Α (i) Από την έκφραση «το πολύ 85 λεπτά», δηλαδή λιγότερο από 85 λεπτά συμπεραίνουμε ότι η ζητούμενη πιθανότητα είναι η P X 85. Χ = 85 μ = 100 Επομένως από τον τύπο της κανονικής κατανομής (σχετικό βίντεο Νο 21) έχουμε X 85 100 z z z 0,5 Από τον πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής (τυπολόγιο στατιστικής σελ. 18-19) βρίσκουμε ότι η πιθανότητα που αντιστοιχεί σε z = - 0,5 είναι P X 85 0,85. Δηλαδή η πιθανότητα κάποιος να χρειαστεί το πολύ 85 λεπτά για τη συμπλήρωση του Ε9 είναι,85%.

(II) Από την έκφραση «τουλάχιστον 70 λεπτά και το πολύ 1 λεπτά», δηλαδή μεταξύ 70 και 1 λεπτών» συμπεραίνουμε ότι η ζητούμενη πιθανότητα είναι η P 70 X 1. Χ 1 = 70 μ = 100 Χ 2 = 1 Επομένως X1 70 100 z1 z1 z1 1 και X 2 1 100 z2 z2 z2 1 Η πιθανότητα που αντιστοιχεί σε z 1 = -1 είναι P X 70 0,1587 και η πιθανότητα που αντιστοιχεί σε z 1 = 1 είναι P X 1 0,8413 Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η διαφορά των δύο πιθανοτήτων.δηλαδή P 70 X 1 0,8413 0,1587 0, 6826 Δηλαδή η πιθανότητα κάποιος να χρειαστεί από 70 έως 1 λεπτά για να συμπληρώσει το Ε9 είναι 68,26%.

(iii) Από τη στιγμή που το δείγμα είναι περιορισμένο (τέσσερις φορολογούμενοι ) θα χρησιμοποιήσουμε τη διωνυμική κατανομή (σχετικό βίντεο Νο 22) Έχουμε P() x n! x!()! n x x p q nx n = 4 (τέσσερις φορολογούμενοι) p = ποσοστό επιτυχίας η το σχετιζόμενο με το x ποσοστό (ένας φορολογούμενος να χρειαστεί τουλάχιστον μία ώρα για να συμπληρώσει το Ε9) q = ποσοστό αποτυχίας (συμπληρωματική πιθανότητα του p, δηλαδή q = 1 p) x = 2 (ακριβώς δύο φορολογούμενοι) Το να χρειαστεί ένας φορολογούμενος τουλάχιστον μία ώρα για να συμπληρώσει το έντυπο Ε9 σημαίνει το λιγότερο μία ώρα. Αυτό απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα ως εξής Χ = 60 μ = 100 X 60 100 Από τον τύπο της κανονικής κατανομής z έχουμε ότι η z 1,33 και η αντίστοιχη πιθανότητα είναι P(x) = 0,0918. Όπως η πιθανότητα αυτή είναι η συμπληρωματική της πιθανότητας που ζητάμε. Συνεπώς η πιθανότητα ένας φορολογούμενος να χρειαστεί τουλάχιστον μία ώρα για το Ε9 του είναι x 1 p x 1 0,0918 x 0,9082 ή 90,82%. Άρα p=0,9082 και q=0,0918 Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο της διωνυμικής κατανομής (τυπολόγιο στατιστικής σελ.9) n! x nx 4! 2 42 P()() x p0,9082 q * P0,0918 x * x!()! n x 2!(4 2)! 24 P() x * 0,8248 * 0, 0084() 0, P0417 x 4

(iv) Ο χρόνος (x) που θα χρειαστεί μόνο το 5% των φορολογούμενων απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα μ = 100 Χ Από τον πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής (τυπολόγιο στατιστικής σελ. 18-19) θα βρούμε το z που αντιστοιχεί στην πλησιέστερη πιθανότητα P() x 1 0, 05 0,9500, η οποία είναι P() x 0,9495 η οποία αντιστοιχεί σε z = 1,64 ή P() x 9505 η οποία αντιστοιχεί σε z = 1,65. Ό,τι και να επιλέξετε είναι σωστό. Για z = 1,64 έχουμε X X 100 z 1, 64 X 100 49, 20 X 149, 20 Δηλαδή το 5% των φορολογούμενων θα χρειαστεί πάνω από 149,20 λεπτά για να συμπληρώσει το έντυπο Ε9.

(v) Ο ελάχιστος χρόνος είναι αυτός που ορίστηκε στο προηγούμενο υποερώτημα (iv), δηλαδή τα 149,20 λεπτά τον οποίο και ξεπερνά μόνο το 5% των φορολογουμένων. Επομένως πρέπει να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή E(X) και την τυπική απόκλιση που είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης σ(χ)= V(X). Ε(Χ) = n*p (τυπολόγιο σελ. 9) = 100*0,05=5. Αναμένουμε λοιπόν 5 άτομα να ξεπεράσουν τον ελάχιστο χρόνο. V(X)=n*p*q=100*0,05*0,95=4,75 => σ(χ)= V(X) 4, 75 2,18. Η τυπική απόκλιση που σχετίζεται με τα 5 αυτά άτομα είναι 2,18 άτομα. Ενδέχεται σε ένα δείγμα 100 ατόμων να έχουμε από 5-2,18=2,82 άτομα έως 5+2,18=7,18 άτομα να χρειαστούν χρόνο μεγαλύτερο από 149,20 λεπτά για να συμπληρώσουν το Ε9 τους. Β Η φράση «μέσος αριθμός αναζητήσεων» παραπέμπει στο ότι η κατάλληλη κατανομή είναι η κατανομή Poisson (σχετικό βίντεο Νο). (i) Ο μέσος όρος (λ) των αναζητήσεων σε ένα λεπτό υπολογίζεται με τη μέθοδο των τριών. Δηλαδή Σε 60 λεπτά γίνονται 120 αναζητήσεις στο Google Σε 1 λεπτό γίνονται λ αναζητήσεις στο Google 120 *1 Επομένως 2 και x = 1 60 Σημείωση : Υπενθυμίζουμε ότι τη μονάδα χρόνου την καθορίζει η μεταβλητή x. e Συνεπώς από τον τύπο P() x 2 1 x x! (τυπολόγιο στατιστικής σελ.9) έχουμε ότι e 2 P( x 1)( 1) 0, 2707 P x. Δηλαδή η πιθανότητα σε ένα λεπτό να γίνει μία 1! αναζήτηση στο Google με τη φράση «Ελληνικό Ανοιχτό Πανεπιστήμιο» είναι 27,07%.

(ii) Από τη στιγμή που τα δεδομένα μεταβλήθηκαν πρέπει να υπολογίσουμε εκ νέου τη μεταβλητή λ, για το διάστημα των 5 λεπτών. Συνεπώς Σε 60 λεπτά γίνονται 120 αναζητήσεις στο Google Σε 5 λεπτά γίνονται λ αναζητήσεις στο Google 120 * 5 Επομένως 10 Από τη φράση «τουλάχιστον δύο αναζητήσεων» 60 συμπεραίνουμε ότι η μεταβλητή x παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 2, χωρίς να υπάρχει περιορισμός. Γι αυτό και θα υπολογίσουμε τις πιθανότητες για x = 0 και x = 1 το άθροισμα των οποίων θα αφαιρέσουμε από το 100%. Έτσι για x = 0, δηλαδή η πιθανότητα να μη γίνει καμία αναζήτηση είναι 10 0 e 10 P( x 0)( 0) 0, 000045 P x ή 0,0045% 0! Και για x = 1, δηλαδή η πιθανότητα να γίνει μία αναζήτηση είναι 10 1 e 10 P( x 1)( 1) 0, 00045 P x ή 0,045% 1! Η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι 0,0045% 0,045% 0,05% P x 2 100% P x 0 P x 1 P x 2 100% P x 2 99,95% Δηλαδή η πιθανότητα σε πέντε λεπτά να γίνουν τουλάχιστον δύο αναζητήσεις στο Google με τη φράση «Ελληνικό Ανοιχτό Πανεπιστήμιο» είναι 99,95%. E-mail: info@onlineclassroom.gr