Matlab κι εφαρμογές στην Γραμμική Άλγεβρα

Σχετικά έγγραφα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις

Κεφάλαιο Γραμμική Άλγεβρα. 5.1 Βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας στο Sage

) ( ) Μάθηµα 3 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 4.18). είναι ορθοκανονικά

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (3) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 7 Βάσεις Διάσταση Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 7/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 7 7/3/ / 1

Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο

Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα

Εργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας. H Matlab ως γλώσσα προγραμματισμού

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισ

Διανύσµατα στο επίπεδο

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10)

µέθοδοι υποβιβασµού τάξης µοντέλου σε κυκλώµατα µε µεγάλο αριθµο θυρών

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. Διανυσματικός χώρος

Βασικά στοιχεία στο Matlab

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ = U1SV 1 V 2 A = [U1 U2] S = diag(σ 1,...,σ r ) R r r. και σ 1 σ r > 0. Ειδικότερα,

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

x 2 = x x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Gauss. x + y + z = 2 3x + 3y z = 6 x y + z = 1. x + y + z = r x y = 0 3x + y + sz = s 0

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Γραμμική Άλγεβρα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

n, C n, διανύσματα στο χώρο Εισαγωγή

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ...xi

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Εισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 2. Σύντομες Λύσεις

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Matlab. Εισαγωγικές έννοιες. C. C. Katsidis

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΚΕΦ. 7: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L.

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Transcript:

Matlab κι εφαρμογές στην Γραμμική Άλγεβρα Έστω V διανυσματικός χώρος. Ένας γραμμικός συνδυασμός μιας λίστας διανυσμάτων (u₁,.., uₘ ) στον V είναι ένα διάνυσμα της μορφής a₁ u₁ + + aₘ uₘ, Το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των (u₁,.., uₘ ) λέγεται παραγόμενος χώρος των (u₁,.., uₘ ) και δηλώνεται με span(u₁,.., uₘ ). Για παράδειγμα, το διάνυσμα (7, 2, 9) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των (2, 1, 3), (1, 0, 1) γιατί (7, 2, 9) = 2(2, 1, 3) + 3(1, 0, 1). Πως μπορούμε να υλοποιήσουμε στο Matlab έναν αλγόριθμο που να μας δίνει αν ένα δοσμένο διάνυσμα v ανήκει στο span μιας λίστας δοσμένης διανυσμάτων (u₁,.., uₘ )? Προφανώς το πρόβλημα ανάγεται στην ύπαρξη της λύσης του παρακάτω γραμμικού συστήματος εξισώσεων: v = U a όπου v το διάνυσμα v σε στήλη, ο πίνακας U έχει στην m στήλη τις συνιστώσες του διανύσματος uₘ.

Η συνάρτηση span function span(v, varargin) % Βρίσκει αν ένα διάνυσμα v είναι στο span μιας λίστας διανυσμάτων. A = [ ]; n = length(varargin); for i=1:n u = varargin{i}; u = u'; A = [A u(:)]; v = v'; v = v(:); if rank(a) == rank([a v]) disp(' Given vector is in the span.') else disp(' Given vector is not in the span.')

Για παράδειγμα: >> v=[7 2 9];u1=[2 1 3];u2=[1 0 1]; >> span(v,u1,u2) Given vector is in the span. Άλλο παράδειγμα >> v=[7 2 9];u1=[1 0 0];u2=[0 1 0]; >> span(v,u1,u2) Given vector is not in the span. Ένα παράδειγμα με πίνακες >> v=eye(3); >> u1=[0 0 0;0 1 0;0 0 1];u2=[1 0 0;0 0 0;0 0 1];u3=[1 0 0;0 1 0;0 0 0]; >> span(v,u1,u2,u3) Given vector is in the span

Η διαδικασία ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt Θεωρούμε έναν διανυσματικό χώρο V με το συνηθισμένο Ευκλείδιο εσωτερικό. Μια λίστα διανυσμάτων (e₁,.., eₘ) λέγεται ορθοκανονική αν ανα δύο όλα τα διανύσματα είναι ορθογώνια και κάθε διάνυσμα έχει μέτρο 1 δηλαδή στο Matlab dot(e_i,e_j)=0 αν i j dot(e_i,e_j)=1 αν i=j Κάθε ορθοκανονική λίστα διανυσμάτων είναι γραμμικώς ανεξάρτητη. >>e1=[1/2 1/2 1/2 1/2];e2=[1/2 1/2-1/2-1/2];e3=[1/2-1/2-1/2 1/2]; e4=[-1/2 1/2-1/2 1/2]; >>dot(e1,e1) ans 1

Το κύριο θεώρημα για ορθοκανονικές βάσεις Έστω (e₁,...eₙ) μια ορθοκανονική βάση του V. Τότε για το τυχαίο v V ισχύει και v = < v, e₁> e₁ + + < v, eₙ> eₙ v ² = <v, e₁> ² + + <v, eₙ> ² Παράδειγμα: e₁=(1,0), e₂=(0,1). Τότε το τυχαίο διάνυσμα v=(v₁,v₂) και v = < v, e₁> e₁ + <v, e₂> e₂ = v₁ e₁ + v₂ e₂ v ² = v₁ ² + v₂ ² Gram-Schmidt: Αν (v₁,...vₙ) είναι μια λίστα γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων στο V, τότε υπάρχει μια ορθοκανονική βάση (e₁,...eₙ) στο V τέτοια ώστε span(v₁,...vₙ) = span (e₁,...eₙ).

Η υλοποίηση της διαδικασίας Gram-Schmidt στο Matlab function V = gs(a) % Gram-Schmidt ορθοκανονικοποίηση διανυσμάτων που δίνονται % στις στήλες ενός πίνακα A. Τα ορθοκανονικοποιημένα διανύσματα % δίνονται στις στήλες ενός πίνακα V. [m,n] = size(a); for k=1:n V(:,k) = A(:,k); for j=1:k-1 R(j,k) = V(:,j)'*A(:,k); V(:,k) = V(:,k) - R(j,k)*V(:,j); R(k,k) = norm(v(:,k)); V(:,k) = V(:,k)/R(k,k);

>> A=[1 0;1 2]; >> E=gs(A) E = 0.707106781186547-0.707106781186547 0.707106781186547 0.707106781186548 >> E'*E ans = 1.000000000000000 0.000000000000000 0.000000000000000 1.000000000000000

Ορθογώνιες προβολές και προβλήματα ελαχιστοποίησης Έστω U ένα υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου V, τότε το ορθογώνιο συμπλήρωμα του U, συμβολίζεται με U είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων του V τα οποία είναι ορθογώνια σε κάθε διάνυσμα του U. U = { v V : < v, u > = 0 για κάθε u U } Κάθε διάνυσμα του V μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο ως το ευθύ άθροισμα v = u + w όπου u U και w U. Η ορθογώνια προβολή του V στον U είναι ακριβώς αυτή η αντιστοίχηση Pᶸ(v)=u. Αν (e₁,.., eₘ) είναι μια ορθοκανονική βάση του U, τότε Pᶸ(v) = < v, e₁ > e₁ + + < v, eₘ > eₘ Πρόταση: Έστω U υπόχωρος του V και v V. Τότε για κάθε u U v - Pᶸ(v) v u

Προβλήματα ελαχιστοποίησης Θεωρούμε το πρόβλημα εύρεσης πολυωνύμου u με πραγματικούς συντελεστές και βαθμού το πολύ 5 το οποίο στο διάστημα [-π, π] προσεγγίζει την συνάρτηση sin(x) όσο το δυνατόν καλύτερα, με την έννοια είναι όσο το δυνατόν μικρότερο. sin(x) u(x) ² d x στο [-π, π] Για να λύσουμε το πρόβλημα αυτό θεωρούμε το διανυσματικό χώρο των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων C[-π, π] στο [-π, π] με εσωτερικό γινόμενο <f(x), g(x)> = f(x) g(x) d x (η ολοκλήρωση από x=-π μέχρι x=π). Έστω v=sin(x) και U ο υπόχωρος του C[-π, π] που αποτελείται από πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές με βαθμό το πολύ 5. Το πρόβλημα διατυπώνεται ώς εξής: Να βρεθεί u U τέτοιο που v-u να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο.

Υλοποίηση στο Matlab function V = gspoly(a,x1,x2) % Oρθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt βάσης πολυωνύμων που δίνεται % στο διάνυσμα A. Η ορθοκανονικοποιημένη βάση % δίνεται στο διάνυσμα V. [m,n] = size(a); for k=1:n V(k) = A(k); for j=1:k-1 R(j,k) = int(v(j)*a(k),x1,x2); V(k) = V(k) - R(j,k)*V(j); R(k,k) = (int(v(k)*v(k),x1,x2))^(1/2); V(k) = V(k)/R(k,k);

%Γραφικά αποτελέσματα της προσέγγισης της sin x από %ορθοκανονική βάση πολυωνύμων τα οποία δίνονται από %τη διαδικασία ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt με %την συνάρτηση gspoly Προσοχή!!! πρέπει να τρέξω % >> E=gspoly(A) syms x; [m,n] = size(a); PU=int(sin(x)*E(1),-pi,pi)*E(1); for j=2:n PU=PU+int(sin(x)*E(j),-pi,pi)*E(j); close all u=vpa(pu,6); plot1=ezplot(u,[-pi,pi]); hold on set(plot1,'color','red','linewidth',3); plot2=ezplot(sin(x),[-pi,pi]); set(plot2,'color','blue','linewidth',1); title 'The approximation of sin x by 5th order polynomials in [-pi,pi]' hold off

Γραφικά αποτελέσματα της προσέγγισης >> A=[1 x x^2 x^3]; >> E=gspoly(A,-pi,pi); >> polysine Μια πιο καλή προσέγγιση!!! >> A=[1 x x^2 x^3 x^4 x^5]; >> E=gspoly(A,-pi,pi); >> polysine Άσκηση: Με την συνάρτηση gspoly στο διάστημα [0,1] να κατασκευασθεί μια ορθοκανονική βάση με εφαρμογή της διαδικασίας Gram-Schmidt στην βάση (1, x, x² ). Αφού τροποποιήσετε κατάλληλα το script M-file polysine (ονομάστε το polyexp) να παρασταθούν γραφικά τα αποτελέσματα της προσέγγισης της συνάρτησης exp(x) στο διάστημα [0,1] με την ορθοκανονική βάση που βρήκατε.