Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Transcript

1 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : abeligia/linearalgebrai/laiihtml 30 Ιουνιου 01 If you can reduce a mathematical problem to a problem in Linear Algebra, you can most likely solve it, provided that you know enough Linear Algebra Peter Lax Βραβείο Abel 005

2 Περιεχόµενα Μέρος 1 Ασκήσεις Προς Λύση 4 Μέρος Πρόχειρες οκιµασίες στην Τάξη 4 Μέρος 3 Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση 7 Μέρος 4 Επίλυση Πρόχειρων οκιµασιών στην Τάξη 46 Μέρος 5 Επίλυση Επιλεγµένων Ασκήσεων 64 Μέρος 6 Θεωρητικά Θέµατα 147 Ι Η οµή Ενός Ενδοµορφισµού Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Ιδιοτιµές Σύνθεσης Γραµµικών Απεικονίσεων και Γινοµένου Πινάκων Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων 148 Τριγωνοποίηση Άνω Τριγωνικοί Πίνακες και Κάτω Τριγωνικοί Πίνακες 150 Πότε είναι ένας πίνακας όµοιος µε έναν άνω τριγωνικό πίνακα; Αλγόριθµος Τριγωνοποίησης Πίνακα Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Πολυωνυµικές Γραµµικές Απεικονίσεις και Πολυωνυµικοί Πίνακες Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Μια άλλη απόδειξη τού Θεωρήµατος Cayley-Hamilton Ελάχιστο Πολυώνυµο Πυρήνες Πολυωνυµικών Γραµµικών Απεικονίσεων Κριτήριο ιαγωνοποίησης Μηδενοδύναµοι Ενδοµορφισµοί και Πίνακες Κανονική Μορφή Fitting Αποσύνθεση Fitting Κανονική Μορφή Fitting Ευθύ Άθροισµα Γραµµικών Απεικονίσεων και Πινάκων 17 6 Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Πινάκων Ταυτόχρονη διαγωνοποίηση Γραµµικών Απεικονίσεων Η Κανονική Μορφή Jordan - I Μηδενοδύναµες Γραµµικές Απεικονίσεις Μηδενοδύναµοι Πίνακες Βάσεις Jordan Η Κανονική Μορφή Jordan ενός πίνακα Αλγόριθµος Εύρεσης Κανονικής Μορφής Jordan Αλγόριθµος Εύρεσης Αντιστρέψιµου Πίνακα P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 AP να είναι η Κανονική Μορφή Jordan του A 186

3 3 77 Κριτήριο Οµοιότητας Πινάκων Κριτήριο ιαγωνοποίησης Πινάκων Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι όµοιος µε τον ανάστροφό του Ανάλυση τετραγωνικού πίνακα σε γινόµενο δύο συµµετρικών πινάκων ένας εκ των οποίων είναι αντιστρέψιµος Ανάλυση τετραγωνικού πίνακα σε άθροισµα διαγωνοποιήσιµου και µηδενοδύναµου πίνακα Η Κανονική Μορφή Jordan - II Αναλλοίωτοι και κυκλικοί υπόχωροι Μηδενοδύναµοι ενδοµορφισµοί κυκλικοί υπόχωροι 197 ΙΙ Ευκλείδειοι Χώροι Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Σταθµητοί Χώροι Το Θεώρηµα των Jordan-Von Neumann Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Πίνακας και Ορίζουσα Gram ιαδικασία Gram-Schmidt Ογκος Παραλληλεπιπέδου σε Ευκλείδειους Χώρους Η Γεωµετρική Ερµηνεία της Ορίζουσας και η Ανισότητα του Hadamard 15 1 Ισοµετρίες 0 11 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών 0 1 Κανονική µορφή Ορθογωνίων Πινάκων 1 13 Ανακλάσεις 13 Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Η Παραγοντοποίηση QR ενός πίνακα 4 13 Πολική Ανάλυση Ορθογώνια Τριγωνοποίηση 9 14 Αντισυµµετρικοί Πίνακες Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Ο υϊκός Χώρος 3 17 Κανονικοί Ενδοµορφισµοί και Κανονικοί Πίνακες Τετραγωνικές Μορφές Μέτρο Πίνακα 35 0 Βιβλιογραφία 36

4 4 Μέρος 1 Ασκήσεις Προς Λύση Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : abeligia/linearalgebraii/laiihtml Ασκηση 1 Θεωρούµε τους υπόχωρους του R 3 : V = { (x, y, z) R 3 x + y + z = 0, 3x + y + z = 0 } W = { (x, y, z) R 3 5x + 4y + 3z = 0 } Να εξετάσετε αν ισχύει ότι : R 3 = V W Αν αυτό δεν ισχύει να ϐρείτε υπόχωρους U και Z έτσι ώστε R 3 = V U = W Z Ασκηση Θεωρούµε τους ακόλουθους υπόχωρους του R 4 : V = (1,, 1, 1), (1, 1, 1, 1) και W = ( 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1) (1) Είναι το άθροισµα V + W ευθύ ; () Πόσοι υπόχωροι Z του R 4 υπάρχουν έτσι ώστε V Z = R 4 ; ικαιολογήστε την απάντηση σας Ασκηση 3 Θεωρούµε τους ακόλουθους υπόχωρους του C-διανυσµατικού χώρου C 3 : V = (1, 1, 0), (i, 1 + i, 1), (1 + i, 1 + i, 0) και W = (1, 0, 1), (i, i, 0), (0, i, i) Να ϐρείτε υπόχωρο U του C 3 έτσι ώστε (V W) U = C 3 Ασκηση 4 Να εξετάσετε αν ισχύει ότι : R 3 [t] = V W, όπου V και W είναι οι ακόλουθοι υπόχωροι του R 3 [t]: V = 1, t + t, + 3t + 3t και W = t, t 3 Ασκηση 5 Να δείξετε, µε ένα αντιπαράδειγµα, ότι αν V 1,, V n είναι υπόχωροι του διανυσµατικού χώρου E, και ισχύουν οι σχέσεις : V i V j = { 0}, i, j = 1,, n, i j τότε δεν ισχύει απαραίτητα ότι το άθροισµα V 1 V V n είναι ευθύ Ασκηση 6 Θεωρούµε τα ακόλουθα υποσύνολα του R 4 : W 1 = {(t, t, t, t) R 4 t R}, W = {(t, s, t 3s, s) R 4 t, s R} W 3 = {(t, s, 0, r) R 4 t s + r = 0}

5 5 (1) Να δείξετε ότι τα υποσύνολα W 1, W, W 3 είναι υπόχωροι του R 4 και να ϐρεθεί η διάσταση τους () Να εξετασθεί αν το άθροισµα W 1 + W + W 3 είναι ευθύ (3) Να δείξετε ότι R 4 = W 1 (W + W 3 ) Ασκηση 7 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση (1) Αν f = f, να δείξετε ότι E = Ker f Im f () Αν f = Id E, να δείξετε ότι E = V 1 V όπου : V 1 = { x E f( x) = x } και V = { x E f( x) = x } Ασκηση 8 Εστω A M n n (K) (1) Αν A = A, να δείξετε ότι ο A είναι όµοιος µε τον πίνακα : ( ) O(n r) (n r) O B = r (n r) = O (n r) r I r όπου I r είναι ο µοναδιαίος r r πίνακας και r = r(a) () Αν A = I n, να δείξετε ότι ο A είναι όµοιος µε τον πίνακα ( ) In r O B = r (n r) = O (n r) r I r όπου r είναι η διάσταση του υπόχωρου {X K n A X = X} του K n Ασκηση 9 Εστω ότι V 1, V,, V m είναι υπόχωροι ενός K-διανυσµατικού χώρου E Θεωρούµε τον K-διανυσµατικό χώρο V 1 V V m και ορίζουµε µια απεικόνιση f : V 1 V V m E, f( v 1, v,, v m ) = v 1 + v + + v m (1) Να δείξετε ότι η f είναι γραµµική () Ποιά είναι η εικόνα Im(f) της f; (3) Να δείξετε ότι η f είναι µονοµορφισµός αν και µόνον αν το άθροισµα V 1 + V + + V m είναι ευθύ (4) Να δείξετε ότι η f είναι ισοµορφισµός αν και µόνον αν E = V 1 V V m Ασκηση 10 Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση, όπου E και F είναι K-διανυσµατικοί χώροι πεπερασµένης διάστασης Υποθέτουµε ότι η f είναι επιµορφισµός (1) Να δείξετε ότι υπάρχει µια γραµµική απεικόνιση g : F E έτσι ώστε : f g = Id F

6 6 () Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός : E = Ker(f) Im(g)

7 7 Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 11 (1) Να εφαρµόσετε την Ευκλείδεια διαίρεση στα πολυώνυµα P (t) = 9t 6 + 4t και Q(t) = t + t + 3 () Βρείτε τις ϱίζες των πολυωνύµων t 3 t +t και t εξετάζοντας τους διαιρέτες των σταθερών όρων (3) ίνεται το πολυώνυµο P (t) = t 4 7t 3 +18t 0t+8 Να ϐρείτε τις ϱίζες του και την πολλαπλότητα κάθε ϱίζας Ασκηση 1 Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και f : E E ένας ενδοµορ- ϕισµός του E Εστω x και y δύο ιδιοδιανύσµατα του f τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές του f Αν a, b K και ab 0, να δείξετε ότι το διάνυσµα a x + b y δεν είναι ιδιοδιάνυσµα της f Ασκηση 13 Βρείτε τις ιδιοτιµές καθώς και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους του πίνακα 0 i i i 0 i M 3 3 (C) i i 0 Ασκηση 14 Θεωρούµε τον ακόλουθο ενδοµορφισµό του R-διανυσµατικού χώρου R 3 : f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x y, x + y, y z) Να ϐρείτε τις ιδιοτιµές του f καθώς και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους Ασκηση 15 Βρείτε τις ιδιοτιµές και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους του πίνακα M 3 3 (R) 1 1 Ασκηση 16 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του πίνακα M 3 3 (R) 4 4 Ασκηση 17 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του ενδοµορφισµού f : R [t] R [t], P (t) f(p (t)) = P (t) P (t)

8 8 Ασκηση 18 Αν λ είναι µια ιδιοτιµή ενός ενδοµορφισµού f : E E ή ενός πίνακα A M n n (K), να δείξετε ότι το λ m είναι ιδιοτιµή του ενδοµορφισµού f m ή του πίνακα A m αντίστοιχα, m 1 Ποιά είναι η σχέση των ιδιοχώρων V f (λ) και V f m(λ m ) ή των ιδιοχώρων V A (λ) και V A m(λ m ) αντίστοιχα ; Ασκηση 19 Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του K-διανυσµατικού χώρου E Αν ο f είναι ισοµορφισµός, να δείξετε ότι το λ K είναι ιδιοτιµή του f αν και µόνον αν το λ 1 είναι ιδιοτιµή του f 1 Ποιά είναι η σχέση των ιδιοχώρων V f (λ) και V f 1(λ 1 );

9 9 Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 0 Θεωρούµε τη γραµµική απεινόνιση f : C 3 C 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (x y, x + y, y z) Είναι η f διαγωνοποιήσιµη ; Αν ναι να διαγωνοποιηθεί Ασκηση 1 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και ϐάσεις των αντίστοιχων ιδιοχώρων του πίνακα A = M 3 3 (R) Ακολούθως να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 AP να είναι διαγώνιος Ασκηση Θεωρούµε τον πίνακα A = M 3 3 (R) Να ϐρεθεί ο πίνακας A m, m 1 Ασκηση 3 Ποιες συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν οι αριθµοί α, β, γ, δ, ɛ, ζ, έτσι ώστε ο πίνακας 3 α β γ A = 0 3 δ ɛ ζ να είναι διαγωνοποιήσιµος ; Ασκηση 4 Θεωρούµε τον πίνακα A = M 3 3 (R) 1 5 Να δειχθεί ότι : A 593 A 15 = A

10 10 Ασκηση 5 Να ϐρεθούν αναγκαίες και ικανές συνθήκες τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν τα µ, ν R, έτσι ώστε ο πίνακας A = µ 3 0 ν να είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 6 Να δείξετε ότι οι πίνακες και είναι όµοιοι Ασκηση 7 Να ϐρεθεί ένας 3 3-πίνακας A για τον οποίο τα διανύσµατα στήλες X = 1 1, Y = 0 1, Z = είναι ιδιοδιανύσµατα του A µε αντίστοιχες ιδιοτιµές 1, και 3 Ασκηση 8 (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E < (α ) Αν f = Id E, να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη (ϐ ) Αν f = f, να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη () Εστω A M n n (K) (α ) Αν A = I n, να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος (ϐ ) Αν A = A, να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 9 Εστω (x n ) n 0, (y n ) n 0 και (z n ) n 0 ακολουθίες πραγµατικών αριθµών οι οποίες συνδέονται µε τις παρακάτω αναγωγικές σχέσεις, n 1: x n = x n 1 y n = x n 1 3y n 1 z n 1 z n = x n 1 + 4y n 1 + 3z n 1 Να ϐρεθούν οι ακολουθίες, αν γνωρίζουµε ότι : x 0 =, y 0 = 3, z 0 = 1

11 Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 30 Βρείτε τα ελάχιστα πολυώνυµα των ακόλουθων πινάκων πραγµατικών αριθµών : A = και B = Ασκηση 31 Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A (t) του πίνακα A = και στη συνέχεια µε τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να υπολογίσετε τον πίνακα B = A 3 3A 4A A 0 A 6 + 3A 5 + 4A 4 11A 3 + 4A + 5A + I 3 Ασκηση 3 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : 4 0 A = (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; () Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; (3) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικος ( ) 5 Ασκηση 33 Εστω A = Με τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να εκφράσετε 1 3 τον αντίστροφο του πίνακα B = A 4 + 5A 3 48A I µε τη µορφή κa + λi, κ, λ R Ασκηση 34 Εστω A ένας πίνακας µε στοιχεία από το R, και έστω k ένας ϕυσικός αριθµός, k > Με τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να αποδείξετε ότι A k = 0 = A = 0 Ασκηση 35 Εστω R(t) = a 0 + a 1 t + + a k t k ένα πολυώνυµο υπεράνω του K µε a 0 0 (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου E είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K Αν R(f) = 0, δείξτε ότι η f είναι ισοµορφισµός Να υπολογισθεί η f 1 () Αν A M n n (K) και R(A) = 0, δείξτε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και υπολογίστε τον A 1

12 1 Ασκηση 36 Εστω ο n n πίνακας A = (1) Να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 n A είναι ταυτοδύναµος, δηλαδή ( 1 n A) = 1 n A () Να ϐρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του 1 n A (3) Να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 na είναι διαγωνοποιήσιµος Ποιά είναι η διαγώνια µορφή του ; Ασκηση 37 Εστω A M n (C) Αν η µόνη ιδιοτιµή του A είναι η λ = 0, να δειχθεί ότι A n = 0 Ασκηση 38 Θεωρούµε τον πίνακα A = (1) Να ϐρεθεί µη-µηδενικό πολυώνυµο Q(t) έτσι ώστε Q(A) = 0 () Να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί πολυώνυµο P (t) έτσι ώστε P (A) = A 1 Ασκηση 39 Να δείξετε ότι αν A M n n (R) είναι ένας πίνακας τέτοιος ώστε A 3 = A τότε ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Αν ο A είναι πίνακας ϱητών αριθµών, δηλαδή A M n n (Q), είναι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος ; Ασκηση 40 Εστω A και B δύο όµοιοι n n πίνακες µε στοιχεία από ένα σώµα K Να δείξετε ότι οι πίνακες A και B έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο : Q A (t) = Q B (t) Ασκηση 41 Να δείξετε ότι ένας µηδενοδύναµος πίνακας A M n n (K), δηλαδή A m = O, είναι διαγωνοποιήσιµος αν και µονο αν A = O Ασκηση 4 Εστω A ένας 4 4 πίνακας πραγµατικών αριθµών για τον οποίο ισχύουν τα εξής : A 0 1 = 0 0, A 0 0 = 0 0, A 0 = 4 0, A 0 = Να ϐρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του A Ασκηση 43 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : A = (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; () Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικός

13 13 Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 44 Εστω η απεικόνιση, : R R R η οποία ορίζεται ως εξής : (x 1, y 1 ), (x, y ) = 5x 1 x (x 1 y + y 1 x ) + y 1 y ) (1) είξτε ότι η παραπάνω απεικόνιση ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R () Βρείτε τα µήκη των διανυσµάτων (1, 0), (0, 1), (1, 3), ( 1, ) ως προς το παραπάνω το εσωτερικό γινόµενο Ασκηση 45 Εστω R n [t] ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων ϐαθµού n, µε πραγµατικούς συντελεστές Εστω α 0, α 1,, α n ανα δύο διαφορετικοί πραγµατικοί αριθµοί είξτε ότι η σχέση P (t), Q(t) = P (α 0 )Q(α 0 ) + + P (α n )Q(α n ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στο R n [t] Να ϐρεθεί το µήκος καθενός από τα διανύσµατα της κανονικής ϐάσης B = {1, t, t,, t n } του R n [t] ως προς το παραπάνω εσωτερικό γινόµενο Ασκηση 46 Εστω B = { ε 1 = (1, 1), ε = (1, 1)} µια ϐάση του R-διανυσµατικού χώρου R Υπο- ϑέτουµε ότι η απεικόνιση, : R R R ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο επί του R έτσι ώστε : ε 1, ε 1 = ε, ε = 1, ε 1, ε = 0 Να υπολογισθούν οι αριθµοί (x 1, y 1 ), (x, y ), όπου (x 1, y 1 ), (x, y ) R Ασκηση 47 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R [t] µε εσωτερικό γινόµενο P (t), Q(t) = 1 0 P (t)q(t) dt, P (t), Q(t) R [t] και τα πολυώνυµα P (t) = 1, Q(t) = t 1, W (t) = t t Να υπολογίσετε τα µήκη P (t), Q(t), W (t) Ασκηση 48 Να υπολογισθεί η γωνία των διανυσµάτων x = (1, 0, 1), y = ( 1, 1, 0) R 3 ως προς το συνήθες εσωτερικό γινόµενο του R 3 Ακολούθως να ϐρείτε όλα τα διανύσµατα του R 3 τα οποία είναι κάθετα στα διανύσµατα x, y

14 14 Ασκηση 49 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και B = { ε 1,, ε n } µια ϐάση του E Θεωρούµε τον πίνακα : A = (a ij ), a ij = ε i, ε j, 1 i, j n Αν x, y E, να δείξετε ότι : όπου : είναι οι συνιστώσες των x, y στη ϐάση B x, y = X A Y X = (x 1 x n ) και Y = y 1 y n Ασκηση 50 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και { ε 1,, ε m } ένα ορθοκανονικό σύνολο διανυσµάτων του E Να δείξετε ότι y, ε y, ε m y, y E Ασκηση 51 Εστω η απεικόνιση, : R 3 R 3 R η οποία ορίζεται ως εξής : (x 1, x, x 3 ), (y 1, y, y 3 ) = x 1 y 1 + x y + 3x 3 y 3 (1) είξτε ότι η παραπάνω απεικόνιση ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R 3 () Να ϐρεθούν όλα τα διανύσµατα του R 3 τα οποία είναι κάθετα, ως προς το εσωτερικό γινόµενο,, µε κάθε διάνυσµα του υπόχωρου V = {(x, y, z) x y + z = 0} Ασκηση 5 Εστω x = (x 1,, x n ) και y = (y 1,, y n ) δύο διανύσµατα του Ευκλείδειου χώρου (R n,, ), ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το κανονικό (συνηθισµένο) εσωτερικό γινόµενο Θεωρούµε τον πίνακα-γραµµή Y = (y 1 y n ) M 1 n (R) των συνιστωσών του y και τον πίνακα-στήλη X = x 1 x n M n 1 (R) των συνιστωσών του x Να υπολογίσετε το µήκος του n n πίνακα X Y M n n (R) στον Ευκλείδειο χώρο (M n n (R),, ), ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το κανονικό εσωτερικό γινόµενο, συναρτήσει των µηκών των διανυσµάτων x και y του Ευκλείδειου χώρου (R n,, ) Ποιό είναι το µήκος του πίνακα Y X;

15 15 Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 53 Εστω V και W δυο υπόχωροι του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) (1) Αν V W να δείξετε ότι : W V () Να δείξετε ότι : (V + W) = V W (3) Αν dim R E <, να δείξετε ότι : (α ) (V ) = V (ϐ ) (V W) = V + W Ασκηση 54 Θεωρούµε τον ακόλουθο υπόχωρο του R n : V = { x = (x 1,, x n ) R n x 1 + x + + nx n = 0 } R n Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου V, όταν : (1) Ο R n είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο () Ο R n είναι εφοδιασµένος µε το εσωτερικό γινόµενο x, y = x 1 y 1 + x y + + nx n y n όπου : x = (x 1,, x n ) και y = (y 1,, y n ) Ασκηση 55 Στον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο να ϐρείτε µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου V ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα x 1 = (1, 1, 0, 0), x = (0, 1, 0, ), x 3 = (0, 0,, 1) και ακολούθως µια ορθοκανονική ϐάση του V Ασκηση 56 Θεωρούµε τους υπόχωρους V και W του R 3, όπου : V = { (x, y, z) R 3 x + y + z = 0 } και W είναι ο χώρος λύσεων του οµογενούς συστήµατος x y + 3z = 0 x + y 3z = 0 Θεωρούµε τον Ευκείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο Να ϐρεθούν : (1) Ορθοκανονικές ϐάσεις των V και W () Τις προβολές των διανυσµάτων τυχούσας ϐάσης του W στον υπόχωρο V

16 16 Ασκηση 57 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και τους υποχώρους του V = {(x, y, z, w) R 4 x + 3y + z = 0} W = {(x, y, z, w) R 4 x y + w = 0} (1) Να εξετάσετε αν οι V και W είναι ορθοσυµπληρωµατικοί () Βρείτε το ορθογώνιο συµπλήρωµα (V W) του υπόχωρου V W Ασκηση 58 Εστω ο Ευκλείδειος χώρος R 3 εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και έστω V = { (x, y, z) R 3 x y z = 0 } (1) Να ϐρεθούν ορθοκανονικές ϐάσεις των υποχώρων V και V () Να γραφεί το διάνυσµα x = (, 1, 0) ως x = y + z, όπου y V και z V Ασκηση 59 Εστω ο Ευκλείδειος χώρος R 3 εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και έστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x y, y z, z x) (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση της εικόνας Im(f) της f () Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του ορθοσυµπληρωµατικού υποχώρου Im(f) Ασκηση 60 Θεωρούµε έναν Ευκλείδειο χώρο (E,, ) και έστω U, V, W τρείς υπόχωροι του E εξετάσετε ποιοί από τους παρακάτω ισχυρισµούς είναι σωστοί : (1) { 0} = E () E = { 0} (3) V W = V W (4) V W και W U = V U Να Ασκηση 61 Θεωρούµε τα ακόλουθα διανύσµατα του R 4 : ε 1 = (, 3, 1, 0), ε = (7, 3, 0, 1), ε 3 = ( 1, 0, 1, 0), ε 4 = (0, 1, 1, 1) Να ϐρεθεί ένα εσωτερικό γινόµενο, στον R 4 έτσι ώστε το σύνολο B = { ε 1, ε, ε 3, ε 4 } να αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του R 4 Ασκηση 6 Εστω e ένα µοναδιαίο διάνυσµα σε έναν Ευκλείδειο χώρο (E,, ) διάνυσµα x E γράφεται µοναδικά ως εξής : x = α e + y, όπου : α R και y, e = 0 Να δείξετε ότι κάθε Ο µοναδικά προσδιορισµένος από το διάνυσµα x αριθµός α καλείται η αριθµητική προβολή του x στην διεύθυνση του e και συµβολίζεται µε : α := π e ( x) 1 Να αποδείξετε τα ακόλουθα, x, y E και r R: (1) π e ( x + y) = π e ( x) + π e ( y) () π e (r x) = rπ e ( x) (3) π e ( x) = x, e 1 Ετσι, επειδή το e είναι µοναδιαίο, η προβολή του x στο διάνυσµα e είναι το διάνυσµα Π e ( x) = π e ( x) e

17 17 (4) Αν B = { ε 1, ε,, ε n } είναι µια ορθοκανονική ϐάση του E, να δείξετε ότι : n n x = π εi ( x) ε i = x, ε i ε i = x, ε 1 ε 1 + x, ε ε + + x, ε n ε n i=1 i=1

18 18 Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 63 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και ϑεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : E E, f( x) = λ x όπου λ R, λ 0 Να δείξετε ότι η f είναι ισοµορφισµός, αλλά γενικά όχι ισοµετρία Να ϐρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη έτσι ώστε η f να είναι ισοµετρία Ασκηση 64 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης (1) Αν x, y είναι δύο διανύσµατα του E έτσι ώστε x = y, να δείξετε ότι υπάρχει µια ισοµετρία f : E E, έτσι ώστε : f( x) = y () Αν x, y, z, w είναι τέσσερα διανύσµατα του E έτσι ώστε x = y και z = w να εξετασθεί αν υπάρχει ισοµετρία f : E E, έτσι ώστε : f( x) = y και f( z) = w Ασκηση 65 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης, και f : E E µια ισοµετρία Να δείξετε ότι αν V είναι ένας υπόχωρος του E, τότε : f(v) V = f(v ) V Ισχύει η αντίστροφη συνεπαγωγή ; Ασκηση 66 (1) Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και τους υποχώρους του V = {(x, y, z, w) R 4 x + 3y + z = 0} W = {(x, y, z, w) R 4 x y + w = 0} Να ϐρεθεί µια ισοµετρία f : (V,, ) (R [t],, ) και µια ισοµετρία g : (W,, ) (R 3,, ) () Να εξετασθεί αν υπάρχει ισοµετρία h: (V W,, ) (M n n (R),, ), για κατάλληλο n 1

19 19 Ασκηση 67 Θεωρούµε τον πίνακα A = Συµπληρώστε τον πίνακα A έτσι ώστε να είναι ορθογώνιος Ασκηση 68 Θεωρούµε την απεικόνιση, : R 3 R 3 R, (x1, x, x 3 ), (y 1, y, y 3 ) = 4x1 y 1 + x y + 8x 3 y 3 (1) είξτε ότι η απεικόνιση, ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R 3 () Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση ( f : R 3,, ) ( R 3,, ), f(x, y, z) = ( x, y z, ) είναι µια ισοµετρία, όπου, είναι το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο του R 3 Ασκηση 69 Να δείξετε ότι ο πίνακας A = παριστάνει στροφή επιπέδου περί άξονα κάθετο σ αυτό και να προσδιορίσετε τον άξονα και τη γωνία στροφής Ασκηση 70 Στον Ευκλείδειο χώρο R 3, εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, ϑεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση ( f : R 3 R 3, f(x, y, z) = 3 x + 3 y + az, 3 x 1 3 y + bz, 1 3 x + ) 3 y + cz (1) Να υπολογίσετε τις τιµές των πραγµατικών αριθµών a, b και c έτσι ώστε η f να είναι ισοµετρία η οποία παριστά στροφή επιπέδου γύρω από άξονα κάθετο σ αυτό () Αν η f είναι ισοµετρία, (α ) να υπολογίσθεί η γωνία των διανυσµάτων f(1, 0, 0) και f(0, 1, 0) (ϐ ) να ϐρεθεί το επίπεδο και ο άξονας περιστροφής του ερωτήµατος (1)

20 0 Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 71 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι : f( x), x = 0, x E f = f Αν f = f, ποιές είναι οι πραγµατικές ιδιοτιµές της f; Ασκηση 7 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο Εστω f : R 3 R 3 η µοναδική γραµµική απεικόνιση της οποίας ο πίνακας στην κανονική ϐάση του R 3 είναι ο πίνακας A = Να προσδιοριθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f : R 3 R 3 της f Ασκηση 73 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο Εστω f : R 3 R 3 µια γραµµική απεικόνιση για την οποία ισχύει : f(1, 0, 1) = (1, 4, 1), f(1, 0, 1) = ( 3, 0, 3), f(0, 1, 0) = (, 1, ) Να προσδιορισθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f : R 3 R 3 της f Ασκηση 74 Στον Ευκλείδειο χώρο M (R) εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο A, B = Tr(A tb) ϑεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : M (R) M (R), f ( ) ( x y z w = x z ) y w Να εξετάσετε αν η f είναι : (α) ισοµετρία, και (β) αυτοπροσαρτηµένη Ασκηση 75 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Εστω f, g : E E δύο γραµµικές απεικονίσεις, και λ, µ R Να δείξετε ότι : (1) (λf + µg) = λf + µg () (f ) = f

21 1 Ασκηση 76 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R [t] µε εσωτερικό γινόµενο P (t), Q(t) = 1 0 P (t)q(t) dt, P (t), Q(t) R [t] Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : R [t] R [t] της οποίας ο πίνακας στην κανονική ϐάση B = { 1, t, t } του R [t] είναι ο πίνακας : A = Να προσδιορίσετε τη προσαρτηµένη απεικόνιση f : R [t] R [t] της f Ασκηση 77 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και f γραµµική απεικόνιση, έτσι ώστε : f = f : E E µια (1) Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση Id E + f : E E είναι ισοµορφισµός () Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση (Id E f) (Id E + f) 1 : E E είναι ισοµετρία Ασκηση 78 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης, και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι : (1) Ker(f ) = Im(f) () Ker(f) = Im(f ) (3) Im(f ) = Ker(f) (4) Im(f) = Ker(f ) (5) Αν V είναι ένας υπόχωρος του E, τότε : f(v) V f (V ) V

22 Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 79 Θεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών A = a b (1) Να προσδιορισθούν οι αριθµοί a, b, έτσι ώστε ο πίνακας A να έχει ως ιδιοτιµή το 0 µε πολλαπλότητα () Για τις τιµές των a, b που ϑα ϐρείτε, να υπολογίσετε ορθογώνιο πίνακα P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι διαγώνιος (3) Να υπολογίσετε τον πίνακα A m, m 1 Ασκηση 80 Να πρσδιορισθεί ο αριθµός a έτσι ώστε ο πίνακας A = 1 a a a 4 4 a 4 4 να είναι µη-αρνητικός Ασκηση 81 Θεωρούµε τον πίνακα 0 7 A = Να ϐρεθεί πίνακας B M 3 3 (R), έτσι ώστε : B 3 = A 9 Ασκηση 8 Θεωρούµε τον πίνακα A = (1) Να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι ϑετικός () Να ϐρείτε συµµετρικό και αντιστρέψιµο πίνακα B έτσι ώστε : A = B Ασκηση 83 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και f : E E µια αυτοπροσαρτηµένη γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι αν f n = 0, τότε f = 0 ( f n = f f f είναι η σύνθεση της f µε τον εαυτό της n-ϕορές )

23 Ασκηση 84 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και f γραµµική απεικόνιση 3 : E E µια (1) Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση f f : E E είναι αυτοπροσαρτηµένη και µη-αρνητική () Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση f f είναι ϑετική αν και µόνον αν η f είναι ισοµορφισµός Ασκηση 85 Εστω A M n n (R) ένας αντισυµµετρικός πίνακας Να δείξετε ότι υπάρχει ορθογώνιος πίνακας P και πίνακας B µε την ιδιότητα ο πίνακας B να είναι διαγώνιος, έτσι ώστε : P 1 B P = A Ασκηση 86 Να αναχθεί η τετραγωνική µορφή q : R 3 R, q(x, y, z) = 7 x + 7 y + 5z xy xz + yz στους κύριους άξονές της, οι οποίοι και να ϐρεθούν Ασκηση 87 Να προσδιορισθεί το είδος των καµπύλων οι οποίες ορίζονται από τις εξισώσεις : (C 1 ) : xy = 1 (C ) : 5x 4xy + 8y = 1 Ασκηση 88 Να προσδιορισθεί το είδος της τετραγωνικής επιφάνειας η οποία ορίζεται από την εξίσωση : (S) : 9x 4xy + 6y + 3z + 5x + 4 5y + 1z + 16 = 0 Ασκηση 89 Θεωρούµε την τετραγωνική µορφή q : R 3 R, q(x, y, z) = 3x + 3y + z xy (1) Να αναχθεί η τετραγωνική µορφή q στους κύριους άξονές της, οι οποίοι και να ϐρεθούν () Να προσδιορισθεί το είδος της τετραγωνικής επιφάνειας η οποία ορίζεται από την εξίσωση : (S) : 3x + 3y + z xy = 8 (3) Να δείξετε ότι ο πίνακας A της τετραγωνικής µορφής q είναι ϑετικός και στη συνέχεια να ϐρεθεί συµµετρικός και αντιστρέψιµος πίνακας B έτσι ώστε : B = A

24 4 Μέρος Πρόχειρες οκιµασίες στην Τάξη Προχειρη οκιµασια οκιµασία 1 ϑεωρούµε τους ακόλουθους υποχώρους του R 4 : V = { (x 1, x, x 3, x 4 ) R 4 x x 3 + x 4 = 0 } W = { (x, x, x, x) R 4 x R } (1) Να εξετασθεί αν ισχύει ότι R 4 = V W () Αν R 4 V W, να ϐρεθούν υπόχωροι U και Z του R 4 έτσι ώστε : R 4 = V U = W Z Προχειρη οκιµασια οκιµασία ϑεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : A = Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του A και ϐάσεις των αντίστοιχων ιδιοχώρων Προχειρη οκιµασια οκιµασία 3 Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση : f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x + kz, ky, ky + z) Να ϐρεθούν οι τιµές του k R για τις οποίες η f είναι διαγωνοποιήσιµη

25 Προχειρη οκιµασια οκιµασία 4 ϑεωρούµε έναν πίνακα A M 3 3 (R) για τον οποίο ισχύει ότι : A 5A + 6I 3 = O (1) Να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος () Να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος (3) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος A 1 συναρτήσει των πινάκων A και I 3 Προχειρη οκιµασια οκιµασία 5 Να εξετασθεί αν οι παρακάτω απεικονίσεις ορίζουν εσωτερικό γινόµενο στον R-διανυσµατικό χώρο M n n (R) των n n πινάκων :, 1 : M n n (R) M n n (R) R, A, B 1 = det(a B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = Tr(A B), 3 : M n n (R) M n n (R) R, A, B 3 = Tr(A + B), 4 : M n n (R) M n n (R) R, A, B 4 = det(a + B) Προχειρη οκιµασια οκιµασία 6 Εστω ο Ευκλείδειος χώρος (R 4,, ), όπου, είναι το κανονικό (συνηθισµένο) εσωτερικό γινόµενο Θεωρούµε τον ακόλουθο υπόχωρο V του Ευκλείδειου χώρου R 4 : V = { (x, y, z, w) R 4 x y z = 0 και y z w = 0 } 1 Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του V Να ϐρεθεί ο ορθογώνιος υπόχωρος V του V Προχειρη οκιµασια οκιµασία 7 (1) Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και υποθέτουµε ότι B = { } e 1, e, e 3, e 4 µια ορθοκανονική ϐάση του E Εστω f : E E η µοναδική γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε : f( e 1 ) = e, f( e ) = e 3, f( e 3 ) = e 4, f( e 4 ) = e 1 Να εξετάσετε αν η f είναι ισοµετρία () Να εξετασθεί αν το άθροισµα f + g δύο ισοµετριών f, g : E E είναι ισοµετρία

26 6 (3) Να εξετασθεί αν το άθροισµα A + B ή A + B, όπου A και B είναι δύο n n ορθογώνιοι πίνακες, είναι ορθογώνιος πίνακας Προχειρη οκιµασια οκιµασία 8 Να δείξετε ότι ο πίνακας 1/ 1/ / A = 1/ 1/ / / / 0 παριστάνει στροφή επιπέδου (Π) κατά γωνία ϑ, γύρω από άξονα (ε) ο οποίος είναι κάθετος στο (Π) Στη συνέχεια να ϐρεθούν : (1) Η γωνία στροφής ϑ () Ο άξονας (ε) (3) Το επίπεδο (Π) Προχειρη οκιµασια οκιµασία 9 Να δείξετε ότι ο πίνακας πραγµατικών αριθµών ( ) 3 1 A = 1 3 είναι ϑετικός και ακολούθως να ϐρεθεί µια τετραγωνική ϱίζα A του A Επιπρόσθετα να δείξετε ότι : { A ( ) }01 = 1005 ( ) Προχειρη οκιµασια οκιµασία 10 Να ϐρεθούν οι κύριοι άξονες της τετραγωνικής µορφής q : R 3 R, q(x, y, z) = xy + yz

27 7 Μέρος 3 Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : abeligia/linearalgebraii/laiihtml Ασκηση 90 Εστω ε 1 = (1, 1, 1), ε = (1, 0, 1) R 3 Αν V = ε 1, ε, να ϐρεθεί υπόχωρος W του R 3 έτσι ώστε R 3 = V W Ασκηση 91 Στον διανυσµατικό χώρο M n n (K) ϑεωρούµε τα ακόλουθα υποσύνολα : V = { A = (a ij ) M n n (K) a ij = 0, i, j = 1,, n, j i } W = { A = (a ij ) M n n (K) a ij = 0, i, j = 1,, n, i j } Z = { A = (a ij ) M n n (K) a ij = 0, i, j = 1,, n, i j } Να δείξετε ότι τα υποσύνολα V, W, Z είναι υπόχωροι του M n n (K) και ακολούθως να δείξετε ότι : M n n (K) = V Z W Ασκηση 9 Θεωρούµε τους ακόλουθους υπόχωρους του R n : V = { (x 1, x,, x n ) R n x 1 + x + + x n = 0 } Να δείξετε ότι R n = V W W = { (x 1, x,, x n ) R n x 1 = x = = x n } Ασκηση 93 Θεωρούµε τους ακόλουθους υποχώρους του R 3 : W 1 = { (a, b, 0) R 3 a, b R } να εξετασθεί αν ισχύει ότι : R 3 = W 1 W W 3 W = { (0, 0, c) R 3 c R } W 3 = { (d, 0, d) R 3 d R }

28 8 Ασκηση 94 Θεωρούµε τις ακόλουθες γραµµικές απεικονίσεις f i : R 3 R 3, i = 1,, 3, 4: Να δείξετε ότι, i = 1,, 3, 4: f 1 (x, y, z) = (x + y, y + z, z + x) f (x, y, z) = (x y, y z, 0) f 3 (x, y, z) = ( y, x, z) f 4 (x, y, z) = (x, y, y) R 3 = Im(f i ) Ker(f i ) Ασκηση 95 Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω από το σώµα K µε dim K E <, και f : E E µια γραµµική απεικόνιση (1) Αν dim K Ker(f) = dim K Ker(f ), τότε : E = Ker(f) Im(f) () Αν dim K Im(f) = dim K Im(f ), τότε : E = Ker(f) Im(f) Ασκηση 96 Εστω f : E F και g : F G γραµµικές απεικονίσεις µεταξύ διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ένός σώµατος K Συµβολίζουµε µε r(f) = dim K Im(f) και r(g) = dim K Im(g) τη ϐαθµίδα των f και g αντίστοιχα (1) Να δείξετε ότι r(g f) = r(f) αν και µόνο αν Im(f) Ker(g) = { 0} () Να δείξετε ότι r(g f) = r(g) αν και µόνο αν Im(f) + Ker(g) = F (3) Να δείξετε ότι r(f) = r(g f) = r(g) αν και µόνο αν F = Im(f) Ker(g) Ασκηση 97 Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ των K-διανυσµατικών χώρων πεπε- ϱασµένης διάστασης E και F Υποθέτουµε ότι η f είναι µονοµορφισµός (1) Να δείξετε ότι υπάρχει µια γραµµική απεικόνιση g : F E έτσι ώστε : g f = Id E () Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφσιµός : E = Im(f) Ker(g) Ασκηση 98 Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω του σώµατος K Συµβολίζουµε µε f k = f f f (k-ϕορές) την σύνθεση της f µε τον εαυτό της k-ϕορές, όπου k 1 (1) Να δείξετε ότι υπάρχει µια (αύξουσα) ακολουθία υποχώρων του E: { 0} Ker(f) Ker(f ) Ker(f k ) Ker(f k+1 ) E για την οποία υπάρχει κ 0 έτσι ώστε : Ker(f κ ) = Ker(f κ+1 ) = Ker(f κ+ ) = () Να δείξετε ότι υπάρχει µια (ϕθίνουσα) ακολουθία υποχώρων του E: { 0} Im(f λ+1 ) Im(f λ ) Im(f ) Im(f) E για την οποία υπάρχει λ 0 έτσι ώστε : Im(f λ ) = Im(f λ+1 ) = Im(f λ+ ) = (3) Να δείξετε ότι υπάρχει m 1 έτσι ώστε : E = Ker(f m ) Im(f m ) Υπόδειξη: Θέτουµε m = max{κ, λ}, όπου τα κ και λ είναι όπως στο (1) και () αντίστοιχα

29 9 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 99 Αν n 1, να υπολογισθούν οι ιδιοτιµές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του n n-πίνακα A = Ασκηση 100 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και ϐάσεις για τους αντίστοιχους ιδιοχώρους της γραµµικής απεικόνισης f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (y, x + z, y) Ασκηση 101 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και οι ιδιοχώροι του πίνακα ( ) 1 1 A = 1 0 Ασκηση 10 Θεωρούµε το πολυώνυµο P (t) = ( 1) n( a 0 + a 1 t + + a n 1 t n 1 + t n) K[t] και τον πίνακα a a a A = an a n a n 1 ο οποίος καλείται ο συνοδεύων πίνακας του πολυωνύµου P (t) Να δείξετε ότι P A (t) = A ti n = ( 1) n( a 0 + a 1 t + + a n 1 t n 1 + t n) Ασκηση 103 Με τη ϐοήθεια της σκησης 4 να ϐρείτε το πολυώνυµο A ti 4, όπου A είναι ο πίνακας A =

30 30 Ασκηση 104 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και ϐάσεις για τους αντίστοιχους ιδιοχώρους της γραµµικής απεικόνισης ( ) ( ) a b a b + c f : M (R) M (R), f = c d 5b + c d Ασκηση 105 Εστω A M n n (R) µε την ιδιότητα ότι A = I n Να υπολογίσετε τις ιδιοτιµές του πίνακα A και να αποδείξετε ότι ο n δεν µπορεί να είναι περιττός αριθµός Ασκηση 106 Θεωρούµε ένα πίνακα A M n n (R) µε ϑετικές ιδιοτιµές Να εξετάσετε αν ο πίνακας A+I είναι αντιστρέψιµος Ασκηση 107 Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : M (R) M (R), f(a) = t A Να ϐρείτε τις ιδιοτιµές της f και ϐάσεις των αντίστοιχων ιδιοχώρων Ασκηση 108 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου E είναι ένας K-διανυσµατικός χώρος Υποθέτουµε ότι κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα του E είναι ιδιοδιάνυσµα της f Να δείξετε ότι υπάρχει λ K έτσι ώστε f( x) = λ x, x E Ασκηση 109 Εστω A ένας n n-πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Υποθέτουµε ότι το άθροισµα των στοιχείων καθεµιάς γραµµής του είναι ίσο µε 1 (1) Να δείξετε ότι το 1 είναι ιδιοτιµή του A () Αν κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα στήλη του χώρου K n είναι ιδιοδιάνυσµα του A, να δείξετε ότι ο A είναι ο µοναδιαίος πίνακας : A = I n

31 31 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 110 Θεωρούµε τον πίνακα A = Να υπολογισθεί ο πίνακας A 011 (A I ) 01 ( 1 ) 3 Ασκηση 111 Να ϐρεθεί ένας 3 3-πίνακας A για τον οποίο τα διανύσµατα στήλες X = 1 1, Y = 1 1, Z = είναι ιδιοδιανύσµατα του A µε αντίστοιχες ιδιοτιµές 1, 1 και 0 Ασκηση 11 Να εξετασθεί εαν ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιµος A = Ασκηση 113 Θεωρούµε τη γραµµική απεινόνιση f : R 3 R 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (3x + y z, x + 3y + z, x + y + 3z) Να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη και ακολούθως να την διαγωνοποιήσετε Ασκηση 114 Να ϐρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες τις οποίες πρέπει να πληρούν τα α, β, γ R έτσι ώστε ο πίνακας A = 3 α β 0 3 γ 0 0 να είναι διαγωνοποιήσιµος

32 3 Ασκηση 115 Να εξετασθεί ως προς τη διαγωνοποίηση ο πίνακας µιγαδικών αριθµών A = 0 i i i 0 i i i 0 Ασκηση 116 Να υπολογισθεί η m-οστή δύναµη A m, m 1, του πίνακα A = Ασκηση 117 Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση είναι διαγωνοποιήσιµη f : M n n (K) M n n (K), A f(a) = t A Ασκηση 118 Εστω A M n (K) Υποθέτουµε ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος και η µοναδική ιδιοτιµή του είναι το λ K Να δείξετε ότι λ λ 0 A = λ Ασκηση 119 Εστω (x n ) n 0, (y n ) n 0 και (z n ) n 0 ακολουθίες πραγµατικών αριθµών έτσι ώστε x n = x n 1 + y n 1 z n 1 y n = x n 1 + 3y n 1 z n 1 z n = x n 1 + z n 1 για κάθε n 1 Αν x 0 = 1, y n = 0, z n = 1, να ϐρεθούν οι ακολουθίες (x n ) n 0, (y n ) n 0, (z n ) n 0

33 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 10 ίνεται ο πίνακας Ποιο είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; A = Ασκηση 11 (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεκόνιση Αν f = f να υπολογισθεί το ελάχιστο πολυώνυµο της f () Αν A M n n (K) µε A = A, να υπολογισθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του A Ασκηση 1 Να προσδιοριστούν οι πίνακες A M n n (K) των οποίων το ελάχιστο πολυώνυµο είναι της µορφής Q A (t) = t λ Ασκηση 13 Να ϐρείτε όλους τους πίνακες A M (R) που είναι διαγωνιοποιήσιµοι και ικανοποιούν τη σχέση A 3A + I = 0 Ασκηση 14 Να δείξετε ότι αν A M n n (R) είναι ένας πίνακας τέτοιος ώστε A 3 = 7A τότε ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Είναι ο A διαγωνοποιήσιµος όταν ϑεωρηθεί ως πίνακας ϱητών αριθµών ; Ασκηση 15 Εστω k 1 και A ο n n πίνακας k k k k k k A = k k k (1) Να ϐρεθεί το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A () Να εξετάσετε αν ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος (3) Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A;

34 34 Ασκηση 16 Ενας πίνακας B = (b ij )M n n (K) καλείται δίκαιος αν : (a) b ij > 0, i, j = 1,,, n (b) b ij b jk = b ik, i, j, k = 1,,, n Για τους δίκαιους πίνακες να δείξετε τα ακόλουθα : (1) Να δείξετε ότι ο πίνακας A = είναι δίκαιος () Να δείξετε ότι αν B είναι ένας δίκαιος πίνακας, τότε : B = nb (3) Κάθε δίκαιος πίνακας είναι όµοιος µε τον A (4) Να δείξετε ότι κάθε δίκαιος πίνακας B είναι διαγωνοποιήσιµος και να προσδιορισθεί ένας αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 BP να είναι διαγώνιος Ποιά είναι η διαγώνια µορφή του ; Ασκηση 17 Εστω R(t) K[t] ένα πολυώνυµο το οποίο έχει όλες τις ϱίζες του στο σώµα K και καθε ϱίζα έχει πολλαπλότητα 1, δηλαδή το R(t) αναλύεται σε γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E < Αν R(f) = 0, να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη () Εστω A M n n (K) Αν R(A) = 0, να δείξετε ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 18 Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A δείξτε ότι ο A και ο t A έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο και το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο Ασκηση 19 Αν οι αριθµοί λ 1,, λ n είναι όλες οι ιδιοτιµές του διαγωνοποιήσιµου πίνακα A, τότε να δείξετε οτι οι αριθµοί λ 1,, λ n είναι όλες οι ιδιοτιµές του πίνακα A Ισχύει αυτό το συµπέρασµα αν ο A δεν είναι διαγωνοποιήσιµος ; Ασκηση 130 Εστω k 1 ένας ϕυσικός αριθµός (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E = n Να δείξετε ότι : f k = 0 = f n = 0 () Εστω A M n n (K) Να δείξετε ότι : A k = 0 = A n = 0 Ασκηση 131 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : A = (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ;

35 35 () Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; (3) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικός Ασκηση 13 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα µιγαδικών αριθµών : A = 0 i i i 0 i i i 0 (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; () Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; (3) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικος Οι παρακάτω δύο ασκήσεις είναι αυξηµένης δυσκολίας Ασκηση 133 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E < Να δείξετε ότι η f µπορεί να γραφεί ώς ευθύ άθροισµα κατάλληλων γραµµικών απεικονίσεων : f = g + h όπου V και W είναι κατάλληλοι υπόχωροι του E έτσι ώστε E = V W και : (1) η γραµµική απεικόνιση g : V V είναι ισοµορφισµός () η γραµµική απεικόνιση h : W W είναι µηδενοδύναµη, δηλ h m = 0, για κάποιο m 1 Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε την σκηση 9 του Φυλλαδίου 1 Ασκήσεων πρός Λύση Ασκηση 134 Εστω A M n n (K) ένας τετραγωνικός πίνακας Να δείξετε ότι ο A µπορεί να γραφεί ώς ευθύ άθροισµα πινάκων : A = B + C όπου για κατάλληλα 1 r, s n έτσι ώστε s + r = n: (1) ο B είναι αντιστρέψιµος s s πίνακας () ο C είναι µηδενοδύναµος r r πίνακας, δηλ C m = 0, για κάποιο m 1 Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε την Ασκηση 14 παραπάνω

36 36 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 135 Να δείξετε ότι η απεικόνιση, : R R R η οποία ορίζεται ως εξής : ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R (x 1, x ), (y 1, y ) = x 1 y 1 + x 1 y + x y 1 + 5x y Ασκηση 136 Θεωρούµε τα ακόλουθα διανύσµατα του R 4 : x 1 = (, 3, 1, 0), x = (7, 3, 0, 1), x 3 = ( 1, 0, 1, 0), x 4 = (0, 1, 1, 1) Να ϐρεθεί ένα εσωτερικό γινόµενο, : R 4 R 4 R έτσι ώστε τα { x 1, x, x 3, x 4 } να αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του Ευκλείδειου χώρου (R 4,, ) Ασκηση 137 Εστω ( ) x y A = z w ένας πίνακας πραγµατικών αριθµών Να δείξετε ότι η απεικόνιση, : R R R, (a 1, a ), (b 1, b ) = (a 1 a ) A ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο επί του R αν και µόνον αν ο πίνακας A είναι συµµετρικός και ισχύει : x, w, xw y > 0 ( b1 b ) Ασκηση 138 Εστω x, y R n µε x 0 και y 0 Να δείξετε ότι (1) x = a y όπου a > 0 αν και µόνο αν η γωνία την οποια σχηµατίζουν τα x, y είναι ίση µε 0 () x = a y όπου a < 0 αν και µόνο αν η γωνία την οποια σχηµατίζουν τα x, y είναι ίση µε π Ασκηση 139 Να ϐρεθούν όλα τα διανύσµατα τα οποία είναι κάθετα προς τα : (1) x = ( 1, 1,, 1) R 4 () x = t R 3 [t] Ασκηση 140 Εστω { e 1,, e n } µια ϐάση του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) και x E Να δείξετε ότι x, e i = 0 για κάθε i = 1,,, n αν και µόνο αν x = 0

37 37 Ασκηση 141 Χρησιµοποιώντας ιδιότητες του Ευκλείδειου χώρου R n, ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, να δείξετε ότι αν a 1,, a n είναι ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί τότε n (a a n )( 1 a a n ) Ασκηση 14 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και x, y E Να δείξετε ότι : x, y = 0 x x + λ y, λ R Ασκηση 143 Να εξετασθεί αν οι παρακάτω απεικονίσεις ορίζουν εσωτερικό γινόµενο :, : M n n (R) M n n (R) R, A, B = det(a B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = Tr(A B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = Tr(A + B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = det(a + B) Ασκηση 144 Στον Ευκλείδειο χώρο (R 3,, ), ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, ϑεωρούµε δύο διανύσµατα x και y Αν x y είναι το εξωτερικό γινόµενο των x και y, να δείξετε ότι : x y = x y x, y

38 38 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 145 Εστω B = { } e 1,, e n µια ορθοκανονική ϐάση του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) προκύπτει µε την εφαρµογή της διαδικασίας Gram-Schmidt στο σύνολο B; Τι Ασκηση 146 Στον Ευκλείδειο χώρο R 3, εφοδιασµένον µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, να ϐρείτε µια ορθοκανονική ϐάση του υποχώρου V ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα : x = (1, 1, 0, 1), y = ( 1, 0, 0, ), z = (1, 0,, 1) Ασκηση 147 Να επεκταθεί σε µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 το σύνολο διανυσµάτων { x 1, x }, όπου : x 1 = ( 1 1 ), 0,, x = (0, 1, 0) Ασκηση 148 Θεωρούµε τα ακόλυθα διανύσµατα του R 4 : x = (, 1, 3, 1), y = (7, 4, 3, 3), z = (1, 1, 6, 0), w = (5, 7, 7, 8) Με την διαδικασία Gram-Schmidt, να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου V ο οποίος παράγεται από τα παραπάνω διανύσµατα Ασκηση 149 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο M (R), εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω οι ακόλουθοι πίνακες πραγµατικών αρθµών : ( ) ( ) A = και B = Εστω V ο υπόχωρος του M (R) ο οποίος παράγεται από τους πίνακες A και B (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονονική ϐάση B 1 του V () Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση B του V (3) Να συµπληρωθεί η B 1 σε µια ορθοκανονική ϐάση B του M (R) (4) Να ϐρεθεί η ορθογώνια προβολή του πίνακα ( ) 1 1 X = 1 1 στον υπόχωρο V

39 39 Ασκηση 150 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και { ε 1,, ε m } ένα ορθοκανονικό σύνολο διανυσµάτων του E Εστω y E Αν dim R E = n <, τότε να δείξετε ότι στην ανισότητα ισχύει η ισότητα αν και µόνον αν m = n y, ε y, ε m y Ασκηση 151 ίνεται ο υπόχωρος του R 4 : V = { (x, y, z, w) R 4 x y z = 0, y z w = 0 } (1) Να ϐρεθούν δυο διαφορετικοί υπόχωροι V 1 και V του R 4 διάστασης 3 έτσι ώστε V = V 1 V () Να ϐρεθεί ένα ορθογώνιο συµπλήρωµα του V 1 και ένα ορθογώνιο συµπλήρωµα του V στον R 4, ως προς το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο του R 4 (3) Είναι το u = (0, 0, 1, 1) στοιχείο του V; Αν όχι ϐρείτε την προβολή του u στον V Ασκηση 15 Θεωρούµε τους Ευκλείδειους χώρους R 4 και R 3, εφοδιασµένους µε το συνηθισµένο εσωτε- ϱικό γινόµενο, και έστω η γραµµική απεικόνιση : f : R 4 R 3, f(x, y, z, w) = (x + y, z + w, x + z) (1) Να ϐρεθούν ορθοκανονικές ϐάσεις των υποχώρων Ker(f) και Ker(f) () Να ϐρεθούν οι ορθογώνιες προβολές το διανύσµατος στους υποχώρους Ker(f) και Ker(f) z = (5,, 1, 4) Ασκηση 153 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3, εφοδιασµένον µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω V = { (x, y, z) R 3 x 5y z = 0 } (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 η οποία να περιέχει δύο διανύσµατα του V () Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 η οποία να περιέχει ένα διανύσµα του V Ασκηση 154 Εστω a 1, a,, a n, b 1, b,, b n, και c 1, c,, c n πραγµατικοί αριθµοί Αν c 1, c,, c n > 0, να δείξετε ότι : n c i a i b i n c i a i n c i b i i=1 i=1 i=1 Ασκηση 155 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Να δείξετε την ισότητα του Απολλώνιου : z x + z y = 1 x y + z 1 ( x + y z, x, y E

40 40 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 156 Να ορίσετε µια ισοµετρία από τον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, στον Ευκλείδειο χώρο M (R) ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο A, B = Tr(A tb) Υπάρχει ισοµετρία από τον R 3 στον Ευκλείδειο χώρο M n n (R), για κατάλληλο n; Ασκηση 157 Να δείξετε ότι ο πραγµατικός πίνακας ( ) 1/ 3/ A = 3/ 1/ παριστάνει συµµετρία ως προς άξονα ο οποίος και να ϐρεθεί Ασκηση 158 Να συµπληρωθεί ο ακόλουθος πίνακας A σε έναν 3 3 ορθογώνιο πίνακα A = Ασκηση 159 Στον διανυσµατικό χώρο R ϑεωρούµε την απεικόνιση, : R R R, (x, y), (x, y ) = xx yx xy + 4yy (1) Να δειξετε ότι η παραπάνω( απεικόνιση είναι ένα εσωτερικό γινόµενο στον R () Να ορίσετε ισοµετρία f : R,, ) ( R 1 [t],, ), όπου, συµβολίζει το συνηθισµένο εσωτε- ϱικό γινόµενο του R 1 [t] Ασκηση 160 Εστω B = { e 1, e, e 3, e 4 } µια ορθοκανονική ϐάση του Ευκλειδείου χώρου E Αν f : E E είναι η µοναδική γραµµική απεικόνιση, έτσι ώστε να εξετάσετε αν η f είναι ισοµετρία f( e 1 ) = e, f( e ) = e 3, f( e 3 ) = e 4, f( e 4 ) = e 1 Ασκηση 161 Εστω A = (a ij ) M n n (R) ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει : a ij = 1 4 ή a ij = 1 4 Αν ο A είναι ορθογώνιος, να ϐρεθεί το n

41 41 Ασκηση 16 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και τη γραµµική απεικόνιση ( ) f : R 3 R 3, f(x, y, z) = x, y + z, y + z (1) είξτε ότι η f είναι ισοµετρία και υπολογίστε την γωνία µεταξύ των διανυσµάτων f(3, 7, 1) και f(, 1, 3) () Τι παριστάνει η ισοµετρία f γεωµετρικά ; (εξηγήστε χωρίς απόδειξη) Ασκηση 163 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Μια γραµµική απεικόνιση f : E E καλείται απεικόνιση οµοιότητας αν : υπάρχει λ R \ {0} : f( x) = λ x, x E είξτε ότι µια µη-µηδενική γραµµική απεικόνιση f : E E είναι απεικόνιση οµοιότητας αν και µόνον αν : x y = f( x) f( y), x, y E Τι µορφή έχει ο πίνακας µιας οµοιότητας σε µια ορθοκανονική ϐάση του E; Ασκηση 164 (1) Να εξετασθεί αν το άθροισµα f + g δύο ισοµετριών f, g : E E είναι ισοµετρία () Να εξετασθεί αν το άθροισµα A + B δύο ορθογωνίων πινάκων A, B M n n (R) είναι ορθογώνιος πίνακας

42 4 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 165 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R n, εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω η γραµµική απεικόνιση f : R n R n, f(x 1, x,, x n ) = (0, x 1, x,, x n 1 ) Να προσδιορισθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f : R n R n της f Ασκηση 166 Να προσδιορισθούν οι προσαρτηµένες απεικονίσεις f και g των γραµµικών απεικονίσεων : g : R R, f(x, y) = (x + 3y, x + y) f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x y + z, x + y, z x) Ασκηση 167 Εστω { e 1, e, e 3, e 4 } µια ορθοκανονική ϐάση του Ευκλειδείου χώρου E Αν f : E E είναι µια γραµµική απεικόνιση, έτσι ώστε f( e 1 ) = e, f( e ) = e 3, f( e 3 ) = e 4, f( e 4 ) = e 1 Να προσδιορισθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f της f Ασκηση 168 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι η f είναι ισοµετρία αν και µόνο αν f f = Id E Ασκηση 169 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Να δείξετε ότι για κάθε γραµµική απεικόνιση f : E E, υπάρχουν γραµµικές απεικονίσεις g, h : E E έτσι ώστε : f = g + h, όπου : g = g και h = h Επιπλέον αν g, h : E E είναι γραµµικές απεικονίσεις, έτσι ώστε f = g + h, όπου : (g ) = g και (h ) = h, τότε g = g και h = h Ασκηση 170 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι αν η f ικανοποιεί δύο από τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες : (1) η f είναι αυτοπροσαρτηµένη () η f είναι ισοµετρία (3) f = Id E τότε ικανοποιεί και την τρίτη Τι µορφή έχει η f αν ικανοποιούνται οι παραπάνω ιδιότητες

43 43 Ασκηση 171 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Εστω f, g : E E δύο γραµµικές απεικονίσεις, και λ, µ R Να δείξετε ότι : (1) (f g) = g f () Η f είναι ισοµορφισµός αν και µόνο αν η προσαρτηµένη της f είναι ισοµορφισµός Αν η f είναι ισοµορφισµός, να δείξετε ότι : (f ) 1 = (f 1 ) Ασκηση 17 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Αν f : E E είναι µια γραµµική απεικόνιση, για την οποία ισχύει : f f = f f να δείξετε ότι : f( x) = 0 = f ( x) = 0

44 44 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 173 Θεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών 7/ 1/ 1 A = 1/ 7/ Να ϐρεθεί ορθογώνιος πίνακας P έτσι ώστε : P 1 A P να είναι διαγώνιος Ασκηση 174 Θεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών A = Να ϐρεθεί ορθογώνιος πίνακας P έτσι ώστε : P 1 A P να είναι διαγώνιος Ασκηση 175 Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι ϑετικοί ή µη-αρνητικοί : ( ) ( ) 1 1 1,, Ασκηση 176 Εστω A, B δυο συµµετρικοί n n πίνακες πραγµατικών αριθµών Αν οι πίνακες A, B είναι ϑετικοί, να δείξετε ότι και ο πίνακας κa + λb είναι ϑετικός, για κάθε Ϲεύγος µη-αρνητικών πραγµατικών αριθµών (κ, λ) (0, 0) Ασκηση 177 Εστω A M n n (R) ένας συµµετρικός πίνακας Αν A = A, να δείξετε ότι : (1) Οι ιδιοτιµές του A είναι 0 ή 1 () Η ϐαθµίδα r(a) του A είναι ίση µε το ίχνος Tr(A) του A (3) Πότε ο A είναι ϑετικός ; Ασκηση 178 Εστω A M n n (R) ένας συµµετρικός πίνακας Αν A 3 = A, να δείξετε ότι A = A Ασκηση 179 Εστω A M n n (R) ένας συµµετρικός ορθογώνιος πίνακας Αν A > 0, να δείξετε ότι A = I n