H τιμολόγηση των δικαιωμάτων με το υπόδειγμα Black Scholes

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "H τιμολόγηση των δικαιωμάτων με το υπόδειγμα Black Scholes"

Κῆρες Παπαδόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 TΟΜΟΣ Γ - ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ Μάθημα 19 H τιμολόγηση των δικαιωμάτων με το υπόδειγμα Black Scholes Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε ορισμένα από τα χαρακτηριστικά των δικαιωμάτων χρησιμοποιώντας τις τιμές των δικαιωμάτων ως δεδομένες αλλά δεν εξηγήσαμε από πού προκύπτουν αυτές οι τιμές. Σε αυτή την ενότητα θα δούμε πως τιμολογούμε ευρωπαϊκά δικαιώματα με τον τύπο των Black and Sholes. από Σύμφωνα με τον τύπο αυτό η τιμή ενός δικαιώματος αγοράς (call) θα δίνεται T 0 1 = S Nd ( ) X e Nd ( ) Όπου d 1 σ ln( S0 / X) + ( r + ) T = σ T d = d1 σ Τ Και S 0 = Τρέχουσα τιμή του υποκείμενου τίτλου X = Τιμή εξάσκησης του δικαιώματος T = Ο χρόνος που απομένει μέχρι τη λήξη του δικαιώματος r = το ακίνδυνο επιτόκιο της περιόδου ( σε ετήσια βάση) σ = η τυπική απόκλιση των αποδόσεων του υποκείμενου τίτλου Ν ( d η τιμή που προκύπτει για από την τυποποιημένη κανονική κατανομή όταν PZ ( d Ν ( d ) η τιμή που προκύπτει για από την τυποποιημένη κανονική κατανομή όταν PZ ( d) Στην περίπτωση που έχουμε υπολογίσει τη τιμή του δικαιώματος αγοράς είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τη τιμή του δικαιώματος πώλησης (pu) από τον τύπο της ισοδυναμίας δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης ( Pu - all pariy) P = S + X e rt 1

2 ή αναλυτικά ακολουθώντας μια ανάλογη διαδικασία με αυτή που ακολουθήσαμε για να βρούμε τη τιμή του δικαιώματος αγοράς P = X e N d S N d rt ( ) 0 ( Η αξία των δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης πριν τη λήξη διακρίνεται σε δύο κομμάτια την εσωτερική αξία που μας δείχνει την αξία που θα λάμβανε ο επενδυτής από την άμεση εξάσκηση του δικαιώματος και που υπολογίζεται ως max( S X, 0) για τα δικαιώματα αγοράς και max( X S, 0) για τα δικαιώματα πώλησης και την την χρονική αξία που μας δείχνει την αξία του δικαιώματος που οφείλεται στο γεγονός ότι το δικαίωμα έχει διάρκεια μέχρι να λήξει και επομένως υπάρχουν πιθανότητες αυτό να καταλήξει να είναι κερδοφόρο ακόμα και αν την τρέχουσα χρονική στιγμή το δικαίωμα έχει μηδενική εσωτερική αξία. Η χρονική αξία υπολογίζεται ως max( S X, 0) για τα δικαιώματα αγοράς P max( X S, 0) για τα δικαιώματα πώλησης Στη λήξη του δικαιώματος ισχύει ότι T = max( ST X, 0) και PT = max( X ST, 0). Συνεπώς η χρονική αξία στη λήξη του δικαιώματος είναι μηδέν Παράδειγμα Η τρέχουσα τιμή της μετοχής είναι 100. Η τιμή εξάσκησης σε ένα δικαίωμα που λήγει σε 6 μήνες είναι 90. Το ετήσιο επιτόκιο είναι 4% και ο κίνδυνος της μετοχής που μετράται από τη μεταβλητότητα της τυπική απόκλιση είναι 35%. Να βρεθεί α) Η τιμή του δικαιώματος αγοράς β) Η τιμή του δικαιώματος πώλησης γ) Η χρονική αξία του δικαιώματος αγοράς και πώλησης Τα δεδομένα είναι S 0 = 100 X = 90

3 180 T = = 0,5 360 r = 4% = 0, 04 σ = 35% = 0,35 Υπολογίζουμε d 1 σ 0,35 ln( S0 / X) + ( r + ) T ln(100 / 90) + (0,04 + )0,5 = = = 0, 6303 σ T 0,35 0,5 d = d1 σ Τ= 0, , = 0,388 Αντίστοιχα από τους πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής έχουμε Ν ( d ) =Ν (0, 6303) = 0, Ν ( d ) =Ν (0,388) = 0, 6491 ] 3

Επομένως η τιμή του δικαιώματος αγοράς είναι T 0 1 = S Nd ( ) X e Nd ( ) 180 0,04 360 = 100 N(0, 6303) 90 e N(0,388) = 16,3 Η τιμή του δικαιώματος πώλησης από είναι P= X e N d S N d rt ( ) 0 (

4 Επομένως η τιμή του δικαιώματος αγοράς είναι T 0 1 = S Nd ( ) X e Nd ( ) 180 0, = 100 N(0, 6303) 90 e N(0,388) = 16,3 Η τιμή του δικαιώματος πώλησης από είναι P= X e N d S N d rt ( ) 0 ( 180 0, P= 90 e N( 0,388) 100 N( 0, 6303) = 4,53 Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να είχαμε βρει τη τιμή του δικαιώματος πώλησης από την ισοδυναμία δικαιώματος αγοράς-δικαιώματος πώλησης Pu-all Pariy 4

P= S + X e 0 rt 180 0,04 e 360 P= 16,3 100 + 90 = 4,53 Η εσωτερική αξία του δικαιώματος αγοράς είναι max( S X, 0)= max(100 90, 0) =10 Η χρονική αξία του δικαιώματος αγοράς είναι Xρονική Αξία =

5 P= S + X e 0 rt 180 0,04 e 360 P= 16, = 4,53 Η εσωτερική αξία του δικαιώματος αγοράς είναι max( S X, 0)= max(100 90, 0) =10 Η χρονική αξία του δικαιώματος αγοράς είναι Xρονική Αξία = Τιμή δικαιώματος - Εσωτερική Αξία Xρονική Αξία = max( S X, 0)=16,3-10=6,3 Η εσωτερική αξία του δικαιώματος πώλησης είναι Η εσωτερική αξία του δικαιώματος πώλησης είναι max( X S, 0)= max(90 100, 0) =0 5

6 Η χρονική αξία του δικαιώματος αγοράς είναι Xρονική Αξία = Τιμή δικαιώματος - Εσωτερική Αξία Xρονική Αξία = P max( X S, 0)=4,53-0=4,53.3 Τα Ελληνικά Γράμματα (Τhe Greeks) Ως «ελληνικά γράμματα» ονομάζουμε τις ευαισθησίες που εμφανίζουν οι τιμές των δικαιωμάτων στις μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στον τύπο των Black και Scholes. Tα κυριότερα ελληνικά γράμματα είναι Δέλτα Το δέλτα μας δείχνει τη μεταβολή της τιμής του δικαιώματος σε μια μεταβολή του υποκείμενου τίτλου Το δέλτα του δικαιώματος αγοράς είναι θετικό, δηλαδή όσο αυξάνεται η τιμή του υποκείμενου τίτλου τόσο αυξάνεται η τιμή του δικαιώματος αγοράς ( S ) S T 1 = S Nd ( ) X e Nd ( ) Το δέλτα του δικαιώματος πώλησης είναι αρνητικό, δηλαδή όσο αυξάνεται η τιμή του υποκείμενου τίτλου τόσο μειώνεται η τιμή του δικαιώματος ( S P) P = < 0 P rt ( ) ( P= X e N d S N d Γάμμα Το γάμμα μετράει τη κυρτότητα της μεταβολής του δικαιώματος σε μια μεταβολή της τιμής του υποκείμενου τίτλου και ορίζεται ως η δεύτερη παράγωγος της τιμής του δικαιώματος ως προς τη τιμή του υποκείμενου τίτλου P Γ = =Γ P = S S Στο υπόδειγμα Black Scholes το γάμμα του δικαιώματος αγοράς είναι ίσο με το γάμμα του δικαιώματος πώλησης 6

7 Βέγκα- Το βέγκα μετράει την ευαισθησία της τιμής του δικαιώματος στις μεταβολές της μεταβλητότητας (τυπική απόκλιση) P V = = VP σ σ Στο υπόδειγμα Black Scholes το βέγκα του δικαιώματος αγοράς είναι ίσο με το βέγκα του δικαιώματος πώλησης και πάντα θετικό, δηλαδή όσο αυξάνεται η μεταβλητότητα του υποκείμενου τίτλου τόσο αυξάνεται η αξία του δικαιώματος είτε αυτό είναι δικαίωμα αγοράς είτε δικαίωμα πώλησης. Ρ- Το ρ μετράει την ευαισθησία της τιμής του δικαιώματος στις μεταβολές του επιτοκίου Το ρ του δικαιώματος αγοράς είναι θετικό, δηλαδή όσο αυξάνεται η τιμή του επιτοκίου τόσο αυξάνεται η τιμή του δικαιώματος αγοράς ( r ) Ρ r T 1 = S Nd ( ) X e Nd ( ) Το ρ του δικαιώματος πώλησης είναι αρνητικό, δηλαδή όσο αυξάνεται η τιμή του επιτοκίου τόσο μειώνεται η τιμή του δικαιώματος πώλησης ( r P) P Ρ = < 0 r P= X e N d S N d r T ( ) ( Θ- Το θήτα μετράει την ευαισθησία της τιμής του δικαιώματος καθώς πλησιάζουμε προς τη λήξη του δικαιώματος Το θήτα του δικαιώματος αγοράς είναι θετικό, δηλαδή όσο πλησιάζουμε προς τη λήξη (δηλαδή ο χρόνος που απομένει μειώνεται) η τιμή του δικαιώματος μειώνεται Θ Τ 7

8 Επειδή ο χρόνος μέχρι τη λήξη μειώνεται η τιμή του δικαιώματος θα μειώνεται. Αυτός είναι ο λόγος που οι διαπραγματευτές θεωρούν το θήτα αρνητικό αριθμό. Το θήτα του δικαιώματος πώλησης είναι θετικό, δηλαδή όσο πλησιάζουμε προς τη λήξη (δηλαδή ο χρόνος που απομένει μειώνεται) η τιμή του δικαιώματος πώλησης μειώνεται P Θ P Τ Η τιμή του δικαιώματος αγοράς θα μειώνεται όσο αυξάνεται η τιμή εξάσκησης < 0 X T 1 = S Nd ( ) X e Nd ( ) Η τιμή του δικαιώματος πώλησης θα αυξάνεται όσο αυξάνεται η τιμή εξάσκησης > 0 X P= X e N d S N d rt ( ) ( Στο παρακάτω πίνακα βλέπουμε τις μεταβολές στις τιμές των δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης για μεταβολές των μεταβλητών του υποδείγματος Βlack Scholes Θετική Μεταβολή + Μεταβολή τιμής δικαιώματος αγοράς Μεταβολή τιμής δικαιώματος πώλησης Τιμή υποκείμενου τίτλου + - Τιμή εξάσκησης - + Χρόνος μέχρι τη λήξη + + Μεταβλητότητα τυπική + + απόκλιση Ακίνδυνο επιτόκιο + - 8

Σχετικά έγγραφα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 13 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2013

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 013 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 13 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 013 ΑΠΟΓΕΥΜΑΤΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1 π.μ.