ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ιαισθητικές Αντιλήψεις στην Έννοια της Πιθανότητας ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Κώστας Κωνσταντίνου, Γεωργία Τάνου, Ιλιάδα Ηλία, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή είναι µια πρώτη προσπάθεια µελέτης των αντιλήψεων των µαθητών Στ τάξης ηµοτικού Σχολείου σε σχέση µε την έννοια της πιθανότητας. Η έρευνα βασίζεται σε ένα σχετικό δοκίµιο το οποίο χορηγήθηκε σε 144 µαθητές Στ τάξης ηµοτικού Σχολείου. Από την ανάλυση των αποτελεσµάτων προκύπτει πως οι µαθητές δυσκολεύονται αρκετά να κατανοήσουν την έννοια της πιθανότητας ιδιαίτερα σε ασκήσεις µε a-posteriori χαρακτήρα. Ασκήσεις δηλαδή στις οποίες γνωρίζουµε το αποτέλεσµα κάποιων λήψεων και ζητούµε να δούµε από πού είναι πιθανότερο να έγιναν αυτές οι λήψεις. Αυτό µάλιστα δεν φαίνεται να οφείλεται σε µη καλή γνώση των κλασµάτων αφού η επιτυχία των µαθητών σε έργα σύγκρισης κλασµάτων είναι αρκετά ψηλότερη. 1. Εισαγωγή Η επεξεργασία της έννοιας της πιθανότητας είναι πολύ πιο δύσκολη από ότι φαντάζονται αυτοί που έχουν ήδη αφοµοιώσει τις βασικές έννοιες. Η ανθρωπότητα συνάντησε µεγάλη δυσκολία στο να «δαµάσει» τα φαινόµενα της τύχης και να δώσει τέλος στα «προδικασµένα µαγικά», µε τα οποία σχετίζονται οι πιθανότητες. Η επιστήµη των πιθανοτήτων υπήρξε για πολύ καιρό τοµέας παράδοξων και λανθασµένων συµπερασµάτων (Γαγάτσης, 1987a ;1987β; 1987γ). Η διδασκαλία και η εκµάθηση των βασικών πιθανολογικών εννοιών αποτελεί ένα σηµαντικό στοιχείο του αναλυτικού προγράµµατος (ιδιαίτερα στο γυµνάσιο): πολλοί ερευνητές έχουν επικεντρωθεί στην εκµάθηση των πιθανολογικών εννοιών, σε διάφορα σχολικά επίπεδα (Bagni & Cecchini, 2001). Σύµφωνα µε τον Alarcon (1982), δύο καταστάσεις µπορούµε να ερευνήσουµε σε σχέση µε την έννοια της πιθανότητας: την πρόβλεψη «á priori» και την απόφαση «á postériori». Η πρόβλεψη «á priori» αναφέρεται στην επιλογή ανάµεσα σε δύο σάκους που περιέχουν άσπρες και µαύρες σφαίρες, αυτού από τον οποίο είναι πιο πιθανό να τραβήξουµε µια σφαίρα ενός ορισµένου χρώµατος. Οι συνθέσεις των δύο σάκων είναι γνωστές. Η απόφαση «á postériori» αναφέρεται στην εύρεση ανάµεσα σε δύο σάκους που περιέχουν άσπρες και µαύρες σφαίρες, αυτού από τον οποίο έγιναν µια ή περισσότερες δειγµατοληψίες. Όσον αφορά στις έρευνες που έγιναν σε καταστάσεις πρόβλεψης, δείχνουν ότι τα παιδιά ακόµη και τα νέα (πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου), κάνουν ακριβείς προβλέψεις, τουλάχιστον για απλές καταστάσεις από την άποψη αριθµητικής επεξεργασίας (Piaget & Inhelder, 1975; Fischbein, 1975). Ειδικότερα για τους Piaget & Inhelder (1975), οι θεµελιώδεις έννοιες της πιθανότητας και η προσέγγιση του 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 247

Κ. Κωνσταντίνου κ.ά. συλλογισµού πάνω στο δυνατό, αποτελούν µέρος µιας πιο πλατιάς λειτουργικής δοµής. Σύµφωνα µε τις θεωρίες του Piaget, οι τυπικές διεργασίες αποκαθίστανται γύρω στα 11-12 χρόνια. Οι µελέτες του Piaget πάνω στην ικανότητα των παιδιών να προσεγγίσουν το µαθηµατικό υπολογισµό των πιθανοτήτων, περιορίζονται κυρίως σε δύο απόψεις που φαίνονται αναγκαίες για αυτόν τον υπολογισµό. Η πρώτη άποψη αναφέρεται στην προσέγγιση στις πράξεις «συνδυαστικού τύπου» (συνδυασµοί, µεταθέσεις και διατάξεις) και η δεύτερη στην προσέγγιση της έννοιας του λόγου σε ένα «πιθανολογικό περιεχόµενο» ή µε άλλα λόγια στις αντιδράσεις των παιδιών µπροστά σε µια κατάσταση πρόβλεψης «á priori». Έρευνες έδειξαν πως οι µαθητές δηµοτικού δυσκολεύονται στην κατανόηση της έννοιας της πιθανότητας. Φαίνεται µάλιστα να δυσκολεύονται πολύ περισσότερο σε α- posteriori ασκήσεις (ασκήσεις δηλαδή που γνωρίζουµε το αποτέλεσµα κάποιας ή κάποιων λήψεων και ψάχνουµε να βρούµε από πού είναι πιθανότερο να προήλθαν) και λιγότερο σε α-priori ασκήσεις (ασκήσεις δηλαδή όπου θα επιχειρήσουµε κάποια η κάποιες λήψεις και θέλουµε να αποφασίσουµε από πού θα επιχειρήσουµε τη λήψη για να έχουµε περισσότερες πιθανότητες). Οι πιο πάνω έννοιες θα χρησιµοποιούνται πιο κάτω µε αυτή τη σηµασία. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η διερεύνηση των ιδεών (ακριβείς ή λανθασµένες) που οι µαθητές ηλικίας 11-12 ετών, είναι δυνατόν να έχουν αποκτήσει σε σχέση µε ορισµένες πιθανολογικές καταστάσεις, χωρίς να έχουν αρχίσει να µελετούν τις πιθανότητες στην τάξη. Η ηλικία αυτή επιλέχθηκε γιατί όπως αναφέρει και ο Piaget σε αυτή την ηλικία διαµορφώνονται οι πρώτε πιθανολογικές αντιλήψεις στους µαθητές. Το θέµα αυτό αφορά τόσο το διδάσκοντα, όσο και τον ερευνητή της διδακτικής. Βέβαια, στην αρχή της διδασκαλίας αυτού του θέµατος τα παιδιά δεν είναι «άγραφοι πίνακες», αφού από νωρίς έχουν εξοικειωθεί µε καταστάσεις όπως είναι: τα στοιχήµατα, οι τυχαίες δειγµατοληψίες, η λήψη αποφάσεων κάτω από αβέβαιες συνθήκες ή µη. Εποµένως, ο εκπαιδευτικός δεν µπορεί να θεµελιώσει µια αποτελεσµατική παιδαγωγική µέθοδο, αν δεν γνωρίζει τις αντιλήψεις των µαθητών τις οποίες θα προσπαθήσει να καταπολεµήσει ή να ενθαρρύνει. Από αυτή την άποψη, η έρευνα αυτή είναι σύµφωνη µε τον πρώτο στόχο των ερευνών στη ιδακτική των Μαθηµατικών, που σύµφωνα µε τον Γαγάτση είναι ο καθορισµός των αντιλήψεων που σχετίζονται µε µια έννοια και ο προσδιορισµός των συνθηκών και των µέσων της πιθανής ανάπτυξης αυτών των «αντιλήψεων». 2. Η έρευνα. Υποθέσεις της Έρευνας 1. Οι µαθητές Στ δηµοτικού δυσκολεύονται στην αντίληψη της έννοιας της πιθανότητας. 2. Οι a-posteriori ασκήσεις δυσκολεύουν πολύ περισσότερο τους µαθητές από τις ασκήσεις a-priori. 3. Όταν το αποτέλεσµα των λήψεων περιέχει περισσότερα από ένα είδος (π.χ. και άσπρες και µαύρες µπάλες) οι µαθητές δυσκολεύονται περισσότερο 4. Οι λανθασµένες απαντήσεις των µαθητών σε ασκήσεις πιθανοτήτων δεν οφείλονται σε αδυναµία σύγκρισης κλασµάτων. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 248

ιαισθητικές Αντιλήψεις στην Έννοια της Πιθανότητας Μεθοδολογία Κατασκευάστηκε ένα δοκίµιο (παράρτηµα 1) το οποίο χορηγήθηκε σε 144 µαθητές 7 Στ τάξεων, τεσσάρων δηµοτικών σχολείων µε επιλεκτική δειγµατοληψία. Η έρευνα πραγµατοποιήθηκε το Μάρτιο και τον Απρίλιο του 2006. Τα δοκίµια δόθηκαν στους µαθητές για να συµπληρωθούν σε µια διδακτική περίοδο. ιαδικασία σύνταξης του δοκιµίου Για την επίτευξη των σκοπών της έρευνας, καταρτίστηκε 1 δοκίµιο το οποίο περιλαµβάνει 16 δραστηριότητες. Οι δραστηριότητες 1, 2, 4, 5, 7, 9 11, 12 και 13 αναφέρονταν σε a-posteriori καταστάσεις. Πιο συγκεκριµένα παρουσιάζονται δύο τσάντες µε διαφορετικό αριθµό από άσπρες και µαύρες µπάλες. Το πρόβληµα λέει ότι κάποιος πήρε διαδοχικά µε επανατοποθέτηση κάποιο συγκεκριµένο αριθµό µαύρων και άσπρων µπαλών και ζητείται από τους µαθητές να επιλέξουν τη τσάντα από την οποία πιθανόν να έγινε η αντίστοιχη επιλογή. Στις δραστηριότητες 1, 2, 8, και 12 δεν υπάρχει λόγος να προτιµηθεί µια από τις δύο τσάντες επειδή ο λόγος των άσπρων προς τις µαύρες µπάλες σε κάθε τσάντα είναι ο ίδιος. Στις δραστηριότητες 5 και 11 η µια τσάντα έχει άγνωστο περιεχόµενο. Στις δραστηριότητες 7, 9, 11 και 13 πρέπει να επιλεχθεί η απάντηση «µάλλον η τσάντα 1» ή «µάλλον η τσάντα 2» διότι είναι αρκετά µεγάλη η πιθανότητα να επιλέχθηκαν από αυτές τις τσάντες οι µπάλες χωρίς όµως να αποκλείεται εντελώς η άλλη τσάντα. Τέλος στις δραστηριότητες 4 και 5, η επιλογή πρέπει να είναι «αναγκαστικά από τη τσάντα 1 ή 2», επειδή οι µπάλες σίγουρα τραβήχτηκαν από µια από τις δύο τσάντες Οι δραστηριότητες 3, 6,8, 10, 14 και 15 αναφέρονται σε καταστάσεις a-priori. Στις δραστηριότητες αυτές δεν έχει γίνει η λήψη και οι µαθητές καλούνται να διαλέξουν τη τσάντα από την οποία υπάρχουν περισσότερες πιθανότητες να τραβηχτεί είτε µαύρη, είτε άσπρη µπάλα. Στις δραστηριότητες 8 και 15 ο λόγος των µαύρων προς τις άσπρες µπάλες είναι ο ίδιος άρα τα παιδιά πρέπει να απαντήσουν ότι δεν υπάρχει λόγος να προτιµηθεί µια από τις δύο τσάντες. Στη δραστηριότητα 14 η µια τσάντα έχει άγνωστο περιεχόµενο εποµένως τα παιδιά πρέπει να οδηγηθούν στην απάντηση µε βάση τι υπάρχει στη τσάντα µε το γνωστό περιεχόµενο σε συνδυασµό µε το ερώτηµα Η τελευταία δραστηριότητα περιλαµβάνει σύγκριση κλασµάτων (πέντε ζεύγη). Τα τέσσερα ζεύγη είναι άνισα ενώ τα κλάσµατα στο τελευταίο ζεύγος είναι ίσα. Μεταβλητές της έρευνας Ο κάθε συµβολισµός που χρησιµοποιήθηκε στην έρευνα αποτελείται από δύο µέρη. Το πρώτο µέρος δείχνει το είδος της δραστηριότητας και το δεύτερο µέρος τον αριθµό της δραστηριότητας Apo1 Apr3 a-posteriori κατάσταση ραστηριότητα 1 a-priori κατάσταση ραστηριότητα 3 Fr1 Σύγκριση κλασµάτων ραστηριότητα 1 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 249

Κ. Κωνσταντίνου κ.ά. Κριτήρια βαθµολόγησης Για τη διόρθωση των δοκιµίων και την ανάλυση των δεδοµένων προτάθηκε η εξής κατηγοριοποίηση των απαντήσεων: 0 η απάντηση είναι λανθασµένη και 1 η απάντηση είναι ορθή. Στατιστικές τεχνικές που χρησιµοποιήθηκαν Πέρα από την περιγραφική ανάλυση για την ποσοτική επεξεργασία των δεδοµένων, εφαρµόστηκε το Συνεπαγωγικό Στατιστικό Μοντέλο του Gras. 3. Αποτελέσµατα Περιγραφικά στοιχεία ΠΙΝΑΚΑΣ 1 ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ποσοστό Επιτυχίας % ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ποσοστό Επιτυχίας % Apo1 58 Apo11 51 Apo2 28 Apo12 47 Apr3 67 Apo13 52 Apo4 45 Apr14 76 Apo5 44 Apr15 51 Apr6 70 Fr1 81 Apo7 32 Fr2 69 Apr8 56 Fr3 70 Apo9 45 Fr4 67 Apr10 78 Fr5 77 Στον πιο πάνω πίνακα µπορούµε να δούµε αναλυτικά την επιτυχία των µαθητών σε κάθε µια από τις ασκήσεις που τους δόθηκαν όπως αυτές αναλύθηκαν πιο πάνω. Παρατηρούµε αρκετά ψηλά ποσοστά επιτυχίας στις ασκήσεις που ονοµάζουµε a-priori. Στις 4 από τις 6 αυτές ασκήσεις (Apr 3, Apr 6, Apr 10, Apr 14) πάνω από τα 2/3 των παιδιών δίνουν σωστή απάντηση. Χαµηλότερα είναι τα ποσοστά επιτυχίας στις a-priori ασκήσεις 8 και 15 (Apr 8, Apr 15). Οι ασκήσεις αυτές (βλ. παράρτηµα) είναι ασκήσεις στις οποίες η απάντηση είναι «δεν υπάρχει λόγος να προτιµηθεί µια από τις δύο τσάντες» αφού ο λόγος των άσπρων προς τις µαύρες µπάλες στις δύο τσάντες είναι ίσος. Τα παιδιά δηλαδή στις ασκήσεις 8 και 15 δυσκολεύονται περισσότερο να αναγνωρίσουν την ισότητα αυτή. Στην άσκηση 8 π.χ. πολλά παιδιά απαντούν ότι είναι πιθανότερο να πάρουµε άσπρη µπάλα από τη τσάντα 1 στην οποία υπάρχουν περισσότερες άσπρες αγνοώντας ότι σε αυτή τη τσάντα υπάρχουν και περισσότερες µαύρες. Αντιθέτως ένας µικρότερος αριθµός παιδιών απαντούν ότι είναι πιθανότερο να πάρουµε άσπρη µπάλα από τη τσάντα 2, πιθανόν επειδή σε αυτή υπάρχουν λιγότερες µαύρες αγνοώντας το γεγονός ότι στη τσάντα αυτή υπάρχουν και λιγότερες άσπρες µπάλες. Με παρόµοιο τρόπο συµπεριφέρονται και στην άσκηση 15. Τα ψηλότερα ποσοστά επιτυχίας οι µαθητές τα έχουν στις a-priori ασκήσεις 10 και 14 (Apr 10, Apr 14). Οι ασκήσεις αυτές έχουν το χαρακτηριστικό γνώρισµα πως η πιθανότητα να πάρει κανείς τη µπάλα που ζητείτε σε µια από τις δύο τσάντες είναι στην άσκηση 10 ίση µε «1» και στην άσκηση 14 ίση µε «0». Εύκολα λοιπόν οι µαθητές στην άσκηση 10 επιλέγουν την τσάντα στην οποία µε πιθανότητα «1» παίρνουν τη ζητούµενη µπάλα και 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 250

ιαισθητικές Αντιλήψεις στην Έννοια της Πιθανότητας εύκολα στην άσκηση 14 αποκλείουν τη τσάντα από την οποία η πιθανότητα να πάρουν τη µπάλα που ζητείται είναι «0». Χαµηλότερα είναι τα ποσοστά στις a-posteriori ασκήσεις. Στις περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές το ποσοστό επιτυχίας είναι κάτω από το 50%. Τα παιδιά δυσκολεύονται να αντιληφθούν εκ των υστέρων ποια από ποια τσάντα είναι πιθανότερο να έγινε µια συγκεκριµένη λήψη που τους δίνεται. Ευκολότερη από τις ασκήσεις αυτές φαίνεται να είναι η άσκηση 1 (Apo 1) στην οποία υπάρχουν µόνο άσπρες µπάλες και στις δύο τσάντες. Έτσι τα παιδιά κάπως πιο εύκολα αντιλαµβάνονται ότι η πιθανότητα είναι η ίδια και για τις δύο τσάντες (ίση µε «1»). Πολύ χαµηλά ποσοστά επιτυχίας µόλις 32% έχουµε στην άσκηση 2 (Apo 2). Αξιοσηµείωτο είναι το γεγονός πως το σχέδιο µε τις τσάντες που υπάρχει στην άσκηση αυτή χρησιµοποιείται ακριβώς το ίδιο σε άλλες δύο ασκήσεις του δοκιµίου (12 και 15). Ο λόγος των άσπρων προς τις µαύρες τσάντες είναι ο ίδιος και στις 2 τσάντες Η άσκηση 2 είναι a-posteriori όµως και το αποτέλεσµα των λήψεων είναι 4 µαύρες και 3 άσπρες. Η άσκηση 12 είναι επίσης a-posteriori αλλά το αποτέλεσµα των λήψεων είναι 7 µαύρες. Η άσκηση 15 είναι a-priori. Βλέπουµε ότι τα αποτελέσµατα αλλάζουν αρκετά σε κάθε άσκηση. Το 47% των παιδιών απαντούν σωστά την άσκηση 12 και το 51% των παιδιών την άσκηση 15. Τα αποτελέσµατα στις ασκήσεις που έχουν να κάνουν µε τη σύγκριση κλασµάτων είναι αρκετά υψηλότερα. Περισσότερα από τα 2/3 των παιδιών λύουν ορθά τις ασκήσεις σύγκρισης κλασµάτων. Το ίδιο περίπου ποσοστό που επιλύει ορθά τις ασκήσεις 3, 6, 10 και 14. Τις ευκολότερες δηλαδή a-priori ασκήσεις του δοκιµίου. ιάγραµµα1: Οµοιότητας Στο πιο πάνω διάγραµµα φαίνονται οι σχέσεις οµοιότητας µεταξύ των µεταβλητών. Σχηµατίζονται δύο µεγάλες οµάδες οµοιότητας. Στα αριστερά συγκεντρώνονται οι a- posteriori ασκήσεις του δοκιµίου. Φαίνεται ότι τα παιδιά αντιµετωπίζουν τις ασκήσεις αυτές µε παρόµοιο τρόπο, και όπως είδαµε και πιο πάνω είναι οι ασκήσεις οι οποίες 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 251

Κ. Κωνσταντίνου κ.ά. δυσκολεύουν περισσότερο τα παιδιά. Στην οµάδα αυτή εµφανίζονται και δύο a-priori ασκήσεις (8 και 15). Οι ασκήσεις αυτές εµφανίζονται στα αριστερά του διαγράµµατος και έχουν µεταξύ τους µεγάλη οµοιότητα. Είναι οι δύο a-priori ασκήσεις του δοκιµίου στις οποίες και στις δύο τσάντες οι άσπρες µπάλες είναι ίσες µε τις µαύρες. Οι δύο αυτές ασκήσεις µάλιστα εµφανίζονται να έχουν σηµαντική σχέση µε την άσκηση 12 (aposteriori) στην οποία επίσης οι άσπρες µπάλες είναι ίδιες µε τις µαύρες Στα δεξιά του διαγράµµατος σχηµατίζεται µια άλλη οµάδα που χωρίζεται σε δύο υποοµάδες. Στη µια υποοµάδα εµφανίζονται οι a-priori ασκήσεις του δοκιµίου (3, 6, 10 και 14) ενώ στην άλλη υποοµάδα βρίσκονται οι µεταβλητές που αντικατοπτρίζουν τις ασκήσεις σύγκρισης κλασµάτων. Οι δύο υποοµάδες σχετίζονται µεταξύ τους µε µια σχέση όµως που δε φαίνεται να είναι στατιστικά σηµαντική. Συνεπαγωγική Ανάλυση Στο ιεραρχικό διάγραµµα που φαίνεται πιο κάτω παρουσιάζονται οι συνεπαγωγικές σχέσεις µεταξύ οµάδων µεταβλητών. ιάγραµµα 2: Ιεραρχικό Βλέπουµε και σε αυτό το διάγραµµα τις µεταβλητές που σχετίζονται µε τα κλάσµατα να βρίσκονται όλες στην ίδια αλυσίδα και να µην έχουν στατιστικά σηµαντική σχέση µε κάποια άλλη µεταβλητή. Μια άλλη αλυσίδα στο διάγραµµα περιλαµβάνει τις a-posteriori ασκήσεις 7, 9, 13, και 11. Το χαρακτηριστικό γνώρισµα αυτό των ασκήσεων είναι πως η ορθή απάντηση είναι «µάλλον η τσάντα 1» ή «µάλλον η τσάντα 2». Είναι οι ασκήσεις δηλαδή που η δοθείσα λήψη θα µπορούσε να επιτευχθεί και από τις δύο τσάντες µε κάποια όµως από τις δύο να συγκεντρώνει περισσότερες πιθανότητες. Φαίνεται επίσης πως τα παιδιά που κάνουν την άσκηση 3 κάνουν και την 6. Οι ασκήσεις αυτές είναι και οι δύο a-priori. Στις ασκήσεις αυτές υπάρχουν και στις δύο τσάντες και άσπρες και µαύρες µπάλες µε µια από τις δύο όµως να µας προσφέρει µεγαλύτερες πιθανότητες επιτυχίας. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 252

ιαισθητικές Αντιλήψεις στην Έννοια της Πιθανότητας ιάγραµµα 3: Συνεπαγωγικό. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 253

Κ. Κωνσταντίνου κ.ά. Στο συνεπαγωγικό διάγραµµα 3 φαίνονται ξεκάθαρα οι συνεπαγωγικές σχέσεις µεταξύ των µεταβλητών. Στο πάνω µέρος του διαγράµµατος µαζεύονται σε δύο αλυσίδες (Apo2 Apo7 Apo9 Apo13 & Apo2 Apo5 Apo4 Apo12) οι a- posteriori ασκήσεις του δοκιµίου µε πιο δύσκολη από αυτές την άσκηση 2 της οποίας έχει εξηγηθεί η ιδιαιτερότητα και η σχέση της µε άλλες ασκήσεις. Στη σχέση Apo11 Apr14 φαίνεται ότι όσοι επιλύουν ορθά την άσκηση 11 επιλύουν και τη 14. Οι δύο αυτές ασκήσεις βλ. παράρτηµα είναι οι ασκήσεις στις οποίες σε µια από τις δύο τσάντες το περιεχόµενο είναι άγνωστο µε δυσκολότερη την 11 που είναι a-posteriori. Στην αλυσίδα Apo5 Apo4 Apr14 βλέπουµε ασκήσεις στις οποίες από τη µια από τις δύο τσάντες είναι αδύνατο να επιτευχθεί η λήψη που έγινε ή θα γίνει. «Αναγκαστικά» λοιπόν επιλέγεται η άλλη τσάντα. Στο κάτω µέρος στο διάγραµµα στις αλυσίδες Apr15 Apr3 Apr6, Apr15 Apr8 & Apr15 Apr10 µαζεύονται οι a-priori ασκήσεις του δοκιµίου. Φαίνεται τα παιδιά που επιλύουν την άσκηση 15 επιλύουν και τις υπόλοιπε Τέλος έχουµε την αλυσίδα που συνδέει τις µεταβλητές που σχετίζονται µε τις ασκήσεις σύγκρισης κλασµάτων που είχαν και τα ψηλότερα ποσοστά επιτυχίας 5. Συµπεράσµατα - Εισηγήσεις Από την ανάλυση των αποτελεσµάτων προκύπτουν τα εξής συµπεράσµατα: 1. Οι µαθητές δυσκολεύονται πολύ περισσότερο στις a-posteriori ασκήσεις πιθανοτήτων και λιγότερο στις a-priori. Την ίδια ακριβώς άσκηση µε το ίδιο σχέδιο όταν την αλλάξεις σε a-posteriori αλλάζει και ο τρόπος απάντησης των µαθητών. 2. Ο λόγος που τα παιδιά δυσκολεύονται στην κατανόηση της έννοιας της πιθανότητας και απαντούν λανθασµένα σε ασκήσεις που στηρίζονται στην έννοια αυτή δεν οφείλεται σε αδυναµία σύγκρισης κλασµάτων 3. Τα παιδιά και στις a-posteriori και στις a-priori ασκήσεις δυσκολεύονται περισσότερο σε ασκήσεις όπου ο λόγος των άσπρων προς τις µαύρες µπάλες είναι ίσος. Αδυνατούν να εντοπίσουν αυτή την ισότητα και τείνουν να απαντούν ότι πρέπει να επιλεγεί η επιλέγηκε η τσάντα που περιέχει τις περισσότερες µπάλες από την επιθυµητή λήψη. 4. Στις a-posteriori καταστάσεις τα παιδιά δυσκολεύονται πολύ περισσότερο όταν η λήψη που τους δίνεται ότι έγινε περιέχει και από τα δύο είδη µπαλών. Στην ίδια ακριβώς άσκηση και ενώ οι τσάντες έχουν και οι δύο ίδιο αριθµό άσπρων και µαύρων µπάλων αλλάζοντας τη δοθείσα λήψη αλλάζει και η επιτυχία των µαθητών. 5. Οι µαθητές επιλύουν ευκολότερα a-priori ασκήσεις στις οποίες σε µια από τις δύο τσάντες η πιθανότητα είναι «1» ή «0» δυσκολότερα ασκήσεις στις οποίες η επιθυµητή λήψη µπορεί να γίνει και από τις δύο τσάντες µε κάποια όµως από τις δύο να είναι πιο πιθανή και ακόµη πιο δύσκολα ασκήσεις στις οποίες τα ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα. 6. Η χρήση τσάντας µε «άγνωστο περιεχόµενο» δεν φαίνεται να δυσκολεύει περισσότερο τους µαθητές. Παρόλα αυτά φαίνεται πως τις ασκήσεις αυτές οι µαθητές τις αντιµετωπίζουν µε παρόµοιο τρόπο. 7. Τα περισσότερα παιδιά φαίνεται να µην κατανοούν την διαφορά της φράσης «Αναγκαστικά η τσάντα 1» από τη φράση «Μάλλον η τσάντα 1» και αυτή φαίνεται να είναι µια από τις κυριότερες αιτίες λαθών. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 254

ιαισθητικές Αντιλήψεις στην Έννοια της Πιθανότητας Συµπερασµατικά η κατανόηση πιθανολογικών καταστάσεων από τους µαθητές είναι πολύ ασταθής. Αφού αρκεί η ελαφρά τροποποίηση µιας διδακτικής µεταβλητής για να επέλθει µια ουσιαστική διαφοροποίηση των αποτελεσµάτων. Είναι ανάγκη λοιπόν να γίνει µια συστηµατική µελέτη των διαισθητικών αντιλήψεων των µαθητών για την έννοια της πιθανότητας καθώς και µια τροποποίηση του αναλυτικού προγράµµατος µε τρόπο ώστε τα παιδιά πριν την είσοδο τους στο Γυµνάσιο να εισάγονται καλύτερα στην έννοια της πιθανότητας. Το φαινόµενο αυτό της «αστάθειας» µάθησης είναι ένα γενικότερο φαινόµενο µάθησης των µαθηµατικών το οποίο πρέπει να λαµβάνεται σοβαρά υπόψη από τους διδάσκοντες: Πράγµατι όταν τα ποσοστά επιτυχίας σε ορισµένες ασκήσεις αλλάζουν µετά από ελαφρά τροποποίησή τους αυτό σηµαίνει ότι δεν υπάρχει πραγµατική κατανόηση και µάθηση. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Bagni, G., & Cecchini, C. (2001). A first approach to elementary probability: An experimental educational research. In A. Gagatsis (Ed.), Learning in mathematics and science and educational technology (pp. 25-44). Nicosia: Intercollege Press. Γαγάτσης, Α. (1987α). Πειραµατική ιδακτική των Μαθηµατικών: Μέρος 1ο: Ιστορικές ρίζες της Πειραµατικής ιδακτικής. Σύγχρονη Εκπαίδευση, 35, 43-48. Γαγάτσης, Α. (1987β). Πειραµατική ιδακτική των Μαθηµατικών: Μέρος 2ο: Έννοιες και µέθοδοι της ιδακτικής των Μαθηµατικών - Σχόλια σε µια εργασία της C. Laborde. Σύγχρονη Εκπαίδευση, 36, 70-77. Γαγάτσης, Α. (1987γ). Πειραµατική ιδακτική των Μαθηµατικών: Μέρος 3ο: Μια έρευνα ιδακτικής των Μαθηµατικών - Η κατανόηση πιθανολογικών καταστάσεων από µαθητές Γυµνασίου (12-14 ετών). Σύγχρονη Εκπαίδευση, 37, 44-52. Fischbein, E. (1975). The intuitive sources of probabilistic thinking in children. London: Reidel. Piaget, J., & Inhelder, B. (1975). The origin of the idea of chance in children. London: Routledge & Kegan Paul. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1) Ο Μάριος πήρε µια από τις παρακάτω τσάντες. Έπειτα χωρίς να κοιτά µέσα στη τσάντα, τράβηξε 7 ανακάτωσε καλά. Το αποτέλεσµα των λήψεων ήταν: 7 ΑΣΠΡΕΣ. Ποια τσάντα πήρε ο Μάριος; 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 255

Κ. Κωνσταντίνου κ.ά. 2) Η Σοφία πήρε µια από τις παρακάτω τσάντες. Έπειτα χωρίς να κοιτά µέσα στη τσάντα, τράβηξε 7 ανακάτωσε καλά. Το αποτέλεσµα των λήψεων ήταν: 4 ΜΑΥΡΕΣ και 3 ΑΣΠΡΕΣ. Ποια τσάντα πήρε η Σοφία; 3) Ο Τάσος χρειάζεται µια µπάλα ΜΑΥΡΗ. ικαιούται να τραβήξει µόνο µία µπάλα από κάποια από τις παρακάτω τσάντες. Ποια τσάντα πρέπει να επιλέξει για να έχει περισσότερες πιθανότητες να πάρει ΜΑΥΡΗ; 4) Η Στάλω πήρε µια από τις παρακάτω τσάντες. Έπειτα χωρίς να κοιτά µέσα στη τσάντα, τράβηξε 5 ανακάτωσε καλά. Το αποτέλεσµα των λήψεων ήταν: 1 ΜΑΥΡΗ και 4 ΑΣΠΡΕΣ. Ποια τσάντα πήρε η Στάλω; 5) Η Μαρίλια πήρε µια από τις παρακάτω τσάντες. Έπειτα χωρίς να κοιτά µέσα στη τσάντα, τράβηξε 5 ανακάτωσε καλά. Το αποτέλεσµα των λήψεων ήταν: 4 ΜΑΥΡΕΣ και 1 ΑΣΠΡΗ. Ποια τσάντα πήρε η Μαρίλια; 6) Η Κωνσταντίνα χρειάζεται µια µπάλα ΜΑΥΡΗ. ικαιούται να τραβήξει µόνο µία µπάλα από κάποια από τις παρακάτω τσάντες. Ποια τσάντα πρέπει να επιλέξει για να έχει περισσότερες πιθανότητες να πάρει ΜΑΥΡΗ; 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 256

ιαισθητικές Αντιλήψεις στην Έννοια της Πιθανότητας 7) Ο Κώστας πήρε µια από τις παρακάτω τσάντες. Έπειτα χωρίς να κοιτά µέσα στη τσάντα, τράβηξε 7 ανακάτωσε καλά. Το αποτέλεσµα των λήψεων ήταν: 7 ΜΑΥΡΕΣ. Ποια τσάντα πήρε ο Κώστας; 8) Η Θάλεια χρειάζεται µια µπάλα ΑΣΠΡΗ. ικαιούται να τραβήξει µόνο µία µπάλα από κάποια από τις παρακάτω τσάντες. Ποια τσάντα πρέπει να επιλέξει για να έχει περισσότερες πιθανότητες να πάρει ΑΣΠΡΗ; 9) Η Μύρια πήρε µια από τις παρακάτω τσάντες. Έπειτα χωρίς να κοιτά µέσα στη τσάντα, τράβηξε 6 ανακάτωσε καλά. Το αποτέλεσµα των λήψεων ήταν: 5 ΜΑΥΡΕΣ και 1 ΑΣΠΡΗ. Ποια τσάντα πήρε η Μύρια; 10) Η Σταύρη χρειάζεται µια µπάλα ΑΣΠΡΗ. ικαιούται να τραβήξει µόνο µία µπάλα από κάποια από τις παρακάτω τσάντες. Ποια τσάντα πρέπει να επιλέξει για να έχει περισσότερες πιθανότητες να πάρει ΑΣΠΡΗ; 11)Η Μαρίλια πήρε µια από τις παρακάτω τσάντες. Έπειτα χωρίς να κοιτά µέσα στη τσάντα, τράβηξε 5 ανακάτωσε καλά. Το αποτέλεσµα των λήψεων ήταν: 5 ΑΣΠΡΕΣ. Ποια τσάντα πήρε η Μαρίλια; 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 257

Κ. Κωνσταντίνου κ.ά. 12) Η Σοφία πήρε µια από τις παρακάτω τσάντες. Έπειτα χωρίς να κοιτά µέσα στη τσάντα, τράβηξε 7 ανακάτωσε καλά. Το αποτέλεσµα των λήψεων ήταν: 7 ΜΑΥΡΕΣ. Ποια τσάντα πήρε η Σοφία; 13)Ο Παντελής πήρε µια από τις παρακάτω τσάντες. Έπειτα χωρίς να κοιτά µέσα στη τσάντα, τράβηξε 6 ανακάτωσε καλά. Το αποτέλεσµα των λήψεων ήταν: 6 ΜΑΥΡΕΣ. Ποια τσάντα πήρε ο Παντελής; 14) Ο Μάνος χρειάζεται µια µπάλα ΜΑΥΡΗ. ικαιούται να τραβήξει µόνο µία µπάλα από κάποια από τις παρακάτω τσάντες. Ποια τσάντα πρέπει να επιλέξει για να έχει περισσότερες πιθανότητες να πάρει ΜΑΥΡΗ; 15) Ο Μάνος χρειάζεται µια µπάλα ΜΑΥΡΗ. ικαιούται να τραβήξει µόνο µία µπάλα από κάποια από τις παρακάτω τσάντες. Ποια τσάντα πρέπει να επιλέξει για να έχει περισσότερες πιθανότητες να πάρει ΜΑΥΡΗ. 16) Σύγκρινε τα πιο κάτω κλάσµατα βάζοντας >, =, < 1 1 3 4 3 5 1 2 3 6 3 5 4 5 4 8 8 9 5 10 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 258