ΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή. Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές. 3 d u du 5v u (β) 3 dv dv d t (γ) (4 )(1 ) 4 dw 4 z z 8 (1 ) (ε) dz d y 1 (ζ) y(3 ) (1 y). Να δείξετε ότι η ( ) είναι λύση του ΠΑΤ: ( ) sin( ) cos( ), ΠΑΤ: y( ) y( ), y() 1, y() 1. (β) ( ) 3e, ΠΑΤ: y( ) y( ) y( ), y() 3, y() 6 3. Να βρεθεί ο γενικός τύπος της αναδρομικής ακολουθίας Picard για το ΠΑΤ ( ) 4. Έστω n n (συνεχή) συνάρτηση ( ) Cauchy. ( ) (β) Έστω n n συνάρτηση ( ) ( t) 1 () ακολουθία συνεχών συναρτήσεων που συγκλίνει ομοιόμορφα στην ( ). Να δείξετε ότι η n n είναι (ομοιόμορφη) ακολουθία (ομοιόμορφη) ακολουθία Cauchy που συγκλίνει στην (συνεχή). Να δείξετε ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. 5. Να λυθούν οι εξής ΣΔΕ ή ΠΑΤ: dv 1 4v (β) 3 v t t cos e (γ) e y y() 1 cos y() / 4 y (ε) y e y (ζ) dw w 1 t w() 1 (η) d e sin d 1 cos 6. Να βρεθεί ο ολοκληρωτικός παράγοντας για τις πιο κάτω ΣΔΕ: (β) ( 1) tw ( t) w( t) 4t ty t y t

2 7. Να λυθούν οι εξής ΣΔΕ ή ΠΑΤ: y e 3 (β) 1 y t y (γ) e y(1) e1 () 3 3 y (ε) 1 1 4y (ζ) dw t 4w e w() 4 / 3 (η) cos( ) sin cos y 15 y( / 4) 3 8. Έστω () t λύση του ΠΑΤ p( t) ( t) g( t) ( t) όπου τα t,, γνωστά και οι p(t), g(t) δοθείσες συνεχείς συναρτήσεις. Να δειχτεί ότι t t s p( s) ds ( ) ( ) t p s ds t t p d t ( t) e e e g( s) ds. t (Υπόδειξη: ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι t p( s) ds t e.) 9. Το πεδίο διευθύνσεων (direction field) μιας ΣΔΕ δίδεται πιο κάτω. Να σχεδιάσετε τη λύση που ικανοποιεί τη δοθείσα αρχική συνθήκη. y() = /. (β) y(3) =.

3 1. Μία πέτρα περιέχει δύο ραδιενεργά ισότοπα, RA1 και RA, τα οποία ανήκουν στην ίδια 3 ραδιενεργή σειρά αυτό σημαίνει ότι το RA1 διασπάται στο RA, το οποίο μετά διασπάται σε σταθερά άτομα. Έστω ότι ο ρυθμός διάσπασης του RA1 στο RA είναι 5 1t e kg/sec. Υποθέτουμε ότι ο ρυθμός διάσπασης του RA είναι ανάλογος της ποσότητας του RA, την οποία συμβολίζουμε με y(t). Άρα ( ρυθμός μεταβολής του y(t) ) = (ρυθμός δημιουργίας) (ρυθμός διάσπασης). Αν η σταθερά αναλογίας (του RA) είναι k = και y() = 4 kg, να βρεθεί μια παράσταση για τη y(t). 11. Ένα φύλλο μαρουλιού από τα σκουπίδια περιέχει % Carbon-14 σε σύγκριση με ένα φρέσκο φύλλο μαρουλιού. Αν ο χρόνος ημιζωής του Carbon-14 είναι 57 χρόνια, πόσο παλιό είναι το φύλλο από τα σκουπίδια; 1. Ένα μείγμα νερού με αλάτι εισέρχεται με ρυθμό 5L/min σε ένα δοχείο το οποίο αρχικά περιείχε 15L καθαρού νερού. Το καλά αναδευμένο μείγμα εξέρχεται από το δοχείο με ρυθμό L/min. Αν το μείγμα εισροής περιείχε.3 kg/l αλάτι, να βρεθεί η ποσότητα άλατος στο δοχείο οποιαδήποτε χρονική στιγμή. 13. Μετά θάνατον το σώμα, που αρχικά έχει θερμοκρασία 37 o C, αρχίζει να κρυώνει βάση του νόμου του Νεύτωνα (Newton's Law of Cooling), ο οποίος (σε αυτή την περίπτωση) λέει ότι dh k H M όπου H(t) είναι η θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή t (σε ώρες), M είναι η (σταθερή) θερμοκρασία του περιβάλλοντος (π.χ. του δωματίου όπου βρίσκεται το σώμα) και k > είναι μια σταθερά. Έστω ότι μετά από ώρες η θερμοκρασία του σώματος είναι 35 o C, και η θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι o C. Αν το σώμα βρέθηκε στις 4μ.μ. με θερμοκρασία 3 o C, τι ώρα επήλθε ο θάνατος? 14. Μια πατάτα τοποθετείται σε ένα φούρνο θερμοκρασίας o C και ζεσταίνεται βάση της διαφορικής εξίσωσης dh k H

4 4 όπου H(t) είναι η θερμοκρασία της πατάτας τη χρονική στιγμή t (σε λεπτά) και k > είναι μία σταθερά. Αν η θερμοκρασία της πατάτας είναι αρχικά o C όταν την τοποθετήσουμε στο φούρνο, και αν μετά από 3 λεπτά η θερμοκρασία της πατάτας είναι 1 o C, να βρείτε μια παράσταση για τη θερμοκρασία της πατάτας σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t. 15. Να λύσετε τις εξής ΣΔΕ: (β) ( y) ( y) (γ) (1 ln y) t y (y 3) ( 1) 16. Να δείξετε ότι η ακριβής ΣΔΕ M (, y) N(, y) έχει σαν λύση την F(, y) C, με C σταθερά, όπου η F δίδεται απο y, όπου το y F(, y) N(, t) M ( s, y ) ds (, y ) ένα σταθερό σημείο στο πεδίο συνέχειας των Μ και Ν. 17. Να βρεθεί η γενική λύση των πιο κάτω ΣΔΕ: y 8y 9y (β) 4y 4y 1y (γ) 6y 11y 3y u 11u (ε) 49y 14y y (ζ) y 8y 14y (η) 16z 65z 49z 18. Να βρεθεί η λύση των πιο κάτω ΠΑΤ: y 4y 7y, y() 1, y() (β) 4y 4y 5y, y() 1, y() 11/ (γ) y 5y 14y, y() 5, y() 1 9y 1y 4y, y() 3, y() Να δείξετε ότι ο ολοκληρω-διαφορικός (integro-differential) τελεστής L που ορίζεται ως 1 L[ y]( ) t y( t) y( ) είναι γραμμικός για οποιαδήποτε συνάρτηση y η οποία είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο [, 1].. Να ελέγξετε αν οι δοθείσες συναρτήσεις είναι γραμμικώς ανεξάρτητες. y ( ) cosln, y ( ) sin ln, > (β) 1 y ( ) tan sec, y ( ) 3 1

5 1. Έστω η ΣΔΕ y p( ) y q( ) y, όπου οι p, q δοθείσες συνεχείς συναρτήσεις. Να 5 δείξετε ότι η αντικατάσταση y( ) u( ) v( ), όπου δοθείσα ΣΔΕ στην u f ( ) u, για κάποια (γνωστή) f. 1 v( ) ep p( ), μετατρέπει τη. Δοθέντος ότι η ( ) είναι λύση της ΣΔΕ (1 ) y ( ) y ( ) y, ( 1,1) να βρείτε μία δεύτερη Γ.Α. λύση (σε μορφή ολοκληρώματος) (β) να βρείτε μια αναπαράσταση της λύσης από το, σε μορφή δυναμοσειράς (γ) να χρησιμοποιήσετε μερικά κλάσματα για να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα του και έτσι να βρείτε τη γενική λύση της ΣΔΕ. 3. Να βρεθεί η γενική λύση των πιο κάτω ΣΔΕ: y 4y tan( ) (β) (γ) 1 y y y e 1 y 3y y u u 4 (ε) (ζ) t y 4y 4y e ln t y y y 9 tan(3ln ) 1 4. Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις ( ) r r y e, y ( ) e είναι γραμμικώς ανεξάρτητες για κάθε στο (,) αν και μόνο αν r 1 r Δοθέντος ότι οι y1, y είναι Γ.Α. λύσεις του ομοιογενούς προβλήματος, να βρείτε τη γενική λύση της δοθείσας ΣΔΕ. Υποθέστε ότι >. y y y y e y ( 1), 1( ), ( ) 1 (β) y 4y 6y 1, y ( ), y ( ) (γ) y (1 ) y ( 1) y e, y1( ) e, y( ) e ln 6. Χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο Μεταβολής των Παραμέτρων, να δείξετε ότι η γενική λύση της ΣΔΕ y y f ( ) είναι y( ) C1cos( ) Csin( ) f ( s)sin( s) ds, όπου f() δοθείσα συνεχής συνάρτηση στο (,) και C1, C σταθερές. (ΥΠΟΔΕΙΞΗ: sin( s) sin cos s sin s cos.) (β) Να βρεθεί η γενική λύση της ΣΔΕ y( ) y( ) tan( ), ( /, / ).

6 (ΥΠΟΔΕΙΞΗ: sec( ) ln sec( ) tan( ).) 6 7. Έστω η Σ.Δ.Ε. y p( ) y q( ) y με p, q συνεχείς συναρτήσεις και έστω f() μια μη-μηδενική λύση της. Να βρείτε μια δεύτερη, γραμμικώς ανεξάρτητη λύση στη μορφή y() = v() f(), για κάποια συνάρτηση v() που θα πρέπει να προσδιορίσετε. (Δηλαδή, να βρείτε μια παράσταση για την δεύτερη λύση, σε μορφή ολοκληρώματος, η οποία να περιέχει μόνο γνωστές ποσότητες, π.χ. f, p, q, κλπ.) 8. Θεωρούμε Σ.Δ.Ε. της μορφής ( ) ( ) ( ),,,,, και a y by cy a b c r ψάχνουμε για λύσεις στη μορφή y( ), r. Να βρείτε τη χαρακτηριστική εξίσωση r που θα πρέπει να ικανοποιεί το r έτσι ώστε η συνάρτηση y( ), r να είναι λύση της δοθείσας Σ.Δ.Ε. Στη συνέχεια να αναπτύξετε τις τρεις περιπτώσεις για τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, δηλαδή να αποφασίσετε ποια μορφή θα έχουν οι λύσεις στις τρεις περιπτώσεις: ρίζες πραγματικές και άνισες, ρίζες μιγαδικές και ρίζα επαναλαμβανόμενη. (Υπόδειξη: Στη τελευταία περίπτωση πολλαπλασιάστε τη μία λύση που δίδει η χαρακτηριστική εξίσωση με το ln() για να ορίσετε τη δεύτερη Γ.Α. λύση.) t 9. Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση e, να δείξετε ότι η 3 ης τάξης ΣΔΕ τύπου Cauchy-Euler 3 a y ( ) b y ( ) cy( ) ( ),, a, b, c, d γράφεται σαν ay ( t) ( b 3 a) y( t) ( a b c) y( t) ( t). 3. Να λυθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με τη μέθοδο των δυναμοσειρών, γύρω από το =. y y y (β) y y (γ) y y 4y y y 31. Η διαφορική εξίσωση του Legendre είναι (1 ) y y n( n 1) y, n. Να λύσετε τη πιο πάνω ΣΔΕ με τη μέθοδο των δυναμοσειρών, γύρω από το =. 3. Η λύση του πιο κάτω ΠΑΤ καλείται συνάρτηση Bessel τάξης μηδέν., () 1, (). y y y y y Να λύσετε το πιο πάνω ΠΑΤ με τη μέθοδο των δυναμοσειρών, γύρω από το κανονικό ιδιάζων σημείο =.

7 33. Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των πιο κάτω συστημάτων ΣΔΕ: (β) (γ) (ε) (ζ) (η) (θ) 1 3 / 1/ 6