. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ µε διάνυσµα α 0 λέγεται νέο διάνυσµα λα, που έχει µέτρο λα = λ α και είναι οµόρροπο του α όταν λ > 0 αντίρροπο του α όταν λ < 0 0 όταν λ = 0 Τέλος, ορίζουµε λ 0 = 0. Ιδιότητες λ(α + β ) = λα + λβ επιµεριστική κοινός παράγοντας ο αριθµός λ (λ + µ) α = λα + µα επιµεριστική κοινός παράγοντας το διάνυσµα α λ(µα ) = (λµ)α προσεταιριστική λα = 0 λ = 0 ή α = 0 ( λα ) = λ( α ) = (λα ), λ(α β ) = λα λβ (λ µ) α = λα µα το ( ) περπατάει Αν λα = λβ και λ 0, τότε α = β Αν λα = µα και α 0 τότε λ = µ. Γραµµικός συνδυασµός Γραµµικός συνδυασµός διανυσµάτων α, β λέγεται κάθε διάνυσµα της µορφής κα + λβ, όπου κ, λ R. 4. Συνθήκη παραλληλίας α β α = λβ όπου λ R (Περιορισµός : β 0 )
5. ιανυσµατική ακτίνα µέσου Μ τµήµατος ΑΒ OM = ( OA + OB ) ΣΧΟΛΙΑ - ΜΕΘΟ ΟΙ. Τα συνευθειακά σηµεία Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί ότι ΑΒ = λαγ (Α το σηµείο αναφοράς). Συνθήκη µέσου Μ τµήµατος ΑΒ Μ µέσο του ΑΒ OM = ( OA + OB ) (Ο το σηµείο αναφοράς) Το ευθύ της συνθήκης αναφέρθηκε στη θεωρία. Ας αποδείξουµε το αντίστροφο, δηλαδή αν OM = ( OA + OB ) () τότε το Μ είναι µέσο του ΑΒ Απόδειξη Έστω Μ το µέσο του ΑΒ. Από το ευθύ, θα είναι OM = ( OA + OB ) () Από τις (), () OM = OM Μ συµπίπτει Μ.. Από σχέση µέτρων σε σχέση διανυσµάτων Προσοχή, µόνο όταν τα διανύσµατα είναι συγγραµµικά. Όταν α, β οµόρροπα και α = λ β τότε α = λβ Όταν α, β αντίρροπα και α = λ β τότε α = λβ
4. Μια άσκηση σα θεώρηµα Αν α, β µη συγγραµµικά και κα + λβ = 0, τότε κ = λ = 0 Απόδειξη Έστω ότι ένα τουλάχιστον από τα κ, λ είναι 0. Ας είναι κ 0 Από την υπόθεση κα + λβ = 0 θα έχουµε κα = λβ α = λ κ β α,β συγγραµµικά που είναι άτοπο. 5. Προσοχή : λα = λβ α = β είναι λάθος. (είναι σωστό όταν λ 0) Το σωστό είναι : λα = λβ λα λβ = 0 λ(α β ) = 0 λ = 0 ή α β = 0 λ = 0 ή α = β 6. Προσοχή : λα = µα λ = µ είναι λάθος. (είναι σωστό όταν α 0 ) Το σωστό είναι : λα = µα λα µα = 0 (λ µ)α = 0 λ µ = 0 ή α = 0 λ = µ ή α = 0
4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνεται ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και σηµείο του Μ, ώστε τη σχέση των διανυσµάτων i) Α M, MΒ ii) Α M, ΑΒ iii) ΑΒ, ΒΜ i) ΜΒ = ΑM = MB και επειδή τα ii) ΜΒ = θα είναι ΜΒ+ = + ΑΒ = AM = AB ΑM, MΒ είναι οµόρροπα, ΑM = MΒ Α ΜΒ =. Να βρείτε Μ Β Σχόλιο iii) ΜΒ = και επειδή τα +ΜΒ = + ΜΒ ΑΒ ΒΜ = AB = BM και επειδή τα ΑΒ, ΒΜ ΑM, ΑΒ είναι οµόρροπα, θα είναι ΑM = ΑΒ είναι αντίρροπα, θα είναι ΑΒ = ΒΜ
5. ίνεται ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και στην προέκτασή του προς το Α, σηµείο Μ, ώστε ΜΒ =. Να βρείτε τη σχέση των διανυσµάτων i) Α M, MΒ ii) ΑM, ΑΒ Σχόλιο A i) ΜΒ = ii) ΜΒ =. ΑM = MB και επειδή τα ΜΒ = ΑΒ = AM = AB και επειδή τα M ΑM, MΒ είναι αντίρροπα, θα είναι ΑM = MΒ ΑM, ΑΒ είναι αντίρροπα, θα είναι Β β Α ΑM = ΑΒ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = β και ΑΓ = γ. Σηµείο Μ χωρίζει την πλευρά ΒΓ σε λόγο, δηλαδή είναι ΒΜ =. Να υπολογίσετε το διάνυσµα ΜΓ Α M ως συνάρτηση των β, γ. Καταρχήν είναι ΒΓ = ΑΓ ΑΒ = γ β ΒΜ ΜΓ = ΒΜ ΒΜ +ΜΓ = ΒΜ ΒΓ = + ΒΜ = ΒΓ ΒΜ = ΒΓ και επειδή Β M, ΒΓ οµόρροπα, θα είναι Αλλά ΑM = ΑΒ + ΒM = β + (γ β ) = β+ γ β β+ γ = Μ ΒM = ΒΓ = (γ β ) γ Β Γ
6 4. ίνεται παρ/µµο ΑΒΓ µε ΑB =β, Α =δ. και ΑΒ < Α. Στην πλευρά Α θεωρούµε σηµείο Ε ώστε Ε = Γ. Να εκφράσετε το διάνυσµα ΓΕ σα γραµµικό συνδυασµό των β, δ. Θεωρούµε σηµείο αναφοράς το Α. ΓΕ = ΑΕ ΑΓ = ΑΕ (β+δ ) () ΑΕ = Α Ε = δ Γ = δ β Και επειδή τα διανύσµατα ΑΕ, δ είναι οµόρροπα, θα είναι ΑΕ = ( δ β )δ () ΓΕ = ( δ β )δ β δ = δ δ β δ β δ = ( ) β + ( δ β ) δ Β β Α Ε δ Γ
7 5. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία Κ, Λ, Μ τέτοια ώστε BK = KΓ, ΓΛ = ΛA, ΑΜ = ΜΒ. Να αποδείξτε ότι ΑΚ + ΒΛ + ΓΜ = 0. Θεωρούµε σηµείο αναφοράς το Α. BK = KΓ ΑΚ ΑΒ = (ΑΓ ΑΚ ) ΑΚ ΑΒ = ΑΓ ΑΚ ΑΚ = ΑΓ + ΑΒ ΑΚ = (ΑΓ + ΑΒ ) () ΓΛ = ΛA ΑΛ ΑΓ = ΑΛ ΑΛ = ΑΓ ΑΛ = ΑΓ () ΑΜ = ΜΒ ΑΜ = (ΑΒ ΑΜ ) ΑΜ = ΑΒ ΑΜ ΑΜ = ΑΒ ΑΜ = ΑΒ () Θα έχουµε ΑΚ + ΒΛ + ΓΜ = ΑΚ + ΑΛ ΑΒ + ΑΜ ΑΓ = (ΑΓ + ΑΒ ) + ΑΓ ΑΒ + ΑΒ ΑΓ = (ΑΓ + ΑΒ + ΑΓ ΑΒ + ΑΒ ΑΓ ) = 0 = 0
8 6. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και τα σηµεία Ε, Ζ τέτοια, ώστε ΑE = ZΓ = ΑΓ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΒΖ είναι 4 παραλληλόγραµµο. Θεωρούµε σηµείο αναφοράς το Α. και τα βασικά διανύσµατα ΑΒ = β, Α = δ. Τότε ΑΓ = β + δ Β β A Ε δ Ζ Γ ΑE = ΑΓ = (β + δ ) () 4 4 ZΓ = ΑΓ 4 ΑΓ ΑΖ = ΑΓ 4 ΑΖ = ΑΓ ΑΓ 4 Αρκεί να αποδείξουµε ότι ΑΖ = 4 ΑΓ = Β E = Z ΑE ΑΒ = Α ΑΖ 4 (β + δ ) () (β + δ ) β = δ 4 4 (β + δ ) β + δ 4β = 4δ β δ 0 = 0 που ισχύει
9 7. ίνονται τα µη συνευθειακά σηµεία Α,Β,Γ, µε Α = 5ΒΓ. Να βρεθεί αριθµός λ, τέτοιος ώστε να ισχύει ΑΒ + Γ = λβγ Θεωρούµε σηµείο αναφοράς το Α. Α = 5ΒΓ Α = 5(ΑΓ ΑΒ ) Α = 5ΑΓ 5ΑΒ ΑΒ + Γ = λβγ Σχόλιο 4 () ΑΒ + Α ΑΓ = λ(αγ ΑΒ ) ΑΒ + 5ΑΓ 5ΑΒ ΑΓ = λαγ λαβ ΑΒ + 5ΑΓ 5ΑΒ ΑΓ λαγ + λαβ = 0 ( 5 + λ) ΑΒ + (5 λ) ΑΓ = 0 (λ 4)ΑΒ + (4 λ) ΑΓ = 0 λ 4 = 0 και 4 λ = 0 λ = 4 8. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x, y, αν ισχύει α + β (x )α = (x y) β, όπου α, β µη συγγραµµικά διανύσµατα. α + β (x )α = (x y) β α + β xα +α = xβ yβ Σχόλιο 4 α + β xα +α xβ + yβ = 0 ( x + )α + ( x + y)β = 0 xα + ( x + y) β = 0 x = 0 και x + y = 0 x = 0 και 0 + y = 0 x = 0 και y =
0 9. ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ = β, Α = δ τοµής των ΑΓ, Β, να εκφράσετε το διάνυσµα Ο Από τις υποθέσεις παίρνουµε Γ = ΑΒ Γ ΑΒ Τρίγωνο Ο Γ όµοιο του ΟΒΑ Ο ΟΒ = Γ β β ΑΒ = = = β β Ο Ο +ΟΒ = + Ο Β = 4 Ο = 4 Β Ο = 4 Β = 4 (ΑΒ Α ) = 4 (β δ ) και Γ = β. Αν Ο είναι το σηµείο ως συνάρτηση των β, δ. δ A β Ο β B Γ
0. Αν τα διανύσµατα α, β είναι µη συγγραµµικά, να αποδείξετε ότι i) α β 0 ii) τα διανύσµατα u = α + β, v = -α + 4β είναι µη συγγραµµικά. i) Έστω α β = 0 Τότε α = β α = β α, β συγγραµµικά, που είναι άτοπο. ii) Έστω ότι τα u, v είναι συγγραµµικά. Τότε u = λ v α + β = λ( α + 4β ) α + β = λα + 4λβ α + λα = 4λβ β ( + λ) α = (4λ ) β () Όταν + λ = 0, δηλαδή όταν λ = Η () γίνεται 0 α = 4 ( ) β 0 = ( 4 ) β 0 = 0 β β = 0, Απαγωγή σε άτοπο που είναι άτοπο, αφού δεν είναι συγγραµµικό του α Όταν + λ 0, δηλαδή όταν λ Η () γίνεται α = 4 λ + λ β α, β συγγραµµικά, που είναι άτοπο.