4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη και το ντετερμινιστικό μέρος της ζήτησης είναι πολύ μεγαλύτερο τότε οι προσεγγίσεις του Κεφαλαίου 3 μπορούν να χρησιμοποιηθούν με ασφάλεια. Εάν όμως η αβεβαιότητα είναι σημαντική πάντα σε σχέση με το γνωστό ή ντετερμινιστικό μέρος τότε χρησιμοποιούνται προσεγγίσεις που μοντελοποιούν και λαμβάνουν υπόψη την αβεβαιότητα αυτή. Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: Μέγεθος Παραγγελίας δηλαδή η ποσότητα που θα παραχθεί ή θα αγορασθεί με κάθε αναπλήρωση του αποθέματος Επίπεδο Αναπαραγγελίας δηλαδή το επίπεδο του αποθέματος στο οποίο τίθεται μία παραγγελία αναπλήρωσης παραγωγής ή προμήθειας Παρακάτω παρουσιάζονται δύο τέτοιες πολιτικές που αναφέρονται σε δύο διαφορετικές περιπτώσεις. Η πρώτη πολιτική υπολογίζει το μέγεθος μοναδικής παραγγελίας σε περίπτωση αβέβαιας ζήτησης όταν το απόθεμα που δεν χρησιμοποιείται ή πωλείται εκποιείται σε χαμηλότερη τιμή. Η δεύτερη πολιτική αναφέρεται στην περίπτωση κατά την οποία το απόθεμα παρακολουθείται συνεχώς και όταν το επίπεδο του μειωθεί σε ή κάτω από συγκεκριμένο επίπεδο τότε τίθεται παραγγελία για παραγωγή ή αγορά παρτίδας μεγέθους. 4. Το Μοντέλο του Εφημεριδοπώλη Εταιρίες εμπορίας εποχιακών ειδών π.χ. αποκριάτικων στολών χριστουγεννιάτικων δένδρων περιοδικών εφημερίδων κλπ αντιμετωπίζουν συνήθως αβέβαια ζήτηση και τα εξής χαρακτηριστικά της αγοράς: α όταν παρέλθει η αντίστοιχη περίοδος πωλήσεων το απόθεμα που δεν έχει πωληθεί εκποιείται σε τιμή πολύ χαμηλότερη της τιμής πώλησης. β Οιαδήποτε ανικανοποίητη ζήτηση οδηγεί σε χαμένες πωλήσεις καθώς ο πελάτης δεν μπορεί να περιμένει. Η προσέγγιση του μοντέλου του εφημεριδοπώλη βασίζεται στις εξής παραδοχές: Τα προϊόντα είναι ανεξάρτητα και είναι δυνατόν να θεωρηθεί το καθένα ξεχωριστά π.χ. δεν χρησιμοποιούνται κοινοί πόροι παραγωγής Το απόθεμα χρησιμοποιείται μόνο κατά τη διάρκεια μιας περιόδου Η κατανομή της αβέβαιας ζήτησης είναι γνωστή. Στην προκειμένη περίπτωση η ζήτηση περιγράφεται από συνεχή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας =. Η προσέγγιση όμως ισχύει και στην περίπτωση διακριτής ζήτησης π.χ. = Το κόστος της χαμένης πώλησης ανά μονάδα προϊόντος και το κόστος ανά μονάδα εναπομείναντος προϊόντος ο είναι γνωστές σταθερές. Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 37
Παράδειγμα Ένα περίπτερο προμηθεύεται συγκεκριμένο εβδομαδιαίο περιοδικό σε τιμή και το πουλά σε τιμή 5. Τα επιστρεφόμενα περιοδικά αγοράζονται από τον εκδότη σε τιμή 5 ανά περιοδικό. Από στατιστικά στοιχεία είναι γνωστό ότι η ζήτηση προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ= και τυπική απόκλιση σ = περιοδικά. Να υπολογισθεί η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας. Παρατηρήσεις Στο παραπάνω παράδειγμα Το κόστος χαμένης πώλησης είναι η τιμή πώλησης μείον την τιμή αγοράς = 5 = 3 Το κόστος ανά μονάδα εναπομείναντος προϊόντος είναι ο = 5= 5 Με βάση τα παραπάνω κόστη φαίνεται λογικό η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας να είναι μεγαλύτερη της μέσης τιμής της ζήτησης. Πρώτα προσδιορίζουμε το κόστος C ως συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής και της ποσότητας παραγγελίας. Παρατηρείται ότι οι χαμένες πωλήσεις περιγράφονται από τη συνάρτηση mx{ } ά ά και αντίστοιχα το εναπομείναν απόθεμα περιγράφεται από τη συνάρτηση mx{ } ά ά Συνεπώς C mx{ } mx{ } Η αναμενόμενη τιμή του κόστους ορίζεται ως E C και δίδεται από E C C Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 38
Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 39 = } mx{ } mx{ ή Για να υπολογισθεί το ελάχιστο της ως προς υπολογίζουμε Για τον υπολογισμό της πρώτης παραγώγου υπενθυμίζουμε τον κανόνα του Leibnitz lim lim lim Επομένως Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση στα δύο ολοκληρώματα της εξίσωσης της έχουμε καθότι = και καθότι
Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 4 Επομένως = = και δίνει + - = ή = Επίσης Επομένως η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας ικανοποιεί τη σχέση και υπολογίζεται με απλό τρόπο γνωρίζοντας την συνάρτηση κατανομής. Με την παραδοχή ότι η ζήτηση ακολουθεί την κανονική κατανομή η ποσότητα υπολογίζεται από τη σχέση z όπου Φz είναι το ολοκλήρωμα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της τυποποιημένης κανονικής κατανομής έως την τιμή z. Από τους πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής και γνωρίζοντας τον λόγο υπολογίζεται η τιμή z βλ. Σχήμα 4. και z
Για το παράδειγμα διαχείρισης αποθεμάτων του εβδομαδιαίου περιοδικού έχουμε Επομένως 3 667 35 3 z 667 Από τον Πίνακα της κανονικής κατανομής βλ. Σχήμα 4. z 67 5 z 43 Επομένως z 43 43 86 9 περιοδικά Παράδειγμα Πωλητής Χριστουγεννιάτικων δένδρων αγοράζει προς το τεμάχιο και το μεταπωλεί προς 3. Κάθε δένδρο που δεν πωλείται εκποιείται για χαρτομάζα προς. Η ιστορική ζήτηση περιγράφεται από κανονική κατανομή με μ= και σ= δένδρα. Να υπολογισθεί το βέλτιστο μέγεθος της παραγγελίας. Από τα παραπάνω δεδομένα προκύπτουν τα εξής = 3-= = -=8 743 8 z 743 Από τον Πίνακα της κανονικής κατανομής βλ. Σχήμα 4. z 43 5 z 57 Επομένως z 57 57 57 δένδρα Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 4
Σχήμα 4. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή. Η τιμή Φz πλάγια διαγράμμιση ή η τιμή Φz 5 καρέ διαγράμμιση δίδονται από τους πίνακες της κανονικής κατανομής z 4. Το Μοντέλο Παρτίδας και Επιπέδου Αναπαραγγελίας Στο μοντέλο του πωλητή εφημερίδων το απόθεμα μιας περιόδου μόνο κατά τη διάρκεια της περιόδου αυτής. Συνεπώς δεν λαμβάνεται υπόψη το κόστος αποθεματοποίησης. Επίσης δεν λαμβάνονται υπόψη δύο βασικές παράμετροι που είναι σημαντικές σε κάθε μοντέλο διαχείρισης αποθεμάτων Το σταθερό κόστος παραγγελίας Ο χρόνος αναμονής Το μοντέλο δεν βασίζεται στις παραπάνω παραδοχές και συνεπώς είναι γενικότερο και αρκετά πρακτικό. Στο μοντέλο αυτό το απόθεμα παρακολουθείται συνεχώς μέσω του πληροφοριακού συστήματος διαχείρισης πόρων της εταιρίας- EP και όταν το ύψος του αποθέματος φθάσει την τιμή τίθεται παραγγελία ή ακριβέστερα εκδίδεται αίτημα παραγγελίας μεγέθους. Για την ανάπτυξη του μοντέλου γίνονται οι εξής παραδοχές: Η ζήτηση είναι στοχαστική αλλά στάσιμη sttinry. Συνεπώς η μέση τιμή της ζήτησης είναι σταθερή ανεξάρτητη του χρόνου καθώς και όλες οι άλλες στατιστικές παράμετροι Ο χρόνος αναμονής της παραγγελίας L είναι γνωστός και σταθερός Η ζήτηση περιγράφεται με βάση τον χρόνο αναμονής L. Ως ορίζεται η ζήτηση εντός της χρονικής περιόδου L. Η είναι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μ= Ε και διασπορά σ = Ε μ. Ο μέσος ρυθμός της ζήτησης είναι λ= μ/l μονάδες προϊόντος ανά μονάδα χρόνου. Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 4
Τα σχετικά κόστη είναι σταθερά και έχουν ως εξής: = σταθερό κόστος παραγγελίας = κόστος αποθεματοποίησης μιας μονάδας προϊόντος ανά μονάδα χρόνου = μεταβλητό κόστος ανά μονάδα προϊόντος = κόστος ανά μονάδα ανικανοποίητης ζήτησης. Το πρόβλημα είναι να προσδιορισθούν οι τιμές των μεταβλητών απόφασης και που ελαχιστοποιούν το συνολικό κόστος. Η συνάρτηση του συνολικού κόστους περιλαμβάνει τα εξής κόστη: Το σταθερό κόστος παραγγελίας δαπανάται άπαξ ανά κύκλο παραγγελίας. Καθώς θα ελαχιστοποιηθεί το κόστος ανά μονάδα χρόνου πρέπει να υπολογισθεί η περίοδος κύκλος παραγγελίας. Η μέση τιμή του κύκλου ικανοποιεί την εξίσωση = λ Τ και κατά συνέπεια η μέση τιμή του σταθερού κόστους ανά μονάδα χρόνου είναι T Το κόστος αποθεματοποίησης. Για να υπολογισθεί το κόστος αυτό υπολογίζεται η μέση τιμή του αποθέματος από το μοντέλο του Σχήματος 4. το οποίο παρουσιάζει την χρονική μεταβολή της μέσης τιμής του ύψους του αποθέματος. Επισημαίνεται ότι η μεταβολή του ύψους του αποθέματος είναι φυσικά τυχαία μεταβλητή και δεν ακολουθεί την κατά τμήματα γραμμική μεταβολή της μέσης τιμής του Σχήματος. Σύμφωνα με αυτό το Σχήμα η μέση τιμή του αποθέματος μειώνεται γραμμικά από την τιμή + s έως την τιμή s όπου s είναι το απόθεμα ασφαλείας sety stk. Το τελευταίο χρησιμοποιείται για να μειωθεί η πιθανότητα έλλειψης αποθέματος stk t λόγω της τυχαίας ζήτησης. Στο Σχήμα 4. φαίνεται επίσης και το επίπεδο αναπαραγγελίας = s + λ L όπου L είναι ο σταθερός χρόνος αναμονής. Με βάση τις παραμέτρους του σχήματος το μέσο χρονικά επίπεδο αποθέματος δίδεται από την εξίσωση s L Επισημαίνεται ότι το κόστος αποθεματοποίησης υπολογίζεται μόνο στην περίπτωση θετικού αποθέματος και συνεπώς το μέσο κόστος αποθεματοποίησης ανά μονάδα χρόνου L είναι υποεκτιμημένο. Η υποεκτίμηση αυτή είναι μεγαλύτερη όταν η τιμή του s είναι μικρότερη και συνεπώς η πιθανότητα έλλειψης αποθέματος είναι μεγαλύτερη. Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 43
Σχήμα 4. Η χρονική μεταβολή της μέσης τιμής του αποθέματος EI Το κόστος μη ικανοποίησης της ζήτησης. Η μη ικανοποίηση της ζήτησης εξαρτάται προφανώς από την ζήτηση. Επισημαίνεται ότι έχει ορισθεί ως η αναμενόμενη ζήτηση εντός του χρόνου αναμονής L. Εντός του χρόνου αυτού ελλείψεις θα συμβούν μόνο όταν > βλ. Σχήμα 4.. Η αναμενόμενη τιμή των ελλείψεων εντός του χρονικού αυτού διαστήματος είναι m Emx Συνεπώς η αναμενόμενες ελλείψεις ανά μονάδα χρόνου είναι m m T και η αναμενόμενη τιμή του κόστους μη ικανοποίησης της ζήτησης ανά μονάδα χρόνου είναι m Το μεταβλητό κόστος παραγωγής ή προμήθειας είναι το γινόμενο του μοναδιαίου κόστους επί την ποσότητα παραγωγής ή προμήθειας. Συνεπώς η μέση τιμή του κόστους αυτού ανά μονάδα χρόνου ισούται με λ και είναι σταθερή για κάθε πολιτική διαχείρισης του αποθέματος δηλαδή ανεξάρτητη των και και έτσι δεν περιλαμβάνεται στην ανάλυση. Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 44
Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 45 Κατά συνέπεια το συνολικό κόστος ανά μονάδα χρόνου περιλαμβάνει όρους που εξαρτώνται από τις μεταβλητές απόφασης και ήτοι το σταθερό κόστος παραγγελίας το κόστος αποθεματοποίησης και το κόστος μη ικανοποίησης της ζήτησης. m L C T Η ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστος T C συνεπάγεται m C T 4. m C T 4. Αλλά lim m lim lim 4.3 Η εξίσωση 4. παραπάνω συνεπάγεται m m ή m 4.4 Χρησιμοποιώντας την Εξίσωση 4.3 στην Εξίσωση 4. η τελευταία μετασχηματίζεται σε
4.5 Το σύστημα των εξισώσεων 4.4 και 4.5 έχει δύο αγνώστους και και λύνεται ως εξής:. Έστω δηλαδή EO και i=. Υπολογίζεται η τιμή από με τη βοήθεια του σχετικού Πίνακα της εκάστοτε κατανομής 3. m i i 4. i= i+ 5. i i m i 6. Υπολογίζεται η τιμή του i από την i i 7. Συνεχίζονται τα βήματα 3 έως 6 έως ότου και i i i i Συνήθως ο αλγόριθμος αυτός συγκλίνει στα πρώτα 4 βήματα αναλόγως της ζητούμενης ακρίβειας 3. Όταν το προϊόν μετράται σε ακέραιες μονάδες τότε ε =. Στην περίπτωση που η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής είναι κανονική τότε ο υπολογισμός του βήματος 4 χρησιμοποιεί πίνακα της συνάρτησης A z x z x x z όπου φx είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής. Οι τιμές Lz δίδονται από τον πίνακα Α του Παραρτήματος Α. Με βάση της τιμές του πίνακα αυτού Παράδειγμα i m i A Κατάστημα παιχνιδιών πωλεί εισαγόμενο τηλεκατευθυνόμενο ελικόπτερο σε τιμή. Το κόστος αγοράς του ελικοπτέρου είναι 5 και ο χρόνος αναμονής είναι 3 μήνες. Η αναμενόμενη ζήτηση είναι τεμάχια ανά μήνα με τυπική απόκλιση 6 τεμάχια και η κατανομή της ζήτησης είναι κανονική. Ο λογιστής του καταστήματος εκτιμά το σταθερό κόστος παραγγελίας σε και αποτιμά το κόστος αποθέματος με ετήσιο επιτόκιο %. Να προσδιορίσετε τη βέλτιστη πολιτική διαχείρισης του αποθέματος του ελικοπτέρου. Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 46
Παρατηρείται ότι L = 3 μήνες και επομένως η ζήτηση στους τρείς μήνες = ος μήνας + ος μήνας + 3 ος μήνας = + + 3 Τότε E E E E E 3 3 3 Επίσης 36 3 6 39 3 Με βάση τα παραπάνω στοιχεία έχουμε = 5 = 5 4 μ=3 =3 σ = 3*6 39 Για τον υπολογισμό του έχουμε δύο επιλογές 5 α Υπολογίζεται ανά μήνα. Στην περίπτωση αυτή αλλά και ο μέσος ρυθμός ανάλωσης πρέπει να αντιστοιχεί στον μήνα δηλαδή λ=. 5 β Υπολογίζεται στην περίοδο αναμονής. Τότε = και λ= 3. 4 Το αποτέλεσμα φυσικά είναι το ίδιο.. 3 5 5. 5 5 94 73 Από τον πίνακα της κανονικής κατανομής z=94 z= 56 ή 56 ή 3 56 ή 39 46 46 3. m 39 56. Από τον πίνακα Α. m 3955 6 4. i= 5. 3 76 53 53 5 6. 5 53 3 63 937 z 53 53 4589 46 73 39 7. m A 39 A53 398 8. 46 46 5 53 3 9. i= 3 7. 55 53 5 Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 47
. 5 5 3 6 94 z 56 56 46 46 73 39. 46 46 5353 Με βάση την παραπάνω λύση υπολογίζουμε τα εξής: Απόθεμα ασφαλείας s = λ= 46 3=6 καθότι ο ρυθμός ανάλωσης έχει υπολογισθεί για ολόκληρη την περίοδο του χρόνου αναμονής L= 3 μήνες Περίοδος μεταξύ δύο διαδοχικών αναπληρώσεων αποθέματος 53 T 53 μήνες Η πιθανότητα να μην συμβούν ελλείψεις είναι 46 3 P 539 934 39 Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης 48