Ψηφιακή τεχνολογία Ε. Λοιδωρίκης Δ. Παπαγεωργίου Η εφεύρεση του τρανζίστορ Το πρώτο τρανζίστορ John rn, Willi Schocl Wltr rtin, ll Ls 948 τρανζίστορ σημειακής επαφής Γερμανίου, ll Ls 4
Τεχνολογία πυριτίου Τεχνολογία πυριτίου MMC, lctronic Mtrils Inc.] 5 6 Ολοκληρωμένα κυκλώματαεπεξεργαστές Ηλιακά κύτταρα Th on Dr 7 8
Εκπομπή φωτός και προβολή εικόνας ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 9 Περιεχόμενα Άτομο υδρογόνου Ατομικός δεσμός Μοριακά τροχιακά Τροχιακά στερεών Ενεργειακές ζώνες Ενέργεια Fri Πυκνότητα καταστάσεων Στατιστική FriDirc Αγωγή ρεύματος Απομονωμένο άτομο υδρογόνου ηλεκτρόνιο στο s τροχιακό κυματοσυνάρτηση r s + ενέργεια ηλεκτρονίου.6 ενεργειακές ιδιοτιμές διεγερμένων τροχιακών n.6 n Α r
Μόριο υδρογόνου ηλεκτρόνιο στο s τροχιακό Δύο απομονωμένα άτομα υδρογόνου πως και γιατί κάνουν χημικό δεσμό όταν έρθουν κοντά; + + ηλεκτρόνιο στο s τροχιακό Μόριο υδρογόνου Δύο απομονωμένα άτομα υδρογόνου πως και γιατί κάνουν χημικό δεσμό όταν έρθουν κοντά; ηλεκτρόνιο στο μοριακό τροχιακό + + ηλεκτρόνιο στο μοριακό τροχιακό κυματοσυνάρτηση ενέργεια ηλεκτρονίου.6 ενέργεια ηλεκτρονίου κυματοσυνάρτηση r.6 r s s κυματοσυνάρτηση κυματοσυνάρτηση r r s s Α Β r Α Β r 4 Μοριακά τροχιακά Ενεργειακές ιδιοτιμές Από δύο ατομικά θα πρέπει να προκύψουν δύο μοριακά τροχιακά αρχή διατήρησης του αριθμού καταστάσεων Μοριακά τροχιακά προκύπτουν ως γραμμικός συνδυασμός των ατομικών μόνο οι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις διατήρηση η βασικών συμμετριών συμμετρική λύση r r s s δεσμικό τροχιακό μικρότερη ενέργεια: ηλεκτροστατικά σταθερό + + Α Β αντισυμμετρική λύση r r s s αντιδεσμικό τροχιακό r + + Α μεγαλύτερη ενέργεια: ηλεκτροστατικά ασταθές Β r Προσεγγιστικά με την μέθοδο «γραμμικού συνδυασμού ατομικών τροχιακών» linr cointion of toic oritls LCO r r s s Γνωρίζουμε: Εφαρμόζουμε: r r r r 5 6
Ενεργειακές ιδιοτιμές Μοριακό υδρογόνο Προσεγγιστικά: Ε σ + Ε Ε + ΔΕ Επίσης θέτουμε: δεσμικό τροχιακό: σ είναι η ενέργεια δεσμού + + Ε σ αντιδεσμικό τροχιακό: ΔΕ = ενέργεια δεσμού 7 8 Μοριακό υδρογόνο Μοριακό ήλιο υπάρχει? + + R SYSTM s -tos s lctrons oning lctron/to nrg R Oritl/to R = R, Intrtoic Sprtion Στην πράξη, μετά από ακριβείς κβαντομηχανικούς υπολογισμούς, βρίσκουμε ότι η Ε σ απέχει πιο πολύ από την Ε από ότι η Ε σ + άτομο ηλίου Ε ΔΕ ΔΕ + + Ε σ Ε σ Ε + άτομο ηλίου Η απάντηση είναι όχι: η συνολική ενέργεια θα ήταν 4 Το ήλιο, όπως και όλα τα στοιχεία με συμπληρωμένες στοιβάδες είναι ευγενή αέρια 9
Μοριακό Η Stric ntistric c C c Stric R = R = Ίδιοι κανόνες: διατήρηση αριθμού τροχιακών, συμμετρία τροχιακών τρία μοριακά τροχιακά C εναλλάξ συμμετρικό/αντισυμμετρικό C μεταξύ τους ορθογώνια c c c s C Ενεργειακή σύγκριση Η και Η Δείξτε ότι τα τροχιακά του Η είναι ορθογώνια μεταξύ τους δείξτε ότι r r Βρείτε τις ενεργειακές ιδιοτιμές τους παρομοίως τα Βρείτε την συνολική ενέργεια του Η τρία ηλεκτρόνια σύνολο c c r c χρησιμοποιώντας C, C Ποιό είναι σταθερότερο, το Η ή το Η ; συγκρίνουμε 6 με 6 Ενεργειακές ζώνες Αρχή του Puli Δημιουργούνται όταν πολλά άτομα έρχονται κοντά για να σχηματίσουν το στερεό in th S st n nrg tos lctron of N Li T FULL MPTY Sst of N Li tos soli N soli Soli p s p s SYSTM N Li tos N lctrons N Oritls N Stts s s Intrtoic Sprtion R Isolt tos Κάθε κατάσταση μπορεί να καταληφθεί από μόνο δύο ηλεκτρόνια με αντιπαράλληλα spin Τα ηλεκτρόνια «γεμίζουν» τις καταστάσεις με την χαμηλότερη ενέργεια 4
Ενεργειακές ζώνες Ζώνες από διαφορετικά τροχιακά μπορούν να αλληλεπικαλύπτονται δημιουργώντας μια ενιαία ζώνη lctron n nrg MPTY FULL Fr lctron = cuu Lvl s p s Δομή ζώνης μετάλλου επίπεδο κενού Έργο εξόδου Φ απαιτούμενη ενέργεια για να διαφύγει ένα ηλεκτρόνιο στο κενό ηλεκτρόνιο εκτός κρυστάλλου ηλεκτρόνιο μέσα στον κρύσταλλο R = Th Soli s Intrtoic Sprtion R R = Isolt tos Ενέργεια Fri Ε F ενέργεια τελευταίας κατειλημμένης θέσης Ε F όταν Τ> Ε Β 5 6 Έργο εξόδου και ενέργεια Fri Αγωγή ρεύματος στα μέταλλα Η εφαρμογή τάσης προκαλεί κλίση στις ενεργειακές ζώνες εφαρμογή τάσης F F 7 8
Αγωγή ρεύματος στα μέταλλα Puli αγωγή φορέων γίνεται μόνο όταν υπάρχουν κενές ενεργειακές θέσεις Η αγωγή των φορέων γίνεται ουσιαστικά με μετακινήσεις σε κενές θέσεις και συνεπακόλουθες μεταπτώσεις πίσω στην επιφάνεια Fri μόνο φορείς κοντά στην Ε F συνεισφέρουν στο ρεύμα F J I L L R L I / R Ηλεκτρικές ιδιότητες μετάλλων Ποιά ηλεκτρόνια συνεισφέρουν; μόνο αυτά που είναι στην ενέργεια Fri Πόσα είναι αυτά; Μπορούμε να τα μετρήσουμε; ναι μπορούμε, μετρώντας πιθανές καταστάσεις και εφαρμόζοντας στατιστική Τι είδους στατιστική; αφού ισχύει ο νόμος Puli, άρα εφαρμόζουμε στατιστική FriDirc F J Στατιστική FriDirc: Η πιθανότητα μια κατάσταση με ενέργεια Ε σε σύστημα με ενέργεια Fri Ε F και θερμοκρασία Τ να είναι κατειλημμένη f F T 9 Η κατανομή FriDirc Έστω μια ενεργειακή κατάσταση / Η πιθανότητα α να είναι κατειλημμένη η για Τ= f f f F / f for f for T F F Μέτρηση καταστάσεων Μας ενδιαφέρουν μόνο το ηλεκτρόνια στην τελευταία ζώνη ζώνη αγωγιμότητας για μέταλλα θεωρούμε ότι συμπεριφέρονται σαν ελεύθερα ηλεκτρόνια Ο κρύσταλλος ιόντα και άλλα ηλεκτρόνια δεν επιδρούν στην κίνησή τους; ναι, επιδρά. Για να το λάβουμε υπόψη προσεγγίζουμε τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας σαν ελεύθερα αλλά με διαφορετική μάζα αδράνειας Ενεργός μάζα ηλεκτρονίων η φαινομενική μάζα αδρανείας των ηλεκτρονίων λόγω των αλληλεπιδράσεών τους με τον κρύσταλλο και τα άλλα τροχιακά f T = K T = K T Πως μετράμε καταστάσεις; Ποιές είναι αυτές; είναι οι καταστάσεις με διαφορετικές ορμές και ενέργειες F Πρέπει να βρούμε ποιές ορμές και ποιες ενέργειες επιτρέπονται στον κρύσταλλο ηλεκτρονική δομή ζώνης ζώνη rillouin
Μέτρηση καταστάσεων στα μέταλλα Μας ενδιαφέρουν μόνο το ηλεκτρόνια στην τελευταία ζώνη ζώνη αγωγιμότητας για μέταλλα θεωρούμε ότι συμπεριφέρονται σαν ελεύθερα ηλεκτρόνια άρα δεν χρειάζεται να εξετάσουμε κρυσταλλικές συμμετρίες Η ενέργειά τους είναι μόνο κινητική p Ως μηδέν ενέργεια παίρνουμε το κάτω άκρο της ζώνης, δηλαδή Ε Β = Υπενθύμιση: η ορμή είναι τρισδιάστατο διάνυσμα Ε F Φ p - FO p Επιλογή επιτρεπτών ορμών Ποιες είναι οι επιτρεπτές καταστάσεις; τα ηλεκτρόνια είναι κύματα που υπακούν την εξίσωση Schroingr r r Οι λύσεις είναι επίπεδα εδα κύματα α r ir p r Χρειαζόμαστε μια συνοριακή συνθήκη έστω ο κρύσταλλος είναι ένα κυβικό κουτί πλευράς L η κυματοσυνάρτηση είναι περιοδική στα όρια του κουτιού Πως επιλέγουμε τα κατάλληλα ; L,,, L,,, L, συνθήκη κβάντωσης 4 Επιλογή επιτρεπτών ορμών Εφαρμόστε την συνθήκη συνέχειας στην κυματοσυνάρτηση r όπου r Λύση: i L i L L,, i i il i ir i i i i L n / L n οι επιτρεπτές τιμές του είναι ακέραια πολλαπλάσια του π/l το n είναι ο κβαντικός αριθμός για την διεύθυνση Με παρόμοιο τρόπο λύνουμε και για τις και διευθύνσεις εισάγουμε τους n και n κβαντικούς αριθμούς για τις διευθύνσεις και Θεμελιώδης κατάσταση ελεύθερων ηλεκτρονίων Γεμίζουμε την ζώνη με ηλεκτρόνια δύο σπιν πάνω και κάτω σε κάθε θέση n, n, n,, n, n, n,, n, n, n,, n, n, n,, n, n, n,, n, n, n,, Δημιουργείται ένας «κρύσταλλος» α κυβικό πλέγμα με περίοδο π/l αντίστροφος χώρος Αριθμός σημείων = αριθμός ηλεκτρονίων n Z N l c ~ l/c F / L 5 6
Αριθμός καταστάσεων για Τ= Χαρακτηριστικά διαφόρων μετάλλων Ο αντίστροφος χώρος χώρος των ορμών έχει σφαιρική συμμετρία το μέγιστο θα είναι το F κυματοδιάνυσμα Fri η μέγιστη ενέργεια θα είναι η F ενέργεια Fri / L Ο αριθμός των σημείων που χωρούν στην σφαίρα K F 4 όγκος σφαίρας Fri F στοιχειώδης όγκος για κάθε / L F αριθμός των αριθμός καταστάσεων και κυματοδιάνυσμα Fri N 4 F / L F N n F / L Γνωρίζοντας το n για κάθε μέταλλο, βρίσκουμε επίσης: ενέργεια Fri / ταχύτητα Fri F F F F / F n 7 8 Πυκνότητα καταστάσεων Πυκνότητα καταστάσεων Πυκνότητα καταστάσεων για κυματοδιάνυσμα ο αριθμός καταστάσεων μεταξύ και +Δ / L Ο αριθμός των σημείων που χωρούν στον φλοιό όγκος φλοιού 4 στοιχειώδης όγκος για κάθε / L αριθμός των αριθμός καταστάσεων N 4 L N / L T K F n n Συνήθως το γράφουμε συναρτήσει της ενέργειας: / g = / / / / / / / / g / f n = gf Πυκνότητα καταστάσεων g: N g / 9 4
Στατιστική μετάλλων για Τ> Αριθμός καταστάσεων n F n g f g f / F T Ο αριθμός καταστάσεων n είναι σταθερός για κάθε μέταλλο χρησιμοποιούμε την παραπάνω σχέση για να λύσουμε ως προς F T F F T F Άσκηση: επαληθεύστε για Τ= τον αριθμό καταστάσεων που είχαμε βρει: n F F Ενέργεια ηλεκτρονίων Ολική κινητική ενέργεια ηλεκτρονίων για Τ= ολική g f g / Ε / ολική Ε F T Ε ολική / F Μέση κινητική ενέργεια ηλεκτρονίων / 5/ Ε ολική F μέση 5 / n / F Ε 5 / F / 5 5/ F Για Τ> συνεχίζει να ισχύει η κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων δεν εξαρτάται από την θερμοκρασία! αυτή είναι η μεγάλη διαφορά από την κλασική θεωρία! 4 4 Παράδειγμα Παράδειγμα Δεδομένου ότι το πλάτος της ενεργειακής ζώνης είναι περίπου, να υπολογίσετε τα ακόλουθα μεγέθη ανά c και ανά :. Την πυκνότητα καταστάσεων στο κέντρο της ζώνης β. Τον αριθμό των καταστάσεων ανά μονάδα όγκου στην μικρή ενεργειακή περιοχή T γύρω από το κέντρο γ. Την πυκνότητα καταστάσεων σε ενέργεια T πάνω από τον πυθμένα της ζώνης δ. Τον αριθμό των καταστάσεων ανά μονάδα όγκου στην μικρή ενεργειακή περιοχή από T μέχρι T γύρω από τον πυθμένα της ζώνης. Την πυκνότητα καταστάσεων στο κέντρο της ζώνης / 8 g h 8 9. g5 6.66 9.5 9.5 J 4 46 / / c J 5.6.6 9 / J 46 6 9.5 c 4 44
Παράδειγμα Παράδειγμα β. Τον αριθμό των καταστάσεων ανά μονάδα όγκου στην μικρή ενεργειακή περιοχή T γύρω από το κέντρο Στην θερμοκρασία δωματίου Τ Κ T.6.5 n g g5 T c.9 c.6 γ. Την πυκνότητα καταστάσεων σε ενέργεια T πάνω από τον πυθμένα της ζώνης Στην θερμοκρασία δωματίου Τ Κ T.6 / 8 g h / 8 g.66 6.66 / 9. 9 /.66.6 4 6.84 45 J 46 6 9 6.84 J c.6 J. c 45 46 Παράδειγμα Παράδειγμα δ. Τον αριθμό των καταστάσεων ανά μονάδα όγκου στην μικρή ενεργειακή περιοχή από T μέχρι T γύρω από τον πυθμένα της ζώνης n g g.6 T. c.8 9 c.6 Βρείτε τον συνολικό αριθμό καταστάσεων στην ζώνη αγωγιμότητας για τον άργυρο F =5.5, Φ = 4.5 και συγκρίνετε με την ατομική συγκέντρωση του αργύρου Θεωρούμε ότι η πυκνότητα είναι συμμετρική ως προς το κέντρο της ζώνης. Άρα ολοκληρώνουμε μέχρι την μέση, και το πολλαπλασιάζουμε επί δύο Η ζώνη έχει πλάτος 5.5 + 4.5 = ολοκληρώνουμε την πυκνότητα από ως 5 5 n g / 5 / 8 8 5 / 9. g 9 5.6 4 6.66 Js.6 c J/ / 47 48
Παράδειγμα Η ατομική συγκέντρωση του αργύρου n Z N lc πυκνότητα μάζας ρ =.5 g c ατομικό βάρος Α = 7.9 g ol αριθμός vogo N = 6. ol αριθμός ηλεκτρονίων για κάθε άτομο Z = n 5.85 lc 49