ΑΠΟΨΕΙΣ ΠΑΙ ΙΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΠΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Χρυσάνθη Σκουµπουρδή & Φραγκίσκος Καλαβάσης e-mail: kara@rhodes.aegean.gr Στην έρευνα αυτή εξετάστηκαν οι αντιλήψεις µαθητών (Β, Γ,, Ε ) του δηµοτικού σχολείου πάνω σε έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων µε δύο βασικούς στόχους: ο πρώτος στόχος ήταν η µελέτη των απόψεων παιδιών διαφορετικών ηλικιών για όρους και υλικά που σχετίζονται µε την έννοια της πιθανότητας και ο δεύτερος στόχος ήταν η αναζήτηση του βαθµού κατανόησης, από τα παιδιά, των εκφωνήσεων των πιθανολογικών προβληµάτων όπως παρουσιάζονται στο σχολικό βιβλίο. Από τη µελέτη των απαντήσεων των µαθητών, καταλαβαίνουµε ότι είναι εξοικειωµένοι µε όρους που σχετίζονται µε την έννοια της πιθανότητας γενικά, αλλά παρουσιάζουν δυσκολία στο να χρησιµοποιούν αυτούς τους όρους σε πραγµατικές καταστάσεις. Για την εύρεση της πιθανότητας ενός γεγονότος, οι µαθητές χρησιµοποιούν υποκειµενικές ερµηνείες, ενώ όσον αφορά στη σύγκριση πιθανοτήτων, εκεί φαίνεται να τα καταφέρνουν καλύτερα. Τέλος παρατηρήθηκαν δυσκολίες σε πολλούς µαθητές σε ότι αφορά τη λεκτική κατανόηση των προβληµάτων, όπως αυτά παρουσιάζονται από το σχολικό διδακτικό εγχειρίδιο. Εισαγωγή: Στη σηµερινή κοινωνία, είναι εκπληκτική η ποσότητα των πληροφοριών που είναι διαθέσιµες και µας βοηθούν να πάρουµε αποφάσεις στη δουλειά, στην πολιτική, στην έρευνα και στην καθηµερινή ζωή. Πρέπει λοιπόν να γνωρίζουµε πώς να συλλέγουµε, να αναλύουµε, να επεξεργαζόµαστε τις πληροφορίες ή τα διάφορα θέµατα που µας ενδιαφέρουν για να ήµαστε ενηµερωµένοι και υπεύθυνοι πολίτες, αλλά και έξυπνοι καταναλωτές, ώστε να µπορούµε να τηρούµε µια κριτική στάση στην πληροφόρηση που δεχόµαστε από τα µέσα µαζικής ενηµέρωσης είτε ως ακροατές είτε ως αναγνώστες.

Όλα τα παραπάνω υποδηλώνουν µε τον ένα ή τον άλλο τρόπο γιατί υπάρχει ανάγκη στην εποχή µας για τη διδασκαλία της έννοιας της πιθανότητας. Όταν µιλάµε για πιθανότητα το µυαλό µας πηγαίνει στα τυχερά παιχνίδια. Στην πραγµατικότητα αν και η πιθανότητα είναι ένα συναρπαστικό και διασκεδαστικό θέµα, είναι επίσης πολύ χρήσιµο. Η µελέτη των πιθανοτήτων εκτός από τις πρακτικές εφαρµογές της, προσφέρει ένα φυσικό τρόπο για τη σύνδεση των διαφόρων ενοτήτων των µαθηµατικών µεταξύ τους (π.χ. τα κλάσµατα, τους δεκαδικούς, τα ποσοστά, τις γραφικές παραστάσεις κ.α.), άλλα και µε άλλα αντικείµενα (βιολογία, φυσική, κοινωνικές και οικονοµικές επιστήµες κ.α.), όπως επίσης και µε εµπειρίες της καθηµερινής ζωής (καζίνο, λόττο, στοίχηµα κ.τ.ο., χρηµοατοοικονοµικές καταστάσεις κ.π.α.). Οι πιθανότητες κατέχουν πολύ σηµαντικό ρόλο στη ζωή µας. Από το πρωί ως το βράδυ ζούµε συµµετέχοντας σε πληθώρα υποσυνείδητων προβλέψεων, που µας οδηγούν σε ανάλογες αποφάσεις, για τις πιθανές εκβάσεις διαφόρων γεγονότων. Αναµφισβήτητα πολλές από αυτές τις αποφάσεις περιέχουν ένα βαθµό αβεβαιότητας. Για να παίρνουµε λοιπόν όσο το δυνατό πιο σωστές αποφάσεις, πρέπει να κατανοούµε τις πιθανότητες. Η έρευνα Με βάση λοιπόν τις παραπάνω σκέψεις και µε δεδοµένο ότι οι πιθανότητες ήδη υπάρχουν στα αναλυτικά προγράµµατα του δηµοτικού της Κύπρου, των Η.Π.Α., του Καναδά και του Ηνωµένου Βασιλείου, προτείνουµε να υπάρξει µια πιο συστηµατική ενασχόληση και στα δηµοτικά σχολεία της Ελλάδας (υπάρχουν στα Α.Π., αλλά σπάνια διδάσκονται). Γι αυτό αποφασίσαµε να πραγµατοποιήσουµε µια µικρή έρευνα για να µελετήσουµε ποιες είναι οι απόψεις των παιδιών σχετικά µε τις πιθανότητες όπως επίσης και το βαθµό κατανόησης, από τους µαθητές, των εκφωνήσεων των πιθανολογικών προβληµάτων όπως παρουσιάζονται στο σχολικό διδακτικό εγχειρίδιο. Πήραµε συνέντευξη µε ηµί-δοµηµένο ερωτηµατολόγιο (7-11 Μαϊου 2001) από 15 παιδιά 7 έως 10 ετών (8 παιδιά της Β τάξης, 2 παιδιά της Γ τάξης, 2 παιδιά της τάξης και 3 παιδιά της Ε τάξης του δηµοτικού), ενός ολοήµερου δηµοτικού σχολείου της Ρόδου. Οι ερωτήσεις είχαν άµεση σχέση µε την ύλη των πιθανοτήτων όπως παρουσιάζεται στα σχολικά διδακτικά εγχειρίδια της Β, της Γ και της τάξης του δηµοτικού σχολείου όπου µε βάση το Αναλυτικό Πρόγραµµα (1982) διδάσκεται η έννοια της πιθανότητας. Η συνέντευξη, την οποία µαγνητοφωνούσαµε,

ξεκινούσε από γενικές ερωτήσεις και προχωρούσε σε ερωτήσεις που αναφέρονται ή σχετίζονται µε τα παραπάνω σχολικά βιβλία. Τα παραδείγµατα, που παραθέτουµε παρακάτω έχουν σε παρένθεση την τάξη που βρίσκεται ο µαθητής ο οποίος έδωσε τη συγκεκριµένη απάντηση. Αποτελέσµατα της έρευνας Λόγω του περιορισµένου χώρου δε θα σχολιαστούν οι απαντήσεις των παιδιών σε όλα τα ερωτήµατα που τέθηκαν. Η ανάλυση που ακολουθεί περιορίζεται στη µελέτη των απαντήσεων των µαθητών σχετικά: (α)µε όρους των πιθανοτήτων, (β)µε το ζάρι, (γ)µε το σχολιασµό πίνακα (ραβδόγραµµα) του σχολικού βιβλίου, (δ)µε την κατηγοριοποίηση παραδειγµάτων βάση πιθανολογικής ορολογίας, (ε)µε την εύρεση της πιθανότητας ενός γεγονότος και τέλος (στ)µε τη σύγκριση πιθανοτήτων. (α)από την αποκωδικοποίηση των συνεντεύξεων, παρατηρείται ότι κάποια παιδιά δυσκολεύονται πολύ να εκφραστούν και να πουν τι τους έρχεται στο µυαλό µε το άκουσµα µιας λέξης, ακόµα και αν ξέρουν τι σηµαίνει (τις πιο πολλές φορές δεν µπορούν να την ορίσουν µε ακρίβεια). Όταν τους ζητάµε να ορίσουν τι σηµαίνει µια λέξη προσπαθούν να φτιάξουν µία πρόταση που να περιέχει και τη συγκεκριµένη λέξη µέσα. Παρ όλα αυτά τα περισσότερα παιδιά καταλαβαίνουν τους όρους «πιθανότητα», «γεγονός», «φαινόµενο», «τυχαίο γεγονός», «πιθανό», «βέβαιο» και «αδύνατο γεγονός» και µπορούν να τις ορίσουν µε βάση τις δικές τους εµπειρίες και µε παραδείγµατα που είναι σηµαντικά γι αυτά. Συγκεκριµένα λένε ότι: - Η πιθανότητα είναι το ενδεχόµενο, αυτό που µπορεί να συµβεί, να γίνει. Π.χ. «Κάτι είναι πιθανό δηλαδή µπορεί να γίνει»(b). - Το γεγονός είναι µία πράξη που έχει γίνει, ένα πράγµα βέβαιο. Π.χ. «Γεγονός είναι το τι γίνεται, όπως λένε στις ειδήσεις»(β), «Γεγονός είναι ότι έγινε κάτι»(ε), «Κάτι έχει γίνει, έχει σκοτωθεί κάποιος, κάποιο γεγονός»( ) - Το φαινόµενο είναι κάθετι που φαίνεται, που γίνεται αντιληπτό µε τις αισθήσεις, αυτός που έχει εξαιρετικές ικανότητες και τα καιρικά φαινόµενα. Π.χ. «το φαινόµενο είµαι εγώ»(β), «Ο µικρός είναι φαινόµενο»(γ), «Θα γίνει ένα φαινόµενο, θα γίνει κάτι, θα βρέξει»( ) - Το τυχαίο είναι αυτό που δε γίνεται σκόπιµα, αυτό που γίνεται τυχαία, απρόβλεπτα. Π.χ. «Τυχαίο, στην τύχη δηλαδή, αυτό δεν το περιµένουµε ότι θα γίνει»(β) «Τυχαίο, ήρθε τυχαίο, βρέθηκε

τυχαία»(γ), «Κάτι στην τύχη Θα γίνει κάτι, που δε θα γινότανε Τυχαία έγινε» (15, ) - Το πιθανό είναι αυτό που είναι δυνατό να γίνει ή να µη γίνει. Π.χ. «Πιθανόν να πάω να παίξω»(γ), «Αύριο, µπορεί να πάµε εκδροµή»( ), «Πιθανόν να πάµε εκδροµή, εκπαιδευτική»(ε) «Πιθανό να βρέξει»( ) - Το βέβαιο είναι το αναµφισβήτητο, το αναµφίβολο, το σίγουρο. Π.χ. «Βέβαια θα πάω στο σχολείο»(γ), «Σίγουρα ο φίλος µου δε θα µε προδώσει»( ), «Το computer λειτουργεί µε ηλεκτρισµό»( ) - Το αδύνατο είναι αυτό που δεν µπορεί να συµβεί, το απραγµατοποίητο. Π.χ. «Αδύνατο να πάµε άυριο εκδροµή»(γ), «Αυτό που δε γίνεται»( ), «Μια µηχανή του χρόνου»( ), «Είναι αδύνατο να έρθεις σπίτι µου»(ε). (β) Στην ερώτηση τη σχετική µε το «τι είναι το ζάρι» τα περισσότερα παιδιά απάντησαν σωστά. Π.χ. «Ζάρι είναι ένας κύβος, που έχει διάφορους αριθµούς»(β), «Είναι ένα πράγµα που έχει διάφορους αριθµούς µέχρι το έξι»(γ), «Ένας κύβος που έχει αριθµούς Από το 1 µέχρι το 6» (Ε), αλλά υπήρχαν και παιδιά (Β τάξης), που υποστήριξαν ότι τα ζάρι έχει πάνω τους αριθµούς, «1,2,3,4,5,6,7,8,9»(Β), «2,12,10,11,3»(Β). Στις επόµενες ερωτήσεις που τέθηκαν, «Όταν ρίχνεις ένα ζάρι ποιος αριθµός σου έρχεται πιο συχνά (εύκολα) και ποιος αριθµός σου έρχεται πιο σπάνια (δύσκολα);», δεν υπήρχαν σηµαντικές διαφοροποιήσεις ανάµεσα στους µαθητές των διαφορετικών τάξεων του δηµοτικού. Όσοι µαθητές έδωσαν τη σωστή απάντηση, είπαν ότι «όλοι οι αριθµοί έρχονται το ίδιο (εύκολα ή δύσκολα) όταν ρίχνουµε ένα ζάρι»(β, ), ή «τύχη είναι όποιον πετύχεις»(β), αλλά τα περισσότερα παιδιά έχουν την εντύπωση πως όταν ρίχνουµε ένα ζάρι, ορισµένοι αριθµοί εµφανίζονται πιο εύκολα, ενώ άλλοι, όπως π.χ. το 6, εµφανίζονται σπανιότερα. Μια πιθανή εξήγηση αυτής της παραδοχής είναι γιατί το έξι είναι πιο συχνά ο αριθµός που απαιτείται για να αρχίσει ένα παιχνίδι οπότε συγκρίνουµε την πιθανότητα να πετύχουµε το έξι µε την πιθανότητα να µην το πετύχουµε, που είναι πέντε φορές πιο πιθανό να συµβεί. (γ) Στην επόµενη ερώτηση (βιβλίο Β τάξης) παρατηρούµε ότι όλα σχεδόν τα παιδιά µπορούν να εξηγήσουν τον πίνακα (ραβδόγραµµα) µε ευκολία, ενώ η ερώτηση γιατί λέει «το γλύκισµα που αρέσει περισσότερο στα παιδιά είναι ίσως το παγωτό», προκαλεί στους µαθητές σύγχυση γιατί

ενώ ξέρουν ότι σίγουρα (µε βάση τα δεδοµένα του βιβλίου και το ραβδόγραµµα) περισσότερα παιδιά προτιµούν το παγωτό, ξαφνικά τους το εµφανίζει λεκτικά, ως πιθανό. Συγκεκριµένα απαντούν: «Γιατί θέλει να το βρούµε εµείς για αυτό λέει ίσως»(β), «Γιατί ρωτήσαµε µόνο 100 δε ρωτήσαµε όλα τα παιδιά»(β), «Γιατί τα 50 είναι τα περισσότερα. Άρα αυτό θα πει ότι µπορεί να κανονίσαν ότι τα 50 επειδή είναι τα περισσότερα θα τους αρέσει πιο πολύ των άλλων το παγωτό, θα συµφωνήσουν όλοι να φάνε παγωτό»(β), «εν ξέρω Μπορεί να είπαν ψέµατα»( ) (δ) Οι επόµενες ερωτήσεις αφορούν στο βιβλίο της Γ τάξης του δηµοτικού. Το πρώτο µέρος παρουσιάζεται σε µορφή πίνακα, όπου υπάρχουν κάποια γεγονότα-φαινόµενα προς κατηγοριοποίηση σε τέσσερις κατηγορίες. Από την ανάλυση του πίνακα παρατηρούµε ότι τελικά οι µαθητές δεν έχουν στο µυαλό τους ένα ξεκάθαρο ορισµό των όρων: «τυχαίο», «πιθανό», «βέβαιο» και «αδύνατο». Υπάρχει ένα σύνθετο πρόβληµα στη σχέση µεταξύ της άµεσης αρχικής απάντησης και της δικαιολόγησής της. Η αρχική απάντηση εκφράζει άµεση διαίσθηση, ενώ η αιτιολόγηση, που έρχεται µετά από την εκφρασµένη διαίσθηση, µπορεί να επιδρά ή να µην επιδρά στη λογική και την επιλογή του υποκειµένου, µπορεί να είναι επακόλουθη λογική κατασκευή, η οποία σε πολλές περιπτώσεις µπορεί να οδηγήσει το παιδί και σε αλλαγή της αρχικής του απάντησης. Τα παιδιά ίσως απαντούν σε αυτές τις καταστάσεις µε προκατειληµµένες αντιλήψεις, µε συναισθηµατικές κρίσεις και ακόµα µε έλλειψη ενηµέρωσης σε καταστάσεις που λειτουργούν τα τυχαία γεγονότα. Άλλος λόγος για τις λανθασµένες απαντήσεις των παιδιών ίσως αποτελεί το γεγονός ότι υπάρχει ασάφεια στον τρόπο που παρουσιάζονται τα παραδείγµατα προς κατηγοριοποίηση από το σχολικό βιβλίο, όπως επίσης και στην επιλογή των τεσσάρων κατηγοριών. Οι κατηγορίες τυχαίο, πιθανό,

βέβαιο και αδύνατο δεν ανήκουν στο ίδιο σύνολο. Τυχαίο χαρακτηρίζουµε ένα γεγονός ή ένα φαινόµενο, ενώ πιθανό, βέβαιο και αδύνατο είναι διαβαθµίσεις πιθανότητας και χαρακτηρίζουν το αποτέλεσµα ενός γεγονότος. Στο ίδιο σύνολο κατηγοριών ανήκει π.χ. το τυχαίο και το προσχεδιασµένο, αλλά σε άλλη κατηγορία ανήκει το πιθανό, το βέβαιο και το αδύνατο. Γεγονότα - Φαινόµενα Ρίχνοντας ένα ζάρι ήρθε ο αριθµός 3. Ρίχνοντας ένα ζάρι ήρθε ένας από τους αριθµούς 1,2,3,4,5,6 Από µια σακούλα που έχει τρεις µπάλες, µια κόκκινη, µια πράσινη και µια άσπρη, έβγαλα µια µαύρη. Την Κυριακή το απόγευµα, ενώ ο καιρός ήταν καλός, το πέρασµα ενός σύννεφου προκάλεσε µικρή τοπική βροχή. Τυχαίο Πιθανό Βέβαιο Αδύνατο (2,Β),(3,Β),(4,Β) (8,Β)2,(9,Γ)2, (11,Ε),(12,E), (13,Ε),(14,Γ), (15, ) (1,Β),(3,Β)2, (5,Β)1, (6,Β)1, (9,Γ)3 (1,Β)1, (5,Β)1, (7,Β), (9,Γ)1, (10, )2 (1,Β), (4,Β) (1,Β), (5,Β), (6,Β), (8,Β)1 (2,Β)1, (3,Β)1, (9,Γ)1, (10, ), (14,Γ) (6,Β)1, (10, )2 (2,Β), (3,Β), (6,Β), (7,Β), (8,Β), (9,Γ), (10, ), (11,Ε), (12,Ε), (13,Ε), (14,Γ)2, (15, ) (7,Β), (9,Γ)1,3, (10, ) (2,Β)2, (4,Β), (5,Β)2, (7,Β), (8,Β)2, (11,Ε), (12,Ε),(13,Ε), (15, ) (10, )1, (13,Ε)1 (10, ) (6,Β), (8,Β)1, (9,Γ)2 (1,Β)2,(2,Β) (4,Β),(5,Β)2 (6,Β)2,(8,Β) (9,Γ)2,(11,Ε ), (12,Ε), (13,Ε)2, (14,Γ), (15, ) (5,Β), (14,Γ)1

Στις 15 του περασµένου Ιουλίου έβρεξε δυο µέρες συνεχώς Τα σχολεία θα αρχίσουν να λειτουργούν τον Ιούλιο Τα σχολεία θα ανοίξουν το Σεπτέµβριο (5,Β), (6,Β), (8,Β), (11,Ε)1, (13,Ε)2 (15, )2 (6,Β)2 (2,Β), (9,Γ), (12,Ε), (13,Ε)3, (15, )1 (2,Β)1,2, (3,Β), (10, )2 (1,Β)1, (7,Β) (3,Β), (10, ), (13,Ε)1, (14,Γ)1 (1,Β)1, (6,Β)1, (7,Β), (8,Β)1, (10, )1, (13,Ε)1 (1,Β)2, (2,Β), (3,Β), (4,Β), (5,Β), (6,Β), (8,Β), (9,Γ), (10, ), (11,Ε), (12,Ε), (13,Ε) (14,Γ), (15, ) (1,Β), (4,Β), (7,Β), (11,Ε)2, (14,Γ)2 (1,Β)2, (2,Β)3, (4,Β), (5,Β), (8,Β)2, (9,Γ), (10, )3, (11,Ε), (12Ε), (13,Ε)2, (14,Γ), (15, ) * Ο πίνακας αναφέρεται στον αντίστοιχο του σχολικού διδακτικού εγχειριδίου (Γ τάξη) * Ο αριθµός που υπάρχει δίπλα στην παρένθεση είναι ο α/α της απάντηση του ίδιου µαθητή. Συγκεκριµένα ο αριθµός 1 δηλώνει την πρώτη του απάντηση, ο αριθµός 2 τη δεύτερη κ.ο.κ. (ε) Στη συνέχεια του ίδιου βιβλίου υπάρχουν ερωτήσεις σχετικές µε τον υπολογισµό της πιθανότητας ενός γεγονότος (παραθέτοντας τα ανάλογα κάθε φορά σκίτσα ή γεωµετρικά σχήµατα): «ποια είναι η πιθανότητα ένας συµµαθητής σου να επιλέξει το µήλο;», «ποια είναι η πιθανότητα ένας συµµαθητής σου να επιλέξει το τρίγωνο;», «ποια είναι η πιθανότητα ένας συµµαθητής σου να επιλέξει τον πράσινο ρόµβο;», «ποια είναι η πιθανότητα ένας συµµαθητής σου να επιλέξει ένα κόκκινο σχήµα;»

Αυτό το τµήµα των ασκήσεων προκαλεί δυσκολία στους µαθητές γιατί σκεφτόµενοι υποκειµενικά, απαντούν κυρίως µε διαισθητικό τρόπο «γιατί µου αρέσει περισσότερο»(β) ή «γιατί µου θυµίζει κάτι»(β) ή «1/1 Γιατί υπάρχει µόνο ένας ρόµβος»(γ) και λιγότερο κάνοντας υπολογισµούς «Να διαλέξει το ένα από τα έξι»(γ). Θεωρούν δεδοµένο ότι αφού τα βλέπουν µπροστά τους θα πάρουν αυτό που τους αρέσει χωρίς καµία ιδιαίτερη προσπάθεια και κανένα προβληµατισµό. Η ερώτηση: «αν τραβήξεις στην τύχη ένα φύλλο, ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξεις αυτό που γράφει Κυριακή;» προκαλεί τη µεγαλύτερη δυσκολία στα παιδιά, γιατί δεν την καταλαβαίνουν καθόλου, παρ όλο που υπάρχουν οι αντίστοιχες κάρτες. Έτσι απαντούν: «Κυριακή, Μάης»(Γ), «Την Κυριακή»( ), «εν το κατάλαβα»(ε). (στ) Τέλος µε αφορµή το σκίτσο στο σχολικό βιβλίο της τάξης (δεν υπάρχει πια στην ύλη το κεφάλαιο αυτό) τέθηκαν ερωτήσεις που είχαν να κάνουν µε σύγκριση πιθανοτήτων: (α) ποιο πιάτο είναι περισσότερο πιθανό για το γεγονός στόχο («από ποιο πιάτο είναι πιο εύκολο να τραβήξει κόκκινο βόλο; γαλανό βόλο; πράσινο βόλο;») ή (β) ποιο γεγονός στόχος είναι πιο πιθανό σε ένα συγκεκριµένο πιάτο («ποιο χρώµα έχει τη µεγαλύτερη πιθανότητα να διαλέξει από το πρώτο πιάτο; από το δεύτερο πιάτο;») Στη σύγκριση πιθανοτήτων τα παιδιά δεν αντιµετώπισαν ιδιαίτερη δυσκολία. Χρησιµοποιούν και διαισθητικές και άτυπες ποσοτικές στρατηγικές για να συγκρίνουν τις πιθανότητες του γεγονότος στόχου. Έτσι τα περισσότερα απάντησαν σωστά (το πιάτο που έχει τα περισσότερα γεγονότα στόχους), ενώ λίγα ήταν αυτά που διάλεξαν το πιάτο µε τα λιγότερα γεγονότα στόχους.

Συµπεράσµατα Τα βασικά συµπεράσµατα, από την ανάλυση και τη µελέτη των απαντήσεων των παιδιών, είναι τα εξής:. - Τα παιδιά είναι εξοικειωµένα µε όρους των πιθανοτήτων, όπως πιθανό, βέβαιο, αδύνατο κ.α., αλλά παρουσιάζουν δυσκολία στο να µιλάνε για αυτές τις έννοιες και οι διαισθήσεις τους δεν είναι τυπικές (α). Έτσι ενώ αρχικά τους ορίζουν, στην κατηγοριοποίηση των παραδειγµάτων µπερδεύονται (δ). «Η έλλειψη εµπειρίας από την πλευρά των µαθητών σχετικά µε τις φυσικές καταστάσεις που περιέχουν έννοιες των πιθανοτήτων φαίνεται να εξηγεί σε µεγάλο βαθµό τη φτωχή ικανότητά τους στα θέµατα αυτά» (Bright). Το βέβαιο εξισώνεται µε υψηλές πιθανότητες ενώ το αδύνατο συνδέεται µε υποκειµενικές καταστάσεις παρά µε αντικειµενικά γεγονότα. Ο όρος «τυχαίο» χρησιµοποιείται σε πολλές διαφορετικές περιπτώσεις και συχνά εξισώνεται µε το «πιθανό». - Όλα τα παιδιά γνωρίζουν και χρησιµοποιούν το ζάρι (β) στα παιχνίδια τους, αλλά υποστηρίζουν ότι κάποιοι αριθµοί έρχονται ευκολότερα, ενώ άλλοι πιο δύσκολα. - Τα περισσότερα παιδιά εξηγούν µε ευκολία ένα πίνακα (γ) (ραβδόγραµµα) και βγάζουν απλά συµπεράσµατα. - Παρατηρήθηκαν δυσκολίες σε πολλούς µαθητές σε ότι αφορά τη λεκτική κατανόηση των προβληµάτων. Τα παραδείγµατα προς κατηγοριοποίηση (δ) και οι κατηγορίες που χρησιµοποιεί το βιβλίο δηµιουργούν δυσκολίες στα παιδιά. Ίσως ένας διαφορετικός τρόπος παρουσίασης του προβλήµατος (µε εικόνες, µε πιο σαφή λεκτική παρουσίαση), να βοηθούσε τα παιδιά να καταλάβουν καλύτερα. - Σε αντίθεση µε την εύρεση της πιθανότητας ενός γεγονότος (ε) όπου τα παιδιά συναντούν δυσκολία, η σύγκριση πιθανοτήτων (στ) αποτελεί πιο εύκολο θέµα για αυτά. Συγκεκριµένα στην εύρεση της πιθανότητας ενός γεγονότος, οι µαθητές χρησιµοποιούν υποκειµενικές ερµηνείες και οι προτιµήσεις τους φαίνεται να επηρεάζουν σε µεγάλο βαθµό τις απαντήσεις τους. Κάτι τέτοιο δε συµβαίνει µε τη σύγκριση πιθανοτήτων. Ίσως γιατί τα υλικά που χρησιµοποιούνται (πιάτα µε χρωµατιστούς βόλους) είναι όµοια και συγκρίσιµα, ενώ στην πιθανότητα ενός γεγονότος η ποικιλία και η διαφοροποίηση των υλικών ανά ερώτηση, δίνει τέτοια ισχύ στα υλικά, που δεν τα αφήνει να συγκριθούν. Τα παραπάνω αποτελέσµατα, σχετίζονται σε µεγάλο βαθµό µε τις συνθήκες διδασκαλίας του κεφαλαίου των πιθανοτήτων, όπου τις περισσότερες φορές, το συγκεκριµένο κεφάλαιο, δε διδάσκεται αφού

βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου, οι δάσκαλοι δεν το θεωρούν τόσο σηµαντικό και οι µαθητές ξέρουν ότι δε θα εξεταστούν σε αυτό. Επιπρόσθετα οι δραστηριότητες οι σχετικές µε τις πιθανότητες είναι ελάχιστες στα σχολικά µας βιβλία, ο τρόπος που παρουσιάζονται είναι ασαφής και τέλος δεν υπάρχει αλληλουχία µεταξύ των κεφαλαίων των πιθανοτήτων στις διαφορετικές τάξεις. Η πιθανότητα είναι κάτι που όλα τα παιδιά έχουν ακούσει από τα παιχνίδια, από τα σόου στην τηλεόραση και από τη συµµετοχή τους στα αθλήµατα. Η πιθανότητα είναι διασκέδαση. Πρέπει να είναι ένα από τα σηµαντικά συστατικά για κάθε µαθηµατικό πρόγραµµα από το νηπιαγωγείο ως και το λύκειο. Αν και βασίζονται σε αρχές που εµπλέκουν το παιχνίδι, οι πιθανότητες είναι θεµελιώδεις για τις αποφάσεις που παίρνουν οι επιχειρήσεις, για την έρευνα, για την πρόγνωση του καιρού, για τις ασφάλειες, για τα αθλήµατα και για άλλα πεδία. Θεωρητικά οι πιθανότητες είναι µια εφαρµογή και µια επέκταση εννοιών και ικανοτήτων που σχετίζονται µε τη χρήση των ρητών αριθµών. Τα κλάσµατα, οι λόγοι, οι αναλογίες, οι δεκαδικοί και τα ποσοστά χρησιµοποιούνται σε πολλές δραστηριότητες που εµπλέκονται οι µαθητές. Οι πιθανότητες αντιπροσωπεύουν τα µαθηµατικά της πραγµατικής ζωής. Η µελέτη των πιθανοτήτων προσφέρει την ευκαιρία στους δασκάλους να θέσουν ερωτήµατα που ενθαρρύνουν τη σκέψη και την κατανόηση. Η διδασκαλία των πιθανοτήτων εµπεριέχει πειραµατισµό και ενισχύει την επικοινωνία. Θα έπρεπε λοιπόν να ασχοληθούν τα Αναλυτικά µας Προγράµµατα πιο συστηµατικά µε την έννοια της πιθανότητας και να µπει στα σχολικά βιβλία σε όλες τις τάξεις του δηµοτικού σχολείου και στην Ελλάδα. Πριν την εισαγωγή και τη διδασκαλία της έννοιας της πιθανότητας µε πιο συστηµατικό τρόπο στο δηµοτικό σχολείο θα πρέπει να προηγηθούν ενηµερωτικές συζητήσεις µε τους εκπαιδευτικούς. Σε αυτό το πλαίσιο είναι σηµαντική η διαπραγµάτευση µε δραστηριότητες στις οποίες παρουσιάζονται λάθος αντιλήψεις και πιστεύω για την έννοια της πιθανότητας. Με αυτό τον τρόπο µπορούµε να ευαισθητοποιήσουµε τους µελλοντικούς, αλλά και τους εν ενεργεία δασκάλους στις επικρατέστερες λάθος αντιλήψεις, που περιµένουµε να συναντήσουν στους µαθητές τους. Βιβλιογραφία: Αποστολίκας, Γ., ιονυσοπούλου, Τ. και Σαλβαράς, Γ. (1987). Τα µαθηµατικά µου Β τάξη δηµοτικού δεύτερο µέρος ΟΕ Β. Αθανασάκης, Α., Αλεξανδράκης, Γ. και ήµου, Γ. (1987). Τα µαθηµατικά µου Γ τάξη δηµοτικού εύτερο µέρος ΟΕ Β.

Αποστολίκας, Γ., και Σαλβαράς, Γ. (1987). Τα µαθηµατικά µου τάξη δηµοτικού δεύτερο µέρος ΟΕ Β. Καλαβάσης, Φ. & Μεϊµάρης, Μ. (2000). Θέµατα ιδακτικής Μαθηµατικών V ιεπιστηµονική Προσέγγιση των Μαθηµατικών και της ιδασκαλίας τους. Πανεπιστήµιο Αιγαίου Εκδόσεις Gutenberg Αθήνα. Καλαβάσης, Φ., Μιτσούλης, Χ., Ορφανός, Σ., Σκουµπουρδή, Χ. & Τζωρτζακάκης, Γ. (υπό έκδοση). Το Λάθος και το Στίγµα Αιτίες Παρανοήσεων στα Μαθηµατικά και Επιπτώσεις τους στη Σχέση του Μαθητή µε το Σχολείο, την Οικογένεια, την Κοινωνία. Πρακτικά Συνεδρίου «Εξελικτική Ψυχοπαθολογία του Παιδιού και του Εφήβου στο πλαίσιο της Οικογένειας και του Σχολείου» Ρόδος 15-17 Μαρτίου 2001 Πανεπιστήµιο Αιγαίου ΤΕΠΑΕ Καφούση, Σ. (1999). Οι ιδέες των παιδιών της Ε και Στ τάξης του ηµοτικού για την έννοια της Πιθανότητας. Μαθηµατική Επιθεώρηση 52. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων (1987). Αναλυτικά Προγράµµατα Μαθηµάτων του ηµοτικού Σχολείου Ο.Ε..Β. Φιλίππου, Γ. & Χρίστου Κ. (1995). ιδακτική των Μαθηµατικών Εκδόσεις Γ. ΑΡ ΑΝΟΣ Αθήνα. Χατζηπαντελής, Θ. και Γκάσταρης, Π. (1995). Εννοιολογικές δυσκολίες και εσφαλµένες αντιλήψεις στις Πιθανότητες και στη Στατιστική. Ευκλείδης Γ Τόµος12, Τε υχος 43, 1995. Bright, W. G. & Hoeffner, K. (1993) Measurement, Probability, Statistics, and Graphing. In Owens, T. D. Research Ideas for the Classroom Middle Grades MathematicsNational Council of teachers of mathematics Research Interpretation Project Wagner S. Project Director Macmillan Publishing Company Crawford, D. (1997). Learning Probability Misconceptions and All. Mathematics Teaching 159. Fennell, F. & Rowan, E. T. (1990). Implementing the Standards: Probability. Arithmetic Teacher Vol. 38, No 4. Fischbein, E. (1975). The Intuitive Sources of Probabilistic Thinking in Children D. Reidel Publishing Company USA Fischbein, E. & Gazit, A. (1984). Does the Teaching of Probability Improve Probabilistic Intuitions? Educational Studies in Mathematics 15.

Fischbein, E., Nello, M. S. & Marino, S. M. (1991). Factors Affecting Probabilistic Judgements in Children and Adolescents. Educational Studies in Mathematics 22. Fischbein, E. & Schnarch, D. (1997). The Evolution With Age of Probabilistic, Intuitively Based Misconceptions. Journal for Research in Mathematics Education Vol. 28, No 1. Green, D.R. (1979). The Chance and Probability Concepts Project. Teaching Statistics Vol.1, No3. http://www.nctm.org http://www.standards.dfee.gov.uk Jones, G. (1995). The Changing Nature of Probability at Key Stages 1 & 2. Mathematics in School. Vol. 24, No 2. Jones, A. G., Langrall, W. C., Thornton, A. C. & Mogill, T. (1999). Student s Probabilistic Thinking in Instruction. Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 30, No 5. Kennedy, L. & Tipps, S. (1988). Guiding Children s Learning of Mathematics. Fifth Edition. Paparistodemou, E. & Philipou G. (2001υπό δηµοσίευση). Intuitions of the Concept of Probability in 6-7 Year Old Children Themes Paulos, A.J. (1991). Αριθµοφοβία Ο µαθηµατικός αναλφαβητισµός και οι συνέπειές του Εκδόσεις Αλεξάνδρεια. Shaughnessy, J. M. (1992). Research in Probability and Statistics: Reflections and Directions. In d. a. Grows, Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning A Project of the National Council of Teachers of mathematics Macmillan Library Reference Simon & Schuster Macmillan New York. Sobel, A. M., & Maletsky, M. E. (1988). Teaching Mathematics A Sourcebook of Aids, Activities and Strategies. Second Edition. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.