Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο

Transcript

1 Ασκήσεις6 7 Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Βασικά σημεία Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και (ορισμοί και ιδιότητες) Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορθογώνιο συμπλήρωμα υπόχωρου του ή (ορισμοί και ιδιότητες) Ιδιότητες Ερμιτιανών πινάκων: o πραγματικές ιδιοτιμές, o καθετότητα ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές Ιδιότητες μοναδιαίων πινάκων: o κάθε ιδιοτιμή έχει μέτρο, o χαρακτηρισμός μοναδιαίων με τη διατήρηση του εσωτερικού γινομένου, o χαρακτηρισμός μοναδιαίων με ορθοκανονικότητα γραμμών ή στηλών Συνιστώμενες ασκήσεις: -4, 6-20 () Έστω, v 2 () a Αν, v 0, τότε v v Όταν 2, η ισότητα αυτή εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα b Αν v, τότε τα v, v είναι κάθετα Όταν 2, η ισότητα αυτή λέει ότι οι c διαγώνιοι ρόμβου τέμνοντα κάθετα v v 2 2 v Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης αυτής όταν 2 a Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του b Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του 5 (,0,2), (0,,0) 2 που περιέχει το διάνυσμα 2 (,0,) που περιέχει τα διανύσματα () Έστω {,, } ορθοκανονική βάση του και V o υπόχωρος που παράγεται από τα,,, k όπου k Δείξτε ότι μια ορθοκανονική βάση του V είναι το σύνολο { k,, } 4 4 () Έστω V ο υπόχωρος του που παράγεται από τα διανύσματα v (,,, ), v2 (, 2,, ), v (4, 7,8, 4) Αφού βρείτε τη διάσταση του V, βρείτε μια ορθοκανονική βάση του V και μια ορθοκανονική βάση του V 5 () Δίνονται οι υπόχωροι του και W ( x, y, z) x y z 0 V ( x, y, z) x 2y z 0 Βρείτε μια ορθοκανονική βάση για καθένα από τους υπόχωρους V, V, V W, ( V W ) 6 (2) Έστω W, W2 Δείξτε ότι ( W W2 ) W W2 και ( W W2 ) W W2 7 () Έστω, B a t t b det( ) det( ) det c d e f ( ) Δείξτε τις ακόλουθες σχέσεις για κάθε ( B) B ( B) B

2 Ασκήσεις6 74 g Αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε 8 () Έστω Αν ( x) [ x], ( x) a x a x a0, με ( x) συμβολίζουμε το πολυώνυμο ( x) ax ax a0 Δείξτε τις ακόλουθες προτάσεις a ( x) ( x) b m ( x) m ( x) c Το είναι ιδιοτιμή του αν και μόνο αν το είναι ιδιοτιμή του 9 (2) Έστω με Δείξτε ότι ο είναι όμοιος με διαγώνιο πίνακα της μορφής diag(0,,0,,, ) και ότι rak rak( I ) 0 () Έστω, B μοναδιαίοι πίνακες Δείξτε τις ακόλουθες προτάσεις a Οι, t, είναι μοναδιαίοι b Αν είναι μια ιδιοτιμή του, τότε και το είναι ιδιοτιμή του c det d Οι B και B είναι μοναδιαίοι () Να βρεθεί μοναδιαίος πίνακας με πρώτη γραμμή τη (2) Έστω U μοναδιαίος πίνακας τέτοιος ώστε det( U ) 0 Τότε ο H που ορίζεται από ih ( U I )( U I ) είναι Ερμιτιανός () Έστω Δείξτε ότι αν ισχύουν οποιεσδήποτε δύο από τις επόμενες προτάσεις, τότε ισχύει και η τρίτη a Ο είναι Ερμιτιανός b Ο είναι μοναδιαίος 2 c I 4 (2) Έστω ένας μοναδιαίος πίνακας Δείξτε τα εξής a Αν det και περιττός, τότε το είναι ιδιοτιμη του b Αν det και άρτιος, τότε το είναι ιδιοτιμη του c Αν det, τότε το είναι ιδιοτιμη του 5 () Έστω, B μοναδιαίοι πίνακες τέτοιοι ώστε det det B Τότε det( B) 0 6 (2) Έστω τέτοιος ώστε Δείξτε τα εξής a Κάθε ιδιοτιμή του είναι της μορφής iμ, μ b Ο πίνακας I είναι αντιστρέψιμος και det( I ) c Ο πίνακας ( I )( I ) είναι μοναδιαίος 7 (2) Έστω Δείξτε ότι αν X X για κάθε X 8 (2) Έστω τέτοιος ώστε X, X 0 για κάθε X προηγούμενο συμπέρασμα αν και X, X 0 για κάθε X I, τότε ο είναι μοναδιαίος Δείξτε ότι 0 ; Αληθεύει το 9 (2) Αποδείξτε την άσκηση 67 χρησιμοποιώντας την άσκηση Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές Δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα a Αν οι, B είναι Ερμιτιανοί, τότε ο B είναι Ερμιτιανός b Αν οι, B είναι Ερμιτιανοί, τότε ο B είναι Ερμιτιανός c Αν οι, B είναι Ερμιτιανοί και B B, τότε ο B είναι Ερμιτιανός

3 Ασκήσεις6 75 cos si 0 0 si cos 0 0 d Ο πίνακας είναι μοναδιαίος 0 0 cos si 0 0 si cos e Αν, B είναι μοναδιαίοι, τότε κάθε ιδιοτιμή του B έχει μέτρο f Δεν υπάρχει μοναδιαίος τέτοιος ώστε ( 2 I )( I )( 4 I ) 0

4 Ασκήσεις6 76 b Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις6 2 2 v, v,, v v, v, v, v, v v c v v v, v v, v,, v v, v, v,, v v, v, v 2 2 2, 2 v, v 2 2 v Γεωμετρική ερμηνεία: το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών 2 Υπόδειξη: Ένας τρόπος είναι να θεωρήσουμε μια βάση του που περιέχει το, για παράδειγμα τη, 2,, όπου (,0,0), 2 (0,,0), και να εφαρμόσουμε σε αυτή τη μέθοδο Gram-Schmidt Ένας άλλος τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι κάθε διάνυσμα κάθετο στο είναι της μορφής ( x, y, x), x, y Επιλέγουμε v (0,,0) και w 2 (,0, ) Τα, v, w αποτελούν ορθοκανονική βάση του Λύση: Έχουμε k,, V αφού καθένα από τα,, k είναι κάθετο με καθένα από τα,, k Ξέρουμε ότι dimv dim V k Έχουμε dim k,, k επειδή τα,, k είναι γραμμικά ανεξάρτητα Άρα dimv dim k,, Επειδή k,, V, παίρνουμε k,, V 4 Απάντηση για V : dimv 2 Εφαρμόζοντας τη μέθοδο ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt στη 2 βάση v, v 2 του V βρίσκουμε την ορθοκανονικη βάση {, }, όπου (,,, ), 2 4,7,, Υπόδειξη για V : ος τρόπος Έχουμε 2 V x y z w x y z w x y z w 4 {(,,, ) 7 0} Λύνοντας το σύστημα, βρείτε μια βάση του V και στη συνέχεια εφαρμόστε σε αυτή τη μέθοδο Gram-Schmidt 2 ος 2 τρόπος: Επαυξήστε την ορθοκανονική βάση {, } του V που βρήκατε πριν, σε ορθοκανονική βάση {,,, 4} του Τότε {, 4} είναι ορθοκανονική βάση του V σύμφωνα με την 2 άσκηση 6, 5 Υπόδειξη: Επειδή ( x, y, z) V x 2y z 0 ( x, y, z) (2 y z, y, z) y(2,,0) z(,0,), όπου y, z, και τα (2,,0),(,0) είναι γραμμικά ανεξάρτητα (γιατί;), μια βάση του V είναι η {(2,,0),(,0,)} Εφαρμόστε στη βάση αυτή τη μέθοδο Gram-Schmidt για να βρείτε ορθοκανονική βάση του V V ( x, y, z) x 2y z 0 U, όπου U, ( 2,) Άρα Παρατηρούμε ότι V U U και μια ορθοκανονική βάση του V είναι το σύνολο { } { 6(, 2,)}

5 Ασκήσεις6 77 Λύνοντας το σύστημα x 2y z x y z 0, βρίσκουμε V W (,0, ) οπότε μια ορθοκανονική βάση του V W είναι το σύνολο { 2 (,0, )} Επειδή V W (,0, ), έχουμε ( V W ) {( x, y, z) x z 0} Δείξτε ότι μια βάση του ( V W ) είναι το σύνολο {(0,,0),(,0,)} Επειδή τα (0,,0),(,0,) είναι κάθετα, μια ορθοκανονική βάση του ( V W ) είναι το σύνολο {(0,,0), 2 (,0,)} 6 Λύση: Για την πρώτη ισότητα έχουμε v ( W W ) v, w 0 ww W 2 2 v, w v, w 0 w W, w W v W, v W v W W 2 2 Η δεύτερη προκύπτει από την πρώτη θέτοντας W i στη θέση του W i, οπότε ( W W ) ( W ) ( W ) W W W W ( W W ) b Υπόδειξη: Αν ( x) [ x], τότε ( ) 0 ( ) 0 Θεωρήστε ( x) m ( x) και ( x) m ( x) 9 Υπόδειξη: Δείξτε ότι και άρα ( I ) 0 Στη συνέχεια θεωρώντας το m ( x ) δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος και είναι όμοιος με πίνακα της μορφής diag(0,,0,,, ), a rak Δείξτε ότι ο I είναι όμοιος με το diag (,,,0,,0) 0 Λύση: ος τρόπος Μια βάση του v2 (0,, 0) και (0,0,) a που περιέχει το v ( 0,0, 0) είναι η v, v2, v v Πράγματι, το σύνολο,, v v v είναι γραμμικά ανεξάρτητο (για παράδειγμα, det ) και επειδή έχει στοιχεία και dim, το σύνολο 0 0 αυτό είναι μια βάση του Εφαρμόζουμε την ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt στην προηγούμενη βάση Έχουμε v (,0, ), 0 0 v2, 2 v2 2 0,,0, v, v, v (,0, ), και συνεπώς μια ορθοκανονική βάση του είναι η 0 0 0, 2 0,,0, 2 Από την Πρόταση 427 έπεται ότι ο πίνακας a, όπου

6 Ασκήσεις είναι μοναδιαίος 2 ος τρόπος Υπόδειξη Παρατηρούμε ότι κάθε διάνυσμα του κάθετο στο v ( 0,0, 0) είναι της μορφής ( z, y, z), y, z (γιατί;) Επιλέγουμε v2 (0,,0), v (,0,) Το σύνολο { v, v2, v } είναι ορθογώνιο και άρα γραμμικά ανεξάρτητο (Λήμμα 40) Συνεπώς είναι βάση του v v2 v Το σύνολο {,, } είναι μια ορθοκανινική βάση του Ο πίνακας με γραμμές τα v v v 2 στοιχεία v, v, v v v v Υπόδειξη: Πράξεις και άσκηση 69 Πράγματι, είναι ο () και είναι μοναδιαίος σύμφωνα με την Πρόταση 427 ( U I )( U I ) ( U I ) U I ( U I ) U I U I U I U I U I Δείξτε ότι ( U I ) ( U I ) ( U I )( U I ), ισοδύναμα, ( U I )( U I ) ( U I )( U I ) Άρα H H Υπόδειξη: Και οι τρεις συνεπαγωγές έπονται από τους ορισμούς 4 a Υπόδειξη: Οι ιδιοτιμές στο του είναι της μορφής,,,,,,,,, k, k m όπου i και m περιττός (Πρόταση 7 και Πρόταση 426) Το γινόμενο των ιδιοτιμών ισούται με (Πόρισμα 26) 5 Λύση: Ο B είναι μοναδιαίος (άσκηση 69d) Επειδή είναι πραγματικός, οι ιδιοτιμές του στο είναι της μορφής,,,,,,,,, k, k όπου i και 0 (Πρόταση 7 και Πρόταση 426) Από την υπόθεση έπεται ότι ότι 0 Άρα det( B) 0 6 a Λύση: Για κάθε det( B I ) 0 X det( B ) 0 Συνεπώς από το Πόρισμα 26 έπεται και επομένως πολλαπλασιάζοντας με det B παίρνουμε έχουμε X, X X, X X, X, οπότε αν το X είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή παίρνουμε X, X X, X και άρα ( X 0 ) Άρα i, b Λύση: Από το a έπεται ότι το δεν είναι ιδιοτιμή του και συνεπώς det( ) 0 7 Υπόδειξη: Αντικαταστήστε το X με το X Y για να λάβετε X, Y Y, X X, Y Y, X και στη σχέση αυτή αντικαταστήσετε το Y με το iy για να λάβετε I ()

7 Ασκήσεις6 79 i X, Y i Y, X i X, Y i Y, X Από τις δυο σχέσεις έχουμε X, Y X, Y για κάθε σύμφωνα με την Πρόταση 424 X, Y και άρα ο είναι μοναδιαίος 8 Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την τεχνική της προηγούμενης άσκησης Η απάντηση στο δεύτερο 0 σκέλος της άσκησης είναι όχι και ένα σχετικό αντιπαράδειγμα είναι 0 9 Υπόδειξη: Από X X για κάθε X προκύπτει ( I) X, X 0 για κάθε X I 0 20 Απάντηση: a Σ 0 b Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι, B 0 0 c Σ 4 d Σ Οι στήλες αποτελούν ορθοκανονική βάση του e Σ Ο B είναι μοναδιαίος f Σ Αν λ είναι ιδιοτιμή του, τότε {2,,4} οπότε δεν έχει μέτρο Άρα Gram-Schmidt για ν=2