ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Η ΑΔΙΑΣΤΑΤΗ ΜΟΡΦΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ NAVIER -STOKES
Η ΑΔΙΑΣΤΑΤΗ ΜΟΡΦΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ NAVIER -STOKES Για τυχόν πρόβλημα στρωτής ροής, μπορούμε να γράψουμε το σύστημα εξισώσεων και οριακών ή αρχικών συνθηκών (μαθηματικό μοντέλο) που το περιγράφουν πλήρως. Η δυσκολία βρίσκεται στο ότι συνήθως για το μαθηματικό αυτό μοντέλο δεν μπορούμε να βρούμε αναλυτική λύση. Αριθμητικές λύσεις, προσφέρουν λύση σε απλά προβλήματα, αλλά σε δυσκολότερα απαιτούνται ισχυροί υπολογιστές και πολλές ώρες υπολογισμού. Το πρόβλημα γίνεται ακόμη πιο δύσκολο (πρακτικά άλυτο) για την περίπτωση της τυρβώδους ροής, όπου οι εξισώσεις Navier-Stokes ισχύουν στιγμιαία, αλλά η λύση, ακόμη και σε στατιστικά μόνιμο πρόβλημα ροής, πρέπει να προβλέπει και τις τυρβώδεις διακυμάνσεις της ταχύτητας.
Η ΑΔΙΑΣΤΑΤΗ ΜΟΡΦΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ NAVIER -STOKES Οι δυσκολίες στην αναλυτική λύση των πλήρων εξισώσεων Navier Stokes οδήγησαν στη σκέψη να εξετασθεί μήπως, σε ορισμένες ασυμπτωματικές περιπτώσεις, μπορούν να απαλειφθούν ορισμένοι όροι από τις εξισώσεις Navier - Stokes, έτσι ώστε, με την παράλειψη των όρων αυτών, να λύνεται το μαθηματικό μοντέλο ευκολότερα, η δε λύση του να ανταποκρίνεται με ικανοποιητική προσέγγιση στην πραγματική ροή. Τα βασικά ερωτήματα είναι : Ποιοι όροι μπορούν να απαλειφθούν από τις εξισώσεις Navier - Stokes και πότε; Η λύση που θα βρεθεί τι αξία έχει σχετικά με την πραγματικότητα; Κάτω από ποιους περιορισμούς ισχύουν αυτές οι προσεγγίσεις;
Η ΑΔΙΑΣΤΑΤΗ ΜΟΡΦΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ NAVIER -STOKES Τα ερωτήματα αυτά θα προσπαθήσουμε να αναλύσουμε σε μερικά παραδείγματα του κεφαλαίου αυτού, παραδείγματα που σχετίζονται άμεσα με κατοπινές εφαρμογές στα Υδραυλικά Έργα και στην Υδραυλική του περιβάλλοντος. Εξετάζουμε τις δύο κλασσικές προσεγγιστικές περιπτώσεις: α) των τέλειων ρευστών για υψηλούς αριθμούς Reynolds (όπου σίγουρα η ροή είναι τυρβώδης) β) των αργών κινήσεων ( creeping flow ) για μικρούς αριθμούς Reynolds (στρωτή ροή).
ΑΔΙΑΣΤΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ NAVIER -STOKES Θεωρούμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό: t*l t = x=x*l y=y*l z=z*l Uo u=u*uo v=v*uo w=w*uo P=Po p* Με βάση τον μετασχηματισμό έχουμε: U o v v u = u x x L u u i *U x x* L i uj = u j* u u*u = o t t* L οπότε οι εξισώσεις Navier-Stokes ασυμπίεστου ρευστού γίνονται: o u u* U x x* L o = du* dt* u u u u v w u * * * * * gl t x y z U f * Po p* ν u* u* u* = + * + * + * = x + ( * + * + * ) * * * * ρu x* U L x y z o o o
du* dt* u u u u v w u * * * * * gl t x y z U f * Po p* ν u* u* u* = + * + * + * = x + ( * + * + * ) * * * * ρu x* U L x y z όπου εμφανίζονται οι αδιάστατοι αριθμοί P ρu o = Eu, αριθμος Euler o o o ρul o μ UL o = = ν Re, αριθμος Reynolds, U gl o = Fr, αριθμος Froude. ή σε διανυσματική μορφή du* dt* 1 * 1 + ugradu * * = f Eu gradp* + u* Fr Re u* υ* w* Η εξίσωση συνέχειας γίνεται + + =0 x* y* z*
du* dt* 1 * 1 + ugradu * * = f Eu gradp* + u* Fr Re Υποθέτουμε για απλούστευση ότι το πεδίο εξωτερικών δυνάμεων μηδενίζεται, οπότε fx=fy=fz=0. Παρατηρούμε τώρα ότι η λύση του προβλήματος της ροής ρευστού με κινηματικό ιξώδες γύρω από τον κύλινδρο διαμέτρου L με ταχύτητα Uo ισοδυναμεί με την λύση του μαθηματικού μοντέλου που αποτελείται από τις αδιάστατες εξισώσεις, και από τις αδιάστατες οριακές συνθήκες. Η μόνη παράμετρος που εμφανίζεται στο πρόβλημα είναι ο αριθμός Reynolds (Re). Συνεπώς δύο διαφορετικές περιπτώσεις ροής, π.χ. Uo=100 cm/sec, L=10 cm, ν=0,01 cm /sec αφ ενός και Uo=400 cm/sec, L=5 cm, ν=0,0cm /sec αφ ετέρου, αντιστοιχούν στην ίδια αδιάστατη λύση των αδιάστατων εξισώσεων, γιατί ο αριθμός Reynolds και στις δύο περιπτώσεις παίρνει την ίδια τιμή δηλαδή U L 100.10 400.5 ν 0.01 0.0 o 5 Re = = = = 10
du* dt* 1 * 1 + ugradu * * = f Eu gradp* + u* Fr Re Συμπεραίνουμε, ότι προβλήματα ροής με τις ίδιες αδιάστατες αρχικές και οριακές συνθήκες, δέχονται την ίδια αδιάστατη λύση, αν έχουν τον ίδιο αριθμό Reynolds και έτσι αντί τεσσάρων παραμέτρων (δηλ. πυκνότητας ρ, ταχύτητας Uo, χαρακτηριστικού μήκους Lo, και ιξώδους μ) έχουμε μόνο μια παράμερο, τον αριθμό Reynolds.
Με το σύμβολο Ο(Α) παριστάνουμε την τάξη μεγέθους του Α, γράφοντας Ο(Α)=Β εννοούμε ότι το μέγεθος Α στο πεδίο ορισμού του μπορεί να παίρνει τιμές από 0 μέχρι μερικές φορές το Β. Δηλαδή η έννοια της τάξεως μεγέθους είναι πολύ ελαστική. Για παράδειγμα, όταν η τάξη μεγέθους της ταχύτητας u(x,y) είναι Uο, O(u)=Uo εννοούμε ότι η ταχύτητα u(x,y) σε τυχαίο σημείο της ροής μπορεί να παίρνει τιμές όπως 0,5Uo, 0,1Uo, 1,5Uo, κ.τ.λ. Μπορεί ακόμη σε κάποιο σημείο να πάρει την τιμή 5Uo ή και την τιμή 10Uo ή και να μηδενιστεί. Παραδεχόμαστε γενικώς ότι : u O(u) u O(u) O( ) =, O(u ) = O(u) x O(x) x O(x) u O( ) = O(u) x O(x )
Ας κάνουμε τώρα μια ανάλυση τάξεως μεγέθους των όρων της αδιάστατης εξίσωσης du* 1 * 1 O(u*)=1, O(v*)=1, O(x*)=1, O(y*)=1 u* Ou ( * x*) Ou ( *) Ou ( *) = =1 Ox ( *) O dt* + ugradu * * = f Eu gradp* + u* Fr Re u* Ou ( x* ) ( *) = =1 Ox ( * ) με τον ίδιο τρόπο εργαζόμενοι βρίσκουμε ότι: ugradu u *gradu * O( ) O(Re) u = (1 Re) u* = Δυναμεις αδρανειας ν Δυναμεις ιξωδους = O(Re) Συνεπώς ο αρ. Reynolds μπορεί να θεωρηθεί γενικά ότι εκφράζει τον λόγο της δύναμης αδράνειας προς την δύναμη ιξώδους. Για μικρούς Reynolds η αδρανειακή δύναμη είναι πολύ μικρή μπροστά στη δύναμη ιξώδους, ενώ για μεγάλους αριθμούς Reynolds ισχύει το αντίστροφο. Το γεγονός αυτό θα χρησιμοποιηθεί στα επόμενα για να βρούμε προσεγγίσεις των εξισώσεων Navier-Stokes για τις δύο ασυμπτωτικές περιπτώσεις Re=0 (ή μικροί αριθμοί Re) και Re (ή μεγάλοι αριθμοί Re).
Προσέγγιση εξισώσεων Navier-Stokes για υψηλούς αριθμούς Reynolds. Εξισώσεις EULER ή εξισώσεις τέλειων ρευστών, (μ=0) Το κινηματικό ιξώδες του νερού είναι τόσο μικρό (περίπου ν=0.01, στους 0 C), ώστε ο αριθμός Re των περισσοτέρων προβλημάτων εύκολα παίρνει τιμές πολύ μεγαλύτερες της μονάδας, π.χ. για μια τυπική ταχύτητα U=1 cm/sec και τυπικό χαρακτηριστικό μήκος L=10 cm λαμβάνουμε Re=1000. Στις περισσότερες περιπτώσεις το γινόμενο UL παίρνει τιμές μεγαλύτερες από 10, και συνεπώς ροές με υψηλούς αριθμούς Re. Αυτή είναι η πιο συνηθισμένη ροή στην πράξη. Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή ο όρος u Re των εξισώσεων γίνεται πολύ μικρός, όσο ο Re γίνεται πολύ μεγαλύτερος, οπότε μια λογική προσέγγιση είναι να τον θεωρήσουμε αμελητέο.
Προσέγγιση εξισώσεων Navier-Stokes για υψηλούς αριθμούς Reynolds. Εξισώσεις EULER ή εξισώσεις τέλειων ρευστών, (μ=0) Αυτό βέβαια, όπως φαίνεται, ισοδυναμεί με το να υποθέσουμε μηδενικές τις δυνάμεις ιξώδους δηλαδή: 1 Re οπότε οι εξ. Ν-S u* 0 ν du* dt* παίρνουν τη μορφή du ρ = ρf dt u 0 gradp δύναμη εξωτερική δύναμη 1 * 1 + ugradu * * = f Eu gradp* + u* Fr Re Εξισώσεις Euler αδράνειας δύναμη πιέσεως (5..14)
Παρατηρούμε, ότι το ιξώδες μ δεν εισέρχεται στην εξίσωση και συνεπώς το ρευστό συμπεριφέρεται (μαθηματικά) σαν τέλειο δηλ. σαν ιδανικό ρευστό με μ=0. Αυτό βεβαίως είναι μια προσέγγιση της πραγματικότητας που ισχύει με ικανοποιητική ακρίβεια για μεγάλους αριθμούς Reynolds και οπωσδήποτε όχι κοντά σε στερεά όρια. Η εξίσωση αυτή παρουσιάσθηκε από τον Euler το 175 (γι αυτό καλείται εξίσωση Euler) και είναι παλαιότερη από τις εξισώσεις Navier-Stokes, δείχνει δε ότι προσεγγιστικά για μεγάλους αριθμούς Reynolds υπάρχει μια δυναμική ισορροπία ανάμεσα στην αδρανειακή δύναμη, τη δύναμη πιέσεως και την εξωτερική δύναμη. Είχε παρατηρηθεί κατά τον 18ο αιώνα ότι η εξίσωση Euler περιέγραφε θαυμάσια ορισμένα χαρακτηριστικά μιας ροής (π.χ. γραμμές ροής γύρω από κύλινδρο) αλλά αποτύγχανε παταγωδώς σε ορισμένα άλλα π.χ. στην δύναμη αντίστασης που ασκεί η ροή σ ένα κύλινδρο (η εξίσωση Euler δίνει μηδενική δύναμη, το περίφημο παράδοξο του D Alembert).
Προσέγγιση εξισώσεων Navier-Stokes για υψηλούς αριθμούς Reynolds. - Εξισώσεις EULER ή εξισώσεις τέλειων ρευστών (μ=0) Ροή γύρω από τον κύλινδρο για μεγάλους αριθμούς Reynolds (π.χ. Re>5000). Κατανομή ταχυτήτων για τέλειο ρευστό με διακεκομμένη γραμμή, και πλήρης λύση των εξισώσεων Navier-Stokes με συνεχή γραμμή. Οι δύο λύσεις συμπίπτουν στο μεγαλύτερο μέρος και διαφέρουν ριζικά σε μία απόσταση d κοντά στον κύλινδρο. Ηταχύτηταγια ιξώδες ρευστό (πραγματικότητα) μηδενίζεται στο στερεό όριο. Η ταχύτητα στο στερεό όριο για τέλειο ρευστό (προσεγγιστική παραδοχή) δεν μηδενίζεται.
Η βασική αιτία στην διαφοροποίηση της ορθής λύσεως από την προσεγγιστική λύση (Euler) στην περιοχή του στερεού σώματος οφείλεται στην σημασία που έχει το ιξώδες του ρευστού. Κάθε ρευστό έχει ένα ιξώδες, που όσο μικρό και αν είναι, είναι διαφορετικό του μηδενός, με αποτέλεσμα στην πραγματικότητα να ικανοποιείται για κάθε ρευστό και για κάθε αριθμό Reynolds (όσο μεγάλος και αν είναι) η συνθήκη της μη ολισθήσεως στα στερεά όρια. Όταν όμως υποθέσουμε ότι ισχύουν οι προσεγγιστικές εξισώσεις Euler όπου το ιξώδες μ δεν εμφανίζεται, τότε η συνθήκη μη ολισθήσεως δεν μπορεί να ικανοποιηθεί μαθηματικώς και το τέλειο ρευστό ολισθαίνει κατά μήκος των στερεών ορίων. Πράγματι παραλείποντας τον όρο που εκφράζει τις δυνάμεις ιξώδους, μειώνεται από μαθηματικής πλευράς η τάξη των διαφορικών εξισώσεων και έτσι οι εξισώσεις Euler είναι πρώτου βαθμούδιαφορικές εξισώσεις (ευκολότερες στη λύση τους). Οι ροές με μεγάλους Re μπορούν να περιγραφούν προσεγγιστικά από τις εξισώσεις τελείων ρευστών, αλλά η προσέγγιση αυτή παύει να ισχύει κοντά σε στερεά όρια (οριακή στοιβάδα).
Προσέγγιση εξισώσεων Navier-Stokes για μικρούς αριθμούς Reynolds (μόνιμες ροές με αμελητέες δυνάμεις αδρανείας) Υπάρχουν όμως και σημαντικά προβλήματα όπου η μηχανική της στρωτής ροής για χαμηλούς αριθμούς Reynolds αποκτά ιδιαίτερη σημασία, προβλήματα όπως της καθίζησης φερτών υλικών ή ιλύος σε εγκαταστάσεις καθαρισμού νερού, ή διάχυση ρυπαντών υπό την μορφή στερεών σωματιδίων, ροή σε πορώδη μέσα (υπόγειος ροή), συσκευή Hele-Shaw (για πειραματική μελέτη στο εργαστήριο ροής σε πορώδη μέσα) κ.λπ. Όταν το ρευστό είναι το νερό (περίπτωση που μας ενδιαφέρει και περισσότερο) οι μικροί αριθμοί Reynolds αντιστοιχούν σε μικρές τιμές του γινομένου UL, που επιτυγχάνεται για πολύ μικρές τιμές της γραμμικής διαστάσεως L (π.χ. κόκκοι τυπικής διαστάσεως 100 μικρά). Βρέθηκε προηγουμένως ότι: ugradu Δυναμη αδρανειας O(Re) Δυναμη ιξωδους ν u
Προσέγγιση εξισώσεων Navier-Stokes για μικρούς αριθμούς Reynolds (μόνιμες ροές με αμελητέες δυνάμεις αδρανείας) ugradu ν u Δυναμη Δυναμη αδρανειας O(Re) ιξωδους Συνεπώς αν Re~0.01 τότε η δύναμη αδράνειας είναι 100 φορές μικρότερη από τη δύναμη ιξώδους, οπότε σε μια πρώτη προσέγγιση μπορούμε να παραλείψουμε τον όρο αυτό από τις εξισώσεις Navier- Stokes που γίνονται για μόνιμη ροή: du* 1 * 1 + ugradu * * = f Eu gradp* + u* dt* Fr Re 0= f 1 ρ gradp+ν u Δηλαδή για Re<<1 υπάρχει μια ισορροπία ανάμεσα στις δυνάμεις ιξώδους αφ ενός και στις εξωτερικές δυνάμεις και δυνάμεις πιέσεως αφ ετέρου.
Προσέγγιση εξισώσεων Navier-Stokes για μικρούς αριθμούς Reynolds (μόνιμες ροές με αμελητέες δυνάμεις αδρανείας) Η παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι σημαντικά απλούστερη από τις εξισώσεις Navier-Stokes. Πράγματι είναι γραμμική διαφορική εξίσωση ενώ οι εξισώσεις Navier-Stokes έχουν τον μη γραμμικό αδρανειακό όρο. Όλες σχεδόν οι γνωστές αναλυτικές λύσεις αναφέρονται σε προβλήματα όπου λόγω της ιδιομορφίας της ροής (π.χ. παράλληλη σε μια διεύθυνση), μηδενίζονται οι αδρανειακοί όροι. Για την περίπτωση ασυμπίεστου ρευστού η λύση οποιουδήποτε προβλήματος που ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση οδηγεί στη λύση της εξίσωσης Laplace με τις οριακές συνθήκες του συγκεκριμένου κάθε φορά προβλήματος.
ΠΡΩΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ EULER - ΟΙ ΔΥΟ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ BERNOUILLI Για ένα τέλειο, (μ=0) ρευστό στο οποίο εφαρμόζονται δυνάμεις όγκου οφειλόμενες στην ύπαρξη ενός δυναμικού πεδίου και η ροή είναι μόνιμη ή αστρόβιλη, οι εξισώσεις της διατηρήσεως της ορμής του Euler μπορούν να ολοκληρωθούν και να δώσουν μια βαθμωτή εξίσωση η οποία καλείται εξίσωση Bernouilli. u gradp + ugradu = f t ρ Για δυνάμεις f προερχόμενες από κάποιο δυναμικό πεδίο G: f = gradg Χρησιμοποιώντας τη διανυσματική ταυτότητα οι εξισώσεις Euler γράφονται: ugradu u grad = u ω u u gradp + grad u ω= + gradg t ρ Ο όρος gradp ρ μπορεί να γραφεί ως grad( dp ) ρ
ΠΡΩΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ EULER ΟΙ ΔΥΟ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ BERNOUILLI u dp u + grad( + G) = u ω που για ασυμπίεστο ρευστό γράφεται: t ρ u p u + grad( + + gz) = u ω t ρ Η παραπάνω διανυσματική εξίσωση θα ολοκληρωθεί στις εξής δύο χαρακτηριστικές περιπτώσεις: α) Πρώτο Θεώρημα Bernouilli : για ροή μόνιμη και στροβιλώδη u p H = + + gz= σταθερή ποσότητα κατά μήκος μιας γραμμής ροής ρ Εξίσωση Bernouilli για ω 0, ρ=σταθ. (5.3.13) Δεν μπορούμε να πούμε τίποτα γενικό για τον τρόπο με που μεταβάλλεται η Η από γραμμή σε γραμμή ροής.
ΠΡΩΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ EULER ΟΙ ΔΥΟ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ BERNOUILLI α) Πρώτο Θεώρημα Bernouilli : για ροή μόνιμη και στροβιλώδη u p H = + + gz= σταθερή ποσότητα κατά μήκος μιας γραμμής ροής ρ Εξίσωση Bernouilli για ω 0, ρ=σταθ. (5.3.13) Παρά το γεγονός ότι προέρχεται από τις εξισώσεις διατηρήσεως της ορμής (Euler) δια ολοκληρώσεως κατά μήκος μιας γραμμής ροής, μπορεί να δοθεί και ενεργειακή ερμηνεία η οποία μάλιστα είναι αρκετά διαδεδομένη. Συγκεκριμένα θεωρούμε ότι η ποσότητα ρη παριστάνει την (μηχανική) ενέργεια της μονάδας μάζας ρ, που αποτελείται από την κινητική ενέργεια ρu / και την δυναμική ενέργεια (p+ρgz) η οποία οφείλεται στην ύπαρξη της πιέσεως και των εξωτερικών δυνάμεων
β) Δεύτερο θεώρημα Bernouilli: ροή αστρόβιλη Στην περίπτωση αυτή όπου η ροή είναι αστρόβιλη, οι εξισώσεις Euler ολοκληρώνονται και δίνουν μια εξίσωση που ονομάζεται και αυτή Εξίσωση Bernouilli με τη βασική διαφορά ότι η ποσότητα Η είναι η ίδια σταθερά σε όλη τη μάζα του κινούμενου ρευστού και όχι σε μια γραμμή ροής Για ρευστό ασυμπίεστο (ρ=σταθερά) και αστρόβιλο σε μόνιμη κίνηση H ( ω= 0, = 0 t ) u p = + + gz=σταθερητιμησε ολο το πεδιοροης ρ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΣ BERNOUILLI. ΕΚΡΟΗ ΥΓΡΟΥ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΟΠΗ ΔΟΧΕΙΟΥ Η εκροή του υγρού από την οπή ισορροπείται από μια αντίστοιχη αργή πτώση της ελεύθερης επιφάνειας του δοχείου. Όλες οι γραμμές ροής που περνούν βέβαια από την οπή ξεκινούν από την ελεύθερη επιφάνεια, όπου η ταχύτητα είναι πάρα πολύ μικρή και η πίεση είναι ομοιόμορφη και ίση με την ατμοσφαιρική Ρα. Υποθέτοντας ότι η στάθμη της δεξαμενής διατηρείται σταθερή, η ροή μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι αφ ενός μόνιμη, αφ ετέρου αστρόβιλη γιατί η ροή αυτή προήλθε από μια μάζα υγρού σε ηρεμία (προτού ανοιχθεί η οπή) που συνεπώς είχε μηδενική στροβιλότητα (rotu=0) και συνεχίζει να έχει μηδενική στροβιλότητα, αφού το ρευστό υποτίθεται τέλειο.
Σύμφωνα με το θεώρημα του Bernouilli το Η παίρνει την ίδια τιμή για όλες τις γραμμές ροής που εξέρχονται από την οπή (στην πραγματικότητα εξαιρούνται οι γραμμές ροής που προέρχονται από την οριακή στοιβάδα των τοιχωμάτων του δοχείου). Εφαρμόζοντας την εξίσωση Bernouilli σ ενα σημείο Α στην ελεύθερη επιφάνεια και σ ενα σημείο Β στη δέσμη pα pα U H = ( ) ( o Α = + gh) Β U ρ ρ o gh Αυτή είναι επίσης η ταχύτητα που θα αποκτούσε το ρευστό αν έπεφτε από ένα ύψος h. Ο ρόλος της υδροστατικής πιέσεως μέσα στο δοχείο είναι να κάνει το υγρό να βγει κάθετα στην επιφάνεια του δοχείου, χωρίς να αλλάζει η αρχική ταχύτητα Uo. Η τελευταία σχέση ονομάζεται θεώρημα Torricelli, και βρέθηκε από αυτόν πολύ πιο μπροστά από τις εργασίες του Bernouilli. =
Οι γραμμές ροής στο σημείο Γ συγκλίνουν και η πίεση δεν είναι γνωστή. Στο σημείο Β οι γραμμές ροής είναι παράλληλες και η πίεση είναι σε όλη τη δέσμη ίση με την ατμοσφαιρική. Η διατομή της δέσμης στο Β είναι Cd φορές μικρότερη της διατομής της οπής, όπου ο συντελεστής Cd καλείται συντελεστής συστολής και (αναλόγως της διαμορφώσεως του) παίρνει τιμές από 0 έως 1. Ο συντελεστής συστολής Cd εξαρτάται μόνο από την ακριβή διαμόρφωση του τοιχώματος του δοχείου κοντά στην οπή. Μπορεί να αποδειχθεί ότι γενικά ½<Cd<1 Υποθέτοντας τέλειο ρευστό (μ=0) και αστρόβιλη ροή (δύο προσεγγίσεις της πραγματικής ροής όπου και το μ είναι διάφορο του μηδενός και είναι στροβιλώδης) συγκρίνεται ικανοποιητικά με τα πειραματικά αποτελέσματα. Η πειραματική ταχύτητα που δίνουν τα πειραματικά αποτελέσματα είναι CυUo όπου 0.98<Cυ<1
Συνεπώς η παροχή εκροής από την οπή εμβαδού S είναι: Q=C d C υ Uo S=C d C υ S (gh) 0.5 (α) Στόμιο συγκλίνον (β) Στόμιο Borda ομαλώς Cd=1 Cd=½ (γ) Οπή σε επίπεδο τοίχο (δ) Στόμιο για το οποίο Cd~ 0.6 (πειραματικά) Cd<½ Το γινόμενο C d C υ παριστάνεται με το c και καλείται συντελεστής παροχέτευσης
ΣΩΛΗΝAΣ PITOT Ένας από τους τρόπους μετρήσεως της τοπικής ταχύτητας σε μια ροή βασίζεται στο θεώρημα του Bernoulli και σ ένα σωλήνα ειδικής κατασκευής, που ονομάζεται σωλήνας Pitot. Ο σωλήνας αυτός είναι μακρύς, λεπτός και στρογγυλός μπροστά, για να ελαχιστοποιηθεί η διατάραξη της ροής, όταν επιχειρούμε να κάνουμε μετρήσεις. Για τη μέτρηση της ταχύτητας, οσωλήναςpitot τοποθετείται μέσα στο ρευστό παράλληλα με τη διεύθυνση της ροής. Η ιδέα αυτή ανήκει στον Γάλλο μηχανικό Pitot, τo 173, ο οποίος για πρώτη φορά μέτρησε την κατανομή της ταχύτητας σε ένα ποτάμι, από τον πυθμένα μέχρι την ελεύθερη επιφάνεια. Ουσιαστικές βελτιώσεις στον σωλήνα Pitot (εισάγοντας τον δεύτερο σωλήνα με οπή παράλληλη προς την ροή για την μέτρηση της στατικής πίεσης), έκανε to 1857 ο Darcy
ΣΩΛΗΝAΣ PITOT ΟσωλήναςPitot, όπως χρησιμοποιείται μετά τον Darcy, έχει μικρές οπές, μία στο μπροστινό μέρος (σημείο 1) και μία στο πλάι (σημείο ) της κυλινδρικής επιφάνειας του σωλήνα. Κάθε μία από τις δύο οπές συγκοινωνεί μέσω ανεξάρτητων σωλήνων με τα δύο σκέλη ενός μανόμετρου. Στο σημείο 1 η ταχύτητα μηδενίζεται και η πίεση p 1 είναι η ολική πίεση ή δυναμική πίεση λόγω της στασιμότητας της ροής (stragnation pressure). Στο σημείο η πίεση και η ταχύτητα είναι προσεγγιστικά ίσες με την πίεση και την ταχύτητα στη ροή χωρίς την παρουσία του σωλήνα Pitot. Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Bernoulli στα σημεία 1 και, τα οποία προφανώς βρίσκονται πάνω στην ίδια γραμμή ροής, p 1 /ρg = U /g + p /ρg οπότε:u = (( p 1 -p ) /ρ ) 0.5 U = ( g(δh) ) 0.5
ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΟΚΟΛΛΗΣΗΣ ΟΡΙΑΚΗΣ ΣΤΟΙΒΑΔΑΣ Από την εξίσωση του Bernoulli Η =(U /g) + (p /ρg) + z συνάγεται ότι για σταθερό z η μείωση της ταχύτητας συνεπάγεται αύξηση της πίεσης. Μείωση της ταχύτητας κατά την κύρια διεύθυνση της ροής έχουμε όταν αυξάνει η διατομή της ροής, όπως στο σχήμα, οπότε η ροή είναι αποκλίνουσα. Στην περίπτωση αυτή η πίεση γενικά αυξάνει στην κατεύθυνση της κύριας ροής. Αν η αύξηση αυτή είναι σημαντική, τότε είναι δυνατόν στην περιοχή του στερεού ορίου να αντιστραφεί η διεύθυνση της ροής, δηλαδή ενώ η κύρια ροή γίνεται στην αρχική διεύθυνση, δημιουργείται και μία ροή με αντίθετη κατεύθυνση. Δηλαδή στην περιοχή του στερεού ορίου η κύρια ροή αποκολλάται από το στερεό όριο. Το φαινόμενο αυτό καλείται αποκόλληση της ροής. Όταν συμβαίνει αποκόλληση, τότε η προσέγγιση του τέλειου ρευστού δεν ισχύει και το θεώρημα του Bernoulli δεν εφαρμόζεται.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ BERNOUILLI ΣΤΗΝ MEΤΡΗΣΗ ΠΑΡΟΧΗΣ ΜΕ ΣΩΛΗΝΑ VENTURI Η μέτρηση παροχής σε σωλήνες γινόταν (και γίνεται ακόμη πολλές φορές) με τη συσκευή Venturi. H διάμετρος εισόδου και εξόδου είναι ίδια με αυτή του σωλήνα στον οποίο εισέρχεται. Ηγωνίατου συγκλίνοντος κώνου είναι συνήθως 1 o, το μήκος του στομίου είναι ίσο με τη διάμετρο του στομίου και η αποκλίνουσα γωνία του κώνου είναι 5 ο με 7 ο, για να διασφαλιστεί μια ελάχιστη απώλεια ενέργειας, αλλά όπου αυτό δεν έχει σημασία η γωνία ένωσης μπορεί να είναι μέχρι και 14 ο.
Οι μετρήσεις πίεσης παίρνονται στην είσοδο (διατομή 1) και στο στόμιο (διατομή ) είτε από απλές τρύπες είτε χρησιμοποιώντας έναν αριθμό οπών γύρω από την περίμετρο σύνδεσης με δακτυλιοειδή θάλαμο ή δακτύλιο πίεσης. Η εξίσωση συνεχείας δίνει α 1 v 1 =α v Η εξίσωση Bernouilli γιατατμήματα1 και δίνει: v p v p z + 1 + 1 = z + + 1 g ρg g ρg
v p v p z + 1 + 1 = z + + 1 g ρg g ρg Για ένα μετρητή τοποθετημένο οριζόντια έχουμε:z 1 =Z v v p p 1 = 1 g ρ g Από την διατήρηση της μάζας έχουμε α 1 v 1 = α v, Αντικαθιστώντας a p p v 1 1 g 1 = 1 a ρg a p p v g 1 = 1 ( ) ρg a a 1 a v = 1 v a 1 aa Q=a v = 1 11 1 ( ) a a ( gh) όπου Η =(p 1 -p )/ ρg = διαφορά πίεσης σε ύψος νερού και Q ηπαροχή.
aa Q=a v = 1 11 1 ( ) a a ( gh) Θέτουμε α 1 /α =m, οπότε gh Q= a 1 m 1 Η θεωρητική εκροή Q μπορεί να αναχθεί σε πραγματική εκροή πολλαπλασιαζόμενη με τον συντελεστή παροχής C d ο οποίος έχει βρεθεί πειραματικά gh Q=C p Q= Ca d d 1 m 1