ΠΕΡΙ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΣΜΗΝΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ ΤΟΥ E 3 ΜΕ ΚΟΙΝΗ ΜΕΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ. Παπαδοπούλου Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης
. Βασική θεωρία των σµηνών ευθειών του Ε 3. Ο διανυσµατικός χώρος των σµηνών ευθειών µε κοινή µέση περιβάλλουσα 3. Εσωτερικό γινόµενο σµηνών ευθειών
. Βασική θεωρία των σµηνών ευθειών του Ε 3 Στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο E 3 ένα σµήνος ευθειών S (ή απλά σµήνος) είναι ένα διπαραµετρικό σύνολο προσανατολισµένων ευθειών που ορίζεται από την εξίσωση όπου xuvt ( ) = OP+ te < t<+ ( uv ) 3 OP = P( u v) : επιφάνεια αφετηρίας του S Υποθέτουµε: e ( ) 3 u v : µοναδιαίο διάνυσµα κατεύθυνσης των ευθειών τουs : απλώς συναφής τόπος του (u v)-επιπέδου. S C 3 ( ) Η σφαιρική απεικόνιση του σµήνους είναι αµφιµονότιµη. Η επιφάνεια αφετηρίας Puvταυτίζεται ( ) µε τη µέση επιφάνεια του S. 3
D { Puv ( ) e( uv )/ i 3} = = : ορθοµοναδιαίο θετικά προσανατολισµένο τρίακµο i Υπάρχουν διαφορικές µορφές του Pfaff σ ω i j = 3 i ij dp 3 = σ e i= i i de Συνθήκες ολοκληρωσιµότητας 3 = ω e ωij + ω ji = i j = 3. j ji i i= 3 σ iei = i= d( ) Από την υπόθεση ( uv ) ισχύουν 3 d( ω jiei ) =. i= ω 3 ω3 ω3 σ + σ ω 3 =. 4
Υπάρχουν συναρτήσεις quv ( ) quv ( ) τέτοιες ώστε dω3 = qω3 ω3 dω3 = qω3 ω3. Πρώτη θεµελιώδης τετραγωνική µορφή του S : I = ( de 3 ) = ω + ω 3 3 Για την καµπυλότητα k τη µέση καµπυλότητα h και την ορική απόσταση z του S: σ σ k = ω ω 3 3 σ ω3+ σ ω3 h = ω ω 3 3 z = h k. 5
OM = M ( u v) : µέση περιβάλλουσα (Μ.Π.) του S Η απεικόνιση Puv ( ) M ( uvείναι ) αµφιµονότιµη Υπάρχουν συναρτήσεις auv ( ) buv ( ) ( uv ) ώστε MP = auve ( ) + buve ( ) 6 OP = OM + MP = OM + a( u v) e + b( u v) e.
Είναι γνωστό ότι η µόνη συνθήκη που οφείλουν να ικανοποιούν οι auv ( ) buv ( ) είναι db ( a ) = ( r+ r) () ω3 ω3 ω3 ω3 όπου r r είναι οι πρωτεύουσες ακτίνες καµπυλότητας της M ( uv. ) H () είναι ισοδύναµη µε την εξίσωση H () a+ b qa qb= K όπου είναι οι παράγωγοι του Pfaff ως προς τις µορφές ω3 ω 3 Η η µέση καµπυλότητα και Κ η καµπυλότητα της M ( uv. ) Αν a ( u v ) b ( ) u v είναι µια µερική λύση της () το σύνολο των λύσεών της έχει τη µορφή όπου ϕ( uv ) C ( uv ). a = a ϕ b= b + ϕ 7
. Ο διανυσµατικός χώρος των σµηνών ευθειών µε κοινή µέση περιβάλλουσα 3 ίνεται οµαλή επιφάνεια OM = M ( u v) C Κ ( uv ). Ας είναι { ( )/ 3} e u v i = ορθοµοναδιαίο συνοδεύον τρίακµο της M ( uv ) όπου e 3 ( u v ) i είναι το καθετικό διάνυσµα της M ( uv. ) Σε κάθε λύση { auv ( ) buv} ( ) της διαφορικής εξίσωσης db ( ω aω ) = ( r+ r) ω ω 3 3 3 3 αντιστοιχεί ένα σµήνος S του οποίου η M.Π. είναι η M ( uv. ) Πράγµατι: Οι ευθείες του S είναι παράλληλες προς τα καθετικά διανύσµατα e ( u v ) της ( ) 3 M uv και η µέση επιφάνειά του OP = P( u v) ορίζεται από τη σχέση OP = OM + a( u v) e + b( u v) e. 8
S:{ OP = P( u v) e3 ( u v) } ( uv ) ή ισοδύναµα S:{ M ( uv ) auv ( ) buv ( )} ( uv ). Έτσι το σύνολο των σµηνών ευθειών που έχουν την M ( uv ) ως µέση περιβάλλουσα ορίζεται από τριάδες της παραπάνω µορφής. Ας είναι S σµήνος ευθειών που έχει ως Μ.Π. τη δοθείσα επιφάνεια M ( uv. ) S : { M ( uv ) a ( u v) b ( u v )} όπου a b είναι λύσεις της () και OP = P ( u v) η µέση επιφάνεια (Μ.Ε.) του S OP = OM+ a( uve ) + b( uve ). Ονοµάζουµε Π(S ) το σύνολο των σµηνών του Ε 3 που έχουν την ίδια µέση περιβάλλουσα M ( uv ) µε το σµήνος S. 9
Κάθε σµήνος του Π(S ) ορίζεται από τα ζεύγη των συναρτήσεων { auv ( ) buv} ( ) µε a = a ϕ b= b + ϕ ϕ( uv ) C. Είναι φανερό ότι όλες οι συναρτήσεις φ i i N που διαφέρουν κατά µία σταθερά ( ϕ i = ϕ + ci) αντιστοιχούν στο ίδιο σµήνος S Π(S ). Στο εξής λοιπόν όταν θα λέµε «η συνάρτηση ϕ ( uv ) αντιστοιχεί στο σµήνος S Π(S )» θα εννοούµε έναν αντιπρόσωπο της κλάσης ϕ i. Ειδικότερα στην περίπτωση των σταθερών συναρτήσεων i i θεωρούµε ως αντιπρόσωπο της κλάσης τη µηδενική συνάρτηση ( ϕ =). Ώστε: ϕ = c i N θα οθέντος του σµήνους S σε κάθε συνάρτηση ϕ ( uv ) αντιστοιχεί ακριβώς ένα σµήνος S τέτοιο ώστε τα S και S να έχουν την ίδια Μ.Π. και σε κάθε σµήνος S Π(S ) αντιστοιχεί το πολύ µέχρι µιας σταθεράς ακριβώς µια συνάρτηση ϕ ( uv ).
Μπορούµε λοιπόν να θεωρήσουµε ότι κάθε σµήνος S Π(S ) ορίζεται µονότιµα από ένα ζεύγος της µορφής (S ϕ ) ϕ C Για το σµήνος S ισχύει S =(S ). S: = (S ϕ ). Θεωρούµε δυο σµήνη S φ = (S ϕ ) S ψ = (S ψ ) Π(S ) ϕ ψ C. Ορίζουµε ως: Άθροισµα των σµηνών S φ = (S ϕ ) S ψ = (S ψ ) Π(S ) το σµήνος S φ+ψ =(S ϕ +ψ ) Π(S ) S φ + S ψ := S φ+ψ Γινόµενο ενός πραγµατικού αριθµού και ενός σµήνους S φ = (S ϕ ) αν λ R το σµήνος S λφ =(S λϕ) Π(S ) λs φ := S λφ.
Επαληθεύεται εύκολα ότι: Το σύνολο των σµηνών Π(S ) που έχουν την ίδια Μ.Π. M ( uvµε ) δοθέν σµήνος S εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις είναι ένας απειροδιάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Το ουδέτερο στοιχείο του Π(S ) είναι το δοθέν σµήνος S. Ένας διανυσµατικός υποχώρος του Π(S ) είναι το σύνολο Η(S ) των σµηνών που έχουν την ίδια Μ.Π. και την ίδια µέση καµπυλότητα µε το S. Ας είναι h h φ οι µέσες καµπυλότητες των σµηνών S S φ Π(S ) αντίστοιχα. Ισχύει όπου ϕ( uv ) C και ϕ h φ = h + = + q q είναι ο δεύτερος τελεστής του Beltrami ως προς την πρώτη θεµελιώδη µορφή της σφαιρικής εικόνας του S [D. PAPADOPOULOU (989)].
Τα σµήνη που έχουν την ίδια Μ.Π. και την ίδια µέση καµπυλότητα µε το S αντιστοιχούν σε συναρτήσεις ϕ( uv ) C που ικανοποιούν τη σχέση ϕ =. Ο τελεστής είναι διγραµµικός και εποµένως το Η(S ) είναι κλειστό ως προς τις παραπάνω πράξεις. 3
3. Εσωτερικό γινόµενο σµηνών ευθειών Θεωρούµε δυο σµήνη ευθειών S φ = (S φ) S ψ = (S ψ ) Π(S ) όπου ϕ ψ C και ας είναι OP ϕ = P ( u v) και OPψ = P ( u v) οι αντίστοιχες µέσες επιφάνειές τους. Ισχύουν: ϕ ψ OPϕ = OM + ( a ϕ) e+ ( b + ϕ ) e OPψ = OM + ( a ψ) e + ( b + ψ) e. Λαµβάνοντας υπόψη ότι για τη Μ.Ε. OP = P ( u v) του δοθέντος σµήνους S ισχύει OP = OM + ae+ be οι προηγούµενες εξισώσεις παίρνουν τη µορφή OPϕ = OP ϕe + ϕe OPψ = OP ψ e + ψ e. 4
Συνεπώς PPϕ = ϕe + ϕe Τότε PPψ = ψ e + ψ e. PPϕ PPψ = ϕ ψ + ϕ ψ = ( ϕ ψ) όπου ( ϕ ψ ) είναι η µικτή διαφορική παράµετρος του Beltrami ως προς την πρώτη θε- µελιώδη µορφή της σφαιρικής εικόνας του S dϕ de3 dψ de3 ( ϕ ψ ) = ω ω ω ω 3 3 3 3. Ο τελεστής αυτός είναι συµµετρικός και διγραµµικός. 5
Η απεικόνιση : Π(S ) Π(S ) R που ορίζεται από τη σχέση Sϕ Sψ : = PPϕ PPψ ω ω 3 3 είναι εσωτερικός πολλαπλασιασµός γιατί είναι συµµετρική διγραµµική και ισχύει Εξάλλου επειδή 3 3 Sϕ S = ϕ PP ϕ ω ω PP ϕ =( ϕ ) ( ϕ ) +. και Sϕ S = ϕ ϕ = ϕ = ϕ = c c=σταθ.. προκύπτει Sϕ S = S ϕ φ = S όπου S το µηδενικό στοιχείο του Π(S ). 6
Εσωτερικό γινόµενο των σµηνών S φ S ψ Π(S ): ο αριθµός S S PPϕ PPψ ω ω = ( φ ψ+ φ ψ) ω ω = ϕ ψ 3 3 3 3. Μέτρο του σµήνους S φ Π(S ): ο µη αρνητικός αριθµός S ϕ := S S S ϕ είναι το ολοκλήρωµα Dirichlet S ϕ = [( ϕ ) + ( ϕ) ] ω3 ω3. ϕ ϕ. Υποθέτουµε ότι: Η σφαιρική εικόνα των παραµετρικών γραµµών της M ( uv ) είναι ορθογώνιο δίκτυο οπότε I=e(uv)du +g(uv)dv e(uv)> g(uv)>. 7
Θέτουµε χωρίς περιορισµό της γενικότητας Επειδή προκύπτει Βρίσκουµε ω 3 = edu ω 3 = gdv. dϕ = ϕω + ϕω = ϕ du+ ϕ dv 3 3 u v ϕ u v ϕ = =. e Sϕ S = ψ ( gϕψ u u + eϕψ v v) du dv eg ϕ ϕ g + e du dv. S ϕ = ( ϕu ϕv ) eg g 8
Αν η σφαιρική εικόνα των παραµετρικών γραµµών της M ( uv ) είναι ισοµετρικό δίκτυο δηλαδή e(uv)=g(uv)> και I=e(uv)[du + dv ]. u u v v S ϕ = ( ϕu + ϕv ) du dv. Sϕ S = ψ ( ϕψ + ϕψ ) du dv Εξάλλου για µια συνάρτηση ϕ( uv ) C µε υπολογισµό των δεύτερων παραγώγων του Pfaff και των συναρτήσεων q q έχουµε e ϕ φ= ( ϕ ) uu +. Ας είναι ϕ ( uv ) +i ψ ( uv ) µια αναλυτική συνάρτηση της µιγαδικής µεταβλητής u+iv. Κάνοντας χρήση των συνθηκών Cauchy-Riemann vv ϕ u =ψ v ϕ v= ψ u από τους τρείς παραπάνω τύπους παίρνουµε αντίστοιχα 9
Sϕ S = ψ S ϕ = S ψ Ανατρέχοντας στη σχέση φ= ψ=. ϕ h φ = h + για τις µέσες καµπυλότητες των σµηνών S φ S ψ παίρνουµε h φ = h ψ = h.
Συµπέρασµα: Σε κάθε αναλυτική συνάρτηση ϕ ( uv ) +i ψ ( uv ) της µιγαδικής µεταβλητής u+iv αντιστοιχούν δύο σµήνη S φ = (S φ) S ψ = (S ψ ) που έχουν την ίδια Μ.Π. M ( uv ) µε το δοθέν σµήνος S και τις παρακάτω ιδιότητες: Το εσωτερικό γινόµενό τους είναι µηδέν. Τα µέτρα τους είναι ίσα. Έχουν την ίδια µέση καµπυλότητα µε το σµήνος S.
Άµεσες συνέπειες: Αν το S είναι τυχαίο καθετικό σµήνος (h =) τότε και τα S φ S ψ είναι καθετικά. Στην ειδική περίπτωση που η επιφάνεια M ( uv ) είναι ελαχιστική και το S είναι το καθετικό σµήνος της M ( uv ) από το παραπάνω συµπέρασµα προκύπτει ανάλογη γνωστή πρόταση [N.K.STEPHANIDIS()]. Αν το S είναι ισότροπο σµήνος για τις µέσες καµπυλότητες των σµηνών S φ S ψ ισχύει όπου k είναι η καµπυλότητα του S. h φ = h ψ = ± k Προκύπτει από τον τύπο της ορικής απόστασης z = h k.
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ας είναι {Ο i j k } ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων του Ε 3. Θεωρούµε το τµήµα του τόρου µε παραµετρική παράσταση Ζητούµε: OM = M ( u v) =( r+ cosu) cosvi + ( r+ cosu) sin vj + sinuk π 3π r = σταθ. > < u< <v< π. i) Το σύνολο των σµηνών ευθειών που έχουν την M ( uv ) ως µέση περιβάλλουσα. ii) Αν S είναι ένα σµήνος που έχει ως µέση περιβάλλουσα την M ( uv ) να υπολογίσουµε το µέτρο σµήνους S φ Π(S ) για τον τόπο : π 3 π < u < <v< π. Οι παραµετρικές γραµµές u = σταθ. v = σταθ. είναι οι γραµµές καµπυλότητας της 3
M ( uv. ) Άρα η σφαιρική εικόνα τους είναι ορθογώνιο δίκτυο. Εκλέγουµε ως συνοδεύον τρίακµο της M ( uv ) το τρίακµο { e( u v)/ i = 3}: e M u vi u vj + uk u = = sin cos sin sin cos M u i e e 3 M vi + vj v = = sin cos M v M M u v = = Mu Mv cosucosvi cosusin vj sinuk. Με χρήση των τριών παραπάνω σχέσεων και της βρίσκουµε άρα ω de = ω e + ω e 3 3 3 = du ω = cosudv 3 3 e(uv)= g(uv)=cos u. 4
Yπολογίζουµε τις παραγώγους του Pfaff ως προς τις µορφές ω3 ω 3. Για τυχαία συνάρτηση ϕ( uv ) C ισχύει ϕ ϕ = u ϕv ϕ =. cosu Το σύνολο των σµηνών που έχουν την M ( uv ) ως Μ.Π. ορίζεται από τα ζεύγη των συναρτήσεων { auv ( ) buv} ( ) που ικανοποιούν την εξίσωση H () a+ b qa qb=. K Εξάλλου είναι Η διαφορική εξίσωση () γίνεται K cosu r+ cosu = H = r + cos u r+ cosu q = q = tgu. 5
(3) bv r a u tgua cosu + = cosu +. Μια µερική λύση της είναι a = u b = uvsinu rv. Θεωρούµε σµήνος S := { M ( uv ) a( uv ) b( uv )}. Το σύνολο των λύσεων της (3): ϕv a= u+ b= uvsin u rv ϕu cosu Ας είναι ϕ ( uv ) = u. ϕ( uv ) C. Για το µέτρο του S φ Π(S ) στον τόπο ισχύει ο τύπος g + e du dv. S ϕ = ( ϕu ϕv ) eg 6
Κατά συνέπεια δηλαδή u du dv= ( 4cosudu ) dv=8π S ϕ = ( 4cos ) 3π π π S = ϕ π. 7
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ οθείσης της Μ.Π. M ( uv ) αν αντί του σµήνους S θεωρήσουµε ένα άλλο σµήνος S S S που έχει ως Μ.Π. την M ( uv ) θα προκύψει ο διανυσµατικός χώρος Π( S ). Τα σύνολα Π(S ) Π( S ) ταυτίζονται. Οι αντίστοιχοι διανυσµατικοί χώροι είναι ισόµορφοι. Π(S ): S = (S ) { ab} Π( S ): S = ( S S = (S ϕ ) { ab } a = a ϕ b = b + ϕ a= a ϕ b= b + ϕ ϕ ) { ab} S = ( S = (S ϕ ) { ab} S ) { ab } ϕ uv C ( ) ϕ( uv ) C. S = ( S ϕ ) { ab} Βρίσκουµε a = a ϕ b = b + ϕ a = a ϕ b= b + ϕ ϕ uv C ( ) ϕ ( uv ) C. ϕ = φ + c c=σταθ. φ = φ φ + c c =σταθ. 8
Γνωρίζουµε ότι στο διανυσµατικό χώρο Π(S ) ισχύει S = S = [( ) + ( ) ] 3 3 ϕ ϕ ω ω S = [( ϕ ) + ( ϕ) ] ω3 ω3. Συµβολίζουµε µε S το µέτρο σµήνους S του διανυσµατικού χώρου Π( S S * ). Είναι S = * S S = S * [ ( ϕ ) + ( ϕ) ] ω3 ω 3 S * = [ S ( ) ( ) ] 3 3 ϕ + ϕ ω ω 9
Βρίσκουµε S = S * [ ( ϕ ) + ( ϕ) ] ω3 ω 3 = ( ) ( ) S * = [ S ( ) ( ) ] 3 3 ϕ + ϕ ω ω = ( ) ( ) [ ϕ + ϕ ] ω3 ω 3 = {[ ϕ ϕ ] + [ ϕ ϕ ] } ω ω 3 3 [ ϕ + ϕ ] ω3 ω3+ [ ( ϕ ) + ( ϕ) ] ω3 ω 3 = ( ) ( ) ( ) φ φ + φ φ ω ω 3 3 S = S + S SS. 3
Συµπέρασµα Θεωρούµε τα σµήνη S S S που έχουν κοινή µέση περιβάλλουσα M ( uv. ) Τότε Ισχύουν: S = (S ) S = (S ϕ ) S = (S ϕ ) Π(S ) και S = ( S ϕ ) S = ( S ) S = ( S ϕ ) Π( S ). i) ϕ = φ + c c=σταθ. φ = φ φ + c c =σταθ.. ii) S = S S * S = S * S + S SS. 3
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ J. Hoschek: Liniengeometrie Zurich 97. P. Koltsaki S. Stamatakis: Über eine von J. Hoschek erzeugte Klasse von Strahlensystemen. Manuscr. Math. 55 359-37 (986). D. Papadopoulou: Vectorräume die Strahlensystemen zugeordnet sind. Manuscripta Math. 65-3 (989). Ν. Κ. Stephanidis: Existenzfragen für Strahlensysteme. Arch. Math. 4 43-44 (963) Ν. Κ. Stephanidis: Minimalflächen und Strahlensysteme. Arch. Math. 4 544-554 (983) Ν. Κ. Stephanidis: On the vectorspace of the M-congruences. J.eom. No. - 7-77 (). K. Strubecker: Differentialgeometrie II Berlin 969. 3