1 o ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΔΔΚΔΜΒΡΙΟ 15: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΔΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΠΟΤΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ & ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ 1 ξ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΑΠΑΝΣΗΔΙ (Κετάλαιξ ) [Κετάλαιξ 1 Μέοξπ Β' ςξσ ρυξλικξύ βιβλίξσ] ΘΔΜΑ Α 1.Βλέπε υξλικό βιβλίξ ρελίδα 167..Βλέπε υξλικό βιβλίξ ρελίδα 191. 3. α) Λ, β), γ), δ) Λ, ε) Λ. ΘΔΜΑ Β 1. Η ρσμάοςηρη gx f x x είμαι ρσμευήπ ρςξ ραμ άθοξιρμα ρσμευώμ ρσμαοςήρεχμ. gx, ξπόςε έυξσμε Έρςχ x μια οίζα ςηπ ενίρχρηπ g x g x f x x f x x, 1 f x f x x x x Η ρυέρη για x x γίμεςαι 1 x x x x 1 αδύμαςξ, επξμέμχπ f x f x x x x x x x x x και επειδή είμαι ρσμευήπ, διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ. g x για κάθε ος τρόπος Η ρσμάοςηρη gx f x x είμαι ρσμευήπ ρςξ ραμ άθοξιρμα ρσμευώμ ρσμαοςήρεχμ Η ρυέρη f x f xx x x γίμεςαι f x f xx x 1 x f x x x 1 g x x 1 f x f x x x x 1 άοα g(x) και ατξύ είμαι ρσμευήπ ελίδα 1 από 8
1 o ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΔΔΚΔΜΒΡΙΟ 15: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΑΠΑΝΣΗΔΙ θα διαςηοεί ποόρημξ. Όμχπ g() f () 1 1, ξπόςε g(x) για κάθε x.. Η ρυέρη f x f xx x x γίμεςαι f x f xx x 1 x f x x x 1 g x x 1 f x f x x x x 1 Δπειδή η g διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ θα έυξσμε gx ή gx, ξπόςε g x x 1 ή g x x 1 g x f x x x 1 ή gx f x x x 1 και επειδή f 1έυξσμε f x x x 1 ή f x x x 1 f x x x 1 ος τρόπος Ατξύ g(x) ςόςε από ςξ ποξηγξύμεμξ εοώςημα θα έυξσμε, όμχπ g x x 1 g(x) x 1 ξπόςε g x f x x, f x x x 1 f x x 1 x. f x x x x 1 x 3. α) lim lim x x x x x 1 1 x 1 1 x x 1 1 x x 1 1 x 1 x x 1 lim lim x x x x x x x x x x 1 lim 1 1 x x x 1 1 x ελίδα από 8
1 o ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΔΔΚΔΜΒΡΙΟ 15: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΑΠΑΝΣΗΔΙ β) 1 1 1 x 1 x x 1 x x x 1 1 x 1 1 lim και από ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλήπ θα έυξσμε 1 x 1 1 lim με x x 1 x x x 1 lim f x lim x x 1 x x και επειδή ος τρόπος x 1 lim f x lim x x 1 lim x 1 1 x x x x x x 1 1 x 1 1 Γιαςί όμχπ lim και x x x x x x x x κοιςήοιξ ςηπ παοεμβξλήπ lim. x x 1 lim x x ξπόςε από ςξ ΘΔΜΑ Γ 1. α) Δπειδή η ρσμάοςηρη f είμαι ρσμευήπ ρςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςηπ,, θα είμαι ρσμευήπ και ρςξ e ξπόςε θα ιρυύει: lim f x lim f x f e lim ln x lim x ln x e 1 f e xe xe xe xe 3 3 e 3. e β) Δπειδή f 1 ln 1 6, 3 f e e ln e e 1 6 ln e 1 6, γιαςί e e 1 e ln(e 1) ln e 6 ln(e 1) 61 7 f(e) 7 ελίδα 3 από 8
1 o ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΔΔΚΔΜΒΡΙΟ 15: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΑΠΑΝΣΗΔΙ δηλαδή f (1) 6 f (e) και η f είμαι ρσμευήπ ρςξ εμδιαμέρχμ ςιμώμ σπάουει ςξσλάυιρςξμ έμα 1,e ςόςε, ρύμτχμα με ςξ Θ. x 1,e : f x 6.. α) Έρςχ x 1, x με f (x ) f (x ) e e f e f e f x1 f x f x1 f x 1 4ln x1 3 4ln x 3 ln x1 ln x x1 x. Άοα η f είμαι 1 1. f x f x β)f f e ln ln x 4 3 1 f f e ln ln x 4 3 1 f (x) f (f (e )) ln 4ln x 3 1 f (4ln x 3) ln 4ln x 3 1 Θέςξσμε 4ln x 3 y, ξπόςε f(y) ln y 1, άοα f(x) ln x 1, x. γ) f:1 1 f f x f e f (f (x)) f e f (x) e ln x 1 e x14 x14 x14 x14 x14 ln x 1 e () Θέςξσμε x 14 t(x) ln x 1 e, η ξπξία είμαι ρσμευήπ ρςξ 1,1 e ρσμαοςήρεχμ και 114 t(1) ln1 1 e 1 13 1 1 1 1 1 14 14 14 e e e t ln 1 e 1 e 1 e, e e χπ διατξοά ρσμευώμ 1 1, επξμέμχπ ιρυύει t t(1), ξπόςε από ςξ e e 1 Θ.Bolzano σπάουει έμα ςξσλάυιρςξμ x,1 e ςέςξιξ ώρςε t(x ) και λόγχ ςηπ () x 14 έυξσμε ιρξδύμαμα όςι η ενίρχρη f f x f e 1,1 e. έυει μία ςξσλάυιρςξμ οίζα ρςξ ελίδα 4 από 8
1 o ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΔΔΚΔΜΒΡΙΟ 15: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΘΔΜΑ Δ 1. Θα δείνξσμε όςι x 1 x (1) για κάθε x. Ποάγμαςι, αμ ξ x είμαι θεςικόπ ςόςε ςξ 1 ξ μέλξπ ςηπ (1) είμαι θεςικό και ςξ δεύςεοξ αομηςικό ξπόςε η (1) ιρυύει για όλξσπ ςξσπ θεςικξύπ αοιθμξύπ x. Αμ x ςόςε και ςα δύξ μέλη ςηπ (1) είμαι μη αομηςικά ρσμεπώπ σφώμξμςαπ ρςξ ςεςοάγχμξ παίομξσμε ιρξδύμαμα x 1x 1 πξσ ιρυύει για όλξσπ ςξσπ μη αομηςικξύπ αοιθμξύπ x. Άοα ςελικά η (1) ιρυύει για κάθε x. ος τρόπος Για όλξσπ ςξσπ ποαγμαςικξύπ αοιθμξύπ x ιρυύει x 1 x και επειδή η x είμαι γμηρίχπ αύνξσρα ρσμάοςηρη ρςξ,, άοα παίομξσμε x x 1 x x 1 x x για κάθε x x 1 x x 1 x. Όμχπ από ςιπ ιδιόςηςεπ ςηπ απόλσςηπ ςιμήπ ιρυύει.σμδσάζξμςαπ ςιπ ποξηγξύμεμεπ δύξ αμιρόςηςεπ παίομξσμε πξσ είμαι ασςό πξσ θέλαμε μα δείνξσμε. 3 ος τρόπος Αμ σπάουει αοιθμόπ x ώρςε f x, ςόςε παίομξσμε ιρξδύμαμα x 1 x και σφώμξμςαπ ρςξ ςεςοάγχμξ για εκείμα ςα x πξσ επιςοέπεςαι (ποξταμώπ για x ), παίομξσμε x 1x 1, άςξπξ. Άοα η ρσμάοςηρη δε μηδεμίζεςαι και από ςημ άλλη είμαι ρσμευήπ ρςξ, ατξύ ποξκύπςει από ποάνειπ μεςανύ ρσμευώμ ρσμαοςήρεχμ. σμεπώπ διαςηοεί ποόρημξ ρςξ. Ατξύ επιπλέξμ f () 1, άοα f (x) για κάθε x.. Έρςχ x,x,, άοα με x x (1). Ατξύ η ρσμάοςηρη 1, 1 x 1 1 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 ( ). Ποξρθέςξμςαπ ςιπ (1), () καςά μέλη παίομξσμε x είμαι γμηρίχπ αύνξσρα ρςξ x 1 x x 1 x f ( x ) f (x ) 1 1 1 Άοα η ρσμάοςηρη f είμαι γμηρίχπ αύνξσρα ρςξ, όπχπ ςξ θέλαμε. ελίδα 5 από 8
1 o ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΔΔΚΔΜΒΡΙΟ 15: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΑΠΑΝΣΗΔΙ 3. x 1x x 1x x 1x 1 1 f( x) ( x) 1 x (3) x 1 x x 1 x x 1 x f(x) ος τρόπος Η 1 f( x) (3) f(x) γίμεςαι ιρξδύμαμα: f ( x)f (x) 1 x x x x 1 x 1 1 x 1 1 11 πξσ ιρυύει. Για ςη μξμξςξμία έυξσμε απξδείνει ήδη όςι η f είμαι γμηρίχπ αύνξσρα ρςξ,. Θα βοξύμε ςη μξμξςξμία ρςξ,. Έρςχ λξιπόμ x1, x, με x1 x. Σόςε, x x και επειδή η f είμαι γμηρίχπ αύνξσρα ρςξ, (από ςξ εοώςημα Δ), 1 άοα παίομξσμε (3) f (x) 1 1 f ( x ) f ( x ) f (x ) f (x ). 1 1 f (x 1) f (x ) Θα δείνξσμε ςώοα όςι η f είμαι γμηρίχπ αύνξσρα ρε όλξ ςξ. Αμ x1,x, Αμ x, x, με x1 x ςόςε επειδή η f είμαι γμηρίχπ αύνξσρα ρςξ, άοα f (x 1) f (x ). 1 με x1 x άοα f (x 1) f (x ). ςόςε επειδή η f είμαι γμηρίχπ αύνξσρα ρςξ, Αμ x1 x ςόςε fx ( 1) f () f (x), άοα και πάλι f (x 1) f (x ). Δπξμέμχπ ρε όλεπ ςιπ πεοιπςώρειπ ιρυύει f (x 1) f (x ), άοα η f είμαι γμηρίχπ αύνξσρα ρε όλξ ςξ. 4. Η δξρμέμη ρυέρη γοάτεςαι 1 1 1 ( ) f ( ) 1 f ( ) ( 3) f ά f 11 f ( ) f ελίδα 6 από 8
1 o ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΔΔΚΔΜΒΡΙΟ 15: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΑΠΑΝΣΗΔΙ ος τρόπος Η δξρμέμη ρυέρη γοάτεςαι 1 1 1 1 1 1 1 Άοα 1 1 Δμςελώπ όμξια παίομξσμε 1 1 Ποξρθέςξμςαπ ςιπ παοαπάμχ καςά μέλη παίομξσμε ( ) υόλιξ: Παοαςηοήρςε όςι ξ ξπ Άλγεβοαπ Α Λσκείξσ. ςοόπξπ δεμ απαιςεί ςίπξςε παοαπάμχ από γμώρειπ 5. Θέςξσμε y f (x), με y και έςρι y 1 x x 1 y x y x 1 x y x 1 y x y y y y y x y y y 1 x y y 1 x y y y 1 y 1 y ξπόςε 1 x 1 f (x), x. x υόλιξ: Από ςξμ παοαπάμχ ςοόπξ βγάζξσμε ςξ ρσμπέοαρμα όςι η ενίρχρη y για κάθε y (, ) μία και μόμξ λύρη ρςξ, ςημ x y f (x) έυει 1. σμπεοαίμξσμε λξιπόμ όςι y ελίδα 7 από 8
1 o ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΔΔΚΔΜΒΡΙΟ 15: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΑΠΑΝΣΗΔΙ η f είμαι 1-1 (υχοίπ μα υοειάζεςαι μα κάμξσμε υοήρη ςηπ μξμξςξμίαπ ςηπ) και καςά 1 ρσμέπεια αμςιρςοέφιμη με 1 x 1 f :, και ςύπξ f (x). x ος τρόπος Δείναμε όςι η ρσμάοςηρη f είμαι γμηρίχπ αύνξσρα ρςξ άοα 1-1 ρσμεπώπ είμαι αμςιρςοέφιμη. Θέςξσμε y f (x), με y (λόγχ ςξσ Δ1) και έυξσμε: x 1 x x 1 x x 1x y f ( x) y x 1 x y x 1 x 1 1 y x 1 x x 1 x y Αταιοώμςαπ καςά μέλη ςιπ y x 1 x και 1 y x 1 x παίομξσμε 1 y 1 x y x (4) y y Λόγχ ςξσ όςι για μα τςάρξσμε ρςη ρυέρη (4), υάθηκε η ιρξδσμαμία (διόςι αταιοέραμε καςά μέλη), έυξσμε απξδείνει μόμξ ςη ρσμεπαγχγή f (x) y x g(y), με y 1 g(y), y. Θα ποέπει ςώοα μα δείνξσμε και ςξ αμςίρςοξτξ δηλαδή όςι αμ y x y 1, y ςόςε ιρυύει f (x) y. Ποάγμαςι y 4 y 1 y 1 y 1 y y 1 4y y 1 f (x) f 1 y y y 4y y y y 1 y 1 y 1 y 1 y y y y y Άοα ςελικά, x 1 x 1 f (x) g(x), x Η εκπόμηρη ςξσ διαγωμίρμαςξπ έγιμε με ςη βξήθεια Δθελξμςώμ Δκπαιδεσςικώμ: Σξ θέμα Δ επιμελήθηκε ξ σγκελάκηπ Αλέναμδοξπ, Μαθημαςικόπ ςξσ Ποόςσπξσ Πειοαμαςικξύ Γεμικξύ Λσκείξσ Ηοακλείξσ. Ο επιρςημξμικόπ έλεγυξπ ποαγμαςξπξιήθηκε από ςξσπ Κωμρςαμςόπξσλξ Κωμρςαμςίμξ, Μξςράκξ Βαρίλειξ και ξύγελα Δλέμη. ελίδα 8 από 8