Θεωρούµε ένα χρονικά µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο, δηλαδή ένα µαγνητι κό πεδίο, που η έντασή του µεταβάλλεται µε τον χρόνο (λ.χ. το µαγνητικό πε δίο που παράγεται από ένα σωληνοειδές, στο οποίο η ένταση του ρεύµατος µετα βάλλεται µε τη βοήθεια ενός ροοστάτη). Mέσα στο πεδίο αυτό φέρουµε ένα µεταλλικό πλαίσιο, που µαζί µε αµπερόµετρο A αποτελούν κλειστό κύκλωµα και το κρατάµε ακίνητο σε ορισµένη θέση (σχήµα 1). Tότε θα διαπιστώσουµε ότι, όσο διαρκεί η µεταβολή του µαγνητικού πεδίου ο δείκτης του αµπεροµέτ ρου εκτρέπεται, δηλαδή στο πλαίσιο κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύµα. H εξήγηση του φαινοµένου στηρίζεται στο γεγονός ότι, η µεταβολή του µαγνητικού πεδίου επιφέρει µεταβολή της µαγνητικής ροής µέσα από την επιφάνεια S του πλαισίου µε αποτέλεσµα να δηµιουργείται κατά µήκος του µιά επαγωγική ηλεκτρεγερτική δύναµη, η οποία διακινεί το ρεύµα αυτό. Mιά προσεκτικότερη πειραµατική µελέτη του φαινοµένου µας πείθει ότι, η τιµή και η πολικότητα της ηλεκτρεγερτικής αυτής δύναµης ανταποκρίνεται στο νόµο του Faraday, δηλαδή περιγράφεται από την σχέση: E " = -d#/dt όπου dφ/dt ο ρυθµός µεταβολής της µαγνητικής ροής µέσα από την επιφάνεια του µεταλλικού πλαίσιου, κατά την χρονική στιγµή που το εξετάζουµε. Eξετά ζοντας βαθύτερα την επαγωγική ηλεκτρεγερτική δύναµη στο πλαίσιο, είµαστε υποχρεωµένοι να παραδεχθούµε ότι η παρουσία της εγγυάται την ύπαρξη ενός Σχήµα 1 ηλεκτρικού πεδίου, του οποίου γεννεσιουργός αιτία είναι η χρονική µεταβoλή του µαγνητικού πεδίου. Tο ηλεκτρικό αυτό πεδίο δεν εντοπίζεται µόνο στην θέση του πλαισίου αλλά σε όλο τον χώρο, είναι δε ανεξάρτητο από την παρου σία του πλαισίου, η οποία απλώς επιβεβαιώνει την ύπαρξή του. H φυσιογνωµία του ηλεκτρικού πεδίου που παραγει ένα χρονικά µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο εξαρτάται από την γεωµετρική µορφή του µαγνητικού πεδίου, καθώς και από τον τρόπο εξάρτησής του από τον χρόνο. Όπως θα δείξουµε στην συνέχεια
το ηλεκτρικό αυτό πεδίο συνδέεται µε το µαγνητικό πεδίο που το παράγει, µέσω ενός γενικευµένου νόµου επαγωγής, ο οποίος γίνεται κατανοητός ως εξής: Aς δεχθούµε ότι µέσα σ' ένα χρονικά µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο υπάρχει ένας µεταλλικός βρόχος τυχαίου σχήµατος, που είναι ακίνητος στο σύστηµα αναφοράς του µαγνητικού πεδίου (σχ. 2). O βρόχος αυτός θα διαρ ρέεται µε επαγωγικό ρεύµα, οπότε από κάθε στοιχειώδες τµήµα του dl θα διέρχεται µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, το στοιχειώδες ηλεκτρικό Σχήµα 2 φορτίο dq. Tο φορτίο αυτό θα δέχεται από το ηλεκτρικό πεδίο που παράγει το µαγνη τικό πέδιο, ηλεκτρική δύναµη: F " = dq E όπου E η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο στοιχειώδες τµήµα dl, κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή t. Tο στοιχειώδες έργο dw, που παράγει η ηλεκ τρική δύναµη στον χρόνο dt, είναι: dw = F " dl #$%& = dq (EdL "#$) (1) όπου φ η γωνία που σχηµατίζει το στοιχειώδες τµήµα dl µε την ένταση E. Tο συνολικό έργο dw ολ. όλων των ηλεκτρικών δυνάµεων, που αντιστοιχούν στα διάφορα στοιχειώδη τµήµατα dl του µεταλλικού βρόχου και σε χρόνο dt, είναι: dw " = (1) (dw) dw " = dq % (EdL"#$) dw " /dq = " ( E d L ) (2) Όµως το πηλίκο dw ολ /dq εξ ορισµού αποτελεί την επαγωγική H.E.Δ. που εντο πίζεται κατά µήκος του βρόχου την χρονική στιγµή t, η οποία σύµφωνα µε το νόµο της επαγωγής του Faraday είναι ίση µε dφ/dt, όπου dφ/dt ο ρυθµός
µεταβολής της µαγνητικής ροής µέσα από την επιφάνεια S του µεταλλικού βρόχου, κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Έτσι η σχέση (2) γράφεται: " ( E d L ) = -d/dt (3) Eξάλλου το αλγεβρικό άθροισµα του πρώτου µέλους της (3) αποτελεί ένα επικα µπύλιο ολοκλήρωµα που πρέπει να υπολογιστεί κατά µήκος της κλειστής γραµ µής, η δε ολοκληρωτέα ποσότητα είναι το εσώτερικό γινόµενο ( E d L ) που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο της γραµµής. Έτσι η σχέση (3) παίρνει την αυστηρότερη µορφή: " ( E d L ) = -d/dt (4) H (4) εκφράζει το γενικευµένο νόµο της επαγωγής του Faraday και συσχετίζει κάθε στιγµή τις εντάσεις του ηλεκτρικού πεδίου στα σηµεία του µεταλλικού βρόχου, µε τον αντίστοιχο ρυθµό µεταβολής της µαγνητικής ροής µέσα από την επιφάνειά του. Πρέπει ακόµη να τονιστεί ότι, η σχέση (3) ισχύει για κάθε νοητή κλειστή γραµµή, που βρίσκεται µέσα στο χρονικά µεταβαλλόµενο µαγνητι κό πεδίο, αφού το ηλεκτρικό πεδίο υπάρχει στον χώρο ανεξάρτητα από την πα ρουσία του µεταλλικού βρόχου µέσα στο πεδίο. Eξάλλου η σχέση (3) βεβαιώνει ότι, το ηλεκτρικό αυτό πεδίο δεν είναι ηλεκτροστατικό, διότι τότε θα έπρεπε να ισχύει η σχέση: " ( E d L ) = 0 γεγονός που σηµαίνει ότι, το ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από χρονικά µετα βαλλόµενο µαγνητικό πεδίο είναι µη συντηρητικό. Aκόµη η ίδια σχέση εγγυ άται ότι, το ηλεκτρικό αυτό πεδίο είναι χρονικά µεταβαλλόµενο, µε εξαίρεση την περίπτωση που ο ρυθµός µεταβολής του µαγνητικού πεδίου είναι σταθε ρός, οπότε το παραγόµενο ηλεκτρικό πεδίο είναι χρονικά αµετάβλητο. Tέλος επειδή το ηλεκτρικό αυτό πεδίο δεν παράγεται από ηλεκτρικα φορτία, οι δυνα µικές του γραµµές είναι κλειστές και σχηµατίζουν επιφάνειες που τέµνονται κάθετα από τις δυναµικές γραµµές του χρονικά µεταβαλλόµενου µαγνητικού πεδίου που το παράγει. Παρατήρηση: Eάν το χρονικά µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο παρουσιάζει στο χώρο άξονα συµµετρίας, δηλαδή υπάρχει άξονας zz', ως προς τον οποίο οι δυναµικές γραµ µές του πεδίου είναι ανά δύο συµµετρικές, τότε αποδεικνύεται ότι οι δυναµι κές γραµµές του παραγόµενου ηλεκτρικού πεδίου είναι περιφέρειες κύκλων, που τα κέντρα τους βρίσκονται πάνω στον άξονα αυτό, τα δε επίπεδά τους είναι κάθετα στον άξονα, H φορά κάθε ηλεκτρικής δυναµικής γραµµής είναι ίδια µε την συµβατική φορά του επαγωγικού ρεύµατος που θα προκύψει πάνω σε κυκλικό µεταλλικό αγωγό, αν τοποθετηθεί στην θέση της δυναµικής γραµµής (σχ. 3). Θεωρώντας εξάλλου µια τυχαία δυναµική γραµµή ακτίνας r, µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι, σε όλα τα σηµεία αυτής το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι κάθε στιγµή το ίδιο (για λόγους συµµετρίας) και επί
πλέον τα στοιχειώδη τµήµατά της dl είναι οµόρροπα προς τις αντίστοιχες εντάσεις του ηλεκτρικού πεδίου (συνφ=1). Έτσι, εάν κατά µήκος της δυναµικής Σχήµα 3 αυτής γραµµής εφαρµόσουµε τον γενικευµένο νόµο του Faraday, διαγράφων τας αυτή κατά την θετική της φορά, θα έχουµε: " ( E d L ) = - d/dt E (dl) = - d/dt E(2r) = - d dt 1 " d % E= - $ ' (4) 2r # dt & H σχέση (4) ισχύει µόνο για χρονικά µεταβαλλόµενα µαγνητικά πεδία, που παρουσιάζουν στο χώρο άξονα συµµετρίας και παρέχει κάθε στιγµή την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση r από τον άξονα συµµετρίας. Tο πηλίκο dφ/dt εκφράζει την αντίστοιχη ταχύτητα µεταβολής της µαγνητικής ροής, µέσα από την επιφάνεια S που καθορίζει η ηλεκτρική δυναµική γραµµή, ακτί νας r. Tέλος το πρόσηµο (-) αναφέρεται στην φορά της έντασης, η οποία πρέπει να ανταποκρίνεται στον κανόνα του Lenz. Διαφορική µορφή του νόµου του Faraday Θεωρούµε ένα χρονικά µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο, που η τοπική του εξέλιξη αναφέρεται σε κάποιο σύστηµα συντεταγµένων. Tότε σε κάθε σηµείο του χώρου θα υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο του οποίου η φυσιογνωµία συνδέεται άρρηκτα µε το µαγνητικό πεδίο, µέσω του γενικευµένου νόµου του Faraday του οποίου η ολοκληρωτική µορφή περιγράφεται από την σχέση: " ( E d L ) = - d/dt (1) όπου µια οποιαδήποτε κλειστή γραµµή του χώρου στον οποίο εκτείνεται το µαγνητικό πεδίο και d/dt ο ρυθµός µεταβολής της µαγνητικής ροής µέσα από κάθε επιφάνεια που έχει ως περίγραµµα τη γραµµή. Aς φανταστούµε ότι η επιφάνεια συρικνώνεται ώστε να προσεγγίζει ένα σηµείο M του πεδίου,
οπότε αναγκαστικά το περίγραµµα θα τείνει στο µηδέν. Σύµφωνα µε τον ορισµό του στροβιλισµού µιας διανυσµατικής συνάρτησης θα ισχύει για τον στροβιλισµό ( " E ) της έντασης E του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο M, η σχέ ση: ( " E )# d S = lim % ( E # d L ) (2) S$0 Όµως η (1) ισχύει και όταν το περίγραµµα τείνει στο µηδέν, οπότε ο συνδυ ασµός των (1) και (2) δίνει την σχέση: ή ( " E )# d S = - lim S$0 ( d/dt) = - d( B # d S )/dt ( " E )#d S = - (d B /dt)#d S ( " E )= - d B / dt ( " E )= -# B /#t (3) όπου η χρονική παράγωγος d B /dt αντικαταστάθηκε µε την µερική παράγωγο B /t, διότι η ένταση B εξαρτάται και από τις συντεταγµένες του θεωρούµε νου σηµείου. H σχέση (3) αποτελεί την διαφορική µορφή του νόµου του Faraday και ισχύει σε κάθε σηµείο του χώρου στον οποίο εκδηλώνεται χρονική µεταβολή µαγνητικού πεδίου. Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Oxyz η (3) παίρνει την µορφή: i j k /x /y /z = - t B xi + B y j + Bz k E x E y E z i j k " /x /y /z = -$ # E x E y E z ( ) B x t i + B y B j + z t t όπου E x, E y, E z οι αλγεβρικές τιµές των συνιστώσων της E και B x. B y, B z οι αντίστοιχες αλγεβρικές τιµές της B, στο σύστηµα συντεταγµένων Oxyz. % k ' & Mέσα σ ένα χρονικά σταθερό µαγνητικό πεδίο θεωρούµε νοητή κλειστή γραµ µή την οποία διαγράφουµε κατά µια φορά, που συµβατικά θεωρείται ως
θετική φορά διαγραφής της γραµµής αυτής. Διαµερίζουµε την γραµµή σε στοι χειώδη* τµήµατα d L 1, d L 2,... d L n στα οποία οι αντίστοιχες εντάσεις του µαγ νητικού πεδίου είναι B 1, B 2,... B n. Tο αλγεβρικό αθροισµα: " ( B d L ) = ( B 1 d L 1 ) + ( B 2 d L 2 ) +... + ( B n d L n ) ορίζεται ως κυκλοφορία της έντασης B του πεδίου κατα µήκος της κλειστής γραµµής και συµβολίζεται µε Γ( B), δηλαδή ισχύει: ( B ) = " ( B d L ) Eάν i 1, i 2,...i κ είναι οι εντάσεις των ρευµάτων που περιβάλλει η κλειστή γραµµή, αποδεικνύεται ότι ισχύει η σχέση : ( B (i 1 + i 2 +... + i " ) ή " ( B d L " (i) (1) όπου Σ(i) το αλγεβρικό αθροισµα των εντάσεων των ρευµάτων και µ 0 η απόλυ τη µαγνητική διαπερατότητα του κενού. H σχέση (1) αποτελεί την µαθηµατική έκφραση του νόµου του Ampere, ο οποίος έχει την εξής διατύπωση: Kατά µήκος µιας οποιασδήποτε κλειστής γραµµής, που περιβάλλει σταθερά ρεύµατα, η κυκλοφορία της έντασης του µαγνητικού πεδίου, είναι ανάλογη προς το αλγεβρικό άθροισµα των εντάσεων των ρευµά των που περιβάλλει η γραµµή αυτή. H απόδειξη του νόµου του Ampere στην γενική του µορφή είναι εξαιρετικά πολύπλοκη υπόθεση και για το λόγο αυτό θα επιχειρήσουµε µια απόδειξη του νόµου στην ειδική περίπτωση που, η κλειστή γραµµή καθορίζει µια επίπεδη επιφάνεια και περιβάλλει ένα ευθύγραµµο ρευµατοφόρο αγωγό, πολύ µεγάλου µήκους, ο οποίος τέµνει κάθετα την επιφάνεια αυτή (σχ. 4). Eίναι γνωστό ότι ο ρευµατοφόρος αυτός αγωγός δηµιουργεί γύρω του µαγνητικό πεδίο, του οποί ου οι δυναµικές γραµµές είναι περιφέρειες κύκλων, των οποίων τα κέντρα βρίσκονται πάνω στον αγωγό, τα επίπεδα τους είναι κάθετα στον αγωγό, η δε φορά τους καθορίζεται µε τον κανόνα του δεξιού χεριού. Θεωρώντας ως φορά διαγραφής της κλειστής γραµµής την φορά των µαγνητικών δυναµικών γραµµών παρατηρούµε ότι, το τυχαιο στοιχειώδες τµήµα d L της γραµµής, που απέχει από το ρευµατοφόρο αγωγό απόσταση r, σχηµατίζει µε την ενταση B του µαγνητικού πεδίου γωνία φ, για την οποία ισχύει: συνφ = dr/dl dlσυνφ = dr BdLσυνφ = Bdr ( B d L ) = Bdr (2) όπου dr το µήκος της προβολής του d L πάνω στη διεύθυνση της έντασης B. ------------------------------------- * Tα στοιχειώδη αυτά τµήµατα µπορούν να θεωρηθούν στοιχειώδη διανύσµατα µε µέτρα ίσα προς τα µήκη τους και µε φορά τη φορά διαγραφής της κλειστής γραµ µής.
Oµως το µέτρο της B δίνεται από την σχέση B = µ 0 i/2r, οπότε η (2) γράφεται: ( B d L idr 2 r (3) Σχήµα 4 Aκόµη έχουµε την σχέση: dr = rηµdθ rdθ (4) διότι η γωνία dθ υπό την οποία φαίνεται το στοιχειώδες τµήµα d L από το σηµείο τοµής O του αγωγού και του επιπέδου της κλειστής γραµµής είναι πολύ µικρή και µπορούµε χωρίς αισθητό λάθος να θέσουµε ηµdθ dθ. Συνδυά ζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: ( B d L 2 ird" r Aθροίζοντας τα γινόµενα ( λαµβάνοντας υπ όψη την σχέση (5) έχουµε: = µ id" 0 (5) 2 B d L ) κατά µήκος της κλειστής γραµµής και ( B d L # µ " ) = 0 id & " % ( = µ i 0 " $ 2" ' 2" (d) (6) Oµως το άθροισµα (d) αποτελεί την γωνία υπό την οποία φαίνεται η επίπε δη καµπύλη από το σηµείο O του επιπέδου της, η οποία γωνία είναι ίση µε 2π. Έτσι η σχέση (5) γράφεται: " ( B d L ) = µ i 0 2 2 = µ i (7) 0 O νόµος του Ampere είναι ανεξάρτητος από το σχήµα της κλειστής γραµµής στην οποία αναφέρεται και από την φορά διαγραφής της, καθώς και από το σχήµα των ρευµατοφόρων αγωγών που περιβάλλει. Eξάλλου, στο άθροισµα Σ(i) θεωρούνται θετικές οι εντάσεις εκείνων των ρευµάτων, που δηµιουργούν µαγ νητικά πεδία µε δυναµικές γραµµές οµόρροπες προς την φορά διαγραφής της κλειστής γραµµής, ενώ θεωρούνται αρνητικές οι εντάσεις των ρευµάτων που δηµιουργούν µαγνητικά πεδία µε δυναµικές γραµµές αντίρροπες προς την φορά διαγραφής της κλειστής γραµµής.
Σπουδαίες παρατηρήσεις: i) Tο πρώτο µέρος της σχέσεως (1) είναι ένα επικαµπύλιο ολοκλήρωµα που πρέπει να υπολογιστεί κατά µήκος της κλειστής γραµµής, η δε ολοκληρω τέα ποσότητα είναι το εσωτερικό γινόµενο ( B d L ) που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο της γραµµής. Eξάλλου το δεύτερο µέλος της σχέσεως (1) µπορεί να εκφρασθεί µε βάση την πυκνότητα των ρευµάτων που περικλείει η κλειστή γραµµή. Πράγµατι εαν θεωρήσουµε µια οποιαδήποτε επιφάνεια που έχει ως περίγραµµα την κλειστή γραµµή, τότε το αθροισµα Σ(i) είναι ίσο µε τη ροή της πυκνότητας J των ρευµάτων που διασχίζουν την επιφάνεια, διαµέσου της επιφάνειας αυτής, δηλαδή ισχύει η σχέση: (i) = ## ( J "d S ) (8) Έτσι ο νόµος του Ampere αποδίδεται γενικώτερα µε την σχέση: " ( B d L "" ( J d S ) (9) Mε βάση τη σχέση (9) θα επιχειρήσουµε µια βαθύτερη ανάλυση της φυσιογνω µίας του µαγνητικού πεδίου σε κάθε σηµείο του. Προς τούτο φανταζόµαστε ότι η επίφάνεια συρικνώνεται τείνοντας στο µηδέν, οπότε αυτή θα προσεγγίζει ένα σηµείο του χώρου στον οποίο είναι εντοπισµένο το µαγνητικό πεδίο που εξετάζουµε. Λαµβάνοντας τον στροβιλισµό της έντασης B στο σηµείο αυτό, θα έχουµε βάσει του ορισµού του στροβιλισµού µιας διανυσµατικής συνάρτησης, την σχέση: ( " B )#d S = lim S$ 0 ( B #d L % ) (10) Όµως η σχέση (9) ισχύει και για κλειστή γραµµή που αποτελεί το περίγ ραµµα µιας επιφάνειας που τείνει στο µηδέν, οπότε συνδυάζοντας τις σχέσεις (9) και (10) έχουµε: ( " B )# d S = µ 0 ( J # d S ) ( " B )# d S = (µ 0 J # d S ) ( " B )= µ 0 J H σχέση (11) αποτελεί την διαφορική µορφή του νόµου του Ampere και ισχύει για κάθε σηµείο του µαγνητικού πεδίου, εκφράζει δε πως διαµορφώνεται στον χώρο ένα µαγνητικό πεδίο από µια δεδοµένη κατανοµή ρευµάτων. Πρέπει ακόµη να τονίσουµε ότι η σχέση (11) µάζι µε τη σχέση ( " B ) = 0 µας επιτρέπει να καθορίσουµε την συνάρτηση της έντασης του πεδίου, δηλαδή να απεικονί σουµε τοπικώς την φυσιογνωµία του. ii) O νόµος του Ampere εκφραζόµενος είτε υπό ολοκληρωτική µορφή (σχέση 9) είτε υπό διαφορική µορφή (σχέση 11) ισχύει για ρεύµατα που οι έντασεις τους είναι ανεξάρτητες του χρόνου. Πράγµατι, εάν τα ρεύµατα είναι χρονικά µετα βαλλόµενα, τότε σε κάθε σηµείο του χώρου σύµφωνα µε την εξίσωση της συνέ χειας θα ισχύει η σχέση: (11)
( " J ) + #/#t = 0 ( " J ) = -#/#t (12) όπου ρ η πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου στο θεωρούµενο σηµείο, η οποία θα είναι µια συνάρτηση του χρόνου, αφού δεχθήκαµε χρονικά µεταβαλλόµενα ρεύµατα. Eξάλλου εάν ίσχυε ο νόµος του Ampere θα έπρεπε στο σηµειο αυτό να έχουµε την σχέση: ( " B )= µ 0 J " ( # B ( " J ) 0 = µ 0 ( " J ) ( " J ) = 0 (13) Oι σχέσεις (12) και (13) είναι µεταξύ τους σε αντίφαση και το γεγονός αυτό οφείλεται στην αρχική παραδοχή ότι τα ρεύµατα που διαµορφώνουν το µαγνη τικό πεδίο είναι χρονικά µεταβαλλόµενα. Όταν προηγουµένως αναφερθήκαµε στην διαφορική µορφή του νόµου του Ampere, διατυπώσαµε την παρατήρηση ότι ο νόµος αυτός ισχύει µόνο για µαγ νητικά πεδία που πηγάζουν από σταθερά ρεύµατα, διότι στην αντίθετη περίπτω ση η εφαρµογή του νόµου παραβιάζει την εξίσωση της συνέχειας, δηλαδή την αρχή διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου. Eπιλέγοντας την διαδικασία φόρτι σης ενός πυκνωτή µπορούµε να επιβεβαιώσουµε την κατάρευση του νόµου του Ampere όταν αυτός αναφέρεται σε µη σταθερά ρεύµατα. Πράγµατι κατά την φόρτιση του πυκνωτή συµβαίνει συσσώρευση αντίθετων ηλεκτρικών φορτίων στους οπλισµούς του και τα σύρµατα που συνδέουν τους οπλισµούς µε τους πόλους της γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος διαρρέονται µε ρεύµα του οποίου η ένταση µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο, ενώ στο χώρο µεταξύ των οπλισµών δεν υπάρχει ηλεκτρικό ρεύµα. Aς εφαρµόσουµε το νόµο του Ampere υπο ολοκληρωτική µορφή κατά µήκος του βρόχου του σχήµατος 5(β) θεωρώντας ότι ο βρόχος αυτός αποτελεί σύνορο της επιφάνειας (S 1 ) που συµπίπτει µε το επίπεδο του βρόχου. Eπειδή η επιφάνεια (S 1 ) διασχίζεται από το ρεύµα φόρτισης του πυκνωτή, έντασης i, θα ισχύει η σχέση: " ( B d L i (1) Aν όµως θεωρήσουµε ότι στον βρόχο περατώνεται η σκιασµένη επιφάνεια (S 2 ) που µοιάζει µε µπαλόνι και η οποία δεν διασχίζεται από κανένα ρεύµα (i=0), τότε στην περίπτωση αυτή ο νόµος του Ampere θα δίνει την σχέση: " ( B d L ) = 0 (2)
Oι σχέσεις (1) και (2) οδηγούν σε άτοπο, αφού το ολοκλήρωµα που παρουσιάζε ται στο πρώτο µέλος είναι διάφορο του µηδενός και ταυτόχρονα ίσο µε µηδέν, που σηµαίνει ότι ο νόµος του Ampere εκφραζόµενος µε την σχέση (1) είναι ελ λειπής στην περίπτωση που το µαγνητικό πεδίο πηγάζει από χρονικώς µετα βαλλόµενα ρεύµατα. O J.C. Maxwell γνωρίζοντας αυτή την αδυναµία του νόµου του Ampere επεχείρησε να τον τροποποιήσει ώστε να περιγράφει και µαγνητικά πεδία που απορρέουν από µη σταθερά ρεύµατα. Έχοντας υπ όψη του το νόµο της επαγωγής του Faraday, δηλαδή το γεγονός ότι ένα χρονικά Σχήµα 5(α) Σχήµα 5(β) µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο παράγει ηλεκτρικό πεδίο, συνέλαβε την ιδέα ότι µπορεί να συµβαίνει και η αντίστροφη πρόταση, δηλαδή ότι ένα χρονικά µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο δηµιουργεί µαγνητικό πεδίο. Iσχυρίστηκε δηλαδή ο Maxwell ότι, εκτός από τα ηλεκτρικά ρεύµατα και τα χρονικά µετα βαλλόµενα ηλεκτρικά πεδία αποτελούν πηγές δηµιουργίας µαγνητικού πεδίου. H σύλληψη του ισχυρισµού αυτού επέτρεψε στον Maxwell να επαναδιατυπώ σει το νόµο του Ampere δίνοντάς του την µορφή: ( " B ( J + J µ ) (3) όπου J µ ένα διανυσµατικό µέγεθος που εκφράζει την συµβολή του χρονικά µε ταβαλλόµενου ηλεκτρικού πεδίου στην διαµόρφωση της έντασης B του µαγνη τικού πεδίου στο αναφερόµενο σηµείο του. Θεωρώντας την απόκλιση και των δύο µελών της (3) παίρνουµε την σχέση: "( # B ( " J + " J µ ) 0 = µ 0 ( " J ) + µ 0 ( " J µ ) (4) Όµως σύµφωνα µε το νόµο της συνέχειας ισχύει και η σχέση: ( " J ) + #/#t = 0 µ 0 ( " J ) = -µ 0 (#/#t) (5) όπου ρ η χωρική πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου στο θεωρούµενο σηµείο του πεδίου. Eφαρµόζοντας στο σηµείο αυτό τον νόµο του Gauss υπό την διαφορική του µορφή, έχουµε:
( " E ) =/" 0 t ( "# E ) = 1 " 0 t όπου E η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εξεταζόµενο σηµείο. Eπειδή ο τελεστής αναφέρεται µόνο στην θέση του σηµείου, η σχέση (6) γράφεται: $ " # E ' & ) = 1 #" % #t ( 0 #t t = $ " # " E ' & ) (7) % 0 t ( Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (7) παίρνουµε: ( ) µ 0 ( " J ) = - " 0 µ 0 # E /#t οπότε η (4) γράφεται: ( ) + µ 0 ( 0 = - " 0 µ 0 # E /#t ( ) " J µ ) ( " J µ ) = " 0 # E /#t J µ = 0 ( E /t) (8) Mε βάση την (8) ο τροποποιηµένος από τον Maxwell νόµος του Ampere παίρνει την γενικότερη µορφή: ( " B J + 0 µ 0 (# E /#t) (9) η οποία εκφράζει σε κάθε σηµείο του χώρου την σχέση ανάµεσα στο µαγνητικό πεδίο και τις πηγές του, που είναι η πυκνότητα ρεύµατος J και η ταχύτητα µεταβολής E /t της έντασης του χρονικά µεταβαλλόµενου ηλεκτρικού πεδί ου. O Maxwell ονόµασε την ποσότητα 0 ( E /t) πυκνότητα του ρεύµατος µετατόπισης και πρόκειται για µια παραπλανητική ονοµασία, αφού δεν εκφρά ζει ένα υπαρκτο ρεύµα που συνυπάρχει µε τα ρεύµατα που αντιπροσωπεύει η πυκνότητα J. Όµως η αποδοχή του ρεύµατος µετατόπισης έχει αποφασιστική σηµασία διότι µας επιτρέπει µέσω της σχέσεως (9) να γενικεύσουµε το νόµο του Ampere, ώστε να καλύπτει και τα µαγνητικά πεδία που δηµιουργούνται από χρονικώς µεταβλητά ρεύµατα. Tο ρεύµα µετατόπισης του Mαxwell είναι προϊόν µιας µεγαλοφυούς σκέψεως, διότι αποτέλεσε τον κρίκο που έλλειπε για την δηµιουργία της ηλεκτροµαγνητικής θεωρίας, η οποία στις µέρες µας καλύπτει ένα σηµαντικό µέρος της φυσικής πραγµατικότητας. H ιδέα του Maxwell περί του ρεύµατος µετατόπισης παρέµεινε µεχρι την ηµέρα του θανάτου του ως µια θεωρητική υπόθεση, που απλώς εναρµόνιζε τον νόµο του Ampere µε την εξίσω ση της συνέχειας χωρίς όµως να έχει πειραµατική υποστήριξη, διότι τα πειρα µατικά µέσα της εποχής δεν επέτρεπαν την επιβεβαίωση της δηµιουργίας µαγ νητικού πεδίου από χρονικά µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο, Όµως το έτος 1886 ο Γερµανός φυσικός Hertz κατάφερε να ανιχνεύσει πειραµατικά το ηλεκ τροµαγνητικό πεδίο που παράγει στον χώρο ένα παλλόµενο ηλεκτρικό δίπολο, δηλαδή ένα σύστηµα ταχύτατα ταλαντευόµενων ηλεκτρικών φορτίων και έκτοτε η ίδέα του ρεύµατος µετατόπισης απέκτησε πραγµατικό φυσικό περιεχό µενο, µε αποτέλεσµα η ηλεκτροµαγνητική θεωρία του Maxwell να περιβληθεί µε επιστηµονικό κύρος. Aς δούµε τώρα ποια είναι η ολοκληρωτική µορφή της (6)
εξίσωσης (9). Προς τούτο θεωρούµε εντός του χώρου όπου εκτείνεται το ηλεκ τροµαγνητικό πεδίο µια κλειστή γραµµή και έστω µια επιφάνεια η οποία περατώνεται στην γραµµή αυτή. Oλοκληρώνοντας την σχέση (9) πάνω στην επιφάνεια παίρνουµε: $$ ( " B )# d S = µ 0 $$ ( J # d S ) + 0 µ 0 $$ (% E /%t)# d S (10) Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Stokes το πρώτο µέλος της (10) είναι ίσο µε το κλειστό επικαµπύλιο ολοκλήρωµα " ( B d L ), οπότε η σχέση αυτή γράφεται: ή " ( B d L "" ( J d S ) +µ 0 "" 0 (# E /#t) d S " ( B d L i + µ 0 0 "" (# E /#t) d S (11α) " ( B d L (i + i µ ) (11β) όπου i η συνολική ένταση των ρευµάτων αγωγιµότητος και i µ η συνολική έντα ση των ρευµάτων µετατόπισης που διασχίζουν την επιφάνεια. H σχέση (11α) ή (11β) αποτελεί την ολοκληρωτική µορφή του νόµου Ampere-Maxwell. Στην συνέχεια θα δείξουµε ότι το παράδοξο που δηµιουργεί ο µη γενικευµένος νόµος του Ampere κατά την διαδικασία φόρτισης του πυκνωτή εξαφανίζεται αν αντί αυτού χρησιµοποιηθεί η σχέση (11α) ή η ισοδύναµή της (11β). Mε την προϋπό θεση ότι η απόσταση d µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή είναι πολύ µικρή σε σχέση µε τις διαστάσεις τους µπορούµε να υποθέσουµε ότι κάθε στιγµή το µέτ ρο της έντασης E του ηλεκτρικού πεδίου σε κάθε σηµείο του χώρου µεταξύ των οπλισµών υπολογίζεται από την σχέση: E =/" 0 = Q/" 0 A (12) όπου σ η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου του θετικού οπλισµού, Q το στιγµι αίο φορτίο του και A το εµβαδόν του. Παραγωγίζοντας την (12) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: E t = 1 Q 0 A t = i 0 A A E 0 t = i i µ = i (13) δηλαδή η στιγµιαία ένταση i του ρεύµατος αγωγιµότητας που διαρρέει τα σύρ µατα σύνδεσης των οπλισµών του πυκνωτή µε τους πόλους της γεννήτριας που τον φορτίζει είναι ίση µε την αντίστοιχη ένταση i µ του ρεύµατος µετατόπι σης που αντιστοιχεί στον χώρο των οπλισµών. Eφαρµόζοντας τη σχέση (11β) στην περίπτωση που η κλειστή γραµµή oριοθετεί την επίπεδη επιφάνεια (S 1 ) παιρνουµε την σχέση: " ( B d L i + µ 0 0 = µ 0 i (14) Eφαρµόζοντας την ίδια σχέση για την καµπύλη επιφάνεια (S 2 ) που έχει σχήµα
µπαλονιού και περατώνεται επίσης στην κλειστή γραµµή, παίρνουµε την σχέση: " ( B d L (13) 0 + µ 0 i µ = µ 0 i µ " ( B d L i (15) δηλαδή ο νόµος Ampere-Maxwell διορθώνει το παράδοξο που δηµιουργεί για το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα " ( B d L ) ο αρχικός νόµος του Ampere, στον οποί ο δεν περιέχεται το ρεύµα µετατόπισης. Παρατηρήσεις: i) Kατά τη φόρτιση του πυκνωτή στον θετικό του οπλισµό συµβαίνει προσαγω γή ηλεκτρικού ρεύµατος χωρίς να απάγεται κάποιο ρεύµα από αυτόν, ενώ στον αρνητικό του οπλισµό απάγεται ηλεκτρικό ρεύµα χωρίς να φθάνει σ αυτόν κα νένα ρεύµα, δηλαδή συµβαίνει στους οπλισµούς παραβίαση του πρώτου κανόνα του Kirchoff. H παραβίαση αυτή αίρεται αν λάβουµε υπ όψη µας το ρεύµα µε τατόπισης που ρέει στον χώρο µεταξύ των οπλισµών, το οποίο απάγει το ρεύ µα αγωγιµότητας που φθάνει στον θετικό οπλισµό ενώ αναπληρώνει το ρεύµα αγωγιµότητας που αναχωρεί από τον αρνητικό οπλισµό του πυκνωτή. ii) Mε τη βοήθεια του ρεύµατος µετατόπισης ο Maxwell πέτυχε να συµβιβάσει την ύπαρξη µαγνητικού πεδίου στο χώρο των οπλισµών του πυκνωτή µε την αντίληψη ότι, κάθε µαγνητικό πεδίο οφείλεται σε ηλεκτρικά ρεύµατα. Έτσι κατά τον Maxwell το µαγνητικό αυτό πεδίο έχει ως πηγή δηµιουργίας το ρεύ µα µετατόπισης και περιγράφεται ποσοτικά µε βάση το ρεύµα αυτό. H ιδέα αυτή του Maxwell µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την εξής γενική αρχή: Tα µαγνητικά πεδία δηµιουργούνται µόνο από ηλεκτρικά ρεύµατα, αρκεί να συµπεριλάβουµε σ αυτά και τα ρεύµατα µετατόπισης. Στά σχήµατα 6(α) και 6(β) φαίνεται το ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο που υπάρ χει ανάµεσα στους κυκλικούς οπλισµούς ενός πυκνωτή κατά την φορτισή του Σχήµα 6(α) Σχήµα 6(β) και την εκφορτισή του αντίστοιχα, στην περίπτωση που η µεταξύ τους απόστα ση είναι πολύ µικρή σε σχέση µε την ακτίνα τους. P.M. fysikos