Σύνολο ασκήσεων 10 1 Διασκέδαση 1 1.1 Μεταστοιχείωση ραδιενεργού υλικού Σε ένα ραδιενεργό υλικό η ποσότητα που διασπάται (μεταστοιχειώνεται) ανά μονάδα χρόνου 0 είναι ανάλογη της ποσότητας του ραδιενεργού υλικού οπότε 0 = 0 + =0 Ησταθερά εκφράζει το σταθερό ρυθμό διάσπασης. Ερώτηση 1 Οχρόνοςημιζωής(ή χρόνος υποδιπλασιασμού) του Ραδίου-226 ( 226 ) είναι 2 =1590χρόνια. Δηλαδή, ημισήτουμάζαδιασπάται(μεταστοιχειώνεται) σε 1590 χρόνια. i. Βρείτε τη σταθερά στην διαφορική εξίσωση 0 + =0 ii. Έστω ότι έχουμε μία αρχική ποσότητα (0) = 200 mg Ραδίου-226. Πόση από την αρχική μάζα θα έχει απομείνει σε 5000 χρόνια; Απάντηση 1 i. Η (συγκεκριμένη) λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης 0 + =0δίνεται από την () = (0) Οπότε γνωρίζοντας το χρόνο ημιζωής =1590μπορούμε να προσδιορίσουμε την σταθερά στην διαφορική εξισωση ως εξής: (0) 2 = (0) 1590 =0000435942 ii. Με απλή αντικατάσταση () =200 0000435942 5000 =2261490612 mg 1 Δεν θα ζητηθούν παρόμοιες ασκήσεις στις εξετάσεις. 2 Ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον συμβολισμό 12 1
1.2 Δεύτερος νόμος Νεύτωνα και sky diving Το δεύτερο αξίωμα ή νόμος του Νεύτωνα μας λέει ότι η συνολική δύναμη που δρα σε ένα σώμα (προκαλεί την κίνηση ενός σώματος) ισούται την μάζα (μετράται σε κιλά kg) επί την επιτάχυνση 0 (μετράται σε m s 2 ) του σώματος = 0 όπου = () ηταχύτητατουσώματοςτοχρόνο (μετράται σε m s). Όταν ένα σώμα πέφτει τότε δύο δυνάμεις επιδρούν σε αυτό, 1. η δύναμη της βαρύτητας (κάθετα προς τα κάτω) που ισούται με την μάζα (σε κιλά kg) επί την επιτάχυνση της βαρύτητας 3 =981 m s 2 που μετράται σε μέτρα ανά τετραγωνικό δευτερόλεπτο. Δηλαδή αύξηση στην ταχύτητα 981 μέτρα το δευτερόλεπτο ανά δευτερόλεπτο 2. και η αντίσταση του αέρα (κάθετα προς τα πάνω) που είναι ανάλογη της ταχύτητας του σώματος δηλαδή με να θεωρείται σταθερό για πρακτικούς λόγους, μετρά την αντίσταση του αέρα και δίνεται σε kg s (κιλά το δευτερόλεπτο αντίσταση) Επειδή η αντίσταση του αέρα λειτουργεί στην αντίθετη κατεύθυνση έχουμε και η συνολική δύναμη που δρα στο σώμα είναι = 0 Επίσης, γιαναπροσδιορίσουμετηνσταθερά να σημειώσουμε ότι 4 ημέση τελική (οριακή) ταχύτητα για έναν ενήλικα άνδρα σε ελεύθερη πτώση με έκταση χεριών και ποδιών (μεγαλύτερη αντίσταση) είναι περίπου 54 m s (ή 1944km h) Oπότε για την ταχύτητα ορίζεται μία γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης 0 + = 0 + =, =, = 3 Η επιτάχυνση της βαρύτητας ταυτίζεται με τη ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης και ελαττώνεται καθώς απομακρυνόμαστε από το κέντρο της Γης αντιστόφως ανάλογα με το τετράγωνο της απόστασης από το κέντρο της Γης. Για παράδειγμα σε ύψος 1000 είναι περίπου 733 m s 2 και σε «ύψος» 50000 ( περίπου το ένα τρίτο της απόστασης για τη Σελήνη) είναι μόλις 013 m s 2 4 http://hypertextbook.com/facts/jianhuang.shtml 2
Η ταχύτητα στην οποία το σώμα σταματά να επιταχύνει ονομάζεται οριακή ταχύτητα και δίνεται από 0 =0 = Επίσης να σημειώσουμε ότι η ταχύτητα είναι η μεταβολή της θέσης () στον χρόνο δηλαδή 0 = Ερώτηση 1. Ένα σώμα μάζας =75kgπέφτει από ύψος 100 m ξεκινώντας με αρχική ταχύτητα (0) = 0. Υπολογίστε την ταχύτητά του κατά την πτώση του ως συνάρτηση του χρόνου πτώσης. Πόσο χρόνο χρειάζεται για να φτάσει τα 100 km h (δηλαδή 27777 m s); Απάντηση 1. Έχουμε h () = (0) i + Πρέπει να προσδιορίσουμε τη σταθερά. Έχουμε ότι Άρα = kg 981 m s2 54 m s=75 h () = (0) i + 27777 = 54 01816 +54 = ln 54 27777 54 01816 =13625 kg s ln (0485611111) = =39777 s 01816 δηλαδή περίπου 4 δευτερόλεπτα. Ερώτηση 2. Σε πόσο χρόνο θα προσκρούσει στο έδαφος και με ποιά ταχύτητα; Απάντηση 2. Λύνουμε ως προς τη θέση του αντικειμένου θεωρώντας ότι στον χρόνο 0 η θέση του είναι στο (0) = 0. Άραθαπρέπειναβρούμετονχρόνο τέτοιο ώστε ( )=100 Γενική λύση 3
0 = () = R () () = R ³h (0) i + = (0) + + µ 2 () = 2 + + Ειδική λύση Άρα και αριθμητικά (0) = 0 2 + =0 2 = 2 = 297247 2 µ 2 () = 2 + 297247 Πρέπει να λύσουμε την Δύσκολο;;;;; Χρησιμοποιούμε το Excel και () =297247 01816 +54 297247 100 = 297247 01816 +54 297247 4
() 0 0m 1 462 m 2 1744 m 3 3710 m 4 6247 m 5 9260 m 6 12669 m 7 16408 m 8 20424 m 9 24670 m 10 29107 m Οπότε θα χρειαστεί λίγο περισσότερο από 5 δευτερόλεπτα. 2 Διασκέδαση τέλος 5. Άλλες ασκήσεις 1. Έστω το υπόδειγμα προσφοράς/ζήτησης όπου () η τιμή του αγαθού στο χρόνο () = () () = + (), 0 () = () (), 0 1 η οποία προσαρμόζεται (μεταβάλλεται) ανάλογα με το επίπεδο της υπερβάλλουσας ζήτησης () () Βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης () = () (), 0 1 και σχολιάστε κατάλληλα. Θεωρείστε ότι 0 1 οσυντελεστής προσαρμογής της τιμής. Η αγορά ισορροπεί σε κάθε χρόνο όταν = δηλαδή 0 =0 5 Θαζητηθούνπαρόμοιεςασκήσειςστιςεξετάσεις. 5
2. Υποθέστε ένα υπόδειγμα προσαρμογής αποθεμάτων (στοκ) () Το ύψος των αποθεμάτων μεταβάλλεται ανάλογα με τη διαφορά (υπερβάλλουσα προσφορά) δηλαδή 0 = Υπερβάλλουσα προσφορά σημαίνει αύξηση των αποθεμάτων και μείωση της τιμής οπότε 0 = 0 Έχετε ήδη βρει τη χρονική κίνηση της τιμής () = από την προηγούμενη άσκηση. Τώρα υπολογίστε τη μεταβολή στα αποθέματα από κάποιο χρόνο 0 σε κάποιο χρόνο 1 0 Υπόδειξη (λύση): R 1 R 1 () = 1 () ( 1 ) ( 0 )= 1 0 0 ( 1)+ 1 ( 0) 3. Έστω ότι ένα αρχικό ποσό κατάθεσης (0) ανατοκίζεται συνεχώς χρονικά με επιτόκιο δηλαδή η μεταβολή του σε κάθε χρόνο δίνεται από 0 = (a) Βρείτε το διαθέσιμο προς ανάληψη ποσό () σε κάθε χρόνο (b) Αν (0) = 3200 και =35% σε πόσα χρόνια (στρογγυλοποιείστε αν χρειάζεται) θα διπλασιαστεί το αρχικό κεφάλαιο? (c) Αν επιπλεόν κατατίθεται ένα σταθερό ποσό στο λογαριασμό σας συνεχώς τότε 0 = + Βρείτε τις πληρωμές για τις καταθέσεις σε κάθε χρόνο. Υπόδειξη: λύστε την διαφορική (μερική λύση) και () = 0 + 1 άρα η απάντηση είναι 0 πληρωμές στο αρχικό κεφάλαιο και ( 1) πληρωμές στις συνεχείς καταθέσεις 4. Προβείτε σε λύση της παρακάτω γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές 0 +3 =, (0) γνωστό 6
5. Προβείτε σε λύση της παρακάτω γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές 0 =, (0) = 1 6. Προβείτε σε λύση της παρακάτω γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές 0 +3 =4+, (0) γνωστό 7. Προβείτε σε λύση της παρακάτω γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές 0 + 2 cos () =, ( 2 2 )=1 2 8. Προβείτε σε λύση της παρακάτω μη-γραμμικής διαφορικής εξίσωσης(τύπου Bernoulli) 0 +0075 =02ln() 07 9. Προβείτε σε ποιοτική ανάλυση των παρακάτω μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 0 = 2 6 +8 0 = 2 2 +8 0 = 2 2 +1 0 = 2 +10 +25 Υπόδειξη: Ποιοτική ανάλυση σημαίνει χρήση του διαγράμματος φάσης. Βρίσκουμε το σημείο ή τα σημεία ισορροπίας και σχεδιάζουμε το διάγραμμα φάσης. Στη συνέχεια σχολιάζουμε τη δυναμική ευστάθεια των σημείων ισορροπίας (ελκυστής;,απωθητής;,εκτροπή;) 10. Μελετήστε ποιοτικά την παρακάτω διαφορική συνάρτηση καμπύλης Gompertz = [ ln ()], 00 με =1=1 11. Επιλύστε την παρακάτω γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης 00 0 +01 =10 (0) = 5 0 (0) = 2 7
12. Επιλύστε την παρακάτω γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης 00 +2 0 + =3 (0) = 50 0 (0) = 1 13. Επιλύστε την παρακάτω γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης 00 08 0 + =1(0) = 0 0 (0) = 15 14. Επιλύστε την παρακάτω γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης 00 +2 0 +2 =0(0) = 2 0 (0) = 1 15. Επιλύστε την παρακάτω γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με χρονικά μεταβαλλόμενους όρους 00 + 0 = (0) = 2 0 (0) = 2 8