12 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 12 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΤΑΧΥΣ Μ/Σ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι να εξετάσουμε τον ταχύ μετασχηματισμό Fourier (FFT). 4

Περιεχόμενα ενότητας 1. Ταχύς Μ/Σ Fourier 2. Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourier μέσω του FFT 3. Γραμμική συνέλιξη με FFT 4. Εργαστηριακές ασκήσεις 5. Ασκήσεις για εξάσκηση 5

Ταχύς μετασχηματισμός Fourier (1) Ένα ακόμα πλεονέκτημα του DFT είναι η δυνατότητα γρήγορου υπολογισμού του μέσω κατάλληλα σχεδιασμένων αλγόριθμων. Οι αλγόριθμοι αυτοί φέρουν το γενικό όνομα FFT (Fast Fourier Transform/Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier). Κατά συνέπεια το όνομα FFΤ αναφέρεται σ' έναν αλγόριθμο και το όνομα DFT στην ποσότητα που ο αλγόριθμος αυτός υπολογίζει. 6

Ταχύς μετασχηματισμός Fourier (2) 7

Ταχύς μετασχηματισμός Fourier (3) 8

Η εντολή fft(x,n) (1) Μια πιο πλήρης σύνταξη της εντολής fft είναι η X=fft(Χ,Ν). Η συγκεκριμένη σύνταξη υπολογίζει τον DFT Ν σημείων μιας ακολουθίας Μ δειγμάτων. Εάν Μ > Ν τότε τα περισσευούμενα δείγματα της x(n) κόβονται, ενώ εάν Μ < Ν προσθέτονται μηδενικά στην x(n) μέχρι να αποκτήσει μέγεθος Ν. 9

Η εντολή fft(x,n) (2) 10

Σύγκριση των εντολών fft και dft (1) Για να δούμε την αποδοτικότητα τον αλγόριθμού FFT συγκρίνουμε την επίδοση της built-in συνάρτησης του Matlab fft με τη συνάρτηση που έχουμε γράψει στην εργαστηριακή άσκηση 11 δηλαδή την dtf.m. Η μέτρηση της επίδοσης (benchmark) γίνεται με χρήση των εντολών tic και tac η οποίες μετρούν το χρόνο που περνά από την εκτέλεση της tic μέχρι την εκτέλεση της toc. Ο κώδικας που δίνουμε γράφεται σε ένα M-File με το όνομα tictoc.m. 12

Σύγκριση των εντολών fft και dft (2) 13

Σύγκριση των εντολών fft και dft (3) 14

Σύγκριση των εντολών fft και dft (4) Αυτή η χρονική διαφορά είναι πολύ σημαντική, όταν έχουμε εφαρμογές πραγματικού χρόνου. (Ένα παράδειγμα εφαρμογής πραγματικού χρόνου που χρησιμοποιεί εκτεταμένα τους DFT και IDFT ακολουθιών είναι το τηλεπικοινωνιακό σύστημα της διαμόρφωσης με πολύπλεξη συχνότητας ορθογωνίων φερουσών - Orthogonal Frequency Division Multiplexing -OFDM). Σε όλες τις πρακτικές εφαρμογές που υπάρχουν, για τον υπολογισμό του DFΤ χρησιμοποιείται ο FFT αλγόριθμος. Επομένως όταν Θέλουμε να βρούμε τον DFT μιας ακολουθίας Θα χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση fft(x). 15

Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourier μέσω του FFT (1) 17

Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourier μέσω του FFT (2) 18

Παράδειγμα (1) 19

Γραμμική συνέλιξη με χρήση FFT (1) 22

Ταχύς Μ/Σ Fourier ΟΔΗΓΙΕΣ: Για τις ασκήσεις που ακολουθούν σας ζητείται να συμπληρώσετε τον κώδικα και γράψετε τα σχόλια σας σε ορισμένες εντολές. Σχολιάζετε τα αποτελέσματα σας

Εργαστηριακή άσκηση 1 (1) 27

Εργαστηριακή άσκηση 1 (4) Παρατηρήστε ότι ο άξονας x δεν εμφανίζει τις συχνότητες όπως Θα έπρεπε να το κάνει. Αυτό γίνεται γιατί Θα πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τις ψηφιακές συχνότητες και στη συνέχεια να κάνετε γραφική παράσταση ως προς αυτές. 30

Εργαστηριακή άσκηση 1 (5) Σχεδιάστε τη γραφική προσέγγιση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου του σήματος. Τι συμβαίνει με τις συχνότητες που αντιστοιχούν στο δεύτερο μισό του μετασχηματισμού που υπολογίσατε; 31

Εργαστηριακή άσκηση 3 Ποιος ο προορισμός του παρακάτω προγράμματος; 38

Εργαστηριακή άσκηση 5 43

Τέλος Ενότητας