Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας

Transcript

1 Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές, 1, με πιθανότητα αντίστοιχα,.15,.75 και.1. Να βρείτε την αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας F(x) και να κάνετε το γράφημά της.. Η διάρκεια ζωής, σε ώρες, του λαμπτήρα μάρκας Α είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την 1 / x x > 1 f( x) x 1 α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση είναι όντως συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας β. Να βρείτε την αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας γ. Να βρείτε την πιθανότητα, ο λαμπτήρας να έχει διάρκεια ζωής μεταξύ 15 και ωρών 3. Αν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών και είναι η 1/ x, y 1 f( x, y) διαφορετικά α. Να υπολογιστεί η πιθανότητα του ενδεχομένου E = {( x, y) \ x 1,1/ y 1} β. Να βρείτε την από κοινού αθροιστική κατανομή των τυχαίων μεταβλητών και. γ. Να βρείτε τις περιθωριακές κατανομές των τυχαίων μεταβλητών και. 4. Αν είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, με συνάρτηση πιθανότητας x 1/ x = 1,,3... f( x) διαφορετικά Να υπολογιστεί η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Y = X 5. Έστω οι τυχαίες μεταβλητές και που έχουν τις ακόλουθες κατανομές πιθανοτήτων x f ( x ) y f ( y )

2 Να βρείτε τη μέση τιμή των δυο μεταβλητών και τη διασπορά των τιμων τους γυρω από τη μέση τιμή. 6. Έστω ότι μια τυχαία μεταβλητή έχει Ε() = 3.5 και Var( X ) =.9. Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής = Περιοδεύων πωλητής ενός καταναλωτικού προϊόντος επισκέπτεται νέους πελάτες και έστω = όταν ο υποψήφιος πελάτης δε δέχτηκε διαφημιστικό μήνυμα για το προϊόν και = 1 όταν δέχτηκε. Αν ο αριθμός των προϊόντων που πουλάει ο πωλητής σε μια επίσκεψη, η κατανομή πιθανοτήτων των και είναι η εξής: 1 ( ) x 1 f ( y ) y f x α. Αν ο πωλητής πρόκειται να επισκεφθεί κάποιον ο οποίος δέχτηκε διαφημιστικό μήνυμα για το προϊόν, ποια είναι η πιθανότητα να πουλήσει ένα προϊόν; Ποια η πιθανότητα να πουλήσει δυο; β. Σε πάρα πολύ μεγάλο αριθμό επισκέψεων σε υποψήφιους πελάτες οι οποίοι δέχτηκαν το διαφημιστικό μήνυμα για το προϊόν, ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός των προϊόντων που θα πουληθούν; Ποια η διακύμανση; 8. Να υπολογίσετε τον θεωρητικό συντελεστή συσχέτισης των τυχαίων μεταβλητών και οι οποίες έχουν την ακόλουθη κατανομή πιθανοτήτων: y ( ) 1 4 f ( x ) x f y 4/6 1. Είναι ασυσχέτιστες οι μεταβλητές και ; Είναι ανεξάρτητες;

3 9. Έστω η μέση ετήσια τιμή fixing δολαρίου των ΗΠΑ και η μέση ετήσια τιμή του πετρελαίου στη διεθνή αγορά (δολάρια/βαρέλι) και δίνονται 1 παρατηρήσεις των και για την περίοδο Να υπολογιστεί ο δειγματικός συντελεστής συσχέτισης των και. Έτος x y Από σχετική εμπειρική έρευνα προέκυψε η ακόλουθη κατανομή πιθανοτήτων του αριθμού των παιδιών ανά οικογένεια x: f ( x ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα για μια οικογένεια που επιλέγεται τυχαία να έχει περισσότερα από 1 παιδιά; 11. Δίνεται η κατανομή πιθανοτήτων του αριθμού των ημερών που χρειάζεται η επιχείρηση ΤΑΔΕ για να εκτελέσει μια παραγγελία x: f ( x ) Έστω Α το ενδεχόμενο η παραγγελία να εκτελεστεί σε 3 το πολύ ημέρες και Β το ενδεχόμενο η παραγγελία να εκτελεστεί σε ή 3 μέρες. Ζητείται να υπολογιστούν: α. Το A και η PA ( ) β. Το A B και η PA ( B) γ. Είναι τα Α, Β ανεξάρτητα; Είναι ασυμβίβαστα; δ. Ο μέσος αριθμός των ημερών που απαιτείται ανά παραγγελία καθώς και η διακύμανση και η τυπική τους απόκλιση. 1. Σε τυχερό παιχνίδι ρίχνεται ένα ζάρι και έστω το χρηματικό ποσό σε ευρώ που παίρνει ο παίχτης σε κάθε ρίψη του ζαριού. Αν η κατανομή πιθανοτήτων της είναι όπως παρακάτω, να υπολογιστεί η μέση τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση της. 3

4 όψη ζαριού x f ( x ) Ένα παρόμοιο παιχνίδι είδαμε στη Διάλεξη 5 (Παράδειγμα 5, βλέπε παραδείγματα Διάλεξης 5 στο site). Αν έπρεπε να παίξετε σε ένα από τα δυο, ποιο θα προτιμούσατε και γιατί; 13. Δίνεται η κατανομή πιθανοτήτων της τυχαίας μεταβλητής x: ( ) f x Να μετασχηματιστεί η, έτσι ώστε να έχει μέση τιμή και διακύμανση 1. Ασκήσεις από το βιβλίο: Δ. ατζηνικολάου, Στατιστική για Οικονομολόγους, Β Έκδοση, Ιωάννινα 4.1. Έστω η τυχαία μεταβλητή = αριθμός αγοριών σε οικογένειες που έχουν τρία παιδιά, όπου η πιθανότητα να γεννηθεί αγόρι είναι ίση με την πιθανότητα να γεννηθεί κορίτσι, δηλαδή 1/. (α) Ποιά είναι η συνάρτηση πιθανότητας της υπό μορφήν πίνακα; πό μορφήν διαγράμματος; (β) Ποιά είναι η συνάρτηση κατανομής της υπό μορφήν εξισώσεως; πό μορφήν διαγράμματος; (γ) Να υπολογίσετε το μέσο και τη διακύμανση της. 4.. Έστω ότι η ασυνεχής τυχαία μεταβλητή έχει την ακόλουθη συνάρτηση πιθανότητας: f(x) = cx για x = 1,, 3, 4, 5 και f(x) = για άλλες τιμές της. Ποιά είναι η τιμή της σταθεράς c; 4.3. Έστω ότι η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας δύο ασυνεχών τυχαίων μεταβλητών και είναι (x + y) / 4, για x =, 1, και y =, 1,, 3 f ( x, y), για άλλες τιμές των x και y. (β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ( =, = 1) και Ρ( 1, ). (γ) Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις πιθανότητας f x (x) και f y (y). (δ) Να υπολογίσετε τα Ε(), Ε(), Ε( ), Ε( ), Var(), Var(Y), Ε(), Cov(X, Y) και ρ. (ε) Να δείξετε ότι οι και δεν είναι στατιστικά ανεξάρτητες. (στ) Να δοθεί η συνάρτηση g(y x=). (ζ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(=1 =). (η) Να υπολογίσετε τις ποσότητες Ε( =) και Var(Y =). 4

5 4.4. Έστω ότι για τις τυχαίες μεταβλητές και είναι γνωστό ότι Ε() =, Ε() = 6, Var() = 1, Var(Y) = 3 και Cov(X, Y) = 1. Αν Ζ = 5, να υπολογίσετε τις ποσότητες Ε(Ζ) και Var(Ζ) Έστω ότι η συνεχής τυχαία μεταβλητή έχει την ακόλουθη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: f(x) = cx για < x < και f(x) = για οποιεσδήποτε άλλες τιμές της. (α) Να προσδιορίσετε την τιμή της σταθεράς c. (β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(,5 < < 1,5) και Ρ( > 1). (γ) Να δοθεί η αθροιστική συνάρτηση κατανομής (ή απλά συνάρτηση κατανομής) της. (δ) Να υπολογίσετε το μέσο και τη διακύμανση της Ν αποδείξετε ότι το Θεώρημα 4.4 του βιβλίου ισχύει και όταν έχουμε περισσότερες από δύο τυχαίες μεταβλητές, 1,..., n, n > Ν απαντήσετε σ όλα τα ερωτήματα του Παρ. 4.9 του βιβλίου, αν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των και είναι (x + y) / 1, για < x < 6, < y < 5 f ( x, y), για άλλες τιμές των x και y Έστω ότι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας τριών συνεχών τυχαίων μεταβλητών, 1, και 3, είναι 9 x1 x x3, για < x1 <, < x < 4, < x3 < 1 f ( x1, x, x3) 56, για άλλες τιμές των xi, i = 1,, 3. (α) Να υπολογισθούν οι περιθωριακές συναρτήσεις f i ( xi ), i = 1,, 3. (β) Είναι οι μεταβλητές 1, και 3 στατιστικά ανεξάρτητες; (γ) Να βρεθεί η προσδοκώμενη τιμή Ε( 1 3 ). (δ) Να βρεθεί η πιθανότητα Ρ( 1 1,, 3,5) Έστω ότι το κέρδος () που αποκομίζει ένας εργολάβος οικοδομών από την κατασκευή μίας οικοδομής είναι μία συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 1 ( x + 1), για 1 < x < 5 f ( x) 18, για άλλες τιμές του x, όπου οι μονάδες μετρήσεως είναι εκατ. δρχ. και όπου αρνητικοί αριθμοί υποδηλώνουν ζημίες. (α) Κατ αρχή, να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση έχει όλες τις προϋποθέσεις για να είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. (β) Πόσο είναι το αναμενόμενο κέρδος από μία συγκεκριμένη οικοδομή; (γ) Ποιά είναι η πιθανότητα ο εργολάβος ν αποκομίσει ζημία από μέχρι και 1 εκατ. δρχ. από μία συγκεκριμένη οικοδομή; 5