8 ο Μάθημα Περιστροφική κίνηση

8 ο Μάθημα Περιστροφική κίνηση Κέντρο μάζας Στερεό σώμα Γωνιακή ταχύτητα γωνιακή επιτάχυνση Περιστροφή με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση Σχέση γωνιακής ταχύτητας και επιτάχυνσης Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής

Κέντρο μάζας Αν πετάξουμε ένα στερεό σώμα στον αέρα θα κάνει μια περίπλοκη κίνηση. Υπάρχει ένα σημείο του σώματος που εκτελεί παραβολική τροχιά (πλάγια βολή). Είναι το κέντρο μάζας.

Κέντρο μάζας Το κέντρο μάζας ενός σώματος είναι ένα σημείο που αναπαριστά τη μέση θέση της ολικής μάζας του. Σε διανυσματική μορφή:

Παράδειγμα: Κέντρο μάζας Για m 1 =5kgr, m 2 =12kgr, x 1 =2m και x 2 =6m m1 x1 + m2 x2 5 2 + 12 6 xcm = xcm = xcm = 4, 8m m + m 5 + 12 1 2 Αν m 1 =m 2 =m : m1 x1 + m2 x2 x1 + x2 xcm = xcm = xcm = 4m m + m 2 1 2

Κέντρο μάζας Σε περίπτωση που έχουμε συνεχή κατανομή μάζας τα αθροίσματα στον ορισμό του κέντρου μάζας πρέπει να αντικατασταθούν με ολοκληρώματα. Στα συμμετρικά ομογενή σώματα το κέντρο μάζας είναι το κέντρο συμμετρίας.

Πως κινείται το κέντρο μάζας; Κέντρο μάζας Παραγωγίζοντας τα 2 μέλη των παραπάνω εξισώσεων έχω: Σε διανυσματική μορφή:

Πως κινείται το κέντρο μάζας; Κέντρο μάζας dp dt = F = M ext a cm Το κέντρο μάζας ενός σώματος κινείται ετσι σαν να βρίσκεται όλη η μαζα του σώματος συγκεντρωμένη πάνω του και όλες οι εξωτερικές δυνάμεις να δρουν στο σημείο αυτό.

Κέντρο μάζας Το κέντρο μάζας ενός σώματος κινείται έτσι σαν να βρίσκεται όλη η μάζα του σώματος συγκεντρωμένη πάνω του και όλες οι εξωτερικές δυνάμεις να δρουν στο σημείο αυτό.

Κέντρο μάζας Το κέντρο μάζας του άλτη του ύψους περνά κάτω από την μπάρα. Έτσι ελαχιστοποιεί τη δύναμη κατά το άλμα. Κέντρο μάζας

Κέντρο μάζας Μια οβίδα εκτοξεύεται στον αέρα και όταν βρίσκεται στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς της πραγματοποιείται προγραμματισμένη έκρηξη. Σπάει σε δύο κομμάτια ίσης μάζας. Το ένα πέφτει κατακόρυφα προς τα κάτω. Που θα προσγειωθεί το δεύτερο;

Στερεό σώμα Στερεό ονομάζουμε ένα σώμα με καθορισμένο μέγεθος και σχήμα το οποίο είναι αμετάβλητο κατά τη διάρκεια της κίνησής του. Θα μελετήσουμε περιστροφική κίνηση ενός στερεού σώματος. Το θεωρούμε στερεό σώμα Δεν είναι στερεό σώμα

Μεταφορική κίνηση Περιστροφική κίνηση Μεταφορά Περιστροφή

Περιστροφική κίνηση στερεού σώματος Κίνηση στερεών σωμάτων γύρω από ακλόνητο άξονα.

Περιστροφική κίνηση στερεού σώματος Ποιό αλογάκι κινείται με τη μεγαλύτερη ταχύτητα; Το εξωτερικό ή το εσωτερικό; Ένα σημείο στο εσωτερικό ή στο εξωτερικό του σκληρού δίσκου περνά περισσότερες φορές κάτω από την κεφαλή διαβάσματος κάθε λεπτό;

Φυσικές ποσότητες που περιγράφουν την κίνηση στερεών σωμάτων γύρο από ακλόνητο άξονα: Γραμμική κίνηση Θέση x Ταχύτητα υ Επιτάχυνση a Περιστροφική κίνηση Γωνιακή θέση θ Γωνιακή ταχύτητα ω Γωνιακή επιτάχυνση α

Κίνηση στερεού σώματος γύρω από ακλόνητο άξονα Γωνιακή θέση. Όλα τα σημεία του στερεού κινούνται σε κυκλικές τροχιές. Περιγραφή θέσης σημείου που κινείται σε κυκλική τροχιά: Α) δίνοντας συντεταγμένες x,y Β) δίνοντας ακτίνα r και γωνία θ Γραμμική κίνηση Θέση x Περιστροφική κίνηση Γωνιακή θέση θ

Κίνηση στερεού σώματος γύρω από ακλόνητο άξονα Γωνιακή θέση. Περιγραφή θέσης στερεού σώματος που στρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα κάθετο στο επίπεδο του σχήματος: Φέρνουμε ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει σημείο Ρ του περιστρεφόμενου σώματος με τον άξονα περιστροφής. Η γωνία θ σχηματίζεται με τον άξονα x μας δίνει τη γωνιακή θέση του κινητού, Γραμμική κίνηση Θέση x Περιστροφική κίνηση Γωνιακή θέση θ

Μονάδες μέτρησης γωνιακής θέσης θ: Τη γωνία θ μπορούμε να την μετρήσουμε σε μοίρες. Τη γωνία θ θα την μετρούμε σε ακτίνια (rad) που είναι ποιο εύχρηστη μονάδα στη μελέτη της περιστροφικής κίνησης. µ ήκος τόξου θ ( σε rad ) = = ακτίνα s r Γραμμική κίνηση Θέση x Περιστροφική κίνηση Γωνιακή θέση θ

Μονάδες μέτρησης γωνιακής θέσης θ: Πλήρης κύκλος 360 ο 2π rad 1/4 κύκλου 90 ο π/2 rad Γραμμική κίνηση Θέση x Περιστροφική κίνηση Γωνιακή θέση θ

Κίνηση στερεού σώματος γύρω από ακλόνητο άξονα Γωνιακή ταχύτητα. θ2 θ1 ω avg = = t t 2 1 θ t Μέση γωνιακή ταχύτητα ονομάζουμε το πηλίκο της γωνιακής μετατόπισης Δθ προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δt. θ ω = lim = t 0 t dθ dt Στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα είναι η παράγωγος της γωνιακής θέσης ως προς το χρόνο. Γραμμική κίνηση Ταχύτητα υ Περιστροφική κίνηση Γωνιακή ταχύτητα ω

Κίνηση στερεού σώματος γύρω από ακλόνητο άξονα Γωνιακή ταχύτητα. θ ω = lim = t 0 t dθ dt Γωνιακή ταχύτητα είναι διάνυσμα. Διεύθυνση και φορά με τον κανόνα του δεξιού χεριού Γραμμική κίνηση Ταχύτητα υ Περιστροφική κίνηση Γωνιακή ταχύτητα ω

Μονάδες γωνιακής ταχύτητας. θ ω = lim = t 0 t dθ dt rad s rad 1 rps = 2π s revolution s = s rps Γραμμική κίνηση Ταχύτητα υ Περιστροφική κίνηση Γωνιακή ταχύτητα ω

Κίνηση στερεού σώματος γύρω από ακλόνητο άξονα t 1 Γωνιακή επιτάχυνση. t 2 ω 1 ω 2 a avg a = ω2 t 2 ω1 = t 1 = lim = t 0 ω t ω t dω dt Μέση γωνιακή επιτάχυνση ονομάζουμε το πηλίκο της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας Δω προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δt. Στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση είναι η παράγωγος της γωνιακής ταχύτητας ως προς το χρόνο. Γραμμική κίνηση Επιτάχυνση a Περιστροφική κίνηση Γωνιακή επιτάχυνση α

Μονάδες γωνιακής επιτάχυνσης. a = dω = dt 2 d θ 2 dt rad s s = rad 2 s Γραμμική κίνηση Ταχύτητα υ Περιστροφική κίνηση Γωνιακή ταχύτητα ω

Ερωτήσεις κατανόησης. Χρησιμοποιούμε ένα ψαλίδι για να κόψουμε ένα κομμάτι χαρτί. Συγκρίνετε τις γωνιακές ταχύτητες περιστροφής των δύο λεπίδων του. Απάντηση: Έχουν το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά. Άρα δεν είναι ίσες.

Ερωτήσεις κατανόησης. Κοιτάζετε τον δείκτη των δευτερολέπτων του διπλανού ρολογιού και παρατηρείτε κάποια στιγμη να φρενάρει και να σταματά. Τι από τα παρακάτω ισχύει: Α) γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση είναι θετικές Β) γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση είναι αρνητικές Γ) γωνιακή ταχύτητα θετική και γωνιακή επιτάχυνση αρνητική Δ) γωνιακή ταχύτητα αρνητική και γωνιακή επιτάχυνση θετική Απάντηση: Δ.

Ο αθλητής της γυμναστικής κάνει 2 περιστροφές σε 1,9s στο μονόζυγο. Βρείτε τη γωνιακή του ταχύτητα σε rad/s. Η μέση γωνιακή ταχύτητα του αθλητή είναι η γωνιακή μετατόπισή του Δθ προς τον αντίστοιχο χρόνο. Η γωνιακή του μετατόπιση είναι: θ = 2revolutions = 2 2π ( rad) = 12, 6rad θ 12,6rad ωavg = = = 6,63rad / t 1,9 s s

Η τουρμπίνα ενός τζετ στο οποίο γίνονται οι τελευταίοι έλεγχοι πριν την απογείωση έχει γωνιακή ταχύτητα -110rad/s. Καθώς το αεροπλάνο απογειώνεται μετά από 14s, η γωνιακή ταχύτητα έχει φτάσει τα -330 rad/s. Ποια η μέση γωνιακή επιτάχυνση; Η μέση γωνιακή επιτάχυνση της τουρμπίνας είναι η μεταβολή στη γωνιακή ταχύτητα προς τον αντίστοιχο χρόνο. Άρα: a avg ω = = t 330rad / s ( 110rad 14s / s) = 16rad / s 2

a)

b) θ = θ θ = 250rad 16rad = 234rad 2 1 s θ = s = θr r s = 234 rad0,18m s = 42m

c)

d d(2t ) d) = = 6( rad / s 3 ) t 2 dt dt ω = θ 3

e) f d ω = θ = dt d(2t dt 3 ) = 6( rad / s 3 ) t 2 e)

e) f d ω = θ = dt d(2t dt 3 ) = 6( rad / s 3 ) t 2 e)