Στατιστική Ι Ενότητα 4: Στατιστική Ι (4/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Ανάλυση και εκμάθηση των ορισμών του ελέγχου της διακύμανσης, της οικονομετρίας, της διαδικασίας κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου. Καθώς επίσης της γραμμικής παλινδρόμησης, και της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. 4
Περιεχόμενα ενότητας Έλεγχος της διακύμανσης. Οικονομετρία. Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου. Γραμμική παλινδρόμηση. Εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. 5
Έλεγχος της διακύμανσης (1 από 12) Μπορούμε να δούμε τη μεταβλητότητα σε ένα δείγμα και να κάνουμε έλεγχο έναντι της επιθυμητής μεταβλητότητας στον πληθυσμό. Ο έλεγχος της διακύμανσης γίνεται με την κατανομή X 2. Όπως και με την κατανομή t, έτσι και η κατανομή ουσιαστικά δεν είναι μία κατανομή. Αλλά οικογένεια κατανομών: Που διακρίνονται μεταξύ τους από τους βαθμούς ελευθερίας. 6
Έλεγχος της διακύμανσης (2 από 12) Η στατιστική ελέγχου υπολογίζεται από τον τύπο: n είναι το μέγεθος του δείγματος. S 2 είναι η διακύμανση στο δείγμα. σ 2 είναι η διακύμανση στον πληθυσμό. Ο έλεγχος γίνεται με τη σύγκριση της στατιστικής ελέγχου με την κριτική τιμή της Χ 2 κατανομής για n-1 βαθμούς ελευθερίας, ενώ υποθέτουμε κανονική κατανομή για τον πληθυσμό. 7
Έλεγχος της διακύμανσης (3 από 12) Άσκηση: Σε μία τράπεζα μετρήθηκε ο χρόνος αναμονής σε δείγμα 8 πελατών και βρέθηκε ως εξής: Η τράπεζα ισχυρίζεται ότι η τυπική απόκλιση του χρόνου αναμονής είναι το πολύ 2 λεπτά. Να ελεγχθεί αυτός ο ισχυρισμός σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Πίνακας 1: Δεδομένα άσκησης. Πηγή: Διδάσκων (2015). 8
Έλεγχος της διακύμανσης (4 από 12) Απάντηση: Καταρχήν θα πρέπει να σημειώσουμε ότι μας δίνεται η τυπική απόκλιση, οπότε τη μετατρέπουμε σε διακύμανση. Επομένως:. Οι υποθέσεις είναι: 9
Έλεγχος της διακύμανσης (5 από 12) Η διακύμανση του δείγματος είναι: Η στατιστική ελέγχου είναι: 10
Έλεγχος της διακύμανσης (6 από 12) Η κατανομή X 2 δεν είναι συμμετρική κατανομή, οπότε θα πρέπει να προσέξουμε ιδιαίτερα τόσο προς ποια πλευρά είναι ο έλεγχος όσο και ποια ακριβώς θα είναι η κριτική τιμή. Κάθε ουρά έχει δικές της κριτικές τιμές. 11
Έλεγχος της διακύμανσης (7 από 12) Άσκηση: Σε μία τράπεζα μετρήθηκε ο χρόνος αναμονής σε δείγμα 8 πελατών και βρέθηκε ως εξής: Εικόνα 1: Έλεγχος της διακύμανσης. Πηγή: Διδάσκων (2015). 12
Έλεγχος της διακύμανσης (8 από 12) Στις πρώτες πέντε στήλες αριστερά περιλαμβάνονται οι κριτικές τιμές για αριστερόπλευρο έλεγχο. Ενώ οι πέντε στήλες δεξιά περιλαμβάνουν κριτικές τιμές για δεξιόπλευρο έλεγχο. 13
Έλεγχος της διακύμανσης (9 από 12) Στο παράδειγμά μας έχουμε δεξιόπλευρο έλεγχο, οπότε βρίσκουμε την κριτική τιμή της κατανομής για 7 βαθμούς ελευθερίας και 5% επίπεδο σημαντικότητας στη διασταύρωση γραμμής και στήλης που φαίνονται σκιασμένες στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 2: Δεδομένα άσκησης. Πηγή: Διδάσκων (2015). 14
Έλεγχος της διακύμανσης (10 από 12) Συγκρίνοντας τη στατιστική ελέγχου με την κριτική τιμή έχουμε: Επομένως δεν μπορούμε να απορρίψουμε την Η 0, δηλαδή σύμφωνα με τα δεδομένα από το δείγμα μας δεν υπάρχουν ενδείξεις για να απορρίψουμε τον ισχυρισμό της Τράπεζας ότι ο χρόνος αναμονής στα ταμεία έχει τυπική απόκλιση 2 λεπτά. 15
Έλεγχος της διακύμανσης (11 από 12) Άσκηση: Κάποιο πελάτες της Amazon διαμαρτύρονται ότι ο χρόνος αποστολής των παραγγελιών διαφέρει πολύ από πελάτη σε πελάτη. H Amazon ωστόσο υποστηρίζει ότι στέλνει τις παραγγελίες της στην Ελλάδα με τυπική απόκλιση το πολύ 3 ημερών. Σε δείγμα 7 παραγγελιών ο χρόνος αποστολής ήταν: Πίνακας 3: Δεδομένα άσκησης. Πηγή: Διδάσκων (2015). 16
Έλεγχος της διακύμανσης (12 από 12) Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας 5% εάν οι πελάτες έχουν δίκιο να διαμαρτύρονται. Απάντηση: Η διακύμανση είναι: Οι υποθέσεις είναι: 17
Οικονομετρία (1 από 7) Οικονομετρία ποσοτικοποιεί τις σχέσεις μεταξύ μεταβλητών με βάση και αιτιολόγηση τη σχετική οικονομική θεωρία. Έχει στόχο: Όχι μόνο την επαλήθευση των εν λόγω σχέσεων. Αλλά και την πρόβλεψη. Καθώς επίσης και τη διατύπωση νέων σχέσεων. 18
Οικονομετρία (2 από 7) Οι οικονομετρικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται σε όλους σχεδόν τους κλάδους των οικονομικών, όπως: Τα χρηματοοικονομικά. Η μικροοικονομική. Η μακροοικονομική. Η οικονομική της εργασίας. Η οικονομική της υγείας, κλπ. 19
Οικονομετρία (3 από 7) Απώτερος σκοπός της οικονομετρίας είναι η ανάπτυξη του συνόλου των ποσοτικών τεχνικών που τελικώς θα βοηθήσουν στη λήψη των: «Αποτελεσματικότερων οικονομικών αποφάσεων". Οι οικονομικές αποφάσεις δεν περιορίζονται μόνο σε εκείνες που αφορούν: Οικονομικές μεταβλητές. Αλλά επεκτείνονται σε όλες εκείνες που επηρεάζουν. Την κατανομή των εν ανεπάρκεια πόρων. 20
Οικονομετρία (4 από 7) Η οικονομετρία χωρίζεται σε δύο μεγάλους κλάδους: Τη θεωρητική οικονομετρία. Την εφαρμοσμένη οικονομετρία. Η θεωρητική οικονομετρία διερευνά: Νέες μεθόδους. Διαδικασίες. Καθώς και τις ιδιότητες των υφιστάμενων. Με σκοπό την αποτελεσματική εκτίμηση των παραμέτρων των υπό εξέταση υποδειγμάτων. 21
Οικονομετρία (5 από 7) Επίσης, επιδιώκεται η ανάπτυξη νέων στατιστικών διαδικασιών και μεθόδων που να ανταποκρίνονται στις ιδιαιτερότητες των πραγματικών οικονομικών δεδομένων. 22
Οικονομετρία (6 από 7) Η Θεωρητική Οικονομετρία στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό: Στα μαθηματικά. Στη στατιστική. Στις αριθμητικές μεθόδους. Για να αποδείξει ότι οι προσεγγίσεις της οδηγούν σε ορθά και αξιόπιστα συμπεράσματα. 23
Οικονομετρία (7 από 7) Η οικονομετρική ανάλυση στηρίζεται στην οικονομική θεωρία, βάσει της οποίας διατυπώνεται το οικονομετρικό πρόβλημα. Το υπό εξέταση οικονομικό φαινόμενο δύναται να περιγραφεί από ένα σύνολο σχέσεων μεταξύ μεταβλητών και παραμέτρων. Η διατύπωση των οποίων αποτελεί το πρώτο στάδιο στην έρευνα του οικονομετρικού προβλήματος. Με άλλα λόγια, στο στάδιο αυτό ο ερευνητής καλείται να επιλέξει: Eκείνες τις σχέσεις και μεταβλητές που θα βοηθήσουν στην αποτελεσματικότερη διατύπωση και στη συνέχεια επίλυση του οικονομετρικού προβλήματος. 24
Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου (1 από 4) Το επόμενο στάδιο περιλαμβάνει τη συλλογή των απαιτούμενων δεδομένων Τα οποία μπορεί είτε να είναι δημοσίως διαθέσιμα από πηγές όπως είναι: Οι στατιστικές υπηρεσίες χωρών. Διεθνών οργανισμών. Για τα χρηματοοικονομικά το Datastream από την Thomson Reuters, κλπ. Είτε να προέρχονται από τη διενέργεια πρωτογενούς έρευνας. 25
Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου (2 από 4) Το τρίτο στάδιο περιλαμβάνει την επιλογή της κατάλληλης μεθόδου ανάλυσης, δηλαδή: Την μοντελοποίηση. Την εξειδίκευση. Την εκτίμηση του υποδείγματος. 26
Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου (3 από 4) Το επόμενο στάδιο αφορά στην αξιολόγηση του μοντέλου, η οποία περιλαμβάνει την υιοθέτηση των κατάλληλων υποθέσεων και το διαγνωστικό έλεγχο του μοντέλου για την ποιότητα των εκτιμήσεων. Στην περίπτωση που ο διαγνωστικός έλεγχος δείξει ότι το μοντέλο δεν περιγράφει ικανοποιητικά τα δεδομένα. Τότε ο ερευνητής καλείται να επανέλθει στα προηγούμενα στάδια. Δηλαδή είτε να επαναπροσδιορίσει το υπόδειγμα. Είτε να συγκεντρώσει περισσότερα δεδομένα. Είτε να επιλέξει μια διαφορετική μέθοδο εκτίμησης. 27
Διαδικασία κατασκευής και ελέγχου του μοντέλου (4 από 4) Το τελευταίο στάδιο περιλαμβάνει: Την επιβεβαίωση της σχετικής οικονομικής θεωρίας. Την ερμηνεία της συμπεριφοράς των μεταβλητών. Την πρόβλεψη. Στην περίπτωση που το μέγεθος και το πρόσημο των εκτιμούμενων συντελεστών δεν συνάδουν με την οικονομική θεωρία. Η διαδικασία εκτίμησης επανέρχεται στο πρώτο στάδιο και το υπόδειγμα επαναπροσδιορίζεται και επανεκτιμάται. 28
Γραμμική παλινδρόμηση (1 από 9) Η γραμμική παλινδρόμηση αποτελεί μια από τις ευρέως χρησιμοποιούμενες μεθόδους στατιστικής ανάλυσης με σκοπό: Την εύρεση αιτιώδους σχέσης μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών. Η σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών χωρίς τον παράγοντα της αιτιότητας, προσδιορίζεται με το συντελεστή συσχέτισης. 29
Γραμμική παλινδρόμηση (2 από 9) Ο δείκτης συσχέτισης εξετάζει τις δυο μεταβλητές και συμμετρικά, υπό την έννοια ότι καμία από τις δυο δεν παίζει το ρόλο της αιτίας ή του αποτελέσματος. Ο δείκτης αποφαίνεται μόνο για το είδος και το μέγεθος της γραμμικής σχέσης των δυο μεταβλητών. Η απλή γραμμική παλινδρόμηση αφορά δύο μόνο μεταβλητές. 30
Γραμμική παλινδρόμηση (3 από 9) Η μεταβλητή Υ καλείται εξαρτημένη. Είναι τυχαία ή στοχαστική στο χαρακτήρα της. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια κατανομή της μεταβλητής Υ, ή Αλλιώς μια υπό συνθήκη κατανομή. Για παράδειγμα, εάν η μελέτη της παλινδρόμησης αφορά στην ετήσια κατανάλωση υποδημάτων στη χώρα μας. Εξαρτημένη μεταβλητή Υ. 31
Γραμμική παλινδρόμηση (4 από 9) Θεωρήσουμε ότι ο μόνος προσδιοριστικός παράγοντας της κατανάλωσης είναι το μηνιαίο εισόδημα. Ανεξάρτητη μεταβλητή Χ. Τότε σε κάθε τιμή της μεταβλητής του εισοδήματος Χ, έστω 1.000 ευρώ. Αντιστοιχούν πολλές και διαφορετικές τιμές της Υ. 32
Γραμμική παλινδρόμηση (5 από 9) Στην πράξη, τις περισσότερες φορές καλούμαστε να διερευνήσουμε ένα πρόβλημα με δεδομένες τιμές και για τις δυο μεταβλητές. Δεν έχουμε την ευχέρεια να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της μεταβλητής Υ σε επαναλαμβανόμενες τιμές της μεταβλητής Χ. Για παράδειγμα, στη μελέτη της συμπεριφοράς του Δείκτη FTSE 20 του Χρηματιστηρίου Αθηνών (εξαρτημένη) σε σχέση με τον Δείκτη DJ του αμερικανικού χρηματιστηρίου (ανεξάρτητη). Πίνακας 4: Δεδομένα Παραδείγματος. Πηγή: Διδάσκων (2015). 33
Γραμμική παλινδρόμηση (6 από 9) Το πρώτο βήμα στην ανάλυση της παλινδρόμησης είναι η παράσταση των σημείων (x i y i ) σε ένα σύστημα συντεταγμένων X και Y. Το σύνολο των σημείων θα δημιουργήσει ένα νέφος σημείων που ονομάζεται διάγραμμα διασποράς, το οποίο μπορεί να δώσει μια ένδειξη για το είδος της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών X και Y. Πίνακας 5: Δεδομένα Παραδείγματος. Πηγή: Διδάσκων (2015). 34
Γραμμική παλινδρόμηση (7 από 9) Εικόνα 2: Γραμμική παλινδρόμηση. Πηγή: Διδάσκων (2015). 35
Γραμμική παλινδρόμηση (8 από 9) Να σημειωθεί ότι κατά τη μελέτη της παλινδρόμησης είναι απαραίτητη η διατύπωση της σχετικής θεωρίας. Που να εξηγεί τον χαρακτηρισμό της μεταβλητής ως αιτία και της μεταβλητής ως αποτέλεσμα. Δύο μεταβλητές δύναται να συσχετίζονται γραμμικά χωρίς κατ ανάγκη να σημαίνει ότι η μια εκ των δύο προκαλεί τη μεταβολή της άλλης. 36
Γραμμική παλινδρόμηση (9 από 9) Ενδέχεται η παρατηρηθείσα συσχέτιση των δυο μεταβλητών να είναι τυχαία ή να οφείλεται σε μια τρίτη μεταβλητή. Για παράδειγμα η μηνιαία αύξηση της κατανάλωσης οδοντικού νήματος σε ένα δεδομένο έτος μπορεί να εμφανίζει συσχέτιση με τη μηνιαία αύξηση της κατανάλωσης κινητών τηλεφώνων. Γεγονός που μπορεί να δικαιολογηθεί από τη γενικότερη αυξητική τάση της υγιεινούς διαβίωσης και της τεχνολογικής προόδου. 37
Εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης (1 από 3) Για παράδειγμα, μπορεί να έχει παραληφθεί από το μοντέλο η αλληλεπίδραση δυο μεταβλητών. Είναι εργώδης ή και αδύνατη η λήψη αξιόπιστων μετρήσεων σε μεταβλητές που σχετίζονται με τα φυσικά φαινόμενα και την ανθρώπινη συμπεριφορά όπως είναι η ψυχική διάθεση. Όσο περισσότερες μεταβλητές χρησιμοποιούνται, τόσο μικρότερη είναι η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων της παλινδρόμησης, καθώς μειώνονται οι βαθμοί ελευθερίας. 38
Εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης (2 από 3) Έστω το στοχαστικό μοντέλο της απλή παλινδρόμησης: H μεταβλητή Y είναι στοχαστική, γεγονός που καθιστά στοχαστικό ή τυχαίο και το διαταρακτικό όρο. Καθώς το πρώτο μέρος της εξίσωσης εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητή X, την οποία θεωρήσαμε καθορισμένη: Συστηματικό μέρος της εξίσωσης. Με άλλα λόγια, σε κάθε τιμή της μεταβλητής X, λόγω του τυχαίου όρου u, αντιστοιχεί πλήθος τιμών της μεταβλητής Y ή αλλιώς μια κατανομή της μεταβλητής Y. 39
Εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης (3 από 3) Στόχος της παλινδρόμησης είναι η εύρεση της πληθυσμιακής γραμμής παλινδρόμησης με τη χρήση του διαθέσιμου στατιστικού τυχαίου δείγματος των n παρατηρήσεων. Η πληθυσμιακή γραμμή παλινδρόμησης είναι ευθεία που διαμορφώνεται από την υπό συνθήκη μέση τιμή της μεταβλητής Y σε κάθε επίπεδο της μεταβλητής X. Εικόνα 3: Γραμμική παλινδρόμηση. Πηγή: Διδάσκων (2015). 40
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (1 από 8) Από όλες τις δυνατές ευθείες στο επίπεδο ΧΥ η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων είναι εκείνη που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των n αποστάσεων όλων των σφαλμάτων δηλαδή αυτή για την οποία η συνάρτηση έχει ελάχιστο. Έστω b 0, b 1, δίνουν την ελάχιστη δυνατή τιμή για την S. Για να προσδιορίσουμε τις υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους της S ως προς b 0 και b 1 και εξισώνουμε με μηδέν. Εικόνα 4: Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Πηγή: Διδάσκων (2015). 41
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (2 από 8) Στη στατιστική προσπαθούμε να ελαχιστοποιήσουμε το άθροισμα των τετραγώνων όλων των σφαλμάτων. Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο σχήμα στο οποίο δίνεται η ευθεία L με εξίσωση Υ = b 0 +b 1 X και ένα σημείο (Χ i,υ i ). Η απόσταση του σημείου αυτού από την L είναι το σφάλμα. Εικόνα 5: Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 42
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (3 από 8) Να βρεθεί η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων και να ερμηνευτούν οι σχετικοί συντελεστές. Πίνακας 6: Δεδομένα Παραδείγματος. Πηγή: Διδάσκων (2015). 43
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (4 από 8) Πίνακας 7: Δεδομένα Παραδείγματος. Πηγή: Διδάσκων (2015). 44
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (5 από 8) 45
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (6 από 8) 46
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (7 από 8) Εικόνα 6: Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 47
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (8 από 8) Εικόνα 7: Επιχειρήσεις Πηγή: Διδάσκων (2015). 48
Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία: Statistics for business and economics Anderson Sweeney Williams. Εισαγωγή στη Στατιστική και στην Ανάλυση Οικονομικών Χρονοσειρών, 2009. Σαριαννίδης Νικόλαος & Αμαραντίδης Ευστάθιος ISBN: 978-960-931249-3. Περιγραφική Στατιστική Επιχειρήσεων. Αποστολόπουλος Θεόδωρος, 2003. Σύγχρονη Εκδοτική Ε.Π.Ε., ISBN, 978-960-8165-39-7. 49
Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Νικόλαος Σαριαννίδης. «Στατιστική Ι». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 50
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 51
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 52