E [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]
|
|
|
- Έρις Ζωγράφου
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (6η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30
2 Περιεχόμενα 6ης Διάλεξης 1 Ροπές 2 Γεννήτριες συναρτήσεις 3 Πιθανογεννήτριες 4 Γεννήτριες Αθροισμάτων 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 2 / 30
3 1 Ροπές 2 Γεννήτριες συναρτήσεις 3 Πιθανογεννήτριες 4 Γεννήτριες Αθροισμάτων 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 3 / 30
4 1. Ροπές Moments - Διάφορα είδη ν-οστή ροπή περί την τιμή α: α ν = E [(X α) ν ] ν-οστή ροπή περί την αρχή: µ ν = E [X ν ] ν-οστή ροπή περί τη μέση τιμή: µ ν = E [(X µ) ν ] ν-οστή παραγοντική ροπή: E [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)] οπότε μέση τιμή: 1η ροπή περί την αρχή διασπορά: 2η ροπή περί τη μέση τιμή Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 4 / 30
5 1. Ροπές Moments Συντελεστής λοξότητας: [ (X λ = µ ) ] 3 µ 3 σ 3 = E σ Συντελεστής κύρτωσης: [ (X K = µ ) ] 4 µ 4 σ 4 3 = E 3 σ Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 5 / 30
6 1. Ροπές Moments Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 30
7 1. Ροπές Moments Η κυρτότητα της τυπικής κανονικής κατανομής ειναι 0. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 7 / 30
8 1 Ροπές 2 Γεννήτριες συναρτήσεις 3 Πιθανογεννήτριες 4 Γεννήτριες Αθροισμάτων 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 8 / 30
9 2. Γενικά για γεννήτριες συναρτήσεις Ορισμός < g n >= g 0, g 1, g n, G(z) = g 0 + g 1 z + g 2 z 2 + = π.χ. < g n >= 1 G(z) = n g n z n n=0 z n = 1 + z + z 2 + = 1 1 z Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 30
10 2. Γενικά για γεννήτριες συναρτήσεις Σημασία: Μια πυκνή αναραπαράσταση της ακολουθίας που την καθορίζει μονοσήμαντα Δηλαδή F (z) = G(z) f n = g n, n Αν ξέρουμε την γεννήτρια, μπορούμε να βρούμε την ακολουθία αφού g n είναι ο συντελεστής του z n στο ανάπτυγμα της γεννήτριας σε σειρά Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 10 / 30
11 2. Μερικές Ιδιότητες f n + g n F (z) + G (z) c n g n G (c z) convolution (συνέλιξη): f 0 f 1 f 2 g 0 g 1 g 2 h n = (c = 1 εναλλασσόμενα πρόσημα) n f k g n k F (z) G (z) k=0 άθροισμα πρώτων όρων ακολουθίας (συνέλιξη με 1): n 1 f k F (z) 1 z k=0 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 11 / 30
12 2. Ενα παράδειγμα Να βρεθεί η ακολουθία που έχει ως γεννήτριά της την 1 G(z) = (1 z) 2. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 12 / 30
13 2. Ενα παράδειγμα Να βρεθεί η ακολουθία που έχει ως γεννήτριά της την 1 G(z) = (1 z) 2. Λύση (α τρόπος): G(z) = ( z + 1) 2 = n=0 ( ) 2 ( 1) n z n n ( 2 n=0 ( ) 2 ( z) n 1 2 n = n ) Άρα g n = ( 1) n ( 2)( 3)... ( 2 n + 1) = ( 1) n = n n! ( 2)( 3)... ( n 1) = ( 1) n = n! 2 3 n (n + 1) = = n + 1 n! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 12 / 30
14 2. Ενα παράδειγμα - Συνέχεια Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 13 / 30
15 2. Ενα παράδειγμα - Συνέχεια β τρόπος: G(z) = 1 1 z 1 άρα είναι η συνέλιξη της 1 z f n =< 1, 1, > με την f n =< 1, 1, >. Άρα n n g n = f k f n k = 1 1 = n + 1 k=0 k=0 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 13 / 30
16 2. Ενα παράδειγμα - Συνέχεια β τρόπος: G(z) = 1 1 z 1 άρα είναι η συνέλιξη της 1 z f n =< 1, 1, > με την f n =< 1, 1, >. Άρα n n g n = f k f n k = 1 1 = n + 1 k=0 k=0 Επαλήθευση: g n = n + 1 =< 1, 2, 3, > G(z) = 1 + 2z + 3z Αλλά 1 + z + z 2 + z 3 + = 1 1 z Παραγωγίζοντας: 1 + 2z + 3z = (1 z) 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 13 / 30
17 2. Άλλο ένα παράδειγμα Να βρεθεί η γεννήτρια της g n = 2 n =< 1, 2, 4, 8, > Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 30
18 2. Άλλο ένα παράδειγμα Να βρεθεί η γεννήτρια της g n = 2 n =< 1, 2, 4, 8, > Λύση: G(z) = 2 n z n = n=0 n=0 (2z) n = 1 1 2z Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 30
19 2. Άλλο ένα παράδειγμα Να βρεθεί η γεννήτρια της g n = 2 n =< 1, 2, 4, 8, > Λύση: G(z) = άλλος τρόπος: 2 n z n = n=0 Απευθείας από την ιδιότητα (2z) n = 1 1 2z n=0 c n g n G(cz) για c = 2 και g n = 1 G(2z) = 1 1 2z Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 30
20 1 Ροπές 2 Γεννήτριες συναρτήσεις 3 Πιθανογεννήτριες 4 Γεννήτριες Αθροισμάτων 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 15 / 30
21 3. Πιθανογεννήτριες Ορισμός Π (z) = E [ z X] = x z x P r {X = x} Χρήσιμες Ιδιότητες Π (z) = x x z x 1 P r {X = x} Π (1) = x x P r {X = x} δηλαδή Π (1) = E(X) σ 2 = Π (1) + Π (1) ( Π (1) ) 2 Δηλαδή η πιθανογεννήτρια γεννά τις πιθανότητες των τιμών x της μεταβλητής, οι οποίες ειναι οι συντελεστές των z x στο ανάπτυγμα της πιθανογεννήτριας σε δυναμοσειρά. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 16 / 30
22 3. Πιθανογεννήτριες Διωνυμική P r{x = x} = Π(z) = ( ) n p x (1 p) n x, x = 0, 1,, n x n z x ( ) n p x q n x = x x=0 n x=0 ( ) n (pz) x q n x = (p z + q) n x Π (1) = n (p z + q) n 1 p z=1 = n (p 1 + q) n 1 p = n p Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 17 / 30
23 3. Πιθανογεννήτριες Poisson f(x) = e λ λx, x = 0, 1, 2, x! Π(z) = z x e λ λx x! = (λ z) x e λ x! x=0 x=0 Π (1) = λ e λ (z 1) z=1 Π (1) = µ = λ = e λ e λ z = e λ (z 1) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 18 / 30
24 3. Πιθανογεννήτριες Σύγκλιση Διωνυμικής Poisson λ = np Π 1 (z) = (p z + 1 p) n = (1 + p (z 1)) n = [ 1 + ] n λ (z 1) 1 1 n λ (z 1) λ (z 1) [ 1 + e λ (z 1) = Π 2 (z) ] λ (z 1) n n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 30
25 3. Ροπογεννήτριες Ορισμός M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} Στη συνεχή περίπτωση: M(t) = E [ e tx] = e tx f(x) dx Παρατήρηση: πρόκειται όχι για αριθμό αλλά για συνάρτηση μιας παραμέτρου t. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30
26 3. Ροπογεννήτριες - Εξήγηση ονομασίας Είναι: M(t) = E [ e tx] = x e tx f(x) Παραγωγίζοντας: [ ] M (t) = d e tx f(x) = dt x x M (t) = x e tx f(x) x d [ e tx f(x) ] dt M (0) = x x f(x) = E(X) Δηλαδή, η τιμή της πρώτης παραγώγου της ροπογεννήτριας στο 0 είναι η μέση τιμή (δηλαδή η ροπογεννήτρια γεννά την πρώτη ροπή). Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 21 / 30
27 3. Ροπογεννήτριες - Εξήγηση ονομασίας (2) Ομοίως: M (t) = x x 2 e tx f(x) M (0) = E(X 2 ) και γενικά η n οστή παράγωγος γεννά την n οστή ροπή περί την αρχή. Παρατήρηση: Αντίστοιχα αποτελέσματα ισχύουν στη συνεχή περίπτωση. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 30
28 1 Ροπές 2 Γεννήτριες συναρτήσεις 3 Πιθανογεννήτριες 4 Γεννήτριες Αθροισμάτων 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 30
29 4. Γεννήτριες Αθροισμάτων X, Y ανεξάρτητες X Π 1 (z), M 1 (t) Y Π 2 (z), M 2 (t) X + Y Π 1(z)Π 2 (z) και M 1 (t)m 2 (t) Απόδειξη (για ροπογεννήτριες): M X+Y (t) = E[e t(x+y ) ] = E[e tx e ty ] Λόγω της ανεξαρτησίας είναι: M X+Y (t) = E[e tx ] E[e ty ] = M X (t) M Y (t) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 30
30 1 Ροπές 2 Γεννήτριες συναρτήσεις 3 Πιθανογεννήτριες 4 Γεννήτριες Αθροισμάτων 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 30
31 5. Παράδειγμα 1 X : P oisson(λ 1 ) Y : P oisson(λ 2 ) X, Y ανεξάρτητες X + Y : P oisson (λ 1 + λ 2 ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30
32 5. Παράδειγμα 1 Απάντηση: X : P oisson(λ 1 ) Y : P oisson(λ 2 ) X, Y ανεξάρτητες X + Y : P oisson (λ 1 + λ 2 ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30
33 5. Παράδειγμα 1 X : P oisson(λ 1 ) Y : P oisson(λ 2 ) X, Y ανεξάρτητες X + Y : P oisson (λ 1 + λ 2 ) Απάντηση: X Π 1 (z) = e λ 1 (z 1) Y Π 2 (z) = e λ 2 (z 1) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30
34 5. Παράδειγμα 1 X : P oisson(λ 1 ) Y : P oisson(λ 2 ) X, Y ανεξάρτητες X + Y : P oisson (λ 1 + λ 2 ) Απάντηση: X Π 1 (z) = e λ 1 (z 1) Y Π 2 (z) = e λ 2 (z 1) οπότε X + Y Π(z) = Π 1 (z) Π 2 (z) = e (λ 1+λ 2 ) (z 1) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30
35 5. Παράδειγμα 1 X : P oisson(λ 1 ) Y : P oisson(λ 2 ) X, Y ανεξάρτητες X + Y : P oisson (λ 1 + λ 2 ) Απάντηση: X Π 1 (z) = e λ 1 (z 1) Y Π 2 (z) = e λ 2 (z 1) οπότε X + Y Π(z) = Π 1 (z) Π 2 (z) = e (λ 1+λ 2 ) (z 1) άρα X + Y P oisson (λ 1 + λ 2 ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30
36 5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
37 5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
38 5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
39 5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = 1 6 z z z z z z6 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
40 5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = 1 6 z z z z z z6 Για το άθροισμα των 4 ζαριών είναι: Π(z) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
41 5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = 1 6 z z z z z z6 Για το άθροισμα των 4 ζαριών είναι: Π(z) = (Π 1 (z)) 4 = [ 1 6 (z + z z 6) ] 4 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
42 5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = 1 6 z z z z z z6 Για το άθροισμα των 4 ζαριών είναι: Π(z) = (Π 1 (z)) 4 = Άρα Ρ = [ 1 6 (z + z z 6) ] 4 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
43 5. Παράδειγμα 2 Ρίψη 4 ζαριών : Ρ(άθροισμα 17) =? Απάντηση: Για κάθε ζάρι i = 1,, 4 είναι: Π i (z) = 1 6 z z z z z z6 Για το άθροισμα των 4 ζαριών είναι: Π(z) = (Π 1 (z)) 4 = [ 1 6 (z + z z 6) ] 4 Άρα Ρ = ο συντελεστής του z 17 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
44 Υπολογισμός συντελεστή του z 17 Π(z) = z4 (1 + z + + z 5 ) 4 = 1 ( 1 z z4 1 z Αλλά A = (1 z 6 ) 4 = 1 4z 6 + 6z 12 4z 18 + z 24 και B = (1 z) 4 = ) n=0 ( z)n 1 4 n = ( 4 n = ( 4)( 5)...( 4 n+1) n=0 n! ( 1) n z n = = n=0 (n + 1)(n + 2)(n + 3)zn Στο γινόμενο A B ο συντελεστής του z 13 είναι: = 104 Τελικά, ο συντελεστής του z 17 είναι ) 4 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 28 / 30
45 5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30
46 5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30
47 5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30
48 5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} = = 1 2 e2t e3t e5t Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30
49 5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} = = 1 2 e2t e3t e5t Καταρχήν, η μέση τιμή είναι E(X) = = 19 6 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30
50 5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} = = 1 2 e2t e3t e5t Καταρχήν, η μέση τιμή είναι E(X) = = 19 6 Μέσω της ροπογεννήτριας: M (t) = e 2t e3t e5t Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30
51 5. Παράδειγμα 3 Εστω μεταβλητή Χ που παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5 με αντίστοιχες πιθανότητες 1 2, 1 6 και 1. Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση 3 τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = x e tx P r{x = x} = = 1 2 e2t e3t e5t Καταρχήν, η μέση τιμή είναι E(X) = = 19 6 Μέσω της ροπογεννήτριας: M (t) = e 2t e3t e5t E(X) = M (0) = = 19 6 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30
52 5. Παράδειγμα 4 (Ροπογεννήτρια της Poisson) Εστω τ.μ. Χ με κατανομή πιθανότητας {e λ λx f(x) = x!, x = 0, 1, 2,... 0, διαφορετικά Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση τιμή. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
53 5. Παράδειγμα 4 (Ροπογεννήτρια της Poisson) Εστω τ.μ. Χ με κατανομή πιθανότητας {e λ λx f(x) = x!, x = 0, 1, 2,... 0, διαφορετικά Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = e tx λ λx e x! = x=0 = e λ (λe t ) x = e λ e λet = e λ(et 1) x! x=0 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
54 5. Παράδειγμα 4 (Ροπογεννήτρια της Poisson) Εστω τ.μ. Χ με κατανομή πιθανότητας {e λ λx f(x) = x!, x = 0, 1, 2,... 0, διαφορετικά Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = e tx λ λx e x! = x=0 = e λ (λe t ) x = e λ e λet = e λ(et 1) x! x=0 M (t) = λe t e λ(et 1) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
55 5. Παράδειγμα 4 (Ροπογεννήτρια της Poisson) Εστω τ.μ. Χ με κατανομή πιθανότητας {e λ λx f(x) = x!, x = 0, 1, 2,... 0, διαφορετικά Να βρεθεί η ροπογεννήτρια και η μέση τιμή. Λύση: M(t) = E [ e tx] = e tx λ λx e x! = x=0 = e λ (λe t ) x = e λ e λet = e λ(et 1) x! x=0 M (t) = λe t e λ(et 1) E(X) = M (0) = λ Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
pdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
![pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q](/thumbs/99/140112502.jpg "pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q")
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
![pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q](/thumbs/62/47321496.jpg "pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q")
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5
5ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5ο Μάθημα Πιθανότητες
X = = 81 9 = 9
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις
Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA
Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες
Μέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες.
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή
3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim
Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα
X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας
Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής
Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές Η Χρήση των Θεωρητικών
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 6 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
P (M = 9) = e 9! =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 5ο Φροντιστήριο Ασκηση 1. ύο ποµποί ο Α και ο Β στέλνουν ανεξάρτητα
Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή
Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 2 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
P(200 X 232) = =
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη
n sin 1 n. 2 n n+1 6 n. = 1. = 1 2, = 13 4.
ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου. Άσκηση : Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τη σειρά si. Λύση: Παρατηρούμε ότι si 0 άρα η σειρά δεν συγκλίνει. Συγκεκριμένα
ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Π Δ Μ τμ. Μηχανικών Πληροφορικής & τμ. Μηχανολόγων Μηχανικών Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση I Μαθηματικά Ι ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Να δειχτεί ότι οι σειρές α) 4 + 6 + 3 8 + 4 0 +..., β) + 3 4 +
ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...
ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία:17/07/2017 Πρωί: Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Αρχές Αναλογιστικής Προτυποποίησης, Κατασκευή και Αξιολόγηση Αναλογιστικών Προτύπων Ερώτημα 1 Ο συνολικός αριθμός των ζημιών N σε
AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA
AkoloujÐec sunrt sewn A. N. Ginnkìpouloc, Tm m Sttistik c OPA Eisgwg Στη διάλεξη αυτή θα μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης ακολουθίων συναρτήσεων και συγκεκριμένα την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης.
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ
ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
= 14 = 34 = Συνδυαστική Ανάλυση
1. Συνδυαστική Ανάλυση 1.1 Ένα κουτί περιέχει 8 κόκκινες, 3 άσπρες και 9 μπλε σφαίρες. Εάν βγάλουμε 3 σφαίρες στην τύχη χωρίς επανατοποθέτηση, ποια είναι η πιθανότητα (α) να είναι και οι 3 κόκκινες, (β)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Γεννήτριες Συναρτήσεις
Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:
Στην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν.
ΚΥΡΙΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΜΙΑΣ Τ.Μ. Μπορούμε να διευρύνουμε την ερμηνεία των κατανομών με τη βοήθεια της έννοιας της μάζας. Έτσι οι τιμές που παίρνει μια Τ.Μ. περιγράφουν τη μάζα πιθανότητας στο συγκεκριμένο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 017-018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 71035468 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη
Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 9--3 Μ. Παπαδημητράκης. Εκτός από το κριτήριο του Cauchy, όλα τα άλλα κριτήρια σύγκλισης μιας σειράς που είδαμε μέχρι τώρα (απόλυτης σύγκλισης, σύγκρισης δυο σειρών, λόγου,
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας
cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
![cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]](/thumbs/52/30692583.jpg "cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]")
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) Θέμα ο (Παρ..3.4, Παρ..4.3, Παρ..4.8.) Εάν = ( ) τυχαίο δείγμα από την ομοιόμορφη ( 0, ) X X,, X. Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X = το δειγματικό
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει
Α (i) Από την έκφραση «το πολύ 85 λεπτά», δηλαδή λιγότερο από 85 λεπτά συμπεραίνουμε ότι η ζητούμενη πιθανότητα είναι η P X 85. Χ = 85 μ = 100 Επομένως από τον τύπο της κανονικής κατανομής (σχετικό βίντεο
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
5. Δεικτες Παραμετροι
Θεωρια Πιθανοτητων Ι ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (3 ο ) Τμημα Μαθηματικων Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Probability Theory Ι WINTER SEMESTER (3 st ) School of Mathematics Aristotle University of Thessaloniki
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)
07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 2010
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 1 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Θέμα 1 Θέμα Θέμα 3 Θέμα 4 Θέμα 5 Θέμα 5* Βαθμός ΝΠΣ ΠΠΣ / / / / / /1 / / / / / / /1 ΘΕΜΑ 1: Στο ράφι
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις, σημειακή εκτίμηση παραμέτρων και γραμμική παλινδρόμηση Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (10η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 48 Σημερινό
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Φράγματα τύπου Chernoff και Εφαρμογές
Φράγματα τύπου Chernoff και Εφαρμογές ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Δημήτριος Ν. Σαββάτης Επιβλέπουσα: Βιολέττα Πιπερίγκου Επίκουρος Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Δεκέμβριος 2015 ii Φράγματα
Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Βιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Μαρτίου 8 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: Μαϊου 8 Πριν από την
Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ
10ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 5 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Τυχαίες μεταβλητές και μέση τιμή
Κεφάλαιο 12 Τυχαίες μεταβλητές και μέση τιμή Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Ross 1976, Grinstead and Snell 2012 και Hoel, Port, and Stone 1971. 12.1 Τυχαίες μεταβλητές και
Γεννήτριες Συναρτήσεις
Ακολουθίες Γεννήτριες Συναρτήσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακολουθία: αριθμητική
Γεννήτριες Συναρτήσεις
Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι
Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)
2 (3x2 1) 5x 1 ) 5x 3 4x 3 )= 1 2 (5x3 3x) 7x 1 2 (5x3 3x) 3 ) + 48x ) 16x 3 )= 1 8 (63x5 70x 3 +15x)
1 Prìblhma 4 Η αναδρομική σχέση γράφεται στη μορφή Για n =1 P n+1 = 1 n +1 [2n +1)xP n np n 1 ] P 2 = 1 2 3xP 1 P )= 1 2 3x2 1) Για n =2 P 3 = 1 3 5xP 2 2P 1 )= 1 3 = 1 2 5x3x2 3 5x 1 ) 2 3x2 1) 2x 5x
c(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τελικής Εξέτασης - 9 Ιανουαρίου 05 Θέµα. α Η γραφική παράσταση της σ.π.π. f X x ϕαίνεται στο σχήµα :
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3
P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!
Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός
1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 14/11/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/11/01
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 Διδάσκουσα: Β. Πιπερίγκου Σε μια ενδονοσοκομειακή έρευνα, καταγράφηκε ο χρόνος ύπνου, μετά τη χορήγηση ενός συγκεκριμένου αναισθητικού, σε 33 ασθενείς και πήραμε
α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην
ΠΡΟΣΟΧΗ : Νέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 1ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι -ΜΗΧΑΝΙΚΗ
στην Φυσική Ι ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι -ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. Κινηματική (ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση) 2. Σχετική κίνηση-μετασχηματισμοί Lorentz 3. Δυναμική ενός σωματιδίου (Νόμοι της δυναμικής-ορμή-στροφορμήσυστήματα
Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών να αντιληφθούν τη σημασία της εν λόγω κατανομής
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα