www.ziti.gr
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας Βʹ Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 0-0. Είναι ένα σημαντικό βοήθημα για τους μαθητές, αλλά και οι συνάδελφοι καθηγητές θα βρουν πλούσιο υλικό για το έργο τους. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Θεωρία, γραμμένη με κάθε λεπτομέρεια. Παραδείγματα και εφαρμογές για όλες τις περιπτώσεις. Ασκήσεις κλιμακούμενης δυσκολίας. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου δίνονται: Ερωτήσεις κατανόησης (Σωστού-Λάθους και πολλαπλής επιλογής) Γενικές ασκήσεις, κυρίως για μαθητές με αυξημένο ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά. Διαγώνισμα με τέσσερα αντιπροσωπευτικά θέματα. Τα κεφάλαια που αναπτύσσονται είναι: Κεφάλαιο : Κεφάλαιο : Κεφάλαιο : Κεφάλαιο 4: Κεφάλαιο 5: Συστήματα (Γραμμικά συστήματα, και μη γραμμικά συστήματα) Ιδιότητες συναρτήσεων (Μονοτονία ακρότατα συμμετρίες συνάρτησης και μετατόπιση γραφικής παράστασης). Τριγωνομετρία. Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις. Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση. Στο τέλος του βιβλίου γίνεται μια επανάληψη με όλη τη θεωρία σε ερωτήσεις και κατάλληλα επιλεγμένες επαναληπτικές ασκήσεις. Επίσης, δίνονται οι απαντήσεις και υποδείξεις για όλες τις ερωτήσεις και ασκήσεις του βιβλίου. Με ευχαρίστηση θα δεχθώ οποιαδήποτε υπόδειξη που θα μπορούσε να συμβάλλει στη βελτίωση αυτού του βιβλίου. òþìïçï 5
Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Συστήματα.. Γραμμικά συστήματα... 9.. Μη γραμμικά συστήματα... 9 Ερωτήσεις κατανόησης ου κεφαλαίου... 6 Γενικές ασκήσεις ου κεφαλαίου... 7 Διαγώνισμα ου κεφαλαίου... 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ιδιότητες συναρτήσεων.. Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες γραφικής παράστασης... 4.. Κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση καμπύλης... 50 Ερωτήσεις κατανόησης ου κεφαλαίου... 56 Γενικές ασκήσεις ου κεφαλαίου... 58 Διαγώνισμα ου κεφαλαίου... 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τριγωνομετρία.. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας... 6.. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες... 76.. Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο... 86.4. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις... 97.5. Τριγωνομετρικές εξισώσεις... 08.6. Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών....7. Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α... 7.8. Μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών παραστάσεων... 56.9. Η συνάρτηση f(x) = ρ ημ(x + φ), ρ > 0... 77.0. Επίλυση τριγώνου... 89 åòéåøþíåîá 7
Ερωτήσεις κατανόησης ου κεφαλαίου... 09 Γενικές ασκήσεις ου κεφαλαίου... Διαγώνισμα ου κεφαλαίου... 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Πολυώνυμα και πολυωνυμικές εξισώσεις 4.. Βασικές έννοιες στα πολυώνυμα... 4.. Διαίρεση πολυωνύμων... 6 4.. Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις... 5 4.4. Εξισώσεις και ανισώσειςπου ανάγονται σε πολυωνυμικές... 67 Ερωτήσεις κατανόησης 4 ου κεφαλαίου... 79 Γενικές ασκήσεις 4 ου κεφαλαίου... 8 Διαγώνισμα 4 ου κεφαλαίου... 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Εκθετική & Λογαριθμική Συνάρτηση 5.. Η εκθετική συνάρτηση... 87 5.. Λογάριθμοι... 08 5.. Η λογαριθμική συνάρτηση... Ερωτήσεις κατανόησης 5 ου κεφαλαίου... 8 Γενικές ασκήσεις 5 ου κεφαλαίου... 40 Διαγώνισμα 5 ου κεφαλαίου... 45 Υποδείξεις και Απαντήσεις των Ασκήσεων... 59 8. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù
Κεφάλαιο : Συστήματα. Γραμμικά συστήματα Η εξίσωση αx + βy = γ Κάθε εξίσωση της μορφής αx + βy = γ ονομάζεται γραμμική εξίσωση με αγνώστους x και y. Κάθε ζεύγος (x, y) που επαληθεύει αυτήν, ονομάζεται λύση της γραμμικής εξίσωσης. Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση αx + βy = γ, με α 0 ή β 0, παριστάνει ευθεία. a g Αν β 0, η εξίσωση αυτή γράφεται βy = αx + γ, δηλαδή y =- x+. b b a Επομένως, παριστάνει ευθεία με κλίση - και τέμνει τον yʹy στο σημείο b g c0, m (σχήματα και, α 0 και α αντιστοίχως). b g Αν β, οπότε α 0, η εξίσωση γράφεται x = a και παριστάνει ευθεία παράλληλη στον yʹy, που τέμνει τον xʹx στο σημείο a g a,0k (σχήμα ). γ α γ β y O x γ β y O x O y γ α x.. òáííéëà óùóôüíáôá 9
Αντιστρόφως, η εξίσωση μιας ευθείας παίρνει τη μορφή αx + βy = γ, με α 0 ή β 0, διότι: Αν η ευθεία έχει κλίση λ, η εξίσωσή της είναι y = λx + κ ή λx + ( )y = κ, δηλαδή έχει τη μορφή αx + βy = γ με β = 0. Αν η ευθεία δεν έχει κλίση, δηλαδή είναι κατακόρυφη, η εξίσωσή της είναι x = κ, δηλαδή έχει τη μορφή αx + βy = γ, με α = 0. Γραμμικό σύστημα Αν ζητούνται οι κοινές λύσεις των γραμμικών εξισώσεων αx + βy = γ και αʹx + βʹy = γʹ, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους (συντομότερα, γραμμικό σύστημα ) και το γράφουμε ax+ by = g ) alx+ bly = gl Λύση αυτού του συστήματος ονομάζεται κάθε ζεύγος (x, y) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις. Δύο συστήματα με τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμα. Οι δύο γραμμικές εξισώσεις του συστήματος παριστάνουν δύο ευθείες ε και ε. i) Αν οι ε, ε τέμνονται, τότε υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος, που είναι οι συντεταγμένες του κοινού σημείου των δύο ευθειών. y O x ii) Αν ε //ε, τότε το σύστημα δεν έχει καμιά λύση και είναι αδύνατο. y O x 0. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù ºåæÀìáéï : ªùóôÜíáôá
iii) Αν οι ε, ε συμπίπτουν, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, που είναι οι συντεταγμένες όλων των σημείων της ευθείας. Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος γίνεται με μια από τις παρακάτω μεθόδους, γνωστές από το Γυμνάσιο. Μέθοδος της αντικατάστασης Λύνουμε τη μια εξίσωση ως προς ένα άγνωστο, τον οποίο αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση και έτσι βρίσκουμε τον άλλο άγνωστο. Μετά, βρίσκουμε και τον πρώτο άγνωστο. Για παράδειγμα, θα λύσουμε το σύστημα x + y = - () ) 5x+ 4y = () Η () γράφεται y = x και αντικαθιστούμε στη (). 5x + 4( x ) = + 5x x 4 = + 7x = 7 + x =. Επομένως, y = ( ) = =. Άρα, λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x, y) = (, ). Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών ή της απαλοιφής Πολλαπλασιάζουμε με κατάλληλους αριθμούς τα μέλη των δύο εξισώσεων, ώστε να προκύψουν αντίθετοι συντελεστές του ενός αγνώστου στις δύο εξισώσεις. Στη συνέχεια, προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις και βρίσκουμε τον άλλο άγνωστο. x- y = Για παράδειγμα, θα λύσουμε το σύστημα * x+ 4y =-6 x- y = : ^-h - 6x+ 9y =-9 * + * x+ 4y =-6 : 6x+ 8y =- Προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις και έχουμε 7y = 5 + y =. Η εξίσωση x y =, για y =, δίνει x + 9 = ή x = 4 ή x =. Άρα, λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x, y) = (, )... òáííéëà óùóôüíáôá
Μέθοδος των οριζουσών Αν δοθούν τέσσερις πραγματικοί αριθμοί α, β, αʹ και βʹ, η παράσταση a b αβʹ αʹβ συμβολίζεται με και ονομάζεται ορίζουσα. al bl a Δηλαδή, έχουμε al b = abl-a lb. bl Για παράδειγμα, έχουμε =. 4 -- ^ h. = 8+ =. - 4 ax+ by = g Για το σύστημα * alx+ bly = gl a b θέτουμε D D D a b, g b a g = x= kai y= l l gl bl al gl i) Αν D 0, το σύστημα έχει τη μοναδική λύση (x, y) με Dx Dy x =, y =. D D ii) Αν D, το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. Για παράδειγμα, θα λύσουμε το παραμετρικό σύστημα x+ l y = ^lœ πarímetrowh ) x+ y = l Έχουμε: l D = = - l = ^- lh^+ lh, D x l = = - l = ^- l h = ^- lh^+ l+ l h l Dy = = l- = ^l-h. l Αν D 0, δηλαδή λ ±, τότε το σύστημα έχει τη μοναδική λύση (x, y) με Dx ^ - lh^+ l+ l h ^ + l+ l h x = = = D ^- lh^+ lh + l Dy ^l-h - y = = =. D ^ - lh^ + lh + l και. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù ºåæÀìáéï : ªùóôÜíáôá
Αν λ =, τότε D και το σύστημα γράφεται x+ y = ) + x+ y = + y = -x x+ y = Άρα, έχει άπειρες λύσεις, που είναι τα ζεύγη (x, y) = (κ, κ), κœ Αν λ =, τότε D και το σύστημα γράφεται x+ y = ) x+ y =-, πoy eînai adánato. Γραμμικό σύστημα Ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους λύνεται συνήθως με τη μέθοδο αντικατάστασης, ως εξής: Λύνουμε τη μια εξίσωση ως προς ένα άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στις άλλες δύο εξισώσεις. Έτσι, καταλήγουμε σ ένα γραμμικό σύστημα. Επομένως, ένα γραμμικό σύστημα ή έχει μοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. Φυσικά, αυτή η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί σ ένα οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα v v, με v 4. Για παράδειγμα, θα λύσουμε το σύστημα x+ y- z =- () [ x+ 5y+ z = () x- 4y+ 5z = 5 () Λύνουμε την () ως προς z και έχουμε Οι () και (), λόγω της (4), γράφονται z = x + y + (4) x+ 5y+ ^x+ y+ h = 5x+ y =- * + * x- 4y+ 5^x+ y+ h = 5 x+ y = 5 (5) (6) Λύνουμε, τώρα, το σύστημα των (5) και (6) με οποιαδήποτε μέθοδο. Παρατηρούμε, όμως, ότι το y έχει τον ίδιο συντελεστή στις δύο εξισώσεις. Έτσι, αφαιρώντας τις (5) και (6) κατά μέλη, έχουμε 8x = 6 ή x =. H (5) γράφεται 0 + y = + y = + y =. Η (4) γράφεται z = + ( ) + + z =. Άρα, λύση του συστήματος είναι η τριάδα (x, y, z) = (,, )... òáííéëà óùóôüíáôá
Παραδείγματα και εφαρμογές. Να λυθεί γραφικά και αλγεβρικά το σύστημα x + y = ) x - y = Λύση: Κατασκευάζουμε τις ευθείες ε : x + y = και ε : x y = Η ε τέμνει τους άξονες στα σημεία (0, 6) και (4, 0), ενώ η ε τους τέμνει στα σημεία (0, ) και a, 0k. Η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x, y) = (, ) των συντεταγμένων του κοινού σημείου Α των δύο ευθειών. Οι συντεταγμένες αυτές βρίσκονται αλγεβρικά. Λύνουμε τη () ως προς y και έχουμε y = x () H (), λόγω της (), γράφεται x + (x ) = + x + 4x = + 7x = 4 + x =. Η () δίνει y = =. Άρα, λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x, y) = (, ). y 6 O A 4 () () x. Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα x - y = 7 x - 5y = 8 α) [ x 5 + β) ) y = x + y = 5 4. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù ºåæÀìáéï : ªùóôÜíáôá
Λύση: α) Θέτουμε x = a και y = b, οπότε το σύστημα γράφεται a - b = 7 * 5a + b = Λύνουμε την () ως προς β και έχουμε β = α 7 () H (), λόγω της (), γράφεται 5α + (α 7) = + 5α + 6α = + α = + α =. Η () δίνει β =. Επομένως, x = και y =-, δηλαδή x = και y =. β) Το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με τα συστήματα () () x- 5y = 8 ^S h * και x+ y = 5 x- 5y = 8 ^S h * x+ y =-5 Με μια από τις γνωστές μεθόδους, βρίσκουμε ότι η λύση του (Σ ) είναι -4 ^xy, h = b, l, ενώ η λύση του (Σ 7 7 ) είναι (x, y) = (, ). Άρα, το αρχικό σύστημα έχει δύο λύσεις, τις -4 ^x, y h = b, l και (x 7 7, y ) = (, ).. Να βρεθεί διψήφιος αριθμός, του οποίου το ψηφίο των δεκάδων είναι τα των ψηφίων των μονάδων και με εναλλαγή των ψηφίων του προκύπτει αριθμός κατά 8 μεγαλύτερος. Λύση: Έστω ότι ο αριθμός έχει x δεκάδες και y μονάδες, οπότε ισχύει x = y () Ο αριθμός αυτός ισούται με x 0 + y x + y. Με αλλαγή των ψηφίων του (y δεκάδες και x μονάδες), ο αριθμός ισούται με 0y + x, οπότε έχουμε 0y + x = (0x +y) + 8 + 9y 9x = 8 + y x = ().. òáííéëà óùóôüíáôá 5
Η (), λόγω της (), γράφεται y- y = + y- y = 6 + y = 6 Η () δίνει x =. 6 = 4. Άρα, ο αριθμός είναι το 46. 4. Να βρεθεί η σχετική θέση των ευθειών ε : λx + y = και ε : x + 4y = μ για τις διάφορες πραγματικές τιμές των λ και μ. Λύση: Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων των δύο ευθειών, που είναι το lx+ y = *. x+ 4y = m Οι δύο ευθείες τέμνονται, όταν η ορίζουσα D του συστήματος είναι διάφορη του μηδενός, δηλαδή όταν l D = 0 + 4l- 0 + l. 4 4 Αν l= 4, το σύστημα γράφεται x y x y 4 + = + 4 = 8 * + *. x+ 4y = y x+ 4y = m 8 i) Αν μ 8, δηλαδή m, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, που σημαίνει ότι οι ευθείες είναι παράλληλες. 8 ii) Αν μ = 8, δηλαδή m =, τότε οι δύο ευθείες συμπίπτουν. Συμπέρασμα: Αν l 4, τότε οι ευθείες ε και ε τέμνονται. Αν Αν 8 l= 4 και m, τότε ε //ε. 8 l= 4 και m =, τότε οι ευθείες συμπίπτουν. 6. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù ºåæÀìáéï : ªùóôÜíáôá
5. Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστημα Λύση: ^a+ hx-^a-hy = * x+ ay = 4a+ 5 Έχουμε a a D = + - ^ - h = aa ^ + h+ ^a-h = a+ 5a-. a Το τριώνυμο α + 5α έχει Δ = 5 + 4 = 49 και ρίζες 5 7 a = - 6 + 5 7 = και a = - 6 - =-. Επομένως, D = ba- l a+ = a- a+. ^ h ^ h^ h -^a-h Dx = = 9a+ ^a- h^4a+ 5h = 8a + a- 0 = ^8a- 5h^a+ h. 4a+ 5 a D y a = + a 4a 5 4a 9a 4a a. 4a+ 5 = ^ + h^ + h- = + + = ^ + h^ + h Η ορίζουσα D μηδενίζεται όταν a Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: = ή α =. i) Αν D 0, δηλαδή a και α, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση (x, y) με Dx ^8a-5h^a+ h 8a-5 Dy ^4a+ h ^a+ h 4a+ x = = = και y = = =. D ^a-h ^a+ h a- D ^a- h ^a+ h a- ii) Αν a =, τότε D και το σύστημα γράφεται 4 9 x+ y = x y + = 4 [ 9 + [ 9, x+ y = x+ y = που προφανώς είναι αδύνατο... òáííéëà óùóôüíáôá 7
iii) Αν α =, τότε D και το σύστημα γράφεται - x+ 6y = ) + x- 6y =- + x = 6y-. x- 6y =- Άρα, το σύστημα έχει τις άπειρες λύσεις (x, y) = (6κ, κ), κœ. 6. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x, y, z και w που επαληθεύουν συγχρόνως τις εξισώσεις x y + z w, 8x + 4y + z + w =, x y + z = 8 και x + 4y + z = 7 Λύση: Λύνουμε την η εξίσωση ως προς w και έχουμε w = x y + z. Οι άλλες τρεις εξισώσεις γράφονται 8x+ 4y+ z+ x- y+ z = 9x+ y+ z =- x+ y+ z =-4 [ x- y+ z = 8 + [ x- y+ z = 8 + [ x- y+ z = 8 x+ 4y+ z = 7 x+ 4y+ z = 7 x+ 4y+ z = 7 Θα λύσουμε το σύστημα των (), () και (). Με αφαίρεση των () και () κατά μέλη έχουμε y =, δηλαδή y = 4. Η (), τώρα, γράφεται Επίσης, η () γράφεται x 4 + z = 4 + x + z + z = x. x+ 4^-4h- x = 7 + 9x = + x = Τέλος, έχουμε z =-. 9 =- και w = x- y+ z = 9 + 4 - =- 0 9. Άρα, x = 9, y =- 4, z = - kai w =- 0 9. 9. () () () 7. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που διέρχεται από τα σημεία Α(, 0), Β(, 9) και Γ(, 6). Λύση: Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση μιας παραβολής έχει τη μορφή y = αx + βx + γ. 8. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù ºåæÀìáéï : ªùóôÜíáôá
Για να διέρχεται η παραβολή αυτή από τα σημεία Α, Β και Γ, θα πρέπει οι συντεταγμένες των σημείων αυτών να επαληθεύουν την εξίσωσή της, δηλαδή. 0 a b. = + + g a+ b+ g () [ 9 a. = + b. + g + [ 4a+ b+ g = 9 () - 6 = a^- h + b^- h+ g a- b+ g =-6 () Με αφαίρεση την () και () κατά μέλη έχουμε β = 6, δηλαδή β =. Η (), τώρα, δίνει γ = α και η () γράφεται 4α + 6 α = 9 + α = 6 + α =. Επομένως, γ = = 5 και η εξίσωση της παραβολής είναι y = x + x 5. 8. Να λυθούν τα συστήματα x + y + z = a x + y = - y + z + w = b α) [ y + z = και β) [ z + w + x = g z + x = 7 w + x + y = d Λύση: α) Προσθέτουμε τις εξισώσεις του συστήματος κατά μέλη και έχουμε x + y + z = 8 + x + y + z = 4. Η τελευταία, λόγω της ης εξίσωσης, γράφεται + z = 4 + z = 5. Η η εξίσωση δίνει y = 5 =, ενώ η η δίνει x = + =. Άρα, (x, y, z) = (,, 5). β) Με πρόσθεση κατά μέλη όλων των εξισώσεων, έχουμε a b g d x+ y+ z+ w = a+ b+ g+ d + x+ y+ z+ w = + + + Επομένως, a b g d a b g d b g d a ^ x + y + z h+ w = + + + + a+ w = + + + + w = + + -. a b g d a b g d a g d b ^ y + z + w h+ x = + + + + b+ x = + + + + x = + + -... òáííéëà óùóôüíáôá 9
a b g d a b g d a b d g ^ z + w + x h+ y = + + + + g+ y = + + + + y = + + -. a b g d a b g d a b g d ^ w + x + y h+ z = + + + + d+ z = + + + + z = + + -. Άρα, a- b+ g+ d a+ b- g+ d a+ b+ g-d - a+ b+ g+ d ^xyzw,,, h = c,,, m. 9. Να εξεταστεί αν οι ευθείες ε : x y = α +, ε : x + y = και ε : αx + y = διέρχονται από το ίδιο σημείο. Λύση: Οι τρεις ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο Α(x, y), όταν έχει μοναδική λύση το σύστημα x-y = a+ () [ x+ y = - () ax+ y = () Αρχικά, θα λύσουμε το σύστημα των () και (), δηλαδή θα βρούμε το κοινό σημείο (αν υπάρχει) των ε και ε. Με αφαίρεση των () και () κατά μέλη έχουμε a - y = a+ + y =- + a Η () δίνει x y a =- - =- + + =. Εξετάζουμε, τώρα, αν η λύση ^xy, h = a a, - a+ k επαληθεύει και την (). Αυτό συμβαίνει όταν ισχύει: a. a a - + = + a -a- = + a -a- 6 + a= Ï a=-. Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: i) Αν α και α, τότε οι τρεις ευθείες δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο. 0. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù ºåæÀìáéï : ªùóôÜíáôá
ii) Αν α =, οι τρεις ευθείες διέρχονται από το σημείο με συντεταγμένες a a ^xy, h = a, - + k = ^, -h. iii) Αν α =, οι τρεις ευθείες διέρχονται από το σημείο με συντεταγμένες ^xy, h = a -, - k. 0. Αν ένα τρένο αυξήσει την ταχύτητά του κατά 5 km/h, τότε φτάνει στον προορισμό του ώρα νωρίτερα. Αν ελαττώσει την ταχύτητά του κατά 5 km/h, τότε φτάνει ώρα και 40 λεπτά αργότερα. Να βρεθεί η ταχύτητα του τρένου και η απόσταση που διήνυσε. Λύση: Έστω υ(km/h) η ταχύτητα του τρένου, x η απόσταση που διήνυσε (σε km) και t ο χρόνος του ταξιδίου (σε ώρες). Γνωρίζουμε ότι ισχύει x = υt () Από τα δεδομένα του προβλήματος, έχουμε και τις εξισώσεις x = (υ + 5) (t ) () και x. 5 = ^y- 5h at+ k () ah 40min Οι () και (), λόγω της (), γράφονται 5 = hk yt = yt- y+ 5t-5 - y+ 5t = 5 * 5 5 + * 5 5 yt = yt+ y-5t- y- 5t = (4) (5) 0 0 Με πρόσθεση των (4) και (5) έχουμε y =, δηλαδή υ 0 km/h. Η (4) δίνει t = 5 h, οπότε η () δίνει x = 500 km. Άρα, η ταχύτητα του τρένου είναι 00 km/h και η απόσταση που διήνυσε είναι 500 km... òáííéëà óùóôüíáôá
Ασκήσεις Α ομάδας. Να λυθούν γραφικά τα παρακάτω συστήματα. x = y = x+ y = 5 α. * β. * γ. * δ. x+ y = 5 x+ y = x- y = x+ y = * 4x- y =. Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα. ^ x-yh- 5^x+ yh = x-4 x+ y = x+ y = 5 α. * δ. * ζ. [ x- 4-y 5x- y 0,6x+ 0,4y = - 5 4x+ y = x- y = 5 0,x+ 0,7y = β. * ε. * η. * x+ y =- - x+ 6y = 8 0,5x+,y =,8 γ. x y + = 7 [ x y + = 4 6 4 x+ y x-y - στ. [ x- 4y - = 7 =- x+ y- x- y+ = θ. [ 5-0,x+,8y =,4. α. Να βρεθούν δύο αριθμοί με άθροισμα 4 και διαφορά. β. Να βρεθούν δύο αριθμοί με άθροισμα α και διαφορά β. 4. Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα. x- y = 5 x - y = α. [ 7 γ. * ε. x- y =-7 5 x - 8 y = x- + y+ =- 5 x + 8 y = 46 β. [ 5 7 x- - y+ = δ. * στ. x + y = 9 x - y =-7 * x + 5y = 6 x + y = * y - 4x 5. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία α. Α(, ) και Β( 5, 0) β. Aa,- k kai Ba-, 5 k.. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù ºåæÀìáéï : ªùóôÜíáôá
6. Να βρεθούν οι αριθμοί α και β, για τους οποίους το σύστημα * ax+ by = 6 ^a+ hx-^b- hy = a- 5b+ έχει λύση το ζεύγος (x, y) = (, ). 7. Ο οδηγός ενός αυτοκινήτου χρησιμοποιεί το φρένο και το αυτοκίνητο συνεχίζει να κινείται με ταχύτητα υ = αt + β, όπου α, β, σταθερές και t ο χρόνος που πέρασε από τη στιγμή που πάτησε το φρένο. Τη στιγμή του φρεναρίσματος το αυτοκίνητο είχε ταχύτητα 0m/sec και μετά 5sec έχει ταχύτητα 5m/sec. Να βρεθούν: α. oι αριθμοί α και β, β. η ταχύτητα του αυτοκινήτου sec μετά το φρενάρισμα και γ. ο χρόνος που χρειάζεται μέχρι να σταματήσει. 8. Αν στους όρους ενός κλάσματος προσθέσουμε το 4, τότε γίνεται ίσο με 4. Αν όμως αφαιρέσουμε από τους όρους το, τότε γίνεται ίσο με. Να βρεθεί το κλάσμα. 9. Να βρεθούν οι αριθμοί λ και μ, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης fx ^ h = να διέρχεται από τα σημεία A a, lx + m -5 x + k και Β(, ). Μετά να αποδειχθεί ότι η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. 0. Να λυθούν με τη μέθοδο οριζουσών τα παρακάτω συστήματα. x+ 5y = -9 x- 4y = x- -y α. * x y β. ) γ. * = - + =- - 5, x+ y = 4, 4x+ 8y- 6. Να λυθούν οι εξισώσεις x x- α. β. - x x+ x γ. x - x+ ^x-h x-. Να αποδειχθεί ότι για κάθε x, y Œ ισχύει x+ y x-y y x- y 0.. Να λυθούν τα παραμετρικά συστήματα α. ^l-h x- y = ^l+ hx- y = l+ * και β. * x+ ^l+ h y = x+ ly =.. òáííéëà óùóôüíáôá
4. Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα x+ y+ z x+ y- z = α. [ x- y+ 5z = 5 δ. [ x- y+ z =-5 x+ 5y- 7z =- 5x+ 5y- z =- x+ y- 5z = 8 x- y = β. [ 8y+ 7z = 7 ε. [ y+ 5z = 7 5x- 9z = 9 x+ 5z = x+ y+ 5z = x+ y- 7z = γ. [ - x+ 6y- 0z =- στ. [ 5x- y+ z =-7 4x- 9y+ z =- 5 4-7x- y+ 5z ζ. η. θ. x- y+ z [ x+ y- z 5x- y+ 7z x+ y [ y+ z x- z x- 5y+ z [ x+ y+ z x+ 6y- z 5. Ένα τρίγωνο έχει μήκη πλευρών ΑΒ = 6, ΑΓ = 7 και ΒΓ = 9. Αν ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ στα σημεία Δ, Ε και Ζ αντίστοιχα, να βρεθούν τα μήκη των ΑΔ, ΒΖ και ΓΕ. 6. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x + βx + γ, αν γνωρίζαμε ότι διέρχεται από το σημείο Α(, 0) και το ένα σημείο τομής της με τον xʹx έχει τετμημένη. 7. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής y = αx + βx + γ, η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0, ), Β(, ) και Γ(, 5). Ασκήσεις B ομάδας. Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα. x y α. + = 5 4 x- + y- = 5 * γ. * ε. x- y = 4x-y = 6 * x -y = y + x = 5 β. x- + y+ * δ. x+ 4y x + y- = * στ. x + y- = 4 * x + y- = 4 x + y = 4. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù ºåæÀìáéï : ªùóôÜíáôá
. Να βρεθούν οι αριθμοί α και β, για τους οποίους είναι ισοδύναμα τα συστήματα x- y = 5 * x+ y + 6 και = ^a- hx+ ^b- hy = a-b * ax-^b- hy =. Αν 0,5α 0,4β,9 και 0,α + 0,β + 0,, να λυθεί το σύστημα a x- + b y =-4 * ^ a + h x- + b y = 4a + 5b 4. Να λυθούν τα παραμετρικά συστήματα ^l+ hx- y = l ^l- hx+ 5y α. * lx- ly = l- γ. * ε. x+ ^l+ hy lx+ my ) - mx+ ly β. ^l- h x+ ly = * δ. lx+ ^l- h y = l- ^- lhx+ y = l+ 4 * ^l+ 4hx+ ^l+ hy = 8-7l 5. Να λυθούν με τη μέθοδο οριζουσών τα συστήματα ^- hx+ ^+ hy = α. * και β. x-^4- hy = -4 x+ 4 y = 4 * ^- hy + x = 6. Να βρεθούν οι αριθμοί λ και μ, για τους οποίους είναι συγχρόνως αδύνατα τα συστήματα lx+ my = ^l- hx+ ^m- 4hy = 4 * και * x+ y =- 6x- y = 5 7. Να βρεθεί ο αριθμός λ, ώστε να είναι αδύνατο το σύστημα ^l+ 6hx+ ^l+ 4hy = l+ * ^l+ hx+ ^l+ hy = l+ 8. Να βρεθεί ο αριθμός μ, για τον οποίο οι ευθείες ε : (μ + )x y = μ και ε : (5μ )x + 4y μ + 6 τέμνονται πάνω στην ευθεία e : y = x... òáííéëà óùóôüíáôá 5
9. Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα. α. β. γ. x+ ly-z [- x+ y+ z = 5 x-y- 4z x+ y z - + * 7 4 = = ε. 5x- y+ z = x+ y 0 x- y = 9 x z 7 [ y+ - z = 4 x y z 4 + + 5 = 5 ax = by = gz δ. * ^abgd 0h x + y + z = d x+ y = a [ y + z = b z+ x = g 5 x + y = στ. [ y + z = 5 z + x = 4 0. Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα. α. δ. ζ. x+ y+ z = 6 y+ z+ w = 9 [ z+ w+ x = 8 w+ x+ y = 7 x+ y+ z+ w = x+ y+ z+ w [ x+ y+ z+ w = x+ y+ z+ w = 5 x+ ^y+ zh = a [ y+ ^z+ xh = b z+ 4^x+ yh = g β. x+ y+ z = y+ z+ w = [ 5 z+ w+ x = 6 w+ x+ y = 6 ε. η. y+ z+ w- x = a z+ w+ x- y = b [ w+ x+ y-z = g x+ y+ z-w = d x+ y = y + z = 5 [ z+ w = 7 w+ x = 5 x+ y- w = a y+ w- x = γ. [ b x+ w- y = g abg^b+ gh^g+ ah^a+ bh 0 στ. θ. x+ ^y+ z+ wh = y+ 4^z+ w+ xh = 5 [ 4z+ 5^w+ x+ yh = 9 5w+ 6^x+ y+ zh = x+ y = y+ z = 5 [ z+ w = 7 w + f = 9 f+ x = 6 6. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù ºåæÀìáéï : ªùóôÜíáôá
. Να λυθούν τα συστήματα xy xy x y = = g + ax+ by yz α. [ z-5y = yz 6 β. [ gy az = b + z zx zx -5x = = a 7 bz+ gx (α, β, γ Œ * ). Να λυθούν τα συστήματα α. x+ y+ z+ w = 4 x-y+ z-w = [ - x+ 7y-z+ w = 7 y+ z-w x+ y+ z+ w x- y+ z- w β. [ x- y+ z- w x-4y- w. Να λυθεί το παραμετρικό σύστημα x+ ly+ z [ x+ y-z = 5x- y+ 4z = x+ ^y+ z+ wh = y + ^x+ z+ wh = 6 γ. [ 5 z+ 4 ^x+ y+ wh = 6 0w -8^x+ y+ zh = 8 4. Να βρεθεί τριψήφιος αριθμός με άθροισμα ψηφίων 7, αν γνωρίζουμε ότι το ψηφίο των μονάδων είναι τριπλάσιο του ψηφίου των εκατοντάδων και ο αριθμός που προκύπτει με αντίστροφη γραφή των ψηφίων του να είναι κατά 594 μεγαλύτερος. 5. Να βρεθεί το έτος ανακάλυψης της τυπογραφίας, αν γνωρίζουμε ότι: i) είναι τετραψήφιος αριθμός με άθροισμα ψηφίων 4, ii) το ψηφίο των μονάδων είναι διπλάσιο του ψηφίου των δεκάδων, iii) το ψηφίο των χιλιάδων ισούται με την ημιδιαφορά του ψηφίου των εκατοντάδων από το ψηφίο των μονάδων και iv) ο αριθμός που προκύπτει με αντίστροφη γραφή των ψηφίων του είναι κατά 4.905 μεγαλύτερος. 6. Ο Α λέει στον Β: «Η ηλικία μου είναι διπλάσια από την ηλικία που είχες όταν είχα την ηλικία σου». Ο Β λέει στον Α: «Όταν θα έχω την ηλικία σου, το άθροισμα των ηλικιών μας θα είναι 6». Να βρείτε τις ηλικίες των Α και Β... òáííéëà óùóôüíáôá 7
7. Για να παρασκευάσουμε διάλυμα 00 gr ενός οξέος περιεκτικότητας 0%, αναμειγνύουμε διαλύματα του οξέος αυτού περιεκτικότητας 7% και %. Πόσα γραμμάρια του οξέος από κάθε διάλυμα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε; 8. Ένας χρυσοχόος έχει τρία κράματα χαλκού και αργύρου με βάρος 50 gr, 0 gr και 0 gr. Αναμειγνύει το ο με το ο και παίρνει κράμα περιεκτικότητας 750. Αναμειγνύει το ο με το ο και παίρνει κράμα περιεκτικότητας 85. Τέλος, αναμειγνύει το ο με το ο και παίρνει κράμα περιεκτικότητας 780. Να βρεθούν οι περιεκτικότητες των αρχικών κραμάτων. 9. Να βρεθεί θετικός ακέραιος, που αν διαιρεθεί με τους αριθμούς 8, και 9 να δίνει υπόλοιπα, 4 και 0 αντιστοίχως, ενώ τα πηλίκα των διαιρέσεων αυτών να έχουν άθροισμα. 0. Να βρεθούν όλοι οι διψήφιοι αριθμοί, που γίνονται κατά 8 μικρότεροι με την εναλλαγή των ψηφίων τους.. Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, αν γνωρίζουμε ότι έχει ελάχιστο το f() = και για x = μηδενίζεται. Στη συνέχεια, να βρεθούν οι τιμές του x (γραφικά και αλγεβρικά), για τις οποίες η C f βρίσκεται κάτω από την ευθεία x y.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx + βx + γx + δ διέρχεται από τα σημεία Α(, 6), Β(, 6), Γ(, 0) και την αρχή Ο των αξόνων. α. Να βρεθούν οι συντελεστές α, β, γ και δ. β. Να βρεθούν τα σημεία τομής της C f με τους άξονες xʹx και yʹy. γ. Να βρεθεί το διάστημα τιμών του x, για το οποίο η C f βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο.. Ένα αυτοκίνητο κάνει τη διαδρομή Α έως Β με μέση ταχύτητα 00 km/h, ενώ τη διαδρομή Β έως Α με μέση ταχύτητα 80 km/h. Να βρεθεί η μέση ταχύτητα του ταξιδιού «πήγαινε-έλα». 8. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù ºåæÀìáéï : ªùóôÜíáôá
Υποδείξεις και Απαντήσεις των Ασκήσεων
Κεφάλαιο : Συστήματα. Γραμμικά συστήματα A Oμάδα σελ ) α) (, ) β) (, ) γ) (, ) δ) (, ) ) α) (, 0) β) (, γ) (6, ) δ) a 5-k,k,k k Œ ε) αδύνατο στ) (0, ) ζ) (, ) η) (, ), θ) (9κ 7, κ), κœ. ) α) και a+ b a-b β) kai. 4) 7 α) a-, k β) b, - l γ) (6, ) δ) (, 5), (, 5), (, 5) και (, 5) ε) (, ),(, - ),( -, ) kai (-,- ) στ) (, ) και (, ). 5) α) y = x + 5 β) 6x + 05y + 7. 6) α = και β = 4. 7) α) α = 5 και β β) 0 m/sec γ) 6 sec. 8) 5. 8 9) λ = 5 και μ. Η f είναι περιττή. 9 0) α) (, ) β) αδύνατο γ) a 4 - k, kk, k Œ. 4 ) α) x= β) x = ή γ) x = ή 0 ή. ) (x y) 0. l+ 4 l-4 ) α) Αν λ 0, τότε ( x, y) = c, m. l l Αν λ, είναι αδύνατο. l + l+ 9 l+ β) ( x, y) = d, l l, l n + + + l + lœ. 4) α) (,, 0) β) (,, ) γ) b,, l 5 -k- 9 k+ 7 δ) b,, kl, kœ 5 5 ε) αδύνατο στ) αδύνατο ζ) (0, 0, 0) 7 7 η) (κ, κ, κ), κœ θ) bk, - k, - kl, kœ. 8 8 5) ΑΔ =, ΒΖ = 4 και ΓΕ = 5. 6) β =, γ =. 7) y = x + x.. B Oμάδα σελ 4 57 ) α) (9, 4) και a 7, 7 k β) αδύνατο 9 γ) (, ) και a 8, - k δ) Για y έχει λύσεις τα ζεύγη ( + y, y) και ( y, y) με y. Για < y < και για y είναι αδύνατο. ε) (4, ) στ) (, 0) και (, 0). ) Η λύση (x, y) = (, ) του πρώτου, πρέπει να είναι λύση του δευτέρου. Τελικά, α = και β =. ) α =, β = και (x, y) = (, ) ή (, ) ή (, ) ή (, ) 4) α) Αν λ 0 και λ, τότε l ( x, y) l = b - - -, l. l l Αν λ, είναι αδύνατο. Αν λ =, τότε ( x, y) = ak +,kk, kœ. β) Αν l και λ, τότε ( l-) l 6l ( x, y) = d - +, - n. ( l+ )( l-) ( l+ )( l-) Αν l= ή λ =, είναι αδύνατο. γ) Αν λ ±, τότε (x, y) = (0, 0). Αν λ =, τότε (x, y) = ( 5κ, κ), κœ. Αν λ =, τότε (x, y) = (κ, κ), κœ. δ) Αν λ 0 και λ, τότε l+ 7 l ( -5) ( x, y) = b, l. -l -l Αν λ, τότε (x, y) = (κ, 4 κ), κœ. Αν λ =, είναι αδύνατο. ε) Αν λ 0 ή μ 0, τότε (x, y) = (0, 0). Αν λ = μ, τότε έχει λύσεις όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (αόριστο). 60. Ûîï : Íìçåâòá Bʹ ùëåýïù ËðïäåÝêåé ëáé ðáîôüóåé ôöî óëüóåöî
Βιβλία Μαθηματικών του Θανάση Ξένου Μαθηματικά ΔHMOTIKOY Μαθηματικά ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ευκλείδεια Γεωμετρία Α & Β Λυκείου Τυπολόγιο για όλες τις τάξεις Μαθηματικά Α & Β Λυκείου
Προβλήματα & Κριτήρια A & Β Λυκείου Μαθηματικά Γ Λυκείου Προβλήματα & Κριτήρια Γ Λυκείου ΕΠΑΛ & ΑΣΕΠ
Μαθηματικά ΑΕΙ-ΤΕΙ KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου 7, 546 5 Θεσσαλονίκη ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: