Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz

Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Με αφετηρία τις δυο απαιτήσεις της Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας του Einstein θα βρούμε τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz Πρώτη απαίτηση: Όλοι οι αδρανειακοί παρατηρητές είναι ισοδύναμοι Δεύτερη απαίτηση: Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι σταθερή, και είναι ανεξάρτητη από την κατάσταση της κίνησης της πηγής που το εκπέμπει Θεωρούμε δυο αδρανειακά συστήματα (ΑΣΑ) τα Σ και Σ στη συνηθισμένη διάταξη όπου το Σ κινείται με ταχύτητα v κατά μήκος του θετικού -άξονα του Σ Σύμφωνα με την πρώτη απαίτηση, αν ένας παρατηρητής A στο αδρανειακό σύστημα Σ βλέπει ένα ελεύθερο σώμα, δηλαδή ένα σώμα στο οποίο δεν ασκούνται δυνάμεις, να κινείται σε μια ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα, τότε και ο παρατηρητής B στο αδρανειακό σύστημα Σ παρατηρεί το ίδιο, δηλαδή ένα σώμα να κινείται σε ευθεία γραμμή Οπότε η κίνηση του σώματος και στα δυο αδρανειακά συστήματα, σε διανυσματική μορφή, είναι r = r 0 + ut, r = r 0 + u t Ας θεωρήσουμε τώρα τον μετασχηματισμό που συνδέει τα δυο αδρανειακά συστήματα αναφοράς Σ και Σ Αφού, σύμφωνα με την προηγούμενη παρατήρηση, ευθείες απεικονίζονται σε ευθείες, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι ο μετασχηματισμός που συνδέει το Σ με το Σ είναι γραμμικός, δηλαδή t y z = L(v) t y z (1) Στην παραπάνω σχέση ο L είναι ένας 4 4 πίνακας του οποίου τα στοιχεία εξαρτώνται μόνο από την ταχύτητα v διαχωρισμού των δυο ΑΣΑ Αφού το Σ κινείται κατά μήκος του άξονα του Σ ( Σχήμα 1 (a) ), τότε το επίπεδο z (y = 0) του A παρατηρητή θα πρέπει να ταυτίζεται με το z επίπεδο (y = 0) του B παρατηρηρτή Οπότε οι συντεταγμένες y και y πρέπει να συνδέονται με έναν μετασχηματισμό της μορφής y = k y (2) Κάνουμε τώρα την υπόθεση ότι ο χώρος είναι ισοτροπικός, δηλαδή ότι είναι ίδιος προς κάθε κατεύθυνση Με αυτή την υπόθεση κατά νου, αντιστρέφουμε τις κατευθύνσεις του και του y-άξονα του A και του B παρατηρητή ( Σχήμα 1 (b) ), και θεωρούμε τώρα την κίνηση από την 1

y (a) y v A B z z A (b) B z y z y v y (c) y v B A z z Σχήμα 1: (a) Η τυπική διάταξη δυο ΑΣΑ, (b) αντιστροφή του και y-άξονα, (c) ο B παρατηρεί το σχήμα b από την σκοπιά του, οι ρόλοι των A και B έχουν αντιστραφεί σκοπιά του B ( Σχήμα 1 (b) και (c) ) Είναι προφανές ότι από την οπτική του B οι ρόλοι των A και B έχουν αντιστραφεί Συνεπώς, από την συμμετρία, έχουμε ότι y = ky (3) Από τις εξισώσεις (2), (3) παίρνουμε ότι k 2 = 1 k = ±1 Η λύση με το αρνητικό πρόσημο απορρίπτεται, γιατί όταν v 0, τότε θα πρέπει y y, κι έτσι k = 1, δηλαδή y = y Με ακριβώς την ίδια επιχειρηματολογία μπορούμε να αποδείξουμε ότι z = z, κι έτσι έχουμε ότι y = y, και z = z (4) Στην συνέχεια χρησιμοποιούμε την δεύτερη απαίτηση της Ειδικής Σχετικότητας Ας υποθέσουμε ότι όταν τα κέντρα των Σ και Σ ταυτίζονται οι παρατηρητές A και B συγχρονίζουν τα ρολόγια τους στο μηδέν, δηλαδή t = t = 0, και εκπέμπουν μια λάμψη φωτός Τότε σύμφωνα με τον Α, η λάμψη φωτός θα ταξιδεύει, ακτινικά από το κέντρο προς τα έξω, με ταχύτητα c Το μέτωπο του κύματος φωτός θα αποτελείται από μια σφαίρα Ορίζουμε την ποσότητα I(t,, y, z) = 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 2

Τότε τα γεγονότα που λαμβάνουν χώρα πάνω στην σφαίρα πρέπει να ικανοποιούν την σχέση Ι = 0 Από την δεύτερη απαίτηση της Ειδικής Σχετικότητας, και ο παρατηρητής Β στο Σ, βλέπει την φωτεινή λάμψη να κινείται σε ένα σφαιρικό μέτωπο κύματος με ταχύτητα c Οπότε στο μέτωπο του κύματος θα πρέπει να ισχύει και στο Σ ότι I (t,, y, z) = 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = 0 Οπότε εύκολα συνάγεται ότι κάτω από την δράση του μετασχηματισμού που συνδέει τα Σ και Σ, ισχύει I = 0 I = 0 Αφού ο μετασχηματισμός είναι γραμμικός, θα πρέπει I = n I, (5a) όπου n μια ποσότητα που εξαρτάται μόνο από την ταχύτητα v του διαχωρισμού των δυο ΑΣΑ Χρησιμοποιώντας την ισοτροπία του χώρου, και την ίδια επιχειρηματολογία που αναπτύξαμε όπως προηγουμένως, μπορούμε να αναστρέψουμε τους ρόλους των Σ και Σ, και συνεπώς έχουμε ότι ισχύει και I = ni (5b) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5a), (5b), παίρνουμε ότι n 2 = 1 n = ±1 Στο όριο v 0, τα δυο συστήματα αναφοράς Σ και Σ ταυτίζονται, οπότε θα πρέπει I I, και συνεπώς θα πρέπει να δεχτούμε μόνο την θετική λύση, n = 1 Συνακόλουθα για n = 1, η εξίσωση (5a) γίνεται 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 Από τις σχέσεις (4), η προηγούμενη εξίσωση γίνεται 2 c 2 t 2 = 2 c 2 t 2 (6) Έπειτα ορίζουμε φανταστικές χρονικές συντεταγμένες T και T, ως εξής T = i c t, T = ic t, (7) με τις οποίες, η σχέση (6) γίνεται 2 + T 2 = 2 + T 2 (8) Στο δισδιάστατο (φανταστικό) χώρο (, T ) η ποσότητα 2 +T 2 παριστάνει μια απόσταση από το κέντρο των, T -αξόνων Η ποσότητα αυτή παραμένει αναλλοίωτη μόνο κάτω από μια στροφή στον χώρο (, T ) κατά γωνία θ, δηλαδή = cos θ + T sin θ, T = sin θ + T cos θ (9) 3

Το κέντρο = 0 (y = z = 0) του ΑΣΑ Σ όπως φαίνεται από το ΑΣΑ Σ, κινείται κατά μήκος του -άξονα του Σ με ταχύτητα v, οπότε όταν = 0 τότε πρέπει να ισχύει = v t, κι αντίστροφα Συνεπώς = 0 = vt = v T i c = i v T /c Εισάγοντας τις τελευταίες σχέσεις στην πρώτη των σχέσεων (9), παίρνουμε ότι tan θ = i v/c, (10) από την οποία συμπεραίνουμε ότι και η γωνία θ είναι φανταστική Μπορούμε να εκφράσουμε τo συνημίτονo σε σχέση με την εφαπτομένη χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα cos θ = 1 1 + tan 2 θ Με βάση την παραπάνω και την σχέση (10) παίρνουμε ότι cos θ = 1 c 2, sin θ = i v c c 2 Αντικαθιστώντας τις τελευταίες στις σχέσεις (9), λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (7), παίρνουμε και = 1 i c t = 1 c 2 ( + ic t(iv/c)) = 1 c 2 ( vt), c 2 ( (iv/c) + ic t)) t αντίστοιχα Ορίζοντας τα συμβατικά σύμβολα β και γ = 1 2 (t v/c )), c 2 β = v c, γ = 1 c 2 = 1 1 β 2, (11) ο ειδικός μετασχηματισμός Lorentz (σε μη σχετικιστικές μονάδες) παίρνει την απλή μορφή t = γ (t v/c 2 ), = γ ( vt), y = y, z = z (12) Αν θέσουμε c = 1 στις παραπάνω σχέσεις, παίρνουμε τον ειδικό μετασχηματισμό Lorentz σε σχετικιστικές μονάδες 4

Μαθηματικές ιδιότητες του ειδικού μετασχηματισμού του Lorentz: α) Γεωμετρικά ο ειδικός μετασχηματισμός Lorentz παριστάνει μια στροφή κατά μια φανταστική γωνία θ στο (, T ) επίπεδο, όπου η συντεταγμένη T είναι φανταστικός χρόνος Όπως θα δούμε στα αμέσως παρακάτω, στο πραγματικό επίπεδο (, c t) αυτό είναι ισοδύναμο με το να στρεβλώσουμε προς τα μέσα τους άξονες συντεταγμένων (, c t) κατά την ίδια γωνία θ Πολλοί πολέμιοι της Ειδικής Σχετικότητας χρησιμοποίησαν την εσφαλμένη αντίληψη ότι οι μετασχηματισμοί Lorentz παριστάνουν συνηθισμένη στροφή στο πραγματικό επίπεδο (, c t) για να οδηγηθούν έτσι σε εσφαλμένα αντεπιχειρήματα για την ισχύ της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας του Einstein Ακόμα και σήμερα δεν είναι λίγοι οι πολέμιοι της θεωρίας του Einstein, όμως τόσο η μαθηματική εσωτερική συνέπεια όσο και η συμφωνία της θεωρίας του με την φυσική παρατήρηση δεν επιτρέπουν τέτοιου είδους παρερμηνείες β) Αν λύσουμε τις σχέσεις (12) ως προς τις μεταβλητές χωρίς τόνο παίρνουμε t = γ (t + v /c 2 ), = γ ( + vt ), y = y, z = z (13) Στις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να αναχθούμε άμεσα από τις σχέσεις (12) εναλλάσσοντας τις μεταβλητές με τόνο με αυτές χωρίς τόνο και αντικαθιστώντας την ταχύτητα v με v Η αντιστροφή αυτή έχει την εξής φυσική ερμηνεία: Αν το ΑΣΑ Σ κινείται κατά την θετική κατεύθυνση του -άξονα του Σ με ταχύτητα v, τότε το Σ κινείται κατά μήκος του αρνητικού -άξονα του Σ με ταχύτητα v, ή ισοδύναμα, ο Σ κινείται κατά μήκος του θετικού -άξονα του Σ με ταχύτητα v γ) Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz συγκροτεί μια τοπική μονοπαραμετρική ομάδα μετασχηματισμών Aς συμβολίσουμε τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz με h v, όπου ο υποδείκτης δηλώνει την εξάρτηση του μετασχηματισμού από την παράμετρο v R Ο μετασχηματισμός h v παίρνει την τετράδα (t,, y, z) R 4 και την απεικονίζει στην τετράδα (t,, y, z ) R 4 και ορίζεται από τον τύπο h v R 4 R 4, h v (t,, y, z) = (t,, y, z ) = (γ (t v/c 2 ), γ ( vt), y, z), όπου γ = (1 v 2 /c 2 ) 1/2 Ας συμβολίσουμε με Id την ταυτοτική απεικόνιση στον R 4, δηλαδή Id(t,, y, z) = (t,, y, z) (i) O μετασχηματισμός h v για v = 0, μας δίνει την ταυτοτική απεικόνιση, δηλαδή h 0 = Id (ii) Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ισχύει h v h v = h v h v = Id, δηλαδή ο αντίστροφος μετασχηματισμός του h v είναι ο h v 5

(iii) Η σύνθεση δυο μετασχηματισμών Lorentz h v1, h v2 με ταχύτητες v 1 και v 2, αντίστοιχα, είναι ένας τρίτος μετασχηματισμός Lorentz h v3, με ταχύτητα v 3 που δίνεται από την σχέση δηλαδή ισχύει ότι (iv) Η προσεταιριστική ιδιότητα v 3 = v 1 + v 2 1 + v 1 v 2 /c 2, h v1 h v2 = h v2 h v1 = h v3 (h v1 h v2 ) h v3 = h v1 (h v2 h v3 ), αφήνεται για άσκηση, και ουσιαστικά προκύπτει από την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πινάκων ( L(v 1 )L(v 2 ))L(v 3 ) = L(v 1 )(L(v 2 )L(v 3 )), όπου δες σχέση (1) L(v) = v γ γ 0 0 c 2 v γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1, δ) Το τετράγωνο των απειροστών διαστημάτων μεταξύ απειροστά διαχωρίσιμων χωροχρονικών γεγονότων d s 2 = c 2 d t 2 + d 2 + d y 2 + d z 2, (14) παραμένει αναλλοίωτο κάτω από την δράση του ειδικού μετασχηματισμού Lorentz Ή αλλιώς, ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz αποτελεί μια ισομετρία του R 4, εφοδιασμένου με την μετρική (14), που είναι γνωστός ως χωρόχρονος του Minkowski ε) Για να παραγάγουμε τον μετασχηματισμό του Lorentz, έχουμε ακολουθήσει την συνηθισμένη πρακτική που ακολουθείται σε εισαγωγικά βιβλία της Ειδικής θεωρίας Σχετικότητας, (πχ [1]), δηλαδή χωρίς σαφείς υποθέσεις για την τετραδιάστατη γεωμετρική δομή του χωρόχρονου Από αυστηρή μαθηματική σκοπιά, αξίζει στο σημείο αυτό να αναφερθεί ότι μόνο αφού απαιτήσουμε ο μετασχηματισμός του Lorentz να είναι ισομετρία του χωρόχρονου Minkowski είναι αρκετό για να προσδιορισθεί πλήρως ο μετασχηματισμός h v Για μια διεξοδική ανάλυση στο θέμα αυτό δες [2] 1 D Inverno R Introducing Einstein s Relativity, Clarendon Press, Oford, 1992 2 Friedman M Foundations of Space-Time eories - Relativistic Physics and Philosophy of Sciences, Princeton University Press, 1983 6

Σχέσεις μεταξύ χωροχρονικών διαγραμμάτων αδρανειακών παρατηρητών Θεωρούμε ως άξονες τα c t και στο ΑΣΑ Σ, έτσι ώστε μια ακτίνα φωτός να έχει κλίση π/4 (όπως στις σχετικιστικές μονάδες) Στόχος μας είναι στο ίδιο διάγραμμα με τα γεγονότα για το ΑΣΑ Σ, να σχηματίσουμε και το διάγραμμα για το ΑΣΑ Σ με άξονες c t και Από τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz έχουμε ότι c t = 0 c t = (v/c) Δηλαδή, ο -άξονας (c t = 0) είναι η ευθεία c t = (v/c) με κλίση v/c < 1 Ομοίως, = 0 c t = (c/v) Δηλαδή, ο c t -άξονας ( = 0) είναι η ευθεία t = (c/v) με κλίση c/v > 1 Οι ευθείες παράλληλες στην Οct ( όπως η ΑΗ στο Σχήμα (2) ) είναι οι κοσμικές γραμμές σημείων που ακινητούν στο Σ Οι ευθείες παράλληλες στην Ο (πχ η ΒΗ) συνδέουν γεγονότα που συμβαίνουν την ίδια χρονική στιγμή στο Σ και λέγονται οι γραμμές του ταυτοχρόνου στο Σ Οι συντεταγμένες ενός τυχαίου γεγονότος Γ είναι (, c t) = (ΟΔ, ΟΕ) στο Σ, και (, c t ) = (ΟΔ, ΟΕ ) στο Σ Το Σχήμα (2) έχει σχεδιασθεί σε μια αρκετά καλή κλίμακα λόγω μονάδων c t c t 2 c 2 t 2 = 1 Η ακτίνα φωτός Β 2 c 2 t 2 = 1 c t = 1 Ε Ε Γ Α Ο Δ Δ = 1 Σχήμα 2: Σύνδεση χωροχρονικών διαγραμμάτων δύο αδρανειακών παρατηρητών 7

Η πληροφορία για μια κλίμακα ανηγμένη στην μονάδα κωδικοποιείται στις υπερβολές 2 c 2 t 2 = 2 c 2 t 2 = ±1 Αν θέσουμε στην υπερβολή με το θετικό πρόσημο c t = 0, παίρνουμε = ±1 Οπότε το ΟΑ είναι μια μονάδα μέτρησης για τον Ο άξονα Ομοίως, θεωρώντας την υπερβολή με το αρνητικό πρόσημο και θέτοντας = 0, παίρνουμε c t = ±1 και συνεπώς το ΟΒ είναι μια μονάδα μέτρησης στον άξονα Οct Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να κατασκευάσουμε μονάδες μέτρησης και για τους Οct και Ο-άξονες (σημεία τομής των υπερβολών με τον Οct και Ο-άξονα, αντίστοιχα) Με αυτό τον τρόπο, οι συντεταγμένες του τυχαίου σημείου (γεγονότος) Γ στο ΑΣΑ Σ είναι (, c t ) = ( ΟΔ ΟΑ, ΟΕ ΟΒ ) Τα φαινόμενα της συστολής του μήκους και της διαστολής του χρόνου μπορούν να διαπιστωθούν άμεσα από τα διαγράμματα του Σχήματος (2) Συστολή του μήκους Η κοσμική γραμμή μιας ράβδου μήκους 1, δηλαδή της ράβδου ΟΑ στο Σ, με άκρα στο = 0 και στο = 1, τέμνει τον άξονα Ο σε μικρότερο μήκος από την μονάδα, αφού η προέκταση της ΑΗ προς τον άξονα Ο κόβει τον Ο σε μήκος μικρότερο από αυτό που τέμνει η υπερβολή τον Ο Η αμοιβαιότητα του φαινομένου της συστολής του μήκους φαίνεται αν φέρουμε την κοσμική γραμμή μιας ράβδου μήκους μονάδας στο ΑΣΑ Σ, δηλαδή την ευθεία που διέρχεται από το σημείο που τέμνει η υπερβολή τον άξονα Ο και είναι παράλληλη προς τον άξονα Οct Παρατηρούμε ότι κι αυτή η κοσμική γραμμή τέμνει τον άξονα Ο σε μήκος μικρότερο από μονάδα αφού τον τέμνει αριστερά του σημείου Α Αναλυτικότερα, θεωρούμε μια σταθερή ράβδο στο Σ με άκρα A, B που έχουν χωρικές συντεταγμένες A, B, αντίστοιχα Στο Σ τα άκρα της ράβδου έχουν χωρικές συντεταγμένες A, B (τα οποία φυσικά μεταβάλλονται στο χρόνο), και οι οποίες από τον μετασχηματισμό του Lorentz είναι A = γ ( A vt A ), B = γ ( B vt B ) (15) Για να μετρήσουμε το μήκος της ράβδου στο Σ, πρέπει να βρούμε τις χωρικές συντεταγμένες των άκρων της ράβδου στον ίδιο χρόνο σύμφωνα με έναν παρατηρητή στο Σ Αν σημειώσουμε το μήκος ηρεμίας της ράβδου στο Σ με l 0 = B A, και το μήκος της ράβδου στο Σ τον χρόνο t = t A = t B με l = B A, τότε αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις (15), βρίσκουμε ότι l = 1 γ l 0 8

Αφού v < c γ > 1 l < l 0 το οποίο υποδεικνύει ότι: Το μήκος ενός σώματος που κινείται με σταθερή ταχύτητα v συστέλλεται κατά ένα παράγοντα (1 v 2 /c 2 ) 1 2, στην κατεύθυνση της κίνησής του Δεν υπάρχουν φαινόμενα συστολής μηκών στις εγκάρσιες κατευθύνσεις προς την κατεύθυνση της κίνησης του σώματος Διαστολή του χρόνου Επανερχόμαστε στο διάγραμμα που έχουμε σχηματίσει στην σελίδα 7, και θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΒ, δηλαδή την κοσμική γραμμή του γεγονότος που έλαβε χώρα στο ίδιο χωρικό σημείο και στα δυο ΑΣΑ (στο σημείο Ο της αρχής των αξόνων) και διάρκεσε μια μονάδα χρόνου στο ΑΣΑ Σ Φέρνουμε την γραμμή του ταυτοχρόνου από το σημείο Β προς τον άξονα Οct του ΑΣΑ Σ, δηλαδή την ευθεία που διέρχεται από το Β και είναι παράλληλη προς τον άξονα Ο του Σ Παρατηρούμε ότι η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα Οct σε χρόνο μεγαλύτερο από την μονάδα, αφού το σημείο τομής είναι πιο πάνω από το σημείο που τέμνει η υπερβολή τον άξονα Οct Οπότε συμπεραίνουμε ότι πέρασε περισσότερος χρόνος στο ΑΣΑ Σ Η αμοιβαιότητα του φαινομένου διαπιστώνεται αν θεωρήσουμε το γεγονός που έλαβε χώρα στο Ο και διάρκεσε μια μονάδα χρόνου στο Σ, δηλαδή το σημείο που τέμνει η υπερβολή τον άξονα Οct στο Σ Φέρνουμε την γραμμή του ταυτοχρόνου του σημείου αυτού στο Σ, δηλαδή την ευθεία από το σημείο αυτό που είναι παράλληλη προς το άξονα Ο και παρατηρούμε ότι η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα Οct πιο πάνω από το σημείο Β που μετράει μια μονάδα χρόνου στο Σ Αναλυτικότερα, έστω ένα ρολόϊ που ακινητεί στο Σ στο σημείο = A, το οποίο καταγράφει δυο γεγονότα που συνέβησαν με χρονική διαφορά T 0 Τα διαδοχικά αυτά γεγονότα έχουν συντεταγμένες ( A, t 1 ) και ( A, t 1 + T 0) στο Σ Από τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz στο Σ έχουμε t 1 = γ (t 1 + v A /c2 ), t 2 = γ (t 1 + T 0 + v A /c2 ) Αφαιρώντας κατά μέλη στις προηγούμενες σχέσεις βρίσκουμε ότι το χρονικό διάστημα T = t 2 t 1 που μεσολάβησε στο Σ είναι T = γ T 0 Δηλαδή Τα κινούμενα ρολόγια επιβραδύνονται κατά ένα παράγοντα (1 v 2 /c 2 ) 1 2 9