I.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(x), y= f(x), y= y(x), F(x, y) = c}

Transcript

1 I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(), = f(), = (), F(, ) = c}.μηδενικά.μονοτονίες 3.Ασυνέχειες 4.Θετικές δυνάμεις 5.Αρνητικές δυνάμεις 6.Εκθετική 7.Λογαριθμική 8.Αλλαγή βάσης 9.Πολυωνυμικές.Ρητές.Σύνθεση.Πλεγμένες συναρτήσεις 3. Αντίστροφη συνάρτηση 4.Παραμετρικές εξισώσεις 5.Ευθύγραμμο τμήμα 6.Ανισότητες 7.Κυρτές περιοχές ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. 8.Τμηματικά ορισμένες 9.Πραξεις στις συναρτήσεις.μετασχηματισμοί εξισώσεων.κωνικές τομές.περιοδικές συναρτήσεις-τριγωνομετρικές 3.Αντίστροφες τριγωνομετρικές ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τα βασικά χαρακτηριστικά των συναρτήσεων αφορούν: τα πρόσημα των τιμών και ειδικότερα τα μηδενικά, τις μονοτονίες και ειδικότερα τα ακρότατα των τιμών, τις ασυνέχειες. Μηδενικά: f() = Θεώρημα ενδιαμέσου τιμής. Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια αντίθετο πρόσημο σε δύο σημεία τότε σε κάποιο γνήσια ενδιάμεσο σημείο θα μηδενίζεται. Συμπεραίνουμε ειδικά ότι τα μηδενικά μιας συνεχούς συνάρτησης χωρίζουν το πεδίο ορισμού της σε χωριστά υποδιαστήματα, όπου σε καθένα από αυτά η συνάρτηση έχει μόνο ένα γνήσιο πρόσημο. Παράδειγμα. Η f() = = ( ) έχει τα μηδενικά: =, =. Έχει γνήσια θετικές τιμές για < <, γνήσια αρνητικές για < ή >.. Η f() = ln για >, έχει μηδενικό στο =, με γνήσια αρνητικές τιμές στο διάστημα < < και γνήσια θετικές στο διάστημα >. (Για την τιμή της όταν δες το επόμενο κεφάλαιο) 3 3. Η f() = + + έχει τις τιμές: f() = >, f() = 3<. Επομένως θα έχει τουλάχιστον ένα μηδενικό γνήσια ενδιάμεσα: < < με f() =. Παρατήρηση. Συμβατικά χρησιμοποιούμε συνήθως την παρακάτω ορολογία: θετικό για α, γνήσια θετικό για. Αντίστοιχα για (γνήσια) αρνητικό, (γνήσια) μεγαλύτερο,(γνήσια) μικρότερο, Παράδειγμα. Η (τετραγωνική) παραβολική συνάρτηση: f() = α + β+ γ, α, με διακρίνουσα: Δ= β 4αγ, έχει:. Δύο διαφορετικά μηδενικά αν Δ>, με διαφορετικό γνήσιο πρόσημο εντός και εκτός.. Μόνο ένα μηδενικό αν Δ=, με το ίδιο γνήσιο πρόσημο εκατέρωθεν. 3. Κανένα μηδενικό αν Δ<, με όλες τις τιμές γνήσια θετικές αν, γνήσια αρνητικές αν α<. Δ> Δ= Δ< παραβολές με. Μονοτονία. Μια συνάρτηση καλείται: Μονότονη, και ειδικότερα: αύξουσα αν > συνεπάγεται f( ) f( ) φθίνουσα αν > συνεπάγεται f( ) f( ) Γνήσια μονότονη, και ειδικότερα: γνήσια αύξουσα αν > συνεπάγεται f( ) > f( ) γνήσια φθίνουσα αν > συνεπάγεται f( ) < f( ) αύξουσα γνήσια αύξουσα Μια συνάρτηση μπορεί να έχει περισσότερα από ένα μονότονα τμήματα. Ένα σημείο στο οποίο η μονοτονία αλλάζει γνήσια καλείται γνήσιο τοπικό ακρότατο, μέγιστο αν αλλάζει από γνήσια αύξουσα σε γνήσια φθίνουσα, ελάχιστο στην αντίθετη περίπτωση. Παρατηρούμε τέλος ότι μια γνήσια μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ ένα μηδενικό. Οι ιδιότητες μονοτονίας μιας συνάρτησης μελετώνται πιο συστηματικά χρησιμοποιώντας την παράγωγο, όπως στο επόμενο κεφάλαιο.

2 3. Ασυνέχειες. Θεωρούμε τις παρακάτω δύο μορφές ασυνέχειας: άπειρη ασυνέχεια στο αν έχει όριο f() ± όταν, από την μια ή από αμφότερες τις πλευρές. Γεωμετρικά οι άπειρες ασυνέχειες ορίζουν τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης. βηματική ασυνέχεια στο αν έχει διαφορετικό όριο από τις δύο πλευρές, με βήμα ασυνέχειας α= limf( ) limf( ), που μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό. + > άπειρη ασυνέχεια βηματική ασυνέχεια βηματική ασυνέχεια Παράδειγμα. Όπως φαίνεται στο τρίτο γράφημα παραπάνω, η τμηματικά ορισμένη συνάρτηση: όταν = = + όταν > έχει βηματική ασυνέχεια βήματος + στο σημείο =. Δίνουμε παρακάτω τις βασικές συναρτήσεις με τα γραφήματά τους. α α 4. Θετικές δυνάμεις: > 5. Αρνητικές δυνάμεις: α α= α= α= α< α= α< 6. Εκθετική: ep ή e 7. Λογαριθμική: ln ή e log e ln e ln Ιδιότητες: β β e = / e, β γ β γ e e e + β γ βγ =, (e ) = e, e =, e = β ln(βγ) = lnβ+ ln γ, ln lnβ lnγ γ =, ln lnβ β =, γ ln(β ) = γlnβ, ln=, ln Το εκθετικό και ο λογάριθμος είναι αντίστροφες πράξεις, με την παρακάτω έννοια: β {α= e β= lnα}, { e lnα α = α, lne = α } /h Παρατήρηση. Ο νεπέριος αριθμός e ορίζεται ως το όριο: e= lim + = lim = (+ h) =.7 c + + c h 8. Αλλαγή βάσης Γενικότερα, η εκθετική και η λογαριθμική ορίζονται ως προς οιαδήποτε βάση : β α : εκθετική με βάση α, log : λογαριθμική με βάση α, όπου: {γ= α β= log γ} α Οι συναρτήσεις αυτές μετατρέπονται στη νεπέρια βάση e, ως εξής: lnα lnα lnα lnα. α = e απόδειξη: α= e α = (e ) = e ln logα ln. logα = απόδειξη: ln = ln(α ) = (logα )(ln α) logα = lnα lnα c α

3 Ο λογάριθμος με βάση e καλείται και φυσικός λογάριθμος (natural logarithm, ln ) Σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούνται οι βάσεις: (δυαδικός), (δεκαδικός).. Παρατήρηση. Η συνάρτηση δύναμη μπορεί επίσης να εκφραστεί μέσω της εκθετικής: α ln α αln = (e ) = e 9. Πολυωνυμικές: n n P() = α + α + + αn + αn, α, βαθμού: degp= n=,,,... Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού (degree) n> έχει: Το πολύ n μονότονα τμήματα, αλλά μπορεί και λιγότερα: n, n 4,.... Το πολύ n γνήσια τοπικά ακρότατα, αλλά μπορεί και λιγότερα: n 3, n 5,... Tο πολύ n διαφορετικά μηδενικά. Καλούνται και ρίζες του πολυωνύμου Δίνουμε τα γραφήματα των πολυωνύμων βαθμού n=,,3, 4, με θετικό α >. α+ β α + β+ γ 3 α + β + γ+ δ 4 3 α + β + γ + δ+ ε γραμμικές: n= παραβολικές: n= κυβικές: n= 3 n= 4 Με αρνητικό α < βρίσκουμε τα αρνητικά σχήματα των παραπάνω, δηλαδή τα συμμετρικά ως προς τον οριζόντιο άξονα. Ρητές: P() α + α α R() = = Q() β β... β n n n m m m, όπου: n= degp, m= degq. Τα μηδενικά του παρονομαστή Q() αποτελούν κατακόρυφες ασύμπτωτες.. Στο όριο ± όλες οι ρητές συναρτήσεις τείνουν ασυμπτωτικά ως εξής: α) Αν degp< degq, τότε τείνει στο. β) Αν degp degq, τότε διαιρώντας τα πολυώνυμα μπορούμε να τη φέρουμε στη μορφή: Y() Q() = Π() +, όπου: Q() Π() : πολυώνυμο πηλίκο με degπ= degp drgq= n m Y() : πολυώνυμο υπόλοιπο με deg Y< degq Τώρα τείνει προς το πολυώνυμο πηλίκο: R() Π(), (διότι Υ() / Q() όπως στο α) Παράδειγμα. Στο κάθε σχήμα παριστάνουμε το οριακό πολυώνυμο πηλίκο με διακεκομμένη γραμμή = () + = ( + ) + = ( ) + Παράδειγμα διαίρεσης πολυωνύμων ( + / ) / + / / 4 P() = + / + = ( / + / 4) Q() = 3 / 4 3 / 4 3

4 . Σύνθεση {f(),g()} f g() = f(g()) Αρχίζοντας με τις παραπάνω απλές συναρτήσεις δημιουργούνται άλλες περισσότερο περίπλοκες παίρνοντας συνθέσεις. Συνήθως εκφράζουμε την σύνθεση συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τις αντίστοιχες μεταβλητές: {αν = f(z) και z= g(), τότε = f(g()) } ή {αν = (z) και z= z(), τότε = () } Δηλαδή: αν το είναι συνάρτηση του z και το z είναι συνάρτηση του, τότε το είναι επίσης συνάρτηση του, και προκύπτει παίρνοντας την σύνθεσή των δύο επιμέρους συναρτήσεων. Παράδειγμα. f() = και g() = f(g()) = ( ). Η h() = e είναι σύνθεση της f() 3. Η 4. Αν = e είναι σύνθεση της = z και z =, τότε = e με την z = e με την = ( ) z= g() =. Πλεγμένες καλούνται οι συναρτήσεις (συνήθως πολυσήμαντες) που ορίζονται μέσω εξισώσεων: F(, ) = c {= ()} ή {= ()} Παράδειγμα. =±, δύο. + = =±, δύο =±, δύο =±, δύο 4. + = (,), σημείο. = 3. = =±, δύο = +, μια 5. + =, κενό α β Παράδειγμα. { = c,, } με c, ορίζει πλεγμένα συνάρτηση δύναμη, αρνητική αν τα {α,β} έχουν το ίδιο πρόσημο, θετική αν έχουν αντίθετο πρόσημο. Π.χ. α β /β α/β / 3/4 3/4 / / 4/3 4/3 /3 { = c = c }, { = = = ( ) = } Παρατήρηση. Σε μια εξίσωση οι μεταβλητές δεν διακρίνονται καταρχήν σε εξαρτημένη και ανεξάρτητη. 3.Αντίστροφη συνάρτηση. Κάθε συνάρτηση γράφεται και ως εξίσωση: = = = f() F(,) f() Λύνοντας ως προς βρίσκουμε συνάρτηση (γενικά πολυσήμαντη) την οποία καλούμε αντίστροφη της f : = f () Μπορούμε να την κάνουμε μονοσήμαντη περιορίζοντας το πεδίο ορισμού της f ώστε να είναι μονότονη: Aν η f είναι γνήσια μονότονη, τότε η f είναι μονοσήμαντη και γνήσια μονότονη επίσης. Αν η αρχική συνάρτηση εκφράζεται στη γενική μορφή: = (), τότε και η αντίστροφη εκφράζεται στη γενική μορφή: = (). Μια συνάρτηση = f() και η αντίστροφή της = f () εκφράζουν την ίδια σχέση μεταξύ των μεταβλητών = (,) και επομένως έχουν το ίδιο γράφημα στο επίπεδο O. Αν = = όμως για την αντίστροφη θέλουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή = στον οριζόντιο άξονα, τότε το γράφημα της = f () είναι το συμμετρικό της f ως προς την διαγώνιο του συστήματος. Παράδειγμα. Όπως φαίνεται και στο γράφημα, η συνάρτηση = με έχει την αντίστροφο: = Παρατήρηση. Θεωρούμε μια συνάρτηση f(), την γράφουμε ως εξίσωση = f() και λύνοντας ως προς βρίσκουμε την αντίστροφή της = f (). Μπορούμε τώρα να μετονομάσουμε τις μεταβλητές οπότε βρίσκουμε και την μαθηματική αντίστροφη συνάρτηση στη μορφή: = f () f (). Π.χ. f() = e = e = ln = f () ln f() = e f () = ln 4

5 4.Παραμετρικές εξισώσεις: {= (t), = (t)} με παράμετρο t Καθώς το t μεταβάλλεται, το σημείο (,) κινείται στο επίπεδο σχηματίζοντας μια καμπύλη, της οποίας τα σημεία καθορίζονται από τις αντίστοιχες τιμές της παραμέτρου t. Καλείται παραμετρική καμπύλη, ενώ οι δύο εξισώσεις που την ορίζουν καλούνται παραμετρικές εξισώσεις. Συνήθως μπορούμε να βρούμε την εξίσωσή της καμπύλης απαλείφοντας το t, π.χ. με αντικατάσταση από την μία εξίσωση στην άλλη: {= (t), = (t)} F(, ) = c Θετική φορά στην καμπύλη καλείται η κατεύθυνση αύξησης των τιμών της παραμέτρου στα σημεία της καμπύλης. Το γράφημα της καμπύλης μαζί με τη ένδειξη της θετικής φοράς καλείται τροχιά. Η ίδια τροχιά μπορεί να περιγραφεί παραμετρικά με πολλές διαφορετικές παραμετρικές εξισώσεις κάνοντας αλλαγή παραμέτρου. Στο γράφημα της τροχιάς παίρνουμε υπόψη και το διάστημα ορισμού της παραμέτρου. Παράδειγμα. {= t, = t, t } = / 4, {= t, = t+ } {= cos t, = sin t, t π / } = 5 + =,, Παρατήρηση. Διαπιστώσαμε ότι έχουμε τρεις διαφορετικού τύπου παραστάσεις για καμπύλες στο επίπεδο: εξίσωση: F(,) = c, συνάρτηση: = () ή = (), παραμετρικές εξισώσεις: { = (t),= (t)} 5. Ευθύγραμμο τμήμα. Δύο σημεία {(, ), (, )}, ορίζουν μια ευθεία, η οποία μπορεί να εκφραστεί με διάφορους τρόπους, ως εξής:. Ως γραμμική εξίσωση: = ή =. Ως γραμμική συνάρτηση, γράφοντας την πρώτη εξίσωση στη μορφή: = + m( ), όπου m= είναι η κλίση της ευθείας. Γεωμετρικά, η κλίση ισούται με την τριγωνομετρική εφαπτομένη της γωνίας θ που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα, όπως φαίνεται στο γράφημα. 3. Ως παραμετρική ευθεία, παριστάνοντας στην δεύτερη εξίσωση τον κοινό λόγο με t : = + ( )t = ( t)+ t = = t = + ( )t = ( t) + t Η παράμετρος t μετράει την προσημασμένη απόσταση του (,) από το (, ), ως ποσοστό της συνολικής απόστασης μεταξύ των αρχικών σημείων. Έτσι όσο μικρότερο είναι το t τόσο πιο κοντά βρισκόμαστε στο σημείο (, ) Τα αρχικά σημεία αντιστοιχούν στις τιμές: t = {,}. Ενδιάμεσα καλούνται τα σημεία στο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα δύο αρχικά. Προκύπτουν για τιμές της παραμέτρου: t Αντικαθιστώντας και s= t, βρίσκουμε για τα ενδιάμεσα σημεία την εναλλακτική παράσταση: = s + t, = s + t με s, t, s+ t= { } Οι συντελεστές {s,t} είναι θετικοί με άθροισμα και αποτελούν τα βάρη με τα οποία συνδυάζονται τα αρχικά σημεία για να προκύψουν τα ενδιάμεσα. Όσο μεγαλύτερο είναι ένα βάρος τόσο πλησιέστερα βρισκόμαστε στο αντίστοιχο ακραίο σημείο. Τα ενδιάμεσα σημεία καλούνται και κυρτοί συνδυασμοί των δύο αρχικών σημείων. Παράδειγμα. Στο επίπεδο των (, ) θεωρούμε τα σημεία A : ( =, = ), A : (= 3, = 8). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα δύο σημεία. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου στο /3 της απόστασης από το A στο A t= θ t= t 5

6 8 Η εξίσωση της ευθείας είναι: = = = 3( ) 3 = 3 Το σημείο στο /3 της απόστασης από το A στο A, θα είναι κυρτός συνδυασμός με συντελεστές: (s= / 3, t= / 3) Επομένως θα έχει τις συντεταγμένες: 5 /3= s+ t= + 3=, /3 = s + t= + 8= = Ελέγχουμε ότι ικανοποιούν και την εξίσωση Παρατήρηση. Για τα βάρη χρησιμοποιούμε και τον εναλλακτικό συμβολισμό: (s,t) (t,t ) οπότε ο κυρτός συνδυασμός δύο σημείων θα γράφεται: { = t + t, = t + t} με t, t, t + t= Έτσι (t,t ) είναι τα βάρη στα σημεία {P,P } αντίστοιχα. Όσο μεγαλύτερο ένα βάρος τόσο πλησιέστερα βρισκόμαστε στο αντίστοιχο σημείο. Σαυτή την μορφή η έννοια γενικεύεται άμεσα στον κυρτό συνδυασμό περισσότερων σημείων. 6. Ανισότητες. Κάθε εξίσωση, εκτός από μια καμπύλη καθορίζει γεωμετρικά και δύο περιοχές εκατέρωθεν της καμπύλης, όπου οι συντεταγμένες των σημείων τους ικανοποιούν αντίστοιχες ανισότητες. Π.χ. σε αντιστοιχία με τις διάφορες μορφές για τις εξισώσεις καμπύλων, βρίσκουμε τις περιοχές: /4 3/4 + ( ) + 4. f(,) = c {f(,) c, f(,) c} 4/3 /3 ( ) / 4. = f() { f(), f()} {πάνω, κάτω} = f() { f(), f()} {δεξιά, αριστερά} 4 Περιοχές που ορίζονται με γραμμικές ανισότητες, όπως στο πρώτο γράφημα παραπάνω καλούνται ημιεπίπεδα. Επίσης, μια περιοχή καλείται: κλειστή αν περιέχει την καμπύλη του συνόρου όπως παραπάνω, οπότε γράφουμε: {f(,) c, f(,) c} ανοικτή αν δεν την περιέχει όποτε εκφράζεται με γνήσια ανισότητα: {f(,) > c, f(,) < c} 7. Κυρτή καλείται μια περιοχή αν περιέχει όλους τους κυρτούς συνδυασμούς των σημείων της, δηλαδή ολόκληρο το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει. Π.χ. κυρτές περιοχές είναι τα ημιεπίπεδα α+ β c ή α+ β c κυρτή μη κυρτή κυρτή καθώς και τα κυρτά πολύγωνα που προκύπτουν ως τομές ημιεπιπέδων και ορίζονται με περισσότερες τέτοιες ανισότητες, όπως στο τελευταίο σχήμα παραπάνω. Γενικότερα, διαπιστώνουμε ότι: Η τομή κυρτών περιοχών είναι επίσης κυρτή περιοχή, και εκφράζεται με το σύνολο των ανισοτήτων Σε πολλές εφαρμογές, αν μια περιοχή δεν είναι κυρτή την κάνουμε κυρτή διευρύνοντάς την ώστε να περιέχει όλους τους κυρτούς συνδυασμούς των σημείων της. Η διαδικασία αυτή καλείται κυρτοποίηση, και η μικρότερη τέτοια διεύρυνση καλείται κυρτό κέλυφος. Διαπιστώνουμε ότι: Το κυρτό κέλυφος ενός συνόλου σημείων είναι το σύνολο των κυρτών συνδυασμών όλων των σημείων του. Π.χ.. Το κυρτό κέλυφος δύο σημείων είναι το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει.. Το κυρτό κέλυφος τριών σημείων είναι η τριγωνική περιοχή που τα έχει ως κορυφές. 3. Η περιοχή που βρίσκεται στη θετική περιοχή εκτός του μοναδιαίου κύκλου δεν είναι κυρτή. Για την κυρτοποίησή της αρκεί να συμπεριλάβουμε και το τμήμα εντός του κύκλου που ορίζεται από την χορδή. 6

7 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 8. Τμηματικά ορισμένες βηματική πολυγωνική σφηνοειδής ma{, } min{, } Η βηματική αποτελείται από οριζόντια τμήματα, η πολυγωνική από ευθύγραμμα, και η σφηνοειδής από παραβολικά. Τμηματικά ορισμένες είναι και οι συναρτήσεις ma ( min ) μιας συλλογής συναρτήσεων που σχηματίζεται παίρνοντας σε κάθε την μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή των συναρτήσεων της συλλογής. Καλούνται επίσης πάνω (κάτω ) περιβάλλουσα των συναρτήσεων. Παράδειγμα. Τα δύο τελευταία σχήματα παραπάνω είναι οι περιβάλλουσες των εξής δύο συναρτήσεων στο θετικό διάστημα : αν ( ) αν ( ) ma{, } =, min{, } = αν ( ) αν ( ) 9. Πράξεις στις συναρτήσεις άθροισμα/διαφορά: f() ± g(), σε κάθε προσθέτουμε/αφαιρούμε τα δύο ύψη διαστολή-συστολή: αf() κατακόρυφα, f(α) οριζόντια αντανάκλαση: f() ως προς τον οριζόντιο άξονα, f( ) ως προς τον κατακόρυφο οριζόντια μετατόπιση: f( α), όπου το γράφημα της f() μετατοπίζεται οριζοντίως κατά α, διότι η τιμή της νέας συνάρτησης στο δίνεται από την τιμή της αρχικής στο α. Έτσι, η μετατόπιση είναι προς δεξιά αν, προς αριστερά αν α< π π π άθροισμα, διαφορά, οριζόντια συστολή, μετατόπιση, μετατόπιση + = ( ) +,, sin sin +. Μετασχηματισμοί εξισώσεων F(,) = c. Αντανάκλαση ως προς τους άξονες: ή. Μετατόπιση:,, οριζοντίως κατά και κατακόρυφα κατά. 3. Αλλαγή κλίμακας, διαστολή-συστολή: α, β / / 3 = = c () + = + = / / 3 = ( ) (+ ) = 4 ( / ) + = αντανάκλαση μετατόπιση αλλαγή κλίμακας 7

8 / /3 Παράδειγμα. Η εξίσωση ( ) = c, προκύπτει / /3 από την = c, με τους παρακάτω διαδοχικούς μετασχηματισμούς: / /3 α): = c οριζόντια μετατόπιση κατά β): / /3 (+ ) = c οριζόντια αντανάκλαση / /3 γ): ( + ) = c α β γ. Κωνικές τομές. Εφαρμόζοντας την γνωστή διαδικασία συμπλήρωσης τετραγώνων που συγχωνεύει κάθε γραμμικό όρο με τον αντίστοιχο τετραγωνικό, διαπιστώνουμε ότι κάθε τετραγωνική εξίσωση δύο μεταβλητών χωρίς μεικτό όρο, της μορφής: α + γ + δ+ ε= c, όπου τα {α,γ} δεν είναι αμφότερα μηδενικά, περιγράφει μια από τις παρακάτω καμπύλες, μετατοπισμένη ώστε το κέντρο της να βρίσκεται σε κάποιο σημείο (, ) : ξ ζ ξ ξ ζ ξ ζ ζ Έλλειψη: + = Υπερβολή: = ± Παραβολή: = η,= ξ ξ ζ ξ ζ Καλούνται κωνικές τομές. Ειδικότερα, η εξίσωση παριστάνει:. Έλλειψη (ή σημείο ή κενό) αν τα {α,γ} έχουν γνήσια το ίδιο πρόσημο: αγ>. Υπερβολή (ή τεμνόμενες ευθείες) αν τα {α, γ} έχουν γνήσια αντίθετο πρόσημο: αγ< 3. Παραβολή (ή παράλληλες ευθείες) αν το ένα από τα {α, γ} μηδενίζεται: αγ= Παράδειγμα. + + = c ( + + / 4 / 4) + = c (+ / ) + = c+ / 4, παριστάνει:. κύκλο με κέντρο ( = /, = ) αν c> / 4, σημείο αν c= / 4, κενό αν c< / = ( + + ) + 4 = (+ ) (+ ) + 4 = 3 + =, παριστάνει: 3 3 / 4 έλλειψη, με κέντρο: (+ =, = ) ( =, = ) και ακτίνες: {ξ= 3,ζ= 3 / } Παρατήρηση. Η γενική τετραγωνική εξίσωση περιλαμβάνει και μεικτό όρο : α + β+ γ + δ+ ε= c, όπου τα {α,β,γ} δεν είναι όλα μηδενικά Παριστάνει επίσης κωνική τομή, αλλά τώρα εκτός από μετατόπιση έχουμε και περιστροφή. Π.χ. = είναι περιεστρεμμένη υπερβολή. Το μέγεθος Δ= αγ β καλείται διακρίνουσα της τετραγωνικής εξίσωσης. Παραβλέποντας τις παθολογικές περιπτώσεις, αποδεικνύεται ότι η εξίσωση παριστάνει: έλλειψη ανδ= αγ β >, υπερβολή αν Δ= αγ β <, παραβολή αν Δ= αγ β = 8

9 . Περιοδικές συναρτήσεις-τριγωνομετρικές με περίοδο π Στο διάστημα: π / είναι τα συνηθισμένα τριγωνομετρικά μεγέθη, με τις γωνίες εκφρασμένες σε ακτίνια (radian) π sin = ημ cos = συν tan = εφ ημίτονο (sine) συνημίτονο (cosine) εφαπτομένη (tangent) π π ακτίνια μοίρες = π 36 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις παριστάνονται γεωμετρικά με το παρακάτω διάγραμμα στον μοναδιαίο κύκλο, όπου είναι το προσημασμένο μήκος τόξου σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας μετρημένη σε ακτίνια (radian): ακτίνια μοίρες = π 36 Έτσι η συντεταγμένη στον οριζόντιο άξονα είναι το ημίτονο του τόξου : sin, κλπ. Έχουμε και τις γνωστές ταυτότητες: cos + sin =, tan = sin / cos π π / sin cos 3π / π tan 3. Αντίστροφες Τριγωνομετρικές. Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές είναι πολυσήμαντες: sin, cos, tan Αν όμως περιορίσουμε τις τριγωνομετρικές στα μονότονα τμήματά τους, τότε βρίσκουμε μονοσήμαντες αντίστροφες τριγωνομετρικές. Συνήθως χρησιμοποιούμε τους παρακάτω συμβολισμούς:. Αντίστροφη ημιτόνου: arcsin sin = = τοξημ ημ με {, π / π / } Δηλαδή, είναι το τόξο (arc) που έχει ημίτονο (sine) και βρίσκεται στο παραπάνω διάστημα μονοτονίας. Π.χ. arcsin =, arcsin(/ ) = π / 6, arcsin(/ ) = π / 4, arcsin() = π / π / sin π / π / arcsin. Αντίστροφη εφαπτομένης: arctan tan = = τοξεφ εφ με { < <+, π / < < π / } Δηλαδή, είναι το τόξο (arc) που έχει εφαπτομένη (tan) και βρίσκεται στο παραπάνω διάστημα μονοτονίας. Π.χ. arctan =, arctan() = π / 4, arctan( + ) = π / π / tan π / π / arctan 9

10 I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκήσεις. Να γίνουν τα γραφήματα των παρακάτω συναρτήσεων, χωρίς ειδική μελέτη: = +, + = +, = +,,ln(+ ), 3 / 3 ( ), (+ ) 3 /, min{, }, +, 4 = / 4, sin, cos( / ), cos( π / ), +, /. Να βρεθούν οι θετικές λύσεις {,} των παρακάτω εξισώσεων και συστημάτων, όπου οι παράμετροι {α,β} είναι θετικές: / 4 / 4 /3 α { = }, α= {α β= }, 3 / 4 / 4 β= 3. Να βρεθούν στον άξονα τα γραφήματα των παρακάτω ανισοτήτων: +, 4+ 3, 6 4. Για κάθε μια από τις συναρτήσεις: 3 f() : + 3, + 3+, +, να γίνει το γράφημα για, και στη συνέχεια να βρεθεί αναλυτικά και γραφικά το γράφημα της g() = f() / 5. Να βρεθεί η αντίστροφη f () της συνάρτησης f() = στο θετικό διάστημα, και να γίνουν τα γραφήματά τους στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Να γίνει το ίδιο για τη συνάρτηση f() = 6. Να βρεθούν τα γραφήματα των παρακάτω εξισώσεων: /4 3/4 / = 8, + 4= 4, =, ( + ) = 3, + = 3, + =, + = 7. Να γίνουν τα γραφήματα των παρακάτω ανισοτήτων στη θετική περιοχή, και να διερευνηθεί αν οι περιοχές είναι κυρτές. /4 3/4 + 4,, + ln, Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A : (,4) και B : (,). Επίσης να βρεθούν τα ενδιάμεσα σημεία που βρίσκονται στο / και στο / 4 της απόστασης από το A στο B 9. Να γίνει το γράφημα και να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (,3), και έχει κλίση.. Να βρεθούν τα γραφήματα των τροχιών: {= t, = 4t}, {= 3 t, = t + }. Να γίνουν τα γραφήματα των + = 7, + 7. Για το καθένα από τα παρακάτω ζεύγη εξισώσεων να γίνουν τα γραφήματα στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, χρησιμοποιώντας μετατοπίσεις. Σε κάθε περίπτωση να βρεθούν οι τομές με τους άξονες. { ln =, = ln(+ )}, = 4, ( )( + 3) = 4 { }