η τιμή του υποκείμενου τίτλου είναι μικρότερη από τη τιμή εξάσκησης. Η θέση αγοράς των δικαιωμάτων πώλησης θα αποφέρει κέρδος στη περίπτωση της πτώσης της τιμής του υποκείμενου τίτλου Β) Αρχικά θα πρέπει να βρούμε το δέλτα του δικαιώματος πώλησης Αρχικά βρίσκουμε d 1 2 S0 ln rf t X 2 t Μετά από αντικατάσταση: d S0 ln rf t ln 0, 025 * 380 0,31 90 X , 2162 και t 90 0,31* 365 Από τον πίνακα 1 (σελ.167, τόμος Γ ) έχουμε ότι : N N d1 0, , 4144 Συνεπώς το δέλτα του δικαιώματος αγοράς είναι c N(d 1) 0, 4144 Μας δείχνει ότι η τιμή του δικαιώματος αγοράς θα αυξηθεί κατά 0,4144 εάν η τιμή του δείκτη αυξηθεί κατά 1 μονάδα To δέλτα του δικαιώματος πώλησης είναι ίσο με p N(d 1) 1 0, ,5856 Μας δείχνει ότι η τιμή του δικαιώματος πώλησης θα μειωθεί κατά 0,5856 εάν η τιμή του δείκτη αυξηθεί κατά 1 μονάδα Για να αντισταθμίσει τον κίνδυνο της η εταιρία θα πρέπει να αγοράσει δικαιώματα πώλησης

14 14 Άρα N P Αξία Χαρτοφυλακίου ιμή εξάσκησης* Δέλτα *5 400*0,5856*5 Συνεπώς θα αγοράσουμε δικαιώματα πώλησης Το συνολικό κόστος της στρατηγικής είναι Κόστος δικαιωμάτων πώλησης=(τιμή δικαιώματος αγοράς/μετοχή)*(100μετοχές/δικαίωμα)*αριθμός δικαιωμάτων Κόστος δικαιωμάτων πώλησης=33,64*17.077*5= ,40 Γ) Σε περίπτωση αύξηση της τιμής του δείκτη σε 460 μονάδες Η απόδοση της αγοράς ήταν ίση με , Με δεδομένο ότι το χαρτοφυλάκιο έχει συντελεστή βήτα ίσο με τη μονάδα, συμπεραίνουμε ότι η απόδοση του χαρτοφυλακίου το διάστημα αυτό θα είναι ίση με την απόδοση του δείκτη δηλαδή 21,05% Τιμή FTSE σε 3 μήνες 460 Απόδοση FTSE 0,2105 (1) Αξία χαρτοφυλακίου μετοχών *(1+0,2105)= ,32 (2) Αξία δικαιωμάτων πώλησης Max( ,0)*17077*5=0 (3) Kόστος κτήσης δικαιώματων πώλησης μαζί με τόκους 3 μήνου (συνεχής ανατοκισμός) Προσοχή! Μπορώ να μην υπολογίσω το κόστος ευκαιρίας του χρήματος και να αφαιρέσω το κόστος αγοράς των ,40 90 e 0, =-2,878,259.56

15 15 δικαιωμάτων πώλησης ,40 χωρίς τους τόκους. Αυτό όμως δεν θα ήταν απόλυτα σωστό γιατί το κόστος το πληρώνω την t=0 ενώ την αποτίμηση της συνολικής θέσης του χαρτοφυλακίου την κάνω σε διαφορετική χρονική στιγμή t=3m. To σωστό είναι να συμπεριλάβω και το κόστος ευκαιρίας του χρήματος Σύνολική αξία χαρτοφυλακίου (1) + (2) + (3) 21,332, Κέρδος χαρτοφυλακίου μετοχών ,32 Κέρδος δικαιωμάτων πώλησης Προσοχή! Για τον υπολογισμό του κέρδους από αγορά δικαιωμάτων πώλησης αφαιρώ από την αξία των δικαιωμάτων το κόστος αγοράς των δικαιωμάτων μαζί με τους τόκους. Θα μπορούσατε για λόγους απλούστευσης να αφαιρέσετε το κόστος αγοράς των δικαιωμάτων χωρίς τους τόκους ,56 Συνολικό Κέρδος ,76 Σε περίπτωση μείωση της τιμής του δείκτη σε 330 μονάδες Η απόδοση της αγοράς ήταν ίση με , Τιμή FTSE σε 3 μήνες 330 Απόδοση FTSE -0,1315

16 16 (1) Αξία χαρτοφυλακίου μετοχών *(1-0,1315)= ,05 (2) Αξία δικαιωμάτων πώλησης Max( ,0)*17077*5= (4) Kόστος κτήσης δικαιώματων πώλησης μαζί με τόκους 3 μήνου (συνεχής ανατοκισμός Προσοχή! Μπορώ να μην υπολογίσω το κόστος ευκαιρίας του χρήματος και να αφαιρέσω το κόστος αγοράς των δικαιωμάτων πώλησης ,40 χωρίς τους τόκους. Αυτό όμως δεν θα ήταν απόλυτα σωστό γιατί το κόστος το πληρώνω την t=0 ενώ την αποτίμηση της συνολικής θέσης του χαρτοφυλακίου την κάνω σε διαφορετική χρονική στιγμή t=3m. To σωστό είναι να συμπεριλάβω και το κόστος ευκαιρίας του χρήματος ,40 90 e 0, = ,56 Σύνολο (1) + (2) + (3) ,49 Κέρδος χαρτοφυλακίου μετοχών ,95 Κέρδος δικαιωμάτων πώλησης ,44 Συνολικό Κέρδος ,49