ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 015-016 1

. Διερευνητική Ανάλυση Μέτρα Θέσης Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρία

ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ατομικά Δεδομένα (n άτομα) Κάθε άτομο έχει τον ίδιο βάρος [1/n] Μέτρα θέσης Επικρατούσα τιμή Μέσος όρος Διάμεσος Τεταρτημόρια Δεκατημόρια BOX-PLOT Ομαδοποιημένα Δεδομένα (k τάξεις με n άτομα) Κάθε τάξη / ομάδα έχει διαφορετικό βάρος [n i /n] Μέτρα Διασποράς Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής Μεταβλητότητας: CV 3

.α. Διερευνητική Ανάλυση Ατομικά Δεδομένα 4

1. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΑΤΟΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ 1.1. Επικρατούσα τιμή: Το Το = Τιμή της μεταβλητής Χ (που εξετάζεται) με την μεγαλύτερη συχνότητα. Πλεονεκτήματα Υπολογίζεται εύκολα και άμεσα. Δεν επηρεάζεται από την ύπαρξη ακραίων τιμών. Μειονεκτήματα Δεν υπάρχει πάντα μια και μοναδική τιμή. Προσφέρει περιορισμένη πληροφορία. 5

1. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΑΤΟΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ 1.. Μέσος όρος αριθμητικός μέσος: μ (πληθυσμός) ή (δείγμα) Ο μέσος όρος υπολογίζεται ως έξης: X 1 n n i1 X i Πλεονεκτήματα Υπολογίζεται εύκολα και λαμβάνει υπόψη όλες τις τιμές της μεταβλητής. Αποτελεί σημειακός εκτιμητής της μέσης τιμής για τον πληθυσμό αναφοράς. Απαραίτητη παράμετρος για περαιτέρω ανάλυση. Μειονεκτήματα Επηρεάζεται από την ύπαρξη ακραίων τιμών. 6

1. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΑΤΟΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ 1.3. Διάμεσος: M d ή Q Η διάμεσος είναι η κεντρική τιμή δηλαδή η τιμή της μεταβλητής που χωρίζει το σύνολο των παρατηρήσεων στη μέση, καθώς τα δεδομένα έχουν τοποθετηθεί σε αύξουσα σειρά. Tο 50% των παρατηρήσεων βρίσκεται πριν τη συγκεκριμένη τιμή (Μd) και το υπόλοιπο 50% μετά τη συγκεκριμένη τιμή. Πλεονεκτήματα Δεν επηρεάζεται σημαντικά από τις ακραίες ή άτυπες τιμές. Αποτελεί απαραίτητη συμπληρωματική πληροφορία για τον έλεγχο της αξιοπιστίας της μέσης τιμής. Μειονεκτήματα Ελάχιστη χρησιμότητα για τις διατακτικές μεταβλητές που χαρακτηρίζονται από μικρό αριθμό κατηγοριών. 7

1. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΑΤΟΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Υπολογισμός της Διάμεσου: M d ή Q Ο υπολογισμός εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος (n). Τα δεδομένα πρέπει να έχουν τοποθετηθεί σε αύξουσα σειρά. n: Μόνος n: Ζυγός Θέση της διάμεσου n 1 n & n1 Τιμή της διάμεσου M d X ( n 1)/ Md 1.( X n X n 1 ) Άλλο η θέση της διάμεσου και άλλο η τιμή της διάμεσου 8

1. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΑΤΟΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Οι πίνακες δίνουν τον αριθμό κατοικιών < 40 m για 100 κατοικίες (αναλογία) στους δήμους του Ν. Λάρισας και του Ν. Μαγνησίας Αύξουσα σειρά M d = 3 M d = 8 n = 7 Θέση: (n+1)/ = 4 M d = X 4 = 3 n = 8 Θέση: μεταξύ n/ = 4 και (n/)+1 = 5 M d = ½ (X 4 +Χ 5 )= 8 9

1. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΑΤΟΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ 1.4. Τεταρτημόρια: Q 1 και Q 3 Το 1 ο τεταρτημόριο Q 1 είναι εκείνη η τιμή της μεταβλητής για την οποία το 5% των ατόμων δηλώνουν τιμή μικρότερη από το Q 1 (επομένως το 75% των παρατηρήσεων βρίσκεται πάνω από Q 1 ). Με παρόμοιο τρόπο, ορίζεται το 3 ο τεταρτημόριο Q 3. Πρόκειται για τη τιμή της μεταβλητής για την οποία το 75% των ατόμων δηλώνουν τιμή μικρότερη από το Q 3 (επομένως το 5% των παρατηρήσεων βρίσκεται πάνω από το Q 3 ). n: Μόνος n: Ζυγός 1 n' n n n' n : μονός n : ζυγός n : μονός n : ζυγός Q Q X 1 n' 1 X 3 3n' 1 Q Q 3 1 1 1 X n ' X n X 3n' X ' 1 3n' 1 Q Q X 1 n' 1 X 3 3n' 1 Q Q 1 3 1 1 X n ' X n X 3n' X ' 1 3n' 1 10

1. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΑΤΟΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Οι πίνακες δίνουν τον αριθμό κατοικιών < 40 m για 100 κατοικίες (αναλογία) στους δήμους του Ν. Λάρισας και του Ν. Μαγνησίας Αύξουσα σειρά Q 1 = 3 Q 1 = 5,5 M d = 3 M d = 8 Q 3 = 8 Q 3 = 10 11

1. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΑΤΟΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ [Box-Plot ] 1.5. Σχεδιασμός Θηκογράμματος Αποτελείται από: (α) ένα ορθογώνιο κουτί η βάση του οποίου αντιστοιχεί στο 1 ο τεταρτημόριο και η κορυφή στο 3 ο τεταρτημόριο: το ύψος του κουτιού = d F. (β) μέσα στο κουτί, σημειώνεται μια κάθετος που αντιστοιχεί στη διάμεσο M d = Q. (γ) υπολογίζουμε τους εσωτερικούς και εξωτερικούς φράχτες. Κάτω και Άνω Εσωτερικοί φράχτες: Κάτω: W 1 = Q 1 1.5 x (Q 3 -Q 1 ) = Q 1-1.5 x d F Άνω : W 3 = Q 3 + 1.5 x (Q 3 -Q 1 ) = Q 3 +1.5 x d F Κάτω και Άνω Εξωτερικοί φράχτες: Κάτω: WW 1 = Q 1 3 x (Q 3 -Q 1 ) = Q 1-3 x d F Άνω : WW 3 = Q 3 + 3 x (Q 3 -Q 1 ) = Q 3 +3 x d F 1

1. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΑΤΟΜΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ [Box-Plot ] 1.5. Σχεδιασμός Θηκογράμματος Οι τιμές που βρίσκονται μεταξύ W1 και W3 αποτελούν «λογικές» τιμές. Με τους φράχτες, μπορούμε να αναζητούμε την ύπαρξη ακραίων τιμών που αντανακλούν παρατηρήσεις με πολύ διαφορετική συμπεριφορά σε σχέση με τις άλλες παρατηρήσεις του δείγματος. Οι τιμές που βρίσκονται είτε μεταξύ WW1 και W1, είτε μεταξύ W3 και WW3 είναι ακραίες τιμές όμως δεν είναι παράλογες. Στο θηκόγραμμα, οι τιμές αυτές αναπαρίστανται από έναν κύκλο. Οι τιμές που βρίσκονται είτε κάτω από WW1 είτε πάνω από WW3 αποτελούν ακραίες όμως και παράτυπες τιμές. Στο θηκόγραμμα, οι τιμές αυτές αναπαρίστανται από ένα αστέρι. 13

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΩΝ ΘΕΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΘΗΚΟΓΡΑΜΜΆΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 14

ΤΙΜΗ ΒΕΝΔΙΝΗΣ ΣΤΟ ΒΌΛΟ ΣΤΗΝ 1 η ΜΑΡΤΊΟΥ 016 [01] Σύμφωνα με το Παρατηρητήριο Τιμών Υγρών Καυσίμων, η τιμή της αμόλυβδης βενζίνης 95 οκτ σε 7 πρατήρια του Βόλου διαμορφώνεται ως έξης: Πρατήριο Τιμή A 1,49 B 1,79 1. C 1,49 D 1,97 E 1,49 F 1,388 G 1,339 1. Να βρείτε (α) την επικρατούσα τιμή, (β) την μέση τιμή και (γ)τη διάμεσο.. Να σχεδιάσετε το θηκόγραμμα. 3. Ποια τα συμπεράσματα σας; 15

ΤΙΜΗ ΒΕΝΔΙΝΗΣ ΣΤΟ ΒΌΛΟ ΣΤΗΝ 1 η ΜΑΡΤΊΟΥ 016 [0] Αποτελέσματα: Για να βρούμε πιο εύκολα την επικρατούσα τιμή, τοποθετούμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά. Είναι επίσης απαραίτητη η διαδικασία αυτή για να υπολογίσουμε τη διάμεσο και τα τεταρτημόρια. Πρατήριο Τιμή A 1,49 i Πρατήριο Τιμή 1 A 1,49 a) Επικρατούσα τιμή = 1,49 3 από τα 7 πρατήρια (43%) έχουν την ίδια τιμή. B 1,79 C 1,49 D 1,97 E 1,49 F 1,388 G 1,339 Αύξουσα σειρά C 1,49 3 E 1,49 4 B 1,79 5 D 1,97 6 G 1,339 7 F 1,388 9,050 b)η μέση τιμή της βενζίνης στα 7 πρατήρια δίνεται από: 1 7 X n i1 X i 1 9,050 1,93 7 c) Η θέση της διάμεσου δίνεται από (n+1)/ εφόσον n είναι μόνος. (n+1)/ = 4 M d X (n1)/ X 4 1,79 16

ΤΙΜΗ ΒΕΝΔΙΝΗΣ ΣΤΟ ΒΌΛΟ ΣΤΗΝ 1 η ΜΑΡΤΊΟΥ 016 [03]. Για να σχεδιάσουμε το θηκόγραμμα, πρέπει να βρούμε τα τεταρτημόρια [Μέθοδος του Tukey s Hindge] n μόνος n = (n+1)/ = 4 n ζυγός Πρώτο Τεταρτημόριο : Q 1 i Πρατήριο Τιμή 1 A 1,49 C 1,49 3 E 1,49 4 B 1,79 5 D 1,97 6 G 1,339 7 F 1,388 9,050 1 1 1 Q1 ' ' ( 3) (1,49 1,49) 1,49 X n X n 1 X X Τρίτο Τεταρτημόριο: Q 3 1 1 1 Q3 ( ) (1,339 1,97) 1,318 X 3n' X 3n' 6 5 1 X X d F = Q 3 - Q 1 = 1,318 1,49 = 0,069 1,5 x d F = 0,104 W 1 = Q 1 1.5 x (Q 3 -Q 1 ) = Q 1 1,5 x d F = 1,49 (1,5 x 0,069) = 1,145 W 3 = Q 3 + 1.5 x (Q 3 -Q 1 ) = Q 3 + 1,5 x d F = 1,318 + (1,5 x 0,069) = 1,4 min = 1,49 > W 1 Δεν υπάρχει ακραία τιμή max = 1,388 < W 3 Δεν υπάρχει ακραία τιμή 17

ΤΙΜΗ ΒΕΝΔΙΝΗΣ ΣΤΟ ΒΌΛΟ ΣΤΗΝ 1 η ΜΑΡΤΊΟΥ 016 [04] Επεξήγηση του υπολογισμού των Τεταρτημόριων. i Πρατήριο Τιμή i Πρατήριο Τιμή 1 A 1,49 1 A 1,49 C 1,49 C 1,49 3 E 1,49 3 E 1,49 4 B 1,79 Κεντρική τιμή 4 B 1,79 5 D 1,97 5 D 1,97 6 G 1,339 6 G 1,339 7 F 1,388 7 F 1,388 9,050 9,050 Q 1 Q 3 18

ΤΙΜΗ ΒΕΝΔΙΝΗΣ ΣΤΟ ΒΌΛΟ ΣΤΗΝ 1 η ΜΑΡΤΊΟΥ 016 [05] Συμπεράσματα: Η μέση τιμή της βενζίνης = 1,93 είναι μεγαλύτερη από τη διάμεσο (M d = 1,79) και αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι, τα δύο πρατήρια G και F έχουν αρκετά μεγαλύτερη τιμή σε σχέση με τους υπόλοιπους. Το θηκόγραμμα δείχνει ότι η κατανομή των τιμών δεν ακολουθεί ακριβώς την Κανονική Κατανομή εφόσον: M d Q = 1,79 1,49 = 0,030 d Που είναι διαφορετικό από: Q 3 M d = 1,318 1,79 = 0,039 Επίσης, όπως αναφέρθηκε M d X Τέλος, σε κανένα πρατήριο η τιμή της Βενζίνης μπορεί να θεωρηθεί ως ακραία Τιμή. 19

.β. Διερευνητική Ανάλυση Ομαδοποιημένα Δεδομένα / Δεδομένα κατά τάξεις 0

. ΜΕΤΡΑ. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΘΈΣΗΣ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ k 1 i i i k 1 i i i X f X n n 1 X 1 f n & n k i i k 1 i i 1

. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Μηνιαίο Εισόδημα Νοικοκυριών i Εισόδημα (σε 1000 ) Αριθμός νοικοκυριών 1 [0-) 15 [-4) 10 3 [4-6) 5 4 [6-8) Σύνολο 3 Δεδομένα κατά τάξεις εισοδήματος Xi = κέντρο της κάθε τάξης Μέγεθος Νοικοκυριού (μελή ανά νοικοκυριό) Μέγεθος Νοικοκυριού Αριθμός νοικοκυριών 1 10 18 3 4 0 5 14 6 6 Σύνολο 90 Δεδομένα ομαδοποιημένα με βάση τον αριθμό μελών Xi = 1,,., 6

. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ.. Διάμεσος: M d ή Q Εφόσον έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα, πρέπει καταρχήν να βρούμε την τάξη που περιλαμβάνει τη διάμεσο: αυτό απαιτεί τον υπολογισμό των αθροιστικών συχνοτήτων. Έστω m = αριθμός της τάξης που περιλαμβάνει τη διάμεσο όπου 1 m k H διάμεσος Q υπολογίζεται ως έξης: L m = αριστερό άκρο της τάξης αναφοράς m (τάξη μέσα στην οποία βρίσκεται ο δείκτης Q p ) Q ή Q L L m m w n m w f m (0,5.n (0,5 F N m1 m1 ) ) n w Ν m-1 n m F m-1 f m = πλήθος ατόμων, μέγεθος δείγματος = πλάτος του διαστήματος της τάξης m = απόλυτη αθροιστική συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος αναφοράς = απόλυτη απλή συχνότητα του διαστήματος αναφοράς = σχετική αθροιστική συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος αναφοράς =σχετική απλή συχνότητα του διαστήματος αναφοράς E 3

. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ.3.. Τεταρτημόρια Δεκατημόρια: Q p - D p Τα Τεταρτημόρια Q p δεν είναι τίποτα άλλο από Q 1 (5%), Q =M d (50%) και Q 3 (75%). Ακολουθούν πάντα την διάταξη: X min Q 1 Q Q 3 X max To ο Τεταρτημόριο (Q ) συμπίπτει με τη Διάμεσο (M d ). Τα Δεκατημόρια D p χωρίζουν τα διατεταγμένα δεδομένα (αύξουσα σειρά) σε δεκάτα (ανά 10%). Υπάρχουν 9 δεκατημόρια: D 1 (10%), D (0%),, D 8 (80%), D 9 (90%). Ακολουθούν πάντα την διάταξη: X min D 1 D D 5 D 9 X max To 5 ο Δεκατημόριο (D 5 ) συμπίπτει με τη Διάμεσο (M d = Q ). 4

. ΜΕΤΡΑ ΘΈΣΗΣ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ.3.. Τεταρτημόρια Δεκατημόρια: Q p - D p Έστω m = αριθμός της τάξης που περιλαμβάνει το Τεταρτημόριο ή το Δεκατημόριο, ανάλογα με αυτό που αναζητούμε. Το Τεταρτημόριο Q p υπολογίζεται ως έξης: Q ή Q p p ή ή D D p p L L m m w n m w f m ( p. n N ( p F m1 m1 ) ) L m n w = αριστερό άκρο της τάξης αναφοράς m (τάξη μέσα στην οποία βρίσκεται ο δείκτης Q p ) = πλήθος ατόμων, μέγεθος δείγματος = πλάτος διαστήματος της τάξης m p = 0,5 (Q 1 ), 0,75 (Q 3 ), 0,1 ( D1 ), 0, (D ),, 0,9 (D 9 ) Ν m-1 = απόλυτη αθροιστική συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος αναφοράς F m-1 = σχετική αθροιστική συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος αναφοράς 5

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΩΝ ΘΕΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΘΗΚΟΓΡΑΜΜΆΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 6

ΜΗΚΟΣ ΑΚΤΩΝ 90 ΝΗΣΙΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ [01] Ο πίνακας που ακολουθεί, μας δίνει την κατανομή των 90 μεγαλύτερων νησιών της Ελλάδας (εκτός Κρήτης) με βάση το μήκος των ακτών τους. i Μήκος ακτών (σε χλμ) X i (κέντρο τάξης) Αριθμός νησιών n i N i 1 [10 30) 0 19 19 [30 50) 40 7 46 3 [50 100) 75 18 64 4 [100 150) 15 16 80 5 [150 00) 175 4 84 6 [00 40) 310 6 90 ΣΥΝΟΛΟ 90 1. Να βρείτε (α) τον μέσο μήκος ακτών και (β)τη διάμεσο.. Να σχεδιάσετε το Θηκόγραμμα. 3. Ποια τα συμπεράσματα σας; 7

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 8

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 9

ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΩΝ 13 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ [01] Πυκνότητα πληθυσμού ανά Περιφέρεια, 001-011 Πυκνότητα Επιφάνεια Πληθυσμός Πυκνότητα ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΕΣ (τ.χμ.) 001 011 001 011 S P01 P11 D01 D11 ΑΝΑΤ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ & ΘΡΑΚΗ 14.063,1 607.16 608.18 43, 43, ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 18.885,0 1.876.558 1.88.108 99,4 99,7 ΔΥΤΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 9.58,0 94.317 83.689 31,8 30,6 ΗΠΕΙΡΟΣ 9.084,1 336.39 336.856 37,0 37,1 ΘΕΣΣΑΛΙΑ 14.003,5 740.115 73.76 5,9 5,3 ΣΤΕΡΕΑ ΕΛΛΑΣ 15.435,0 558.144 547.390 36, 35,5 ΙΟΝΙΟΙ ΝΗΣΟΙ.99,1 09.608 07.855 91, 90,4 ΔΥΤΙΚΗ ΕΛΛΑΔΑ 11.067,0 71.541 679.796 65, 61,4 ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΣ 15.475,0 597.6 577.903 38,6 37,3 ΑΤΤΙΚΗ 3.805,6 3.894.573 3.88.434 103,4 1006,0 ΒΟΡΕΙΟ ΑΙΓΑΙΟ 3.83,0 05.35 199.31 53,7 5,1 ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ 5.86,0 98.46 309.015 56,5 58,5 ΚΡΗΤΗ 8.335,3 594.368 63.065 71,3 74,8 ΕΛΛΑΔΑ 130.819,7 10.934.097 10.816.86 83,6 8,7 Η πυκνότητα πληθυσμού δίνει τον αριθμό μονίμων κατοίκων ανά km. Ο συγκεκριμένος δείκτης αντανακλά το βαθμό συγκέντρωσης του πληθυσμού και αποτελεί καλή ένδειξη του βαθμού αστικοποίησης των περιοχών. Πληθυσμός P Επιφάνεια S 608.16 14063,1 43, 3.88.434 1006,0 3805,6 Πηγή: Ελ.Στατ, Απόγραφες πληθυσμού 30

ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΩΝ 13 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ [0] Εξετάζοντας τον πίνακα, παρατηρούμε ότι, έχουμε δεδομένα για την μεταβλητή «πυκνότητα» για δυο διαφορετικά έτη. Κατά συνέπεια μπορούμε να εξετάζουμε την μεταβλητή σε δύο διαφορετικές περιόδους (πρακτικά σημαίνει ότι, έχουμε μεταβλητές). Από την ανάλυση του πίνακα, είναι φανερό ότι, η αναζήτηση της επικρατούσας τιμής δεν έχει νόημα: για κάθε έτος ξεχωριστά, όλες οι Περιφέρειες έχουν διαφορετικές τιμές μεταξύ τους. Η ανάλυση των μέτρων κεντρικής τάσης περιλαμβάνει επομένως: (i) τον υπολογισμό της μέσης τιμής για τις 13 περιφέρειες (ii) τον υπολογισμό της διάμεσου (iii) τον υπολογισμό των Τεταρτημόριων (iv) την παραγωγή του θηκογράμματος Για τους υπολογισμούς, θα πρέπει τα δεδομένα να είναι ταξινομημένα με αύξουσα σειρά. 31

ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΩΝ 13 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ [03] Εφόσον τα δεδομένα είναι ατομικά (n=13), ο μέσος όρος δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: i ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΕΣ Πυκνότητα 001 011 1 ΑΝΑΤ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ & ΘΡΑΚΗ 43, 43, ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 99,4 99,7 3 ΔΥΤΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 31,8 30,6 4 ΗΠΕΙΡΟΣ 37,0 37,1 5 ΘΕΣΣΑΛΙΑ 5,9 5,3 6 ΣΤΕΡΕΑ ΕΛΛΑΣ 36, 35,5 7 ΙΟΝΙΟΙ ΝΗΣΟΙ 91, 90,4 8 ΔΥΤΙΚΗ ΕΛΛΑΔΑ 65, 61,4 9 ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΣ 38,6 37,3 10 ΑΤΤΙΚΗ 103,4 1006,0 11 ΒΟΡΕΙΟ ΑΙΓΑΙΟ 53,7 5,1 1 ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ 56,5 58,5 13 ΚΡΗΤΗ 71,3 74,8 ΣΥΝΟΛΟ 1700,4 1678,9 Ο αριθμητικός μέσος του δείκτη είναι πολύ διαφορετικός από την πραγματική πυκνότητα της χώρας! n i 1 n X Από τον πίνακα, έχουμε: 001: 13 X i i1 13 X i i1 00: 1678, 9 001: 011: i 1700,4 1700,4 13 130,8 1678,9 19,1 13 Η πραγματική πυκνότητα σε επίπεδο Ελλάδας = 83,6 (001) & 8,7 (011) 3

ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΩΝ 13 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ [03] Υπολογισμός της διάμεσου: n=13 (μόνος) Πυκνότητα Πυκνότητα ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΕΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΕΣ i 001 i 011 1 ΔΥΤΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 31,8 1 ΔΥΤΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 30,6 ΣΤΕΡΕΑ ΕΛΛΑΣ 36, ΣΤΕΡΕΑ ΕΛΛΑΣ 35,5 3 ΗΠΕΙΡΟΣ 37,0 3 ΗΠΕΙΡΟΣ 37,1 4 ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΣ 38,6 4 ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΣ 37,3 ΑΝΑΤ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ & ΑΝΑΤ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ & 5 ΘΡΑΚΗ 43, 5 ΘΡΑΚΗ 43, 6 ΘΕΣΣΑΛΙΑ 5,9 6 ΒΟΡΕΙΟ ΑΙΓΑΙΟ 5,1 7 ΒΟΡΕΙΟ ΑΙΓΑΙΟ 53,7 7 ΘΕΣΣΑΛΙΑ 5,3 8 ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ 56,5 8 ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ 58,5 9 ΔΥΤΙΚΗ ΕΛΛΑΔΑ 65, 9 ΔΥΤΙΚΗ ΕΛΛΑΔΑ 61,4 10 ΚΡΗΤΗ 71,3 10 ΚΡΗΤΗ 74,8 11 ΙΟΝΙΟΙ ΝΗΣΟΙ 91, 11 ΙΟΝΙΟΙ ΝΗΣΟΙ 90,4 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗ 1 ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 99,4 1 ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 99,7 13 ΑΤΤΙΚΗ 103,4 13 ΑΤΤΙΚΗ 1006,0 ΕΛΛΑΔΑ 83,6 ΕΛΛΑΔΑ 8,7 Προσοχή: η κατάταξη άλλαξε μεταξύ Θεσσαλίας και Β. Αιγαίου Τυπολόγιο: n=13 η θέση δίνεται από (n+1)/ = 7 Md = 53,7 (001) & Md = 5,3 (011) 33

ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΩΝ 13 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ [03] Υπολογισμός των Τεταρτημόριων: n=13 (μόνος), Πυκνότητα Πυκνότητα ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΕΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΕΣ i 001 i 011 1 ΔΥΤΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 31,8 1 ΔΥΤΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 30,6 ΣΤΕΡΕΑ ΕΛΛΑΣ 36, ΣΤΕΡΕΑ ΕΛΛΑΣ 35,5 3 ΗΠΕΙΡΟΣ 37,0 3 ΗΠΕΙΡΟΣ 37,1 4 ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΣ 38,6 4 ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΣ 37,3 ΑΝΑΤ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ & ΑΝΑΤ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ & 5 ΘΡΑΚΗ 43, 5 ΘΡΑΚΗ 43, 6 ΘΕΣΣΑΛΙΑ 5,9 6 ΒΟΡΕΙΟ ΑΙΓΑΙΟ 5,1 7 ΒΟΡΕΙΟ ΑΙΓΑΙΟ 53,7 7 ΘΕΣΣΑΛΙΑ 5,3 8 ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ 56,5 8 ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ 58,5 9 ΔΥΤΙΚΗ ΕΛΛΑΔΑ 65, 9 ΔΥΤΙΚΗ ΕΛΛΑΔΑ 61,4 10 ΚΡΗΤΗ 71,3 10 ΚΡΗΤΗ 74,8 11 ΙΟΝΙΟΙ ΝΗΣΟΙ 91, 11 ΙΟΝΙΟΙ ΝΗΣΟΙ 90,4 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗ 1 ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 99,4 1 ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ 99,7 13 ΑΤΤΙΚΗ 103,4 13 ΑΤΤΙΚΗ 1006,0 ΕΛΛΑΔΑ 83,6 ΕΛΛΑΔΑ 8,7 n=13 n =(n+1)/ n = 7 n μόνος Βλέπε 1 η στήλη του πίνακα (Τυπολόγιο) Θέση για Q 1 : (n +1)/ = 4 Θέση για Q 3 : (3n +1)/ = 11 Q 1 : (θέση i = 4) Q 1 = X 4 = 38,6 (001) & Q 1 = X 4 = 37,3 (011) Q 3 : (θέση i = 11) Q 3 = X 11 = 91, (001) & Q 3 = X 11 = 90,7 (011) 34

ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΩΝ 13 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ [03] Θηκογράμματα Μέτρα 001 011 Min Ελάχιστη τιμή 31,8 30,6 Max Μέγιστη τιμή 103,4 1006,0 M d Διάμεσος 53,7 5,3 Q 1 1 ο Τεταρτημόριο 38,6 37,3 Q 3 3 ο Τεταρτημόριο 91, 90,7 D F Ενδοτεταρτημοριακό διάστημα (Q3-Q1) 5,6 53,4 W1 Κάτω Εσωτερικό φράχτη -40,3-4,8 W3 Άνω Εσωτερικό φράχτη 170,1 170,8 WW1 Κάτω Εξωτερικό φράχτη WW3 Άνω Εξωτερικό φράχτη 49,0 50,9 W1 = 0 Η πυκνότητα δεν μπορεί να έχει αρνητικές τιμές W3 < Max Πρέπει να υπολογίσουμε το WW3 35

ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΩΝ 13 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ [03] Θηκογράμματα Η Αττική αποτελεί «άτυπη» περίπτωση, ακραία τιμή σε σχέση με τις άλλες 1 περιφέρειες, δεδομένου ότι, η πυκνότητα της Αττικής είναι μεγαλύτερη όχι μόνο από τον εσωτερικό φράχτη άλλα και από τον εξωτερικό. 36

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 37

Διατακτική μεταβλητή με Likert scale Για την εκτίμηση της ποιότητας ενός προϊόντος, ρωτήσαμε σε 300 καταναλωτές να αξιολογήσουν την ποιότητα του προϊόντος σε μια κλίμακα από 1 έως 7, χρησιμοποιώντας την γνωστή Κλίμακα Αθροιστικής Βαθμολόγησης (Likert scale). Ποιότητα Αριθμός Χ προϊόντος i καταναλωτών (n i ) Απαράδεκτη 1 1 Πολύ κακή 7 Κακή 3 48 Μέτρια 4 66 Καλή 5 84 Πολύ καλή 6 45 Τέλεια 7 18 Σύνολο 300 Η μεταβλητή που εξετάζουμε είναι ποιοτική (Ποιότητα προϊόντος) όμως κωδικοποιήσαμε τις 7 κατηγορίες έτσι ώστε να υπάρχει μια λογική ιεράρχηση ως προς την ποιότητα. Πρόκειται για διατακτική μεταβλητή με 7 κατηγορίες. 38

Διατακτική μεταβλητή με Likert scale Εφόσον έχουμε αρκετές κατηγορίες (τιμές) οι οποίες αντανακλούν ένα βαθμό προτιμήσεων, μπορεί να γίνει διευρυμένη στατιστική ανάλυση η οποία περιλαμβάνει: i. τον υπολογισμό των συχνοτήτων, βασική προϋπόθεση για την περαιτέρω ανάλυση, ii. iii. iv. την αναζήτηση της επικρατούσας τιμής (κατηγορίας), τον υπολογισμό του μέσου όρου (μέση ικανοποίηση ως προς την ποιότητα σε μια κλίμακα από 1 έως 7) τον υπολογισμό της διάμεσου (Md = Q), v. Τον υπολογισμό του πρώτου τεταρτημόριου (Q1) και του τρίτου τεταρτημόριου (Q3). vi. την γραφική αναπαράσταση: το Θηκόγραμμα (Box-Plot) για την αναζήτηση «ακραίων τιμών». 39

Διατακτική μεταβλητή με Likert scale (i) (ii) Υπολογισμός σχετικών συχνοτήτων Επικρατούσα τιμή Ποιότητα προϊόντος Χi Αριθμός καταναλωτών: Απόλυτες συχνότητες Σχετικές συχνότητες n i N i f i F i Απαράδεκτη 1 1 1 4,0 4,0 Πολύ κακή 7 39 9,0 13,0 Κακή 3 48 87 16,0 9,0 Μέτρια 4 66 153,0 51,0 Καλή 5 84 37 8,0 79,0 Πολύ καλή 6 45 8 15,0 94,0 Τέλεια 7 18 300 6,0 100,0 Σύνολο 300 100,0 Η επικρατούσα τιμή αντιστοιχεί στην κατηγορία με την μέγιστη συχνότητα, δηλαδή στον χαρακτηρισμό: Καλή ποιότητα. Δεν προσφέρει σημαντική πληροφορία, ειδικά όταν αντιστοιχεί σε περιορισμένο %. 40

Διατακτική μεταβλητή με Likert scale (iii) Υπολογισμός του μέσου όρου (με ομαδοποιημένα δεδομένα) Ποιότητα προϊόντος Χi Αριθμός καταναλωτών: Απόλυτες συχνότητες Σχετικές συχνότητες Υπολογισμός n i f i n i Χ i f i Χ i Απαράδεκτη 1 1 0,04 1 0,04 Πολύ κακή 7 0,09 54 0,18 Κακή 3 48 0,16 144 0,48 Μέτρια 4 66 0, 64 0,88 Καλή 5 84 0,8 40 1,40 Πολύ καλή 6 45 0,15 70 0,90 Τέλεια 7 18 0,06 16 0,4 Σύνολο 300 1,0 190 4,30 X 7 k i1 i1 n i X i ή X n i1 n X i i 190 X 190 / 300 4,3 k f X i i k = 7 n = 300 Η μέση αξιολόγηση της ποιότητας του προϊόντος είναι λίγο μεγαλύτερη από το μέτριο επίπεδο. 41

Διατακτική μεταβλητή με Likert scale (iv) Αναζήτηση της Διάμεσου Αριθμός καταναλωτών: Σχετικές Ποιότητα Χi Απόλυτες συχνότητες συχνότητες προϊόντος n i N i f i F i Απαράδεκτη 1 1 1 4,0 4,0 Πολύ κακή 7 39 9,0 13,0 Κακή 3 48 87 16,0 9,0 Μέτρια 4 66 153,0 51,0 Καλή 5 84 37 8,0 79,0 Πολύ καλή 6 45 8 15,0 94,0 Τέλεια 7 18 300 6,0 100,0 Σύνολο 300 100,0 9% δηλώσαν έως και Κακή (3) ενώ 51% δηλώσαν έως και Μέτρια (4) n = 300 η διάμεσος βρίσκεται μεταξύ n/ και (n+)/1 : 150 και 151 Με βάση τα Ν i, η διάμεσος βρίσκεται στην κατηγορία «Μέτρια» Μ d =Q = 4 4

Διατακτική μεταβλητή με Likert scale (v) Αναζήτηση Τεταρτημόριων Q 1 και Q Η θέση τους εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος n. Το 1 ο τεταρτημόριο Q 1 είναι εκείνη η τιμή της μεταβλητής για την οποία το 5% των ατόμων δηλώνουν τιμή μικρότερη από το Q1 (επομένως το 75% των παρατηρήσεων βρίσκεται πάνω από Q1). Με παρόμοιο τρόπο, ορίζεται το 3 ο τεταρτημόριο Q3. Πρόκειται για τη τιμή της μεταβλητής για την οποία το 75% των ατόμων δηλώνουν τιμή μικρότερη από το Q3 (επομένως το 5% των παρατηρήσεων βρίσκεται πάνω από το Q3). 43

Διατακτική μεταβλητή με Likert scale (v) Αναζήτηση Τεταρτημόριων Q 1 και Q Αριθμός καταναλωτών: Σχετικές Ποιότητα Χi Απόλυτες συχνότητες συχνότητες προϊόντος n i N i f i F i Απαράδεκτη 1 1 1 4,0 4,0 Πολύ κακή 7 39 9,0 13,0 Κακή 3 48 87 16,0 9,0 Μέτρια 4 66 153,0 51,0 Καλή 5 84 37 8,0 79,0 Πολύ καλή 6 45 8 15,0 94,0 Τέλεια 7 18 300 6,0 100,0 Σύνολο 300 100,0 n = 300 n = n/= 150 n ζυγός 4 η στήλη στον πίνακα Q 1 = 3 & Q 3 = 5 44

Διατακτική μεταβλητή με Likert scale (vi) Δημιουργία Θηκόγραμμα BOX-PLOT Αποτελείται από: (α) ένα ορθογώνιο κουτί η βάση του οποίου αντιστοιχεί στο 1 ο τεταρτημόριο και η κορυφή στο 3 ο τεταρτημόριο: το ύψος του κουτιού = d F. (β) μέσα στο κουτί, σημειώνεται μια κάθετος που αντιστοιχεί στη διάμεσο. (γ) υπολογίζουμε τους εσωτερικούς και εξωτερικούς φράχτες. Κάτω και Άνω Εσωτερικοί φράχτες: Κάτω: W 1 = Q 1 1.5 x (Q 3 -Q 1 ) = Q 1-1.5 x d F Άνω : W 3 = Q 3 + 1.5 x (Q 3 -Q 1 ) = Q 1 +1.5 x d F Κάτω και Άνω Εξωτερικοί φράχτες: Κάτω: WW 1 = Q 1 3 x (Q 3 -Q 1 ) = Q 1-3 x d F Άνω : WW 3 = Q 3 + 3 x (Q 3 -Q 1 ) = Q 1 +3 x d F 45

(vi) Δημιουργία Θηκόγραμμα : Ακραίες τιμές Με βάση τις τιμές που βρήκαμε για τη διάμεσο και τα τεταρτημόρια, έχουμε: Q 1 = 3, Q = 4, Q 3 = 5 Q 3 Q 1 = d F = W 1 = Q 1-1,5.[Q 3 - Q 1 ] = Q 1-1,5.d F = 3 1,5 x = 0 W 3 = Q 3 + 1,5.[Q 3 - Q 1 ] = Q 3 +1,5.d F = 5 + 1,5 x = 8 3 3 3 1 3 F Δεδομένου ότι: Διατακτική μεταβλητή με Likert scale Η ελάχιστη τιμή στις προτιμήσεις των καταναλωτών = 1 Min > W 1 (=0) δεν υπάρχει ακραία τιμή Η μέγιστη τιμή στις προτιμήσεις των καταναλωτών = 7 Max < W 3 (=8) δεν υπάρχει ακραία τιμή Έχουμε μια ομαλή κατανομή των προτιμήσεων. Δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ότι, ορισμένοι καταναλωτές έχουν «ακραία» γνώμη για την ποιότητα του προϊόντος. 46