Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου Ενότητα # 3: Θεωρία Χαρτοφυλακίου Διδάσκων: Σπύρος Σπύρου Τμήμα: Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. 3
Σκοποί ενότητας Κατανόηση της απόδοσης και του κινδύνου ενός χαρτοφυλακίου Εξοικίωση με την καμπύλη ελάχιστου κινδύνου Κατανόηση της θεωρίας χαρτοφυλακίου (Portfolio Theory) Markowitz Κατανόηση των αποδοτικών χαρτοφυλακίων 4
Περιεχόμενα ενότητας Tι είναι η απόδοση και ο κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου Διαφοροποίηση κινδύνου Αποδοτικά Χαρτοφυλάκια Καμπύλη ελάχιστου κινδύνου Θεωρία χαρτοφυλακίου (Portfolio Theory) Markowitz 5
Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα: Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου Ενότητα # 3: Θεωρία Χαρτοφυλακίου Διδάσκων: Σπύρος Σπύρου, Τμήμα: Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Η βασική έννοια: Απόδοση P 0 =η τιμή αγοράς μίας μετοχής την περίοδο 0, P 1 = η τιμή πώλησης της μετοχής την περίοδο 1, D είναι το μέρισμα που εισπράξαμε Η συνολική απόδοση (r) της επένδυσης: - r = [ P 1 P 0 + D P 0 7
Παράδειγμα 1 Μία μετοχή αγοράστηκε την 1-1-2002 στα 100 Ευρώ, πωλήθηκε την 1-1-2003 στα 120 Ευρώ και εν τω μεταξύ έδωσε μέρισμα 5 Ευρώ ανά μετοχή άρα: r = [ 120 100 + 5] 100 = 0,25 ή 25% 8
Παράδειγμα 2 (1 από 4) Εταιρεία Χ συμμετέχει σε 3 διαγωνισμούς - P 0 = 100Ε, D = 2Ε Σενάριο 1: κερδίζει τους 3 διαγωνισμούς - P 1 = 130Ε, D=15Ε Σενάριο 2: κερδίζει τους 2 διαγωνισμούς - P 1 = 120Ε, D=10Ε Σενάριο 3: κερδίζει 1 διαγωνισμό - P 1 = 110Ε, D=5Ε 9
Παράδειγμα 2 (2 από 4) Αναμενόμενη απόδοση επένδυσης; Απόδοση Σεναρίου 1: [(130-100) + 15] / 100 = 0,45 ή 45% Απόδοση Σεναρίου 2: [(120-100) + 10] / 100 = 0,30 ή 30% Απόδοση Σεναρίου 3:[(110-100) + 5] / 100 = 0,15 ή 15% 10
Παράδειγμα 2 (3 από 4) 11
Παράδειγμα 2 (4 από 4) Ποια είναι η αναμενόμενη απόδοση; E(r) = (0,45 x 0,25) + (0,30 x 0,45) + (0,15 x 0,30) = 0,2925 ή 29,25% Η αναμενόμενη απόδοση επένδυσης ισούται με το άθροισμα όλων των επιμέρους αποδόσεων σταθμισμένων με την πιθανότητα πραγματοποίησης τους. 12
Παράδειγμα 2 Αλγεβρικά (1 από 2) Αλγεβρικά, η αναμενόμενη απόδοση, Ε(r), ισούται με το άθροισμα όλων των επιμέρους αποδόσεων (r i ) σταθμισμένων με την πιθανότητά πραγματοποίησης τους (Π i ): - E r = μ i=1 π i r i 13
Παράδειγμα 2 Αλγεβρικά (2 από 2) Εάν κάθε σενάριο είχε ίδια πιθανότητα: - E r = (1 μ) μ i=1 Π.χ. Εάν κάθε σενάριο είχε την ίδια πιθανότητα να πραγματοποιηθεί (33%) η απόδοση θα ήταν: - (1/3) (0,45 + 0,30 + 0,15) = 0,3 ή 30% r i 14
Είναι όμως αυτό αρκετό; Εάν μας έλεγαν ότι το μέσο βάθος ενός ποταμού είναι 80 εκατοστά, σημαίνει αυτό ότι μπορούμε να κολυμπήσουμε άφοβα σε κάθε σημείο του ποταμού; Φυσικά και όχι Το 80 εκατοστά είναι το μέσο βάθος. Μπορεί σε κάποια σημεία το βάθος να είναι 6 μέτρα και σε κάποια άλλα 10 εκατοστά. 15
Το ίδιο ισχύει και για μία μετοχή: Εάν η αναμενόμενη απόδοση είναι 2% τον μήνα, αυτό δεν σημαίνει ότι θα έχουμε κάθε μήνα απόδοση 2% Εναν μήνα θα έχουμε 3%, έναν 0,5%, κ.λ.π. Αυτή είναι και η έννοια του κινδύνου μίας μετοχής: η αβεβαιότητα 16
Τι είναι η αβεβαιότητα; Είναι ουσιαστικά η πιθανότητα του να διαφέρουν οι πραγματικές αποδόσεις από τις αναμενόμενες ή προσδοκώμενες αποδόσεις. Η πιθανότητα αυτή υπολογίζεται στατιστικά ως το ποσοστό της διακύμανσης των αποδόσεων γύρω από μία αναμενόμενη (μέση) απόδοση. 17
Παράδειγμα 3 Έστω ότι έχουμε 3 σενάρια με την ίδια πιθανότητα πραγματοποίησης (33%) 2 μετοχές (Α και Β) 18
Παράδειγμα 3 - Αποδόσεις μετοχών; Η μέση απόδοση της Α είναι: - (1/3) (0,16 + 0,10 + 0,04) = 0,1 ή 10% Η μέση απόδοση της Β είναι: - (1/3) (0,01 + 0,10 + 0,19) = 0,1 ή 10% - Ποια μετοχή λοιπόν θα διαλέξουμε; 19
Παράδειγμα 3 - Η Διακύμανση Οι αποδόσεις της Β θα κυμανθούν από 1% έως 19%, ενώ της Α θα κυμανθούν από 4% έως 16% Η Β μπορεί να δώσει την υψηλότερη απόδοση αλλά ταυτόχρονα έχει την ίδια πιθανότητα να δώσει και την χαμηλότερη απόδοση Μπορούμε να πούμε ότι η μετοχή Β έχει μεγαλύτερη διακύμανση από την μετοχή Α 20
Διακύμανση ( 2, variance): σ 2 μ = i=1 π i [r i E r ] 2 21
σ 2 = ( Ιδία πιθανότητα 1 μ) μ i=1 [r i E r ] 2 22
Στο παράδειγμα 3: Η διακύμανση της Α είναι: - (1/3) [(0,16-0,10) 2 + (0,10-0,10) 2 + (0,04-0,10) 2 ] = 24 Η διακύμανση της Β είναι: - (1/3) [(0,01-0,10) 2 + (0,10-0,10) 2 + (0,19-0,10) 2 ] = 54 Αρα η Β έχει μεγαλύτερο κίνδυνο για την ίδια απόδοση με την Α 23
Τυπική απόκλιση Η τυπική απόκλιση (σ) ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι για να συγκρίνουμε διαφορετικές επενδύσεις χρειαζόμαστε μία μέτρηση όχι μόνον της αναμενόμενης (μέσης) απόδοσης αλλά και μία μέτρηση της αβεβαιότητος (κινδύνου) 24
Παράδειγμα 4 - μετοχές ΧΑΑ (1 από 3) Ας πάρουμε τις τιμές των μετοχών: Εθνικής Τράπεζας (ΕΤΕ) ΑΤΤΙ-ΚΑΤ (ΑΤΙΚ) Επενδύσεων Εργασίας (ΕΠΕΡ) Επιχειρήσεων Αττικής (ΕΠΑΤ) Μηνιαίες τιμές κλεισίματος 1997-1998 25
Παράδειγμα 4 - μετοχές ΧΑΑ (2 από 3) 26
Παράδειγμα 4 - μετοχές ΧΑΑ (3 από 3) Π.χ. απόδοση ΕΤΕ για Αύγουστο: - (P Αυγούστου - P Ιουλίου ) / (P Ιουλίου ) = (10200-13963) / (13963) = -0,2694 Η απόδοση του Σεπτεμβρίου: - (P Σεπτεμβρίου - P Αυγούστου ) / (P Αυγούστου )= (8500-10200) / (10200) = -0,1666 27
Παράδειγμα 4 - μετοχές ΧΑΑ - Οι Αποδόσεις 28
Παράδειγμα 4 - μετοχές ΧΑΑ Αναμενόμενη (Μέση) Απόδοση Ε(r ΕΠΑΤ ) = [ (-0,14228) + (-0,1028) + (0,072917) + (0,140777) + (0,068085) + (-0,03187) + (0,084362) + (-0,05313) + (0,04008) + (0,190751) + (0,165049) + ( 0,037501) ] 12 = 0,0391 ή 3,91% 29
Παράδειγμα 4 - μετοχές ΧΑΑ - Η Διακύμανση σ 2 ΕΠΑΤ = { [(-0,1422) - 0,0391] 2 + [(-0,1028) - 0,0391] 2 + [(0,0729) - 0,0391] 2 + [(0,1407) - 0,0391] 2 + [(0,0680) - 0,0391] 2 + [(-0,0317) - 0,0391] 2 + [(0,0843) - 0,0391] 2 + [(-0,0531) - 0,0391] 2 + [(0,0400) - 0,0391] 2 + [(0,1907) - 0,0391] 2 + [(0,1650) - 0,0391] 2 + [(0,0375) - 0,0391] 2 } : 12 = 0,0108 30
Παράδειγμα 4 - μετοχές ΧΑΑ - Η Τυπική Απόκλιση Η τυπική απόκλιση απλά είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης: σ ΕΠΑΤ = 0,0108 = 0,1039 31
Παράδειγμα 4 - μετοχές ΧΑΑ Απόδοση & Κίνδυνος 32
Απόδοση και Κίνδυνος Χαρτοφυλακίου Οι επενδυτής θα έχει περισσότερες από μία μετοχές, δηλαδή ένα χαρτοφυλάκιο μετοχών Η αναμενόμενη απόδοση ενός χαρτοφυλακίου μετοχών είναι ένας σταθμισμένος μέσος όρος των αποδόσεων των μετοχών που συμπεριλαμβάνονται Η στάθμιση είναι ανάλογη του ποσοστού του κεφαλαίου που έχουμε επενδύσει στην μετοχή 33
Παράδειγμα 5 - Απόδοση και Κίνδυνος Έστω ότι έχουμε επενδύσει 25% του κεφαλαίου στην ΕΤΕ και 75% του κεφαλαίου μας στην ΑΤΤΙΚ: E(r χ ) = (0,25) Ε(r ΕΤΕ ) + (0,75) Ε(r ΑΤΤΙΚ ) = (0,25)(0,0514) + (0,75) (0,1936) = 0,15805 ή 15,8% Εάν είχαμε επενδύσει 30% του κεφαλαίου μας στην ΕΤΕ και 70% του κεφαλαίου μας στην ΑΤΤΙΚ: Ε(r χ ) = (0,3) Ε(r ΕΤΕ ) + (0,7) Ε(r ΑΤΤΙΚ ) = (0,3) (0,0514) + (0,7) (0,1936) = 0,15094 ή 15%. 34
Αλγεβρικά η απόδοση του Χαρτοφυλακίου E r i = μ ι=1 w i r i 35
Ο κίνδυνος του Χαρτοφυλακίου (1 από 2) Ο κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου υπολογίζεται με μία λίγο πιο περίπλοκη σχέση Γιατί; Οι μετοχές σε ένα χαρτοφυλάκιο έχουν κάποια συνδιακύμανση ή συσχέτιση Η συσχέτιση μετρά τον βαθμό στον οποίο οι αποδόσεις κάποιων μετοχών κινούνται μαζί 36
Ο κίνδυνος του Χαρτοφυλακίου (2 από 2) Π.χ. Εάν κάθε φορά που η μετοχή Χ ανεβαίνει κατά 1% η μετοχή Ψ ανεβαίνει κατά 1,8%, τότε λέμε ότι οι μετοχές αυτές έχουν θετική συσχέτιση Εάν κάθε φορά που η μετοχή Χ ανεβαίνει κατά 1% η μετοχή Ω πέφτει κατά 1,5%, τότε λέμε ότι οι μετοχές αυτές έχουν αρνητική συσχέτιση 37
Κίνδυνος - Αβεβαιότητα Μία μετοχή: ο κίνδυνος προέρχεται από την αβεβαιότητα σχετικά με τις διακυμάνσεις των αποδόσεων της μετοχής Χαρτοφυλάκιο μετοχών: από δύο πηγές - από την αβεβαιότητα σχετικά με τις διακυμάνσεις των αποδόσεων της κάθε μετοχής - από την αβεβαιότητα σχετικά με τις συνδιακυμάνσεις (ή συσχετίσεις) των αποδόσεων όλων των μετοχών που έχουμε στο χαρτοφυλάκιο 38
Δηλαδή; η τιμή μίας μετοχής θα μεταβληθεί από παράγοντες που επηρεάζουν μόνον την συγκεκριμένη εταιρεία αλλά και από παράγοντες που επηρεάζουν όλες τις εταιρείες Άρα, όταν υπολογίζουμε το ρίσκο ενός χαρτοφυλακίου πρέπει να υπολογίζουμε τον κίνδυνο και από τους δύο παράγοντες 39
Ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου υπολογίζεται από εξίσωση με 2 μέρη Π.χ. ΕΤΕ, ΑΤΤΙΚ, το πρώτο μέρος θα είναι: - w 2 ΕΤΕ σ 2 ΕΤΕ + w 2 ΑΤΤΙΚ σ 2 ΑΤΤΙΚ Το δεύτερο θα περιλαμβάνει όλα τα ζευγάρια με τις συνδιακυμάνσεις και θα είναι: - w ΕΤΕ w ΑΤΤΙΚ σ ΕΤΕ,ΑΤΤΙΚ + w ΕΤΕ w ΑΤΤΙΚ σ ΑΤΤΙΚ, ΕΤΕ = 2 w ΕΤΕ w ΑΤΤΙΚ σ ΕΤΕ, ΑΤΤΙΚ 40
Συνολικά ο κίνδυνος θα είναι: σ 2 Χ = w 2 ΕΤΕ σ 2 ΕΤΕ + w 2 ΑΤΤΙΚ σ 2 ΑΤΤΙΚ + 2 w ΕΤΕ w ΑΤΤΙΚ σ ΕΤΕ, ΑΤΤΙΚ Π.χ. εάν σ ΕΤΕ,ΑΤΤΙΚ = 0,024583, και επενδύσαμε 25% στην ΕΤΕ και 75% στην ΑΤΤΙΚ: - σ 2 Χ= (0,25) 2 (0,0253) + (0,75) 2 (0,1755) + 2 (0,25) (0,75) (0,024583) = 0,109528 41
Κίνδυνος χαρτοφυλακίου για πολλές μετοχές: σ 2 ν χ = i=1 w 2 i σ 2 ν ν i + i=1 i=1 w i w j σ i,j 42
Π.χ. Για 3 μετοχές σ 2 Χ = w 2 ΕΤΕ σ 2 ΕΤΕ + w 2 ΑΤΤΙΚ σ 2 ΑΤΤΙΚ + w 2 ΕΠΕΡΑ σ 2 ΕΠΕΡΑ + 2 w ΕΤΕ w ΑΤΤΙΚ σ ΕΤΕ, ΑΤΤΙΚ + 2 w ΕΤΕ w ΕΠΕΡΑ σ ΕΤΕ, ΕΠΕΡΑ + 2 w ΕΠΕΡΑ w ΑΤΤΙΚ σ ΕΠΕΡΑ, ΑΤΤΙΚ 43
Η συσχέτιση (ρ ij = σ ij /σ i σ j ) σ 2 ν χ = i=1 w 2 i σ 2 ν ν i + i=1 i=1 w i w j σ i σ j ρ i,j 44
Διαφοροποίηση Κινδύνου (1 από 2) Από την εξίσωση του κινδύνου καταλήγουμε σε μία βασική αρχή που διέπει ένα χαρτοφυλάκιο Το δεύτερο μέρος είναι πολύ πιο σημαντικό Οσο περισσότερες μετοχές στο χαρτοφυλάκιο η σημασία του κινδύνου κάθε μετοχής μειώνεται, ενώ αυξάνεται η σημασία των συνδιακυμάνσεων 45
Διαφοροποίηση Κινδύνου (2 από 2) Π.χ. Ο πρώτος όρος είναι: ν i=1 w 2 i σ 2 i Για (ν) μετοχές και επένδυση (1/ν) σε κάθε μία: ν i=1 ( 1 v )2 σ 2 i 46
Ή εναλλακτικά: ν i=1 (1/ν) (σ 2 /ν) i Δηλαδή όταν ν, ο πρώτος όρος 0 47
Συστηματικός Κίνδυνος Ο κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου μπορεί να μειωθεί μέχρι ένα επίπεδο Το επίπεδο αυτό είναι ο κίνδυνος όλης της αγοράς, ή όπως συνήθως λέγεται, ο συστηματικός κίνδυνος όπου Συνολικός κίνδυνος = Συστηματικός κίνδυνος + Μησυστηματικός κίνδυνος 48
Μη-συστηματικός κίνδυνος (1 από 2) Τον μη-συστηματικό κίνδυνο μπορεί ένας επενδυτής να τον διαφοροποιήσει Για τον συστηματικό κίνδυνο όμως δεν μπορεί να κάνει τίποτε, τον αντιμετωπίζουν όλοι οι επενδυτές Ο επενδυτής δεν πρέπει να περιμένει να ανταμειφθεί για κίνδυνο τον οποίο μπορεί να διαφοροποιήσει. 49
Μη-συστηματικός κίνδυνος (2 από 2) Ο μη-συστηματικός κίνδυνος προέρχεται από διάφορα τυχαία γεγονότα τα οποία είναι μοναδικά για κάθε εταιρεία Η επίδραση τους είναι οριακή (τα θετικά αντισταθμίζονται από αρνητικά) Ο συστηματικός κίνδυνος προέρχεται από γεγονότα που επηρεάζουν συστηματικά όλες τις μετοχές και δεν μπορούν να εξαλειφθούν 50
Παράδειγμα 6 (1 από 2) 51
Παράδειγμα 6 - Διαγραμματικά 52
Παράδειγμα 6 (2 από 2) Εάν ήσασταν ένας ορθολογικά σκεπτόμενος επενδυτής θα επιλέγατε ποτέ το χαρτοφυλάκιο Χ1; Όχι, γιατί Χ6 που με τον ίδιο περίπου κίνδυνο έχει την διπλάσια αναμενόμενη απόδοση Επίσης δεν θα επιλέγατε το Χ7 γιατί το Χ6 έχει περίπου την ίδια απόδοση με μικρότερο κίνδυνο Το ίδιο για Χ3: Χ6 έχει όχι μόνον μεγαλύτερη απόδοση αλλά και μικρότερο κίνδυνο 53
Ο ορθολογικός επενδυτής: αφού υπολογίσει όλα τα διαθέσιμα χαρτοφυλάκια, θα προσπαθήσει να επιλέξει τα πιο αποδοτικά Δηλαδή αυτά που έχουν την υψηλότερη αναμενόμενη απόδοση για δεδομένα επίπεδα κινδύνου ή τον μικρότερο κίνδυνο για δεδομένα επίπεδα απόδοσης 54
Αποδοτικά Χαρτοφυλάκια Αφού ο επενδυτής υπολογίσει όλους τους συνδυασμούς όλων των δυνατών διαθέσιμων χαρτοφυλακίων στην αγορά, πρέπει να αποφασίσει ποιο από όλα θα διαλέξει Την περιοχή αυτή την ονομάζουμε περιοχή των διαθέσιμων αξιογράφων (attainable set) 55
Η Καμπύλη Ελάχιστου Κινδύνου Ο ορθολογικός επενδυτής θα προτιμήσει χαρτοφυλάκια που βρίσκονται στα όρια ή στα σύνορα της περιοχής των διαθέσιμων αξιογράφων Τα χαρτοφυλάκια αυτά είναι τα πιο αποδοτικά και μπορούμε να τα αναπαραστήσουμε με την καμπύλη ΒΕ στην οποία θα βρίσκονται τα χαρτοφυλάκια που κυριαρχούν πάνω σε όλα τα υπόλοιπα χαρτοφυλάκια 56
Το Αποδοτικό Σύνορο Ακόμα και μέσα στην καμπύλη υπάρχουν χαρτοφυλάκια που είναι καλύτερα από άλλα Το πάνω μέρος είναι το διάστημα με τα πραγματικά αποδοτικά χαρτοφυλάκια (efficient portfolios) Αποδοτικό διάστημα ή αποδοτικό σύνορο (efficient set, efficient frontier) 57
Επιλογή; Κάθε ορθολογικός (rational) επενδυτής, που έχει στόχο την μεγιστοποίηση της συνολικής ωφέλειας, θα πρέπει να έχει ένα χαρτοφυλάκιο που βρίσκεται κάπου στο διάστημα CΕ Το ακριβές σημείο για κάθε επενδυτή καθορίζεται χρησιμοποιώντας καμπύλες αδιαφορίας (indifference curves) 58
Θεωρία Χαρτοφυλακίου (Portfolio Theory) Markowitz Εάν μπορούμε να μετρήσουμε αναμενόμενες αποδόσεις, τυπικές αποκλίσεις, και συσχετίσεις Το πρόβλημα της επιλογής του χαρτοφυλακίου είναι πρόβλημα ελαχιστοποίησης της τυπικής απόκλισης με περιορισμό ένα δεδομένο επίπεδο αναμενόμενης απόδοσης ή πρόβλημα μεγιστοποίησης της αναμενόμενης απόδοσης με περιορισμό ένα δεδομένο επίπεδο κινδύνου 59
Αποδοτικό Χαρτοφυλάκιο Αυτό που έχει: τον μικρότερο κίνδυνο για ένα δεδομένο επίπεδο αναμενόμενης απόδοσης ή εναλλακτικά την μεγαλύτερη δυνατή αναμενόμενη απόδοση για ένα δεδομένο επίπεδο κινδύνου 60
Πως τα εντοπίζουμε; (1 από 2) ορίζουμε μία χαμηλή απόδοση έστω 3% Βρίσκουμε όλα τα διαθέσιμα χαρτοφυλάκια που έχουν αυτήν την απόδοση και επιλέγουμε αυτό με τον μικρότερο κίνδυνο 61
Πως τα εντοπίζουμε; (2 από 2) συνεχίζουμε ορίζοντας ένα νέο επίπεδο έστω 3,1%, και βρίσκουμε όλα τα διαθέσιμα χαρτοφυλάκια που έχουν αυτήν την απόδοση και επιλέγουμε αυτό με τον μικρότερο κίνδυνο Συνεχίζουμε αυτήν την διαδικασία έως ότου για όλα τα δυνατά επίπεδα απόδοσης έχουμε εντοπίσει από ένα διαθέσιμο χαρτοφυλάκιο με τον μικρότερο κίνδυνο (αποδοτικό σύνορο) 62
Εναλλακτικά Ορίζουμε ένα χαμηλό επίπεδο κινδύνου και εντοπίζουμε όλα τα διαθέσιμα χαρτοφυλάκια που έχουν αυτό το επίπεδο κινδύνου και επιλέγουμε αυτό με την μεγαλύτερη απόδοση, κ.λ.π. Συνεχίζουμε την διαδικασία όπως πριν αλλά αυτήν την φορά εντοπίζουμε από ένα διαθέσιμο χαρτοφυλάκιο με την μέγιστη δυνατή απόδοση για κάθε επίπεδο κινδύνου 63
Οι 4 Υποθέσεις του Markowitz Οι επενδυτές επιζητούν την απόδοση και αποφεύγουν τον κίνδυνο Οι επενδυτές σκέφτονται και αντιδρούν ορθολογικά όταν παίρνουν αποφάσεις Οι επενδυτές παίρνουν τις αποφάσεις τους προσπαθώντας να μεγιστοποιήσουν την προσδοκώμενη χρησιμότητα (utility) Οι αποδόσεις ακολουθούν κανονική κατανομή 64
Μόνο-Παραγοντικό Υπόδείγμα (Single Index Model) Πρόβλημα: πολυπλοκότητα Π.χ. για ν μετοχές πρέπει να υπολογίσουμε [ν(ν-1)]/2] συνδιακυμάνσεις Π.χ., για 200 μετοχές πρέπει να υπολογίσουμε 19,900 συνδιακυμάνσεις 65
Λύση: Κοινός Παράγοντας Ο Markowitz παρατήρησε ότι όταν όλη η αγορά κινείται προς κάποια κατεύθυνση σχεδόν όλες οι μετοχές αντιδρούν με κάποιο τρόπο Μήπως λοιπόν οι μετοχές κινούνται μαζί όχι λόγω μίας σχέσης που τις ενώνει (συνδιακύμανση) αλλά λόγω της αντίδρασης τους σε έναν κοινό, για όλες τις μετοχές, παράγοντα; 66
Μόνο-Παραγοντικό Υπόδείγμα (Single Index Model) Συνδέει τις αποδόσεις κάθε μετοχής (r i ) με τις αποδόσεις ενός κοινού παράγοντα (r M ): - E(r i ) = a i + β i E(r M ) 67
Ο Παράγοντας Μ Ο παράγοντας M είναι ένας παράγοντας που επηρεάζει όλες τις μετοχές Μπορεί να είναι η συνολική αγορά (άρα r Μ είναι οι μεταβολές στο αγοραίο χαρτοφυλάκιο) 68
Ο Συντελεστής β Ο συντελεστής β i μετρά την ευαισθησία κάθε μετοχής στις μεταβολές της αγοράς Υπολογίζεται ως: - β i = σ i,m /σ 2 Μ 69
Ο Συντελεστής α Ο συντελεστής α (η απόδοση που είναι ανεξάρτητη από τις μεταβολές στο αγοραίο χαρτοφυλάκιο) υπολογίζεται ως: - a i = E(r i) β i E(r M ) 70
Παράδειγμα 7 (1 από 2) Μετοχή έχει σ i,m = 0,035, σ 2 Μ = 0,020 Άρα β i = (0,035/0,020) = 1,75 Εάν E(r i )= 9%, E(r M )= 12%, Τότε a i = 0,09-1,75 (0,12) = 0,3 Άρα η απόδοση της μετοχής i δίνεται από: - r i = 0,3 + 1,75 r Μ 71
Παράδειγμα 7 (2 από 2) Με βάση το υπόδειγμα αυτό, η απόδοση μίας μετοχής μπορεί να υπολογισθεί από μία παλινδρόμηση της μορφής: - r i = a i + β i r M + e i όπου e i είναι τα τυχαία κατάλοιπα της εξίσωσης, με αναμενόμενη μέση τιμή ίση με το μηδέν 72
Παράδειγμα 7 - ο κίνδυνος είναι: σ 2 i = β 2 i σ 2 Μ + σ 2 e ενώ η συνδιακύμανση δύο μετοχών i, j μπορεί να δειχθεί ότι είναι: - σ i, = β 2 i β 2 jσ 2 Μ 73
Ξέρουμε ότι: E r p = μ i=1 w i E(r i ) Αντικαθιστώντας την επόμενη στην ανωτέρω: - Ε(r i ) = α i + β i E(r Μ ) 74
Έχουμε την απόδοση ως: E r p v = i=1 ν w i a i + i=1 w i β i E(r M ) Άρα χρειαζόμαστε για την απόδοση: - το β κάθε μετοχής (ν x β εφ' όσον έχουμε ν μετοχές) - το α κάθε μετοχής (ν x α εφ' όσον έχουμε ν μετοχές) - Το Ε(r Μ ) 75
Ο κίνδυνος Εάν αντικαταστήσουμε τις: - σ 2 i = β 2 i σ 2 Μ + σ 2 e - σ i, j = β 2 i β j σ 2 Μ Στην εξίσωση του κινδύνου του χαρτοφυλακίου - σ 2 ν p = i=1 ν i=1 w 2 i σ 2 ei w 2 i β 2 i σ 2 ν ν M + i=1 i=1 w i w j β i β j σ 2 M + 76
Άρα Άρα, χρειαζόμαστε για να υπολογίσουμε τον κίνδυνο: - το σ 2 M - το β κάθε μετοχής (ν x β εφ' όσον έχουμε ν μετοχές) - το σ 2 ei (ν x σ 2 ei εφ' όσον έχουμε ν μετοχές) 77
Άρα για απόδοση & κίνδυνο χαρτοφυλακίου θέλουμε: το β κάθε μετοχής (ν x β) το α κάθε μετοχής (ν x α) το σ 2 ei κάθε μετοχής (ν x σ 2 ei ) Το Ε(r Μ ) και το σ 2 M Δηλαδή [3ν + 2] στοιχεία 78
Παράδειγμα 8 Για 200 μετοχές:3 (200) +2 = 602 στοιχεία Χωρίς το Μονό-Παραγοντικό Υπόδειγμα για 200 μετοχές θα έπρεπε να υπολογίσουμε 19.900 συνδιακυμάνσεις, χώρια οι υπόλοιπες μεταβλητές Άρα το Μόνο-Παραγοντικό Υπόδειγμα απλοποιεί σημαντικά τους υπολογισμούς 79
Συμπεράσματα (1 από 2) Ο επενδυτής δεν πρέπει να περιμένει να ανταμειφθεί για διαφοροποιήσιμο κίνδυνο Το πρόβλημα της επιλογής του χαρτοφυλακίου είναι πρόβλημα ελαχιστοποίησης κινδύνου με περιορισμό ένα δεδομένο επίπεδο απόδοσης ή πρόβλημα μεγιστοποίησης απόδοσης με περιορισμό ένα δεδομένο επίπεδο κινδύνου 80
Συμπεράσματα (2 από 2) Κάθε ορθολογικός επενδυτής με στόχο την μεγιστοποίηση της θα έχει ένα χαρτοφυλάκιο που βρίσκεται κάπου στο διάστημα CΕ Το ακριβές σημείο για κάθε επενδυτή καθορίζεται χρησιμοποιώντας καμπύλες αδιαφορίας 81
Εφαρμογές CAPM Σύγκριση και αξιολόγηση διαφορετικών χαρτοφυλακίων Ας υποθέσουμε ότι έχουμε να συγκρίνουμε διάφορα αμοιβαία κεφάλαια με σκοπό να διαλέξουμε αυτό με την καλύτερη σχέση απόδοσης και κινδύνου. Δύο δείκτες που βασίζονται στο υπόδειγμα του CAPM και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για την σύγκριση είναι ο δείκτης του Sharpe και ο δείκτης του Treynor. 82
Reward-to-Variability, RVAR Ο Sharpe πρότεινε να αξιολογούμε χαρτοφυλάκια με βάση την απόδοση του χαρτοφυλακίου (rχ) ως προς τον συνολικό του κίνδυνο - S x = r x r f σx 83
Reward-to-Volatility, RVOL Ο Treynor πρότεινε έναν παρόμοιο δείκτη με την διαφορά ότι στον παρανομαστή χρησιμοποιούμε τον συστηματικό κίνδυνο αντί για τον συνολικό κίνδυνο: - T x = r x r f βx 84
Παράδειγμα 9 (1 από 2) 85
Παράδειγμα 9 (2 από 2) S 1 = 0,162 0,08 0,271 S 2 = 0,134 0,08 0,181 S 3 = 0,113 0,08 0,181 S 4 = 0,10 0,08 0,195 = 0,302 = 0,298 = 0,153 = 0,102 T 1 = 0,162 0,08 0,117 T 2 = 0,134 0,08 0,89 T 3 = 0,113 0,08 1,08 T 4 = 0,10 0,08 1,02 = 7 = 6,06 = 3,05 = 1,96 86
Εφαρμογές CAPM Να υπολογίσουμε με το CAPM το επιτόκιο με το οποίο θα προεξοφλήσουμε τα μερίσματα προκειμένου να βρούμε την θεωρητική αξία μίας μετοχής Το επιτόκιο προεξόφλησης που χρησιμοποιούμε στα υποδείγματα πρέπει πάντα να είναι υψηλότερο από το επιτόκιο των ομολόγων του δημοσίου, για να αντικατοπτρίζει τον υψηλότερο κίνδυνο που έχουν οι μετοχές και το χρηματιστήριο σε σχέση με τα ομόλογα. 87
Παράδειγμα Έστω το υπόδειγμα σταθερής ανάπτυξης το οποίο υποθέτει ότι το μέρισμα θα αυξάνεται με σταθερό ρυθμό g, κάθε χρόνο και η μετοχή ΧΥΖ η οποία έχει τιμή 9 Ευρώ, και δίνει μέρισμα 1,1 Ευρώ ανά μετοχή. Το επιτόκιο του ομολόγου είναι 8% Σύμφωνα με τις προβλέψεις μας η εταιρεία θα αυξάνει το μέρισμα της στο μέλλον με σταθερό ρυθμό, g = 3% 88
Η εσωτερική αξία της μετοχής IV e = D o (1+g) r e g = 1,1(1+0,03) r e 0,03 89
Το προεξοφλητικό επιτόκιο: Εάν β = 1,67, r M = 15%, τότε η απαιτούμενη απόδοση της μετοχής, που είναι και το κατάλληλο προεξοφλητικό επιτόκιο, θα είναι: r e = r f + βxyz[r M r f ] = 0,08 +1,67 [0,15-0,08] = 0,08 + 1,67 [0,07] = 0,1969, ή 19,69% 90
Άρα η εσωτερική αξία της μετοχής IV e = 1,1(1+0,03) r e 0,03 = 1,133 0,1969 0,03 = 6,81 91
Τέλος Ενότητας # 3 Μάθημα: Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου Ενότητα # 3: Θεωρία Χαρτοφυλακίου Διδάσκων: Σπύρος Σπύρου, Τμήμα: Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής