TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α α + β, Β α β + αβ Ονομαζουμε συνx την τετμημε- Μ Μ νη του Μ (εντονο κοκκινο) Η εφx ημx συνx x και σφx συνx ημx Tα ημx, συνx είναι αριθμοι και: - ημx και - συνx Οι εφx, σφx είναι αριθμοι και μπορουν να παρουν οποιαδηποτε πραγματικη τιμη. Ορισμοι ημω β α εφω β γ συνω γ α σφω γ β Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ς κ υ κ λ ο ς Αξονας συνεφαπτομενων Αξονας ημιτονων Β y E B(,) y II ρ Ι + ω Α (-,) Ο x x Σ Α(,). π x ω π/ Γ α γ β Α Αξονας συνημιτονων ΙΙΙ ΙV - Αξονας εφαπτομενων Β (,-) Τριγωνομετρικος H Εννοια του κυκλος διανυσματος ειναι ο κυκλος με κεντρο την αρχη ενος ορθοκανονικου συστηματος αξονων και ακτινα ρ. Ειναι ημω x και συνω y Επισης - ημω και - συνω
TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Βασικες Τριγωνομετρικες Ταυτοτητες Μετροπη μοιρων σε ακτινια ημ ω + συν ω ω α μ Tυπος μετροπης: π 8 ημω α σε rad και μ σε μοιρες εφω ω, συνω συνω συνω σφω ημω ω, ημω εφω σφx ω, ημω συνω εφ ω ημ ω ω, συνω + εφ ω συν ω + εφ ω ω, συνω π Mετατρεψετε σε μοιρες τη γωνια rad. π α μ μ μ π 8 π 8 8 8 μ μ 5 5 Mετατρεψετε σε rad τη γωνια μοιρων. π 5 α μ α π α 5 π 8 π 8 π 8 π 5 α 8 α rad Π ι ν α κ α ς Τ ρ. Α ρ ι θ μ ω ν Β α σ ι κ ω ν Γ ω ν ι ω ν ημ συν 5 9 8 7 - - εφ - - σφ - - -
TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α ν α γ ω γ η σ τ ο ο τ ε τ α ρ τ η μ ο ρ ι ο Εστω < α < π. ος κανονας Όταν εχουμε τριγωνομετρικο αριθμο του (π±α) η (π±α), διαγραφουμε το π η π, ο τριγωνομετρικος αριθμος δεν αλλαζει και στο δευτερο μελος της ισοτητας βαζουμε το προσημο του αρχικου τριγωνομετρικου αριθμου στο τεταρτημοριο που κατεληγε. ος κανονας Όταν εχουμε τριγωνομετρικο αριθμο του ( π ±α) η ( π ±α), διαγραφουμε το π η π, ο τριγωνομετρικος αριθμος αλλαζει και στο δευτερο μελος της ισοτητας βαζουμε το προσημο του αρχικου τριγωνομετρικου αριθμου στο τεταρτημοριο που κατεληγε. Αλλαγη: ημ συν, συν ημ, εφ σφ, σφ εφ. Παρατηρηση Ισχυουν για κ : ημ(κπ+α) η μα, συν(κπ+α) συνα, εφ(κπ+α) εφα, σφ(κπ+α) σφα Αν η γωνια δεν εχει μια απ τις πιο πανω μορφες, την τροποποιουμε καταλληλα ωστε να αποκτησει μια απ αυτες τις μορφες. M ε θ ο δ ο ς ( Β α σ ι κ ε ς Τ ρ ι γ / κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς ) π Αν εφx - και < x < π, τοτε να υπολογισετε τους αλλους τριγωνομετρικους αριθμους. ο Βημα : Βρισκουμε ευκολα την σφ απ'το τυπο : εφx σφx.. σφx - εφx - ο Βημα : Βρισκουμε το συν απ'το τυπο : συν x. + εφ x + εφ x + + + - 9 συν x συνx ± π <x<π συνx ± συνx -. συνx< ημx ο Βημα : Βρισκουμε το ημ απ'το τυπο : εφx η ημ x + συν x. συνx ημx εφx ημx εφxσυνx ημx - - ημx ημx συνx
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ M ε θ ο δ ο ς ( Α ν α γ ω γ η σ τ ο ο τ ε τ α ρ τ η μ ο ρ ι ο ) Να υπολογισετε τους παρακατω τριγωνομετρικους αριθμους : π συν5 συν7π εφ + θ ο Βημα : Μετασχηματιζουμε τις γωνιες : σε αθροισμα η διαφορα "γνωστων" γωνιων. συν5 συν(9 + 5 ) συν(8-5 ) π σε πολλαπλασιο του π η π συν(7π + ) συν( + π + ) π π π εφ + θ εφ 5 + + θ ο Βημα : Χρησιμοποιουμε τους τυπους αναγωγης στο ο τεταρτημοριο. συν5 συν(9 + 5 ) -ημ5 - συν(7π + ) συν(π + π + ) συν( π + π + ) συν(π + ) - συν - π π π εφ + θ εφ π + + θ εφ + θ -σφθ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 π Αν ημx - και π < x <, τοτε να υπολογισετε τη τιμη της παραστασης : 5 ημx + συνx Α εφx - σφx Ειναι 9 9 ημ x + συν x - + συν x + συν x συν x - 5 5 5 συν x συνx ± 5 5 - ημx 5 εφx συνx - 5 σφx εφx Οποτε 7 - - - 5 5 5 Α 7 5 - - Ειναι π π<x< συνx<. σφx - εφx - συνx - 5 π Αν εφx - και < x < π, τοτε να υπολογισετε τους αλλους τριγωνομετρικους αριθμους. + εφ x + + + - 9 συν x συνx ± π <x <π συνx ± συνx - συνx < ημx εφx ημx εφxσυνx ημx - - ημx συνx ημx
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ π x - Αν x >, < α < και ημα, τοτε να δειξετε οτι : εφα x -. x Eιναι x> ημα ημ α ημ α - ημ α - x - x - x x x x x x x> ημ α ημ α + συν x - συν x συνx Οποτε ημα εφα συνα Eιναι x - x x x x x x - x x ακπ - συν α ( - συνα x + x συνα - συνα x - x - ημ α+συν x Αν x, x ειναι ριζες της εξισωσης ( - συνα)x - ( - συν α)x - ημ α - συνα +, με α κπ, να δειξετε οτι : x + x + x x. x x συνα Οποτε ακπ - ημ α - συνα x + x + x x - συνα )( + συνα) - συνα - ημ α - συνα + συνα + - συνα + συνα -ημ ασυν α ( + συνα)( - συνα) + συν α - συνα - συνα - συν α + συν α - συνα - συνα - συνα - συνα Aν ημx + συνx, τοτε να δειξετε οτι : (ημx - συνx) Ειναι ημx + συνx (ημx + συνx) ημ x + συνx + 9συν x 9 ημ x + συνx + συν x + 8συν x 9 + συνx + 8συν x 9 (ημ x + συν x) + συν x + 8συν x 9ημ x + 9συν x 9ημ x + συν x - συνx (ημx - συνx) ημ x+συν x
Ειναι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Να δειξετε οτι για οποιαδηποτε γωνια α, ισχυει : συν α ημ α - συν α - - σφ α ημ α ημ α - - - + σφ α συν α ημ α + συν α συν α-ημ α + ημ α ημ α ημ α - σφ α - ημ α + σφ α ημ α+συν α - ( - ημ α) - ημ α - + ημ α - ημ α Να αποδειξετε οτι : εφ εφ... εφ89 5π ημ5 + εφ συν 5π π σφ + ημ εφ εφ... εφ89 εφ5 (εφ εφ89 ) (εφ εφ88 )... (εφ εφ ) εφ(9 -α)σφα ζευγη [εφ εφ(9 - )] [εφ εφ(9 - )]... [εφ εφ(9 - )] εφ5 οροι εφασφα (εφ σφ ) (εφ σφ )... (εφ σφ ) εφ5... ημ5 ημ(9 + ) συν 5π π π εφ εφ π - -εφ - συν συν( - ) συν εφ5 5π π π σφ σφ π + σφ π π π ημ ημ π - -ημ - Οποτε 5π ημ5 + εφ συν + - - 5π π σφ + ημ + -
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 Ν α βρειτε τη μεγιστη και ελαχιστη τιμη τω ν παραστασεω ν : Α + ημα Β - συνα Ειναι. + - ημα - ημα - + ημα + - Α Α ρα, Α - και Α m in m ax - συνα.(-) -σ υνα - + αντιστροφ η - -συνα - - συνα + - συνα. Β. - συνα - συνα - συνα Α ρα, Β και Β m in m ax Να αποδειξετε οτι : Β Α + Γ σε καθε τριγωνο ΑΒΓ ισχυει : ημ + ημ A σε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ α) η βαση του ΒΓ αημ. Ειναι Α Β Γ π Α Γ π Β Α + Β + Γ π + + + - π ημ -α συνα Α + Γ π Β Α + Γ Β ημ ημ - ημ συν () Οποτε () ημ α+συν α Β Α + Γ Β Β ημ + ημ ημ + συν Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΔ, απ'τον ορισμο του ημιτονου ειναι : ΒΓ ΒΓ A ΒΔ A A ημ ημ ημ ΑΒ ΑΒ α A ΒΓ A αημ ΒΓ αημ
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Δινονται τα συστηματα : Αν D τοτε το (Σ) εχει τη -x - y (Σ ) : και μοναδικη λυση : (-κ - )x + λy - D D x y (κ + )x + y κ - κλ (x,y),. (Σ ) : 5 D D (κ + 8)x - (κ + λ)y κ - λ Αν D και : Δειξτε οτι αν το (Σ ) εχει απειρες λυσεις, τοτε D η D τοτε το x y το (Σ ) ειναι αδυνατο. (Σ) αδυνατο. Δινονται τα συστηματα : D D και... x y x - y x + y 5 (Σ ) : και (Σ ) : κx + λy - -κx + (λ + )y Δειξτε οτι αν το (Σ ) και το (Σ ) ειναι συγχρονως αδυνατα. Δινονται τα συστηματα : x - y x - λy 8 (Σ ) : και (Σ ) : 5 x + λy x + y 8 Δειξτε οτι αν το (Σ ) ειναι αδυνατο, τοτε το (Σ ) εχει απειρες λυσεις. x y 5 Σ'ενα συστημα (Σ ) δυο γραμμικων εξισωσεων με α - Αν D τοτε το (Σ) εχει τη γνωστους x, y ισχυει : μοναδικη λυση : D + D D + D και x - y x x y y D D x y (x,y),. Aν το (Σ ) εχει μοναδικη λυση, τοτε να βρεθει η D D λυση του. Αν D και : Σ'ενα συστημα (Σ ) δυο γραμμικων εξισωσεων με D η D τοτε το x y αγνωστους x, y ισχυει : (Σ) αδυνατο. D + D D και D - D D x y x y D D και... x y Aν το (Σ ) εχει μοναδικη λυση, τοτε να βρεθει η λυση του. Σ'ενα συστημα (Σ ) δυο γραμμικων εξισωσεων με αγνωστους x, y ισχυει : D + D + D (D - D x Nα βρεθει η λυση του. + D y ) - Να δειξετε οτι: Να λυθουν τα συστηματα: x-7y +7z x+ y +z (Σ) : x+y-z 5 (Σ ) : x+ y-z x- y +z 7 x-y +z - x+ y +z x + y + z (Σ ) : x+y + z (Σ ) : x - y - z x+y +z x - y - z Απαλοιφουμε τον ιδιο αγνω - στο απ'τις τρεις εξισωσεις (μεθοδος αντιθετων συντελε - στων). Λυνουμε το συστημα Χ που προκυπτει. Αντικαθιστουμε τη λυση του πιο πανω συστηματος...
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Το αθροισμα των ψηφιων ενος τριψηφιου αριθμου ειναι και των ψηφιων των μοναδων ειναι λιζεται : xyz x + y + z Ενας τριψηφιος αριθμος συμβο -. Αν αλλαξουμε τη θεση των ψηφιων των εκατονταδων και των δεκαδων του αριθμου, προκυπτει αριθμος κατά 8 μεγαλυτερος. Να βρεθει ο τριψηφιος αριθμος. Δυο θετικοι ακεραιοι εχουν αθροισμα 87. Αν προσθεσουμε το σε καθε εναν απ αυτους, ο ενας γινεται διπλασιος του αλλου. Βρειτε τους αριθμους. Μια ομαδα μαθητων εγραψε, σ ενα μαθημα, διαγωνισμα που εχει ερωτησεις. Για καθε σω- Θεωρουμε x, y,... τους αγνω - στους του προβληματος. στη απαντηση ο μαθητης επαιρνε 5 μοναδες ε- Σχηματιζουμε τις καταλληλες νω για καθε λαθος απαντηση εχανε μοναδες. Ενας μαθητης εγραψε 5 μοναδες σ αυτο το διαγωνισμα. Βρειτε ποσες απαντησεις του ηταν σω- απ'τα δοσμενα. εξισωσεις που προκυπτουν στες και ποσες λαθος. Λυνουμε το συστημα των πιο Οι μαθητες Α και Β ρωτουν τον καθηγητη στο πανω εξισωσεων, που... τελος του ου τετραμηνου ποσες απουσιες εχουν και εκεινος απαντα: Ο λογος των απουσιων του Α προς τις απουσιες του Β ειναι /7 ενω χωρις τις τελευταιες 9 απουσιες ειναι ισος με /. Βρειτε τις απουσιες των Α, Β. Ποσες πρεπει να δικαιολογησουν αν το οριο ειναι 5. Να λυθει το συστημα : x - y - z x - y - z x - y + z To ομογενες συστημα εχει προ - φανη λυση : (x,y,z) (,,) Οποτε εξεταζουμε, κατα τα γνω - στα, αν εχει και αλλες λυσεις. Να λυθουν τα συστηματα : Προσθετουμε κατα μελη τις κ + λ + μ 7 () x + y 5 (5) εξισωσεις του συστηματος λ + μ + ν 9 () (Σ ) : και (Σ ) : y + z 8 () Συνδιαζουμε την εξισωση που μ + ν + κ 8 () z + x 5 (7) προεκυψε με καθεμια απ'τις αρ - ν + κ + λ 7 () χικες εξισωσεις του συστηματος. Να λυθουν τα συστηματα : 5 αβγ + () α β αγ + βγ 5 7 αβγ (Σ ) : + () και (Σ ) : β γ αβ + αγ 7 αβγ + () γ α βγ + αβ Θετουμε : x,... α Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος... Συνδιαζουμε την εξισωση που προεκυψε με καθεμια...
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθουν τα συστηματα : αβγ αβ βγδ (Σ ) : βγ και (Σ ) : γδα 8 γα 8 δαβ Πολλαπλασιαζουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος. Βρισκουμε τη τιμη του γινομε - νου που προκυπτει. Διαιρουμε την εξισωση που προεκυψε με... Να λυθουν τα συστηματα : x y z (Σ ) : 5 x + y - z 5 x - y - z - (Σ ) : 5 5x + y - z 5 Να λυθουν τα συστηματα : (Σ ) : (Σ ) : x + y x + y (Σ ) : (Σ ) : xy - xy (x - ) + y (x - ) + y x + y x + y 5 Θετουμε τους ισους λογους λ. Βρισκουμε x, y,z σε συναρτη - ση με το λ. Αντικαθιστουμε τα x, y,z στην δευτερη εξισωση και βρισκουμε το λ. Πολλαπλασιαστε με καταλληλη παρασταση, αριθμητη και παρονομαστη, ωστε να προκυψει οπαρονομαστης ρητος. Κανετε χρηση δυναμεων και ταυτοτητων.