Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί"

Ακακαλλις Πανταζής
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα και οι μεταξύ τους σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με τρεις βασικές γεωμετρικές οντότητες: σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα Τρεις τρόποι για να μελετήσουμε τις οντότητες αυτές:

2 1. Γεωμετρική σκοπιά Σημεία: θέση στον τρισδιάστατο χώρο Βαθμωτά μεγέθη: πραγματικοί αριθμοί (απόσταση μεταξύ σημείων) (Ελεύθερα) διανύσματα: προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα (2, 3, ν διαστάσεων) Διεύθυνση, φορά μέτρο Δεν έχουν συγκεκριμένη θέση στον χώρο

3 1. Γεωμετρική σκοπιά Αρχική προσέγγιση χωρίς σύστημα συντεταγμένων Αργότερα: αντί για την αφηρημένη έννοια του διανύσματος/σημείου εισάγουμε την παράστασή του σε ένα σύστημα συντεταγμένων

4 2. Μαθηματική σκοπιά Σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα: μέλη μαθηματικών συνόλων Αφαιρετική προσέγγιση Χώρος: Σύνολο στοιχείων S μαζί με πράξεις πάνω στα στοιχεία. Βαθμωτά πεδία, διανυσματικοί χώροι, συναφείς χώροι

5 3. Σκοπιά επιστήμης υπολογιστών Ορισμός τύπων και πράξεων

6 Συμβολισμοί Βαθμωτά μεγέθη: α,β,γ Διανύσματα: u,v,w Σημεία: P,Q,R

7 Βαθμωτό πεδίο Ορίζουμε δύο πράξεις: πρόσθεση, πολλαπλασιασμός Δεν είναι απαραίτητο να είναι οι «κλασσικές» πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού α, β, S α+β, αβ S Αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική ιδιότητα

8 Βαθμωτό πεδίο Ουδέτερο στοιχείο πρόσθεσης (0) & πολ/μου (1) Αντίστροφο στοιχείο ως προς την πρόσθεση (-α) και τον πολλαπλασιασμό (α -1 ) Βαθμωτό πεδίο που μας ενδιαφέρει: πραγματικοί αριθμοί με την γνωστή πρόσθεση και πολλαπλασιασμό

9 Ευκλείδειος διανυσματικός χώρος Εκτός από βαθμωτά στοιχεία περιέχει και μια άλλη οντότητα: τα διανύσματα Εμπεριέχει τις έννοιες της απόστασης και του μέτρου Διανυσματικός χώρος V που μας ενδιαφέρει: ελεύθερα γεωμετρικά διανύσματα (προσανατολισμένα ευθ. τμήματα), ν-αδες αριθμών

10 Επιπλέον πράξεις: Διανυσματικός χώρος Πρόσθεση διανυσμάτων : νέο διάνυσμα u,v V, u+v V Αντιμεταθετική, προσεταιριστική ιδιότητα Μηδενικό διάνυσμα (0), αντίστροφο διάνυσμα (-u) Ο κανόνας κεφαλής-ουράς (παραλληλογράμμου) για τα γεωμετρικά διανύσματα

11 Διανυσματικός χώρος Μέτρο διανύσματος v : βαθμωτό μέγεθος Γεωμετρικά διανύσματα: μήκος διανύσματος Γινόμενο διανύσματος με βαθμωτό αv: διάνυσμα Γεωμετρικά διανύσματα: διάνυσμα με ίδια διεύθυνση, ομόρροπο ή αντίρροπο ανάλογα με το πρόσημο του α αv = α v Επιμεριστική ιδιότητα α(u+v)=αu+αv, (α+β)u=αu+ βu Γενίκευση: α 1 u 1 +α 2 u 2 +

12 Διανυσματικός χώρος Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων Αν α 1 u 1 +α 2 u 2 + α n u n =0 μόνο όταν α i =0 τότε α i γρ. ανεξάρτητα. Δεν μπορώ να γράψω ένα διάνυσμα ως γρ. συνδυασμό των υπολοίπων Διάσταση χώρου: μέγιστος αριθμός ανεξάρτητων διανυσμάτων Στο διανυσματικό χώρο 3-D γεωμετρικών διανυσμάτων, διάσταση = 3 4 διανύσματα πάντα γραμμικά εξαρτημένα

13 Διανυσματικός χώρος Σύνολο n γρ. ανεξάρτητων διανυσμάτων u 1, u 2,...u n σε n-διάστατο χώρο: βάση του χώρου Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων βάσης u=α 1 u 1 +α 2 u 2 + α n u n α 1,α 2,...,α n : αναπαράσταση ως προς τη βάση, n-αδα αριθμών

14 Διανυσματικός χώρος Τα διανύσματα βάσης ορίζουν ένα σύστημα συντεταγμένων Ο διανυσματικός χώρος δεν έχει την έννοια της θέσης: δεν μας καλύπτει

15 Συναφής/αφφινικός (affine) χώρος Εισαγωγή της οντότητας σημείο Νέα πράξη: αφαίρεση σημείων v=p-q : διάνυσμα Γεωμετρική ερμηνεία

16 Συναφής (affine) χώρος Πρόσθεση σημείου-διανύσματος P=Q+v : νέο σημείο Ο κανόνας κεφαλής-ουράς σε νέα μορφή v= P-Q, u=q-r, w=p-r (P-Q)+(Q-R)=P-R

17 Ευθείες P(a)=P 0 +αd: γιακάθετιμήτουαένα σημείο πάνω στην ευθεία που έχει διεύθυνση αυτή του d και περνάει από το P 0 Παραμετρική εξίσωση ευθείας από σημείο και διάνυσμα α 1 <α<α 2 : ευθύγραμμο τμήμα α >0, α<0 ημιευθεία Αλλιώς ευθεία

18 Συναφές άθροισμα (affine sum) Δεν ορίζονται: P+Q, αp Συναφή άθροιση: στοιχεία από τις δύο πράξεις P(α)=Q+αv Υπάρχει R ώστε v=r-q P(α)=Q+α(R-Q)=αR+(1-α)Q=α 1 R+α 2 Q α 1 +α 2 =1 Εξίσωση ευθείας από δύο σημεία α=0: P=Q, α=1: P=R 0<α<1: ευθύγραμμο τμήμα QR

19 Συναφές άθροισμα (affine sum)

20 Κυρτό κέλυφος (convex hull) Επέκταση συναφούς άθροισης: P=α 1 P 1 +α 2 P 2 + α n P n α 1 +α 2 + α n =1, α ι >=0 Ο χώρος όλων των P: κυρτό κέλυφος των P i : το μικρότερο κυρτό σχήμα που περικλείει όλα τα P i

21 Επίπεδα Επέκταση της παραμετρικής ευθείας Τρία σημεία P,Q, R ορίζουν ένα επίπεδο S(α)=αP+(1-α)Q, 0<α<1 ευθύγραμμο τμήμα Τ(β)=βS+(1-β)R, 0<β<1 Τ(α,β)=P+β(1-α)(Q-P)+(1-β)(R-P) Παραμετρική εξίσωση επιπέδου που ορίζεται από 3 σημεία Τ(γ,δ)=P+γu+δv Παραμετρική εξίσωση επίπέδου από σημείο και δύο μη παράλληλα διανύσματα

22 Εσωτερικό γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων u v: βαθμωτό μέγεθος u v= v u, (αu+βv) w=αu w+βv w u v= u v cos(θ) u v=0 : ορθογώνια διανύσματα v 2 =v v Απόσταση σημείων P-Q = (P-Q) (P-Q) = v

23 Ορθογώνια προβολή Μήκοςορθογώνιαςπροβολήςτουu στο v u cos(θ)=(u v)/ v Το u σαν άθροισμα ενός παράλληλου κι ενός κάθετου διανύσματος στο v u p = u cos(θ)(v/ v ), u n =u- u p Ορθοκανονική βάση: ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt

24 Εξωτερικό γινόμενο Εξωτερικό γινόμενο uxv : διάνυσμα Ορθογώνιο στα άλλα δύο w= uxv, w u=w v=0 u,v,w: ορίζουν δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων vxu=-uxv uxv = sin θ u v Εύρεση 3 ορθογώνιων διανυσμάτων από 2 μη παράλληλα διανύσματα

25 Εξωτερικό γινόμενο Τ=P+αu+βv Τ-P=αu+βv Κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο: n=uxv n (T-P)=n (αu+βv)=0, Τ: όλατασημείατου επιπέδου Εξίσωση επιπέδου που προσδιορίζεται από ένα σημείο του και το κάθετο διάνυσμά του.

26 Συστήματα συντεταγμένων Από αφηρημένες οντότητες σε αναπαράσταση με πίνακες και ν-άδες αριθμών Κάθε διάνυσμα αναπαρίσταται μοναδικά σαν γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων βάσης: w=α 1 v 1 +α 2 v 2 +α 3 v 3 α 1,α 2,α 3 : συντεταγμένες του w ως προς τη βάση a a 1 = a 2 a 3 w = a T v v v 1 2 3

27 Συστήματα συντεταγμένων

28 Πλαίσια συντεταγμένων Σε ένα σύστημα συντεταγμένων δεν μπορούμε να καθορίσουμε σημεία Μια βάση διανυσμάτων u 1,...u n και ένα σημείο P 0 (αρχή αξόνων) ορίζουν ένα πλαίσιο Με τη χρήση του πλαισίου μπορούμε να ορίσουμε μοναδικά κάθε διάνυσμα και σημείο w=α 1 v 1 +α 2 v 2 +α 3 v 3 P=P 0 + β 1 v 1 +β 2 v 2 +β 3 v 3

29 Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων [v 1,v 2,v 3 ], [u 1,u 2,u 3 ]: δύο βάσεις u 1 =γ 11 v 1 +γ 12 v 2 +γ 13 v 3 u 2 =γ 21 v 1 +γ 22 v 2 +γ 23 v 3 u 3 =γ 31 v 1 +γ 32 v 2 +γ 33 v 3

30 Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων M γ γ γ = γ γ γ γ γ γ u1 v1 u = M v 2 2 u 3 v 3 v1 u1 1 v 2 u = M 2 v u 3 3

31 Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων Αναπαράσταση w ως προς μία βάση w=α 1 v 1 +α 2 v 2 +α 3 v 3 Αναπαράσταση w ως προς άλλη βάση w=β 1 u 1 +β 2 u 2 +β 3 u T v w v v = a T u w u u = b a a a = a

32 Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων a=m T b b=(m T ) -1 a Από συντεταγμένες διανύσματος στη βάση των u σε συντεταγμένες ως προς τη βάση των v M : αναπαράσταση της βάσης των u ως προς τη βάση των v Αντί για αφηρημένη αναπαράσταση w δουλεύουμε με τριάδες αριθμών (συνιστώσες) a Η αλλαγή γίνεται με πολ/μο πινάκων

33 Ομογενείς συντεταγμένες Συνήθως ένα σημείο P σε ένα πλαίσιο το αναπαριστούμε σαν p=[x,y,z] T P=P 0 + xv 1 +yv 2 +zv 3 Το ίδιο κι ένα διάνυσμα w=[α 1, α 2, α 3 ] T w=α 1 v 1 +α 2 v 2 +α 3 v 3 Πρόβλημα! Θέλουμε να ξεχωρίζουμε διανύσματα από σημεία.

34 Ομογενείς συντεταγμένες Ο πολλαπλασιασμός με πίνακα αν χρησιμοποιήσω τις «κλασσικές» συντεταγμένες δεν μπορεί να περιγράψει αλλαγή πλαισίου όπου το ένα πλαίσιο είναι μετατοπισμένο ως προς το άλλο. Ομογενείς συντεταγμένες: 4-διάστατο διάνυσμα συντεταγμένων

35 Ομογενείς συντεταγμένες Διάνυσμα: w=xv 1 +yv 2 +zv 3 Ορίζω:0 P 0 =0 (μηδενικό διάνυσμα) w=[x, y, z, 0] [v 1,v 2,v 3, P 0 ] T =w T [v 1,v 2,v 3, P 0 ] T x Ομογενείς συντεταγμένες y διανύσματος w = z 0

36 Ομογενείς συντεταγμένες Σημείο P=P 0 + xv 1 +yv 2 +zv 3 Ορίζω:1 P 0 = P 0 P=[x, y, z, 1] [v 1,v 2,v 3, P 0 ] T =p T [v 1,v 2,v 3, P 0 ] T x Ομογενείς συντεταγμένες y σημείου p = z 1

37 Εσωτερικό & εξωτερικό γινόμενο Δύο διανύσματα w,u με συντεταγμένες [α 1, α 2, α 3, 0] T, [β 1, β 2, β 3, 0] T Εσωτερικό γινόμενο w u : w u= α 1 β 1 + α 2 β 2 + α 3 β 3 Εξωτερικό γινόμενο wxu : wxu=[α 2 β 3 - α 3 β 2, α 3 β 1 - α 1 β 3, α 1 β 2 - α 2 β 1,0] T

38 Αλλαγή πλαισίου Πως θα εκφράσω το [u 1,u 2,u 3, Q 0 ] στο [v 1,v 2,v 3, P 0 ]? u 1 =γ 11 v 1 +γ 12 v 2 +γ 13 v 3 u 2 =γ 21 v 1 +γ 22 v 2 +γ 23 v 3 u 3 =γ 31 v 1 +γ 32 v 2 +γ 33 v 3 Q 0 =γ 41 v 1 +γ 42 v 2 +γ 43 v 3 +P 0

39 u1 v1 u 2 v 2 = M u 3 v 3 Q P 0 0 Αλλαγή πλαισίου M γ γ γ γ γ γ = γ31 γ32 γ33 0 γ γ γ Περιλαμβάνει και μετατόπιση πλαισίων 0 0 1

40 Οι γραμμές του Μ είναι οι ομογενείς συντεταγμένες των διανυσμάτων βάσης και τουσημείουαναφοράςτουενόςπλαισίου [u 1,u 2,u 3, Q 0 ] ως προς το άλλο [v 1,v 2,v 3, P 0 ]

41 Αλλαγή πλαισίου Εύρεση συντεταγμένων σημείου ή διανύσματος σε 2 πλαίσια b: συντεταγμένες στο [u 1,u 2,u 3, Q 0 ] a : συντεταγμένες στο [v 1,v 2,v 3, P 0 ] a= Μ Τ b Μ: 12 βαθμούς ελευθερίας Όλοι οι συναφείς μετασχηματισμοί σαν πολ/μος πινάκων στις ομογενείς συντεταγμένες

42 Γιατί όλα αυτά? Κάμερα & αντικείμενα: ανεξάρτητες οντότητες. Τελικός σκοπός: κατασκευή & τοποθέτηση αντικειμένων ώστε να αποτυπωθούν από την κάμερα όπως θέλω. Πλαίσιο συντεταγμένων κόσμου / κάμερας Αρχική θέση κάμερας: αρχή συντεταγμένων, «βλέπει» στα αρνητικά του z και το «πάνω» είναι ο y

43 Γιατί όλα αυτά? Δύο τρόποι για τοποθέτηση/κίνηση αντικειμένων: 1.α Τοποθέτηση ακριβώς εκεί που θέλω ως προς την κάμερα. 1.β Κίνηση με υπολογισμό των συντεταγμένων με κάποιο δικό μου τρόπο

44 Γιατί όλα αυτά? 2.αΑρχική τοποθέτηση γύρω η κοντά στην αρχή των συντεταγμένων και μετακίνηση τους εκεί που θέλω. 2.βΑρχική τοποθέτηση σε κάποιο σημείο και κίνηση με εφαρμογή περιστροφών, μετακινήσεων... Ο 2ος τρόπος πιο εύκολος!

45 Γιατί όλα αυτά? Δύοσκοπιέςγιαναδούμεαυτούςτους χειρισμούς: Ένα πλαίσιο συντεταγμένων (κοσμικό, η κάμερα ακίνητη στην αρχή) και αλλαγές των συντεταγμένων των αντικειμένων στο σύστημα αυτό (μετασχηματισμοί) Δύο πλαίσια συντεταγμένων: κόσμου και κάμερας (αλλαγή πλαισίου)

46 Γιατί όλα αυτά? Τοποθετώ τα αντικείμενα στο κοσμικό πλαίσιο. Κατασκευάζω τον πίνακα μετασχηματισμού πλαισίου Μ που δηλώνει ποια είναι έκφραση του κοσμικού συστήματος στο σύστημα της κάμερας (σχετική θέση των δύο συστημάτων) Model-view matrix Μ Τ : θέση του σημείου που έχω ορίσει στο κοσμικό σύστημα στο σύστημα της κάμερας

47 Παράδειγμα Ζωγραφίζω τα αντικείμενα γύρω από την αρχή. Ορίζω ότι το κοσμικό σύστημα είναι σε απόσταση d απότοκέντροκαιπροςτα αρνητικά του ζ: ηκάμεραβλέπειτο αντικείμενο

48 Παράδειγμα

49 Παράδειγμα x=x c y=y c, z=z c, P=P c -dz c M = d 1 M = d [x,y,z,1] Τ (κόσμου) σε [x,y,z-d,1] Τ (κάμερας) T

Σχετικά έγγραφα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε