Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού Ενότητα 5: Σχεδίαση Πτερυγίων 1 Γεώργιος Λευθεριώτης, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Σκοποί ενότητας Στοιχείο πτέρυγας ανάλυση ασκούμενων δυνάμεων Διαδικασία σχεδίασης αιολικής μηχανής Βέλτιστο προφίλ πτερυγίου κατά Betz Διόρθωση οπισθέλκουσας Άλλες απώλειες και μέθοδοι υπολογισμού τους Διόρθωση περιστροφής απορρεύματος για πτέρυγα αιολικής μηχανής Συντελεστής F απωλειών ακροπτερυγίου Διόρθωση περιστροφής απορρεύματος και απώλειες ακροπτερυγίου Επίδραση του αριθμού των πτερυγίων στο Cp, max Επίδραση του CL/CD στο Cp,max Περιορισμοί της θεωρίας ορμής Θεωρία στροβίλων Vortex theory - Lifting Line Theory (LLT)
Περιεχόμενα Στοιχείο πτέρυγας ανάλυση ασκούμενων δυνάμεων Διαδικασία σχεδίασης αιολικής μηχανής Βέλτιστο προφίλ πτερυγίου κατά Betz Διόρθωση οπισθέλκουσας Άλλες απώλειες και μέθοδοι υπολογισμού τους Διόρθωση περιστροφής απορρεύματος για πτέρυγα αιολικής μηχανής Συντελεστής F απωλειών ακροπτερυγίου Διόρθωση περιστροφής απορρεύματος και απώλειες ακροπτερυγίου Επίδραση του αριθμού των πτερυγίων στο Cp, max Επίδραση του CL/CD στο Cp,max Περιορισμοί της θεωρίας ορμής Θεωρία στροβίλων Vortex theory - Lifting Line Theory (LLT)
Στοιχείο πτέρυγας Ω χορδή, c ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ V 0 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Γωνία στρέψης, δ Στοιχείο πτέρυγας r Επίπεδο κάθετο στην ακτίνα της πτέρυγας Ω
. Στοιχείο πτέρυγας Απειροστές δυνάμεις U=-Ωr ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ β W α γ V 1 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ γ W α γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ dd δ dl ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ dd sinγ dd γ γ dd cosγ dl cosγ dl dl sinγ Το στοιχείο έχει πάχος (ή εκπέτασμα) dr απειροστό, ασκούνται απειροστές δυνάμεις από τον άνεμο: 1 2 dl W C ( ) c dr 2 1 2 dd W C ( ) c dr 2 L D
Στοιχείο πτέρυγας Κινητήρια δύναμη Από την ανάλυση των συνιστωσών των δυνάμεων, όπως φαίνεται και στο σχήμα, προκύπτει για τη δύναμη df κιν που κινεί το πτερύγιο: df dl cos dd sin 1 W 2 2 C cos C sin L D c dr Αντίστοιχα, η δύναμη Thrust στην κατεύθυνση του προσπίπτοντος ανέμου που ωθεί το πτερύγιο dt είναι: dt dl sin dd cos 1 W 2 2 C sin C cos L D c dr ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ dd sinγ dd γ W γ α dl cosγ γ dd cosγ dl γ dl sinγ
Διαδικασία σχεδίασης αιολικής μηχανής Προσδιορισμός για κάθε απόσταση r (από 0 έως R) της βέλτιστης χορδής και γωνίας στρέψης του πτερυγίου. Εκλογή μιας κατάλληλης αεροτομής (με όσο το δυνατό μεγαλύτερο C L και μικρότερο C D ). Επιλογή του λόγου ταχύτητας ακροπτερυγίου «σχεδίασης» της μηχανής λ D. Η τιμή που θέλουμε να λάβει το λ D επιλέγεται αυθαίρετα. Τέλος τίθεται η συνθήκη βελτιστοποίησης της γωνίας προσβολής α=α opt η οποία πρέπει να ισχύει σε όλο το μήκος της πτέρυγας. Με τα δεδομένα αυτά, χρησιμοποιείται κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο που δίδει το βέλτιστο προφίλ των πτερυγίων.
Βέλτιστο προφίλ πτερυγίου κατά Betz (1) Ο απλούστερος τρόπος για τη λύση του προβλήματος της σχεδίασης είναι ο συνδυασμός της θεωρίας Betz με την ανάλυση στοιχείου πτέρυγας. Για το λόγο αυτό, θεωρούμε ότι ο ενεργοποιητής δίσκος αντικαθίσταται από μία πραγματική ανεμογεννήτρια και ότι ο νοητός σωλήνας ροής του σχήματος αντικαθίσταται από δακτυλιοειδείς σωλήνες που ο καθένας, στο επίπεδο του ρότορα, έχει ακτίνα r και απειροστό πάχος dr. Με την παραδοχή ότι οι γειτονικοί δακτύλιοι δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, εφαρμόζουμε τα αποτελέσματα της θεωρίας Betz σε κάθε στοιχείο πτέρυγας ξεχωριστά. r dr Ω
Βέλτιστο προφίλ πτερυγίου κατά Betz (2) U=-Ωr ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ β W α δ γ V 1 Η θεωρία Betz δίδει: V 2 V 1 0 οπότε: 3 V 2 1 V 3 0 4 W V r W V r 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 9 0 (1) dd dl Επίσης, για τη γωνία γ ισχύει στο όριο Betz: tan R r 3 Rr V0 V 2 V R 1 0 r 3 tan 2 R Η στοιχειώδης επιφάνεια του κάθε δακτυλίου είναι: 2πr dr
Βέλτιστο προφίλ πτερυγίου κατά Betz (3) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ dd sinγ dd γ W γ α γ dd cosγ dl cosγ dl γ dl sinγ Ο συντελεστής ισχύος της αιολικής μηχανής μεγιστοποιείται αν ισχύει το όριο Betz σε ΚΑΘΕ στοιχείο πτέρυγας. Για τον υπολογισμό της ισχύος του στοιχείου πτέρυγας χρησιμοποιείται η σχέση dp df U df r dp BETZ 16 1 27 2 NdP 3 o.. P 16 1 3 BETZ 27 2 Vo A V (2 r dr) N df r 1 L, D C 2 2 LD, AW N df r 1 2 Nr W ( 2 C cos C sin ) c dr L D ΠΡΟΣΟΧΗ!! Στο dp BETZ χρησιμοποιείται η V 0 ενώ στο df κιν η W
Βέλτιστο προφίλ πτερυγίου κατά Betz (4) Αγνοώντας την επίδραση της οπισθέλκουσας, (θεωρώντας δηλαδή ότι C D =0) παίρνουμε: 16 1 3 1 dp V (2 rdr ) Nr WC 2 cos cdr BETZ 27 2 o 2 L Μετά από πράξεις έχουμε: c 16 2 V 3 0 2 27 C NW cos L Η σχέση αυτή μπορεί να απλοποιηθεί με χρήση των παρακάτω: D R V 0 W cos V 2 V 1 3 0 2 1 3 0 4 4 r W V r W V r 1 9 0 9 D R V V W ( ) ( ) ( ) V 2 2 2 2 2 2 0
Βέλτιστο προφίλ πτερυγίου κατά Betz (5) - Λόγος ταχύτητας ακροπτερυγίου - U=-Ωr λ D ο λόγος ταχύτητας ακροπτερυγίου «σχεδίασης» της μηχανής. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ β W α γ V 1 r c( ) 8 2 R 1 r 9 CN 4 L D ( ) 9 2 2 D R ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ δ Για λ D >>3 και r > 0,2 R ισχύει: dd dl r 2 ( ) 2 4 D R 9, το κλάσμα 4/9 απαλείφεται από τη ρίζα και παίρνουμε: r c( ) 16 9 C N L 2 D r
Βέλτιστο προφίλ πτερυγίου κατά Betz (6) Η βέλτιστη χορδή είναι: Αντιστρόφως ανάλογη του αριθμού πτερυγίων Ν, δηλαδή αυξάνοντας τον αριθμό των πτερυγίων τα κάνουμε λεπτότερα. Αντιστρόφως ανάλογη του C L, δηλαδή όσο μεγαλύτερη άντωση παράγεται από την πτέρυγα, τόσο λεπτότερη γίνεται αυτή. Αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου του λ D, δηλαδή οι πολύστροφες μηχανές έχουν λεπτά πτερύγια. Αντιστρόφως ανάλογη του r, δηλαδή, το πτερύγιο γίνεται λεπτότερο πλησιάζοντας στο ακροπτερύγιο.
Βέλτιστο προφίλ πτερυγίου κατά Betz (7) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ β U=-Ωr W α δ γ V 1 Το βέλτιστο πτερύγιο πρέπει να έχει τέτοιο σχήμα που σε όλο το μήκος του η γωνία προσβολής να λαμβάνει τη βέλτιστη τιμή της, α=α opt. ( r ) ( r ) opt Επίσης, για τη γωνία γ ισχύει στο όριο Betz: dd dl R r 3 Rr V0 3 r tan tan 2 V 2 V R R 1 0 r 3 ( r ) arctan 2 D opt R Είναι πιο πρακτικό να μετράμε τη γωνία στρέψης δ από το επίπεδο του ρότορα: r 3 ( r ) ( r ) arctan 2 D 2 2 R opt
Βέλτιστο προφίλ πτερυγίου κατά Betz (8) - πτέρυγα αιολικής μηχανής με Ν=3, R=40m, α opt =4 για διάφορες τιμές του λ D. c (m) 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 Βέλτιστο Προφίλ λd=3 λd=4 λd=5 δ ( ) 60 50 40 30 20 β δ( ) λd=3 λd=4 λd=5 λd=3 λd=4 λd=5 90 80 70 60 50 β ( ) 0,05 10 δ 40 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 r/r 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 r/r 30 γ ( ) 90 80 70 60 50 40 30 20 γ( ) λd=3 λd=4 λd=5 W/V 0 6 5 4 3 2 1 Φαινόμενη Ταχύτητα λd=3 λd=4 λd=5 10 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 r/r 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 r/r
Διόρθωση οπισθέλκουσας (1) Πρώτα βρίσκουμε τη διόρθωση για τη χορδή. V 3 (2 r dr) Nr W 2 ( C cos C sin ) cdr 16 1 1 27 2 o 2 L D Εδώ χρησιμοποιούμε το c για να δείξουμε ότι η χορδή θα διαφέρει από το c που υπολογίσαμε για C D =0. Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το δεξί μέλος με C L cosγ έχουμε: 1 3 1 2 CD V (2 r dr) N r WC cos ( 1 tan ) cdr 7 2 2 16 2 Λύνοντας ως προς c : o L C L c 3 16 2 V0 1 2 C 27 C NW cos 1 D tan L c C L 3 2 D r R
Διόρθωση οπισθέλκουσας (2) Έτσι: c c 3 2 1 C 1 D C L D r R Λαμβάνοντας υπόψη την οπισθέλκουσα καταλήγουμε σε μεγαλύτερη χορδή. Η c εξαρτάται, όπως ήταν αναμενόμενο, από το λόγο C L /C D. Η οπισθέλκουσα δεν έχει επίδραση στη γωνία στρέψης β. Η οπισθέλκουσα επιδρά όμως στην παραγόμενη ισχύ, η οποία δεν μπορεί παρά να είναι μικρότερη από εκείνη της «ιδανικής» κατάστασης (δηλαδή στο όριο Betz). dp N df r N 1 2 r W ( C cos C sin ) c dr 2 L D Και εδώ η dp συμβολίζει τη διόρθωση στην ισχύ.
Διόρθωση οπισθέλκουσας (3) Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το δεξί μέλος της (48) με C L cosγ και με χρήση της tan 3 2 r R παίρνουμε: dp 1 2 3 D r Nr W C cos c dr 1 ) ( 2 L dp BETZ ( C 0) D 2 C C L D R BETZ 3 CD 1 2 C dp dp L D r R οι απώλειες γίνονται σημαντικότερες στο ακροπτερύγιο (r R). οι απώλειες αυξάνονται για μεγάλα λ D. Για να τις περιορίσουμε χρειάζεται να μεγιστοποιηθεί ο λόγος C L /C D. Αυτό σημαίνει χρήση αποδοτικής αεροτομής, βέλτιστη γωνία προσβολής (α=α opt ) και μεγάλοι αριθμοί Re.
Διόρθωση οπισθέλκουσας (4) Υπολογισμός του P Αν C L /C D =ct για όλο το μήκος της πτέρυγας, με ολοκλήρωση της εξίσωσης και θέτοντας dp 16 1 3 V (2 r dr ) BETZ 27 2 o προκύπτει: οπότε: Και φυσικά: R 0 BETZ R 16 1 3 3 C 2 16 1 3 2 C D D D 2 BETZ 27 2 o 2 C R dr V R BETZ 27 2 o C D L L 0 P dp V r P P P P C C BETZ R 3 3 C 1 D C L D CD 1 P P, BETZ C D L P BETZ
Διόρθωση οπισθέλκουσας (5) 0,35 0,30 0,25 CD=0 CL/CD=50 CL/CD=20 CL/CD=10 0,65 0,60 0,55 0,50 c (m) 0,20 0,15 0,10 C P 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 CL/CD=100 CL/CD=50 CL/CD=20 CP BETZ 0,05 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 r/r 0,20 0 2 4 6 8 10 12 λ D Διόρθωση οπισθέλκουσας: χορδή Α/Γ με Ν=3, R=40m, α opt =4, λ D =3 και C p για διάφορα C L /C D και λ D
Άλλες απώλειες και μέθοδοι υπολογισμού τους (1) Περιστροφή απορρεύματος. Το φαινόμενο αυτό προκαλεί αύξηση της φαινόμενης ταχύτητας στην κατεύθυνση περιστροφής και είναι πιο έντονο στην πλήμνη (hub), λόγω του ότι η Ωr είναι μικρή. Απώλειες ακροπτερυγίου. (3D φαινόμενα). Το φαινόμενο αυτό είναι πιο έντονο στο ακροπτερύγιο και έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της φαινόμενης ταχύτητας στην κατεύθυνση του ανέμου. http://en.wikipedia.org/wiki/wingtip_vortices http://en.wikipedia.org/wiki/file:airplane_vortex_edit.jpg
Άλλες απώλειες και μέθοδοι υπολογισμού τους (2) Για τον υπολογισμό της επίδρασης του κάθε μηχανισμού χρησιμοποιούνται δύο αδιάστατοι συντελεστές a και a για τις απώλειες ακροπτερυγίου και περιστροφής του απορρεύματος αντίστοιχα. Οι συντελεστές αυτοί επιδρούν στην φαινόμενη ταχύτητα W μέσω των συνιστωσών της, ως εξής: 2 2 W a a V (1 ) r (1 ) 0 U=-Ωr ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ W αρχική W τελική V 0 U=-Ωr (1+a ) V0 (1-a) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ W αρχική W τελική dd dl
Διόρθωση περιστροφής απορρεύματος για πτέρυγα αιολικής μηχανής 0,7 60 0,6 λd=3 λd=4 50 c (m) 0,5 0,4 0,3 0,2 λd=5 λd=3 λd=4 λd=5 δ ( ) 40 30 20 λd=3 λd=4 λd=5 λd=3 λd=4 λd=5 0,1 10 δ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 r/r 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 r/r Ν=3, R=40m, α opt =4 για διάφορες τιμές του λ D.
Συντελεστής F απωλειών ακροπτερυγίου 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Συντελεστής F απωλειών ακροπτερυγίου λd=3 λd=4 λd=5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Διόρθωση περιστροφής απορρεύματος και απώλειες ακροπτερυγίου 0,7 0,6 c (m) 0,5 0,4 0,3 BETZ LIMIT Wake Rotation Tip Loss 0,2 0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 r/r Διόρθωση περιστροφής απορρεύματος και απώλειες ακροπτερυγίου για πτέρυγα αιολικής μηχανής με Ν=3, R=40m, α opt =4 και λ D =3.
Επίδραση του αριθμού των πτερυγίων στο C p,max 0,6 0,55 0,5 Cp, max 0,45 0,4 0,35 BETZ Ν=1 Ν=2 Ν=3 Ν=5 Ν=10 Ν=100 0,3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 λ
Επίδραση του C L /C D στο C p,max 0,6 0,5 0,4 Cp, max 0,3 0,2 CL/CD=10 CL/CD=20 CL/CD=50 CL/CD=100 CL/CD=1000 0,1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 λ
Περιορισμοί της θεωρίας ορμής Η μέθοδος δεν έχει εφαρμογή για a>0,4 (μεγάλα λ) Στην περιοχή απώλειας στήριξης παρουσιάζονται πολλαπλές λύσεις (δύο γωνίες προσβολής δίνουν το ίδιο C L.) 2 1,5 Εμπειρική σχέση C T 1 Ανεμόμυλος Τυρβώδες Απόρρευμα Η θεωρία ορμής καταρρέει 0,5 Προπέλα 0-0,4-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4-0,5 C T =4a(1-a) a -1
Θεωρία στροβίλων Vortex theory - Lifting Line Theory (LLT) - Και πάλι το πτερύγιο αντικαθίσταται από σύστημα δέσμιων και ελεύθερων στροβίλων. Η περιστροφή του πτερυγίου δημιουργεί ελικοειδές φύλλο στροβίλων που περιστρέφεται αντίθετα από το ρότορα. http://en.wikipedia.org/wiki/file:aircraft_wing_lift_distribution_showing_trailing_vortices_%283%29.svg
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Λευθεριώτης Γεώργιος, 2015. «Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού, Ενότητα: Σχεδίαση Πτερυγίων 1» Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/units/?course=phy1954&id=4290
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων