M z ιραπέυξσμ από ςα Α 4,0,Β 4,0

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "M z ιραπέυξσμ από ςα Α 4,0,Β 4,0"

ŌἈμφίων Αλεξάνδρου
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ 6 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΝΔΔΙΚΤΙΚΔΣ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΔΜΑ Α 1. Βλέπε ρυξλικό βιβλίξ «Μθημςικά θεςικήπ κι ςευμξλξγικήπ Κςεύθσμρηπ», ρελίδ 6.. Βλέπε ρυξλικό βιβλίξ «Μθημςικά θεςικήπ κι ςευμξλξγικήπ Κςεύθσμρηπ», ρελίδ ) Λάθξπ Τξ ρύμξλξ ςχμ ρημείχμ Mz ιρπέυξσμ πό ς Α4,,Β 4, επξμέμχπ θ βοίρκξμςι ρςη μερξκάθεςξ ςξσ ΑΒ, άο είμι η εσθεί με ενίρχρη x. β) Σχρςό Αμ fxgx f xgx γι κάθε x κι c ώρςε gx cf x γι κάθε x. f x γι κάθε x ςόςε σπάουει Γι κάθε x ξι ρσμοςήρειπ f,g είμι (χπ πογχγίριμεπ ρςξ ) ρσμευείπ κι f x f x g x f x g x f x g x f x g x gx. Άο σπάουει οιθμόπ fx c ώρςε g x f x c g x cf x γι κάθε x. γ)λάθξπ Ποέπει επιπλέξμ μ ξοίζεςι κι η ετπςξμέμη ρςξ x. δ)σχρςό Σελίδ 1 πό 7

2 Ατξύ β x1 β x1 β f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx άο x1 x1 EΩ E Ω. 1 ε) Σχρςό AB OB 1 ςξ εμβδόμ ςξσ ςοιγώμξσ OAB 1, ξπόςε 1 E(Ω) 1 τ.μ 3 3 ΘΔΜΑ Β Α. Τξ πεδίξ ξοιρμξύ ςηπ f είμι ςξ Af ρσμευώμ ρσμοςήρεχμ. Δίμι πογχγίριμη, με είμι γμηρίχπ ύνξσρ ρςξ Af., ρςξ ξπξίξ είμι ρσμευήπ, χπ άθοξιρμ x 4 f (x) e (x 1), άο η f lim f (x) x lim (e (x 1) ) x x. Άο f (A), lim f (x) x lim (e (x 1) ) x x. Β. Έυξσμε όςι f (A), κι τξύ η f είμι ρσμευήπ, η f (x) έυει μί ςξσλάυιρςξμ οίζ ρςξ. Δπειδή, όμχπ η f είμι γμηρίχπ ύνξσρ, ςόςε η f (x), έυει μί ςξ πξλύ οίζ ρςξ. Άο, σπάουει μξμδικό x, ςέςξιξ ώρςε f (x ), δηλδή η C f ςέμμει κοιβώπ ρε έμ ρημείξ ςξμ άνξμ xx. Γ. 3 i. Πογχγίζξμςπ κςά μέλη ςημ g (x) g(x) f (x), *, έυξσμε: f (x) g (x), διόςι f (x) κι 3g (x) 3g (x)g (x) g (x) f (x) (3g (x) )g (x) f (x) Άο η g είμι γμηρίχπ ύνξσρ ρςξ. 3g (x). ii. Έρςχ x, η μξμδική οίζ ςηπ f (x), δηλδή f (x ). (1) (1) 3 Γι x x, πό ςημ (*) έυξσμε: g (x ) g(x ) f (x ) (g (x ) )g(x ) κι επειδή g (x ), θ είμι g(x ), δηλδή ςξ x είμι οίζ ςηπ Σελίδ πό 7

3 g(x). Όμχπ, η g είμι γμηρίχπ ύνξσρ, άο η οίζ είμι μξμδική. Δπξμέμχπ, η C g ςέμμει ςξμ xx ρςξ ίδιξ ρημείξ με ςημ C f. Δ. g:γν.ύξουσ f (1) e f:γν.ύξουσ g(f (x)) g(e ) f (x) e f (x) f (1) x 1. ΘΔΜΑ Γ Α ςοόπξπ Α. Έρςχ x,. Αοκεί μ πξδείνξσμε όςι ιρυύει lim f (x) f (x ). xx Έυξσμε f (x) 3f (x) x f (x ) 3f (x ) x κι τιοώμςπ βοίρκξσμε: f (x) f (x ) 3f (x) 3f (x ) x x (f (x) f (x ))(f (x) f (x ) 3) x x f (x) f (x ) f (x) f (x ) 3 x x f (x) f (x ) 31 f (x) f (x ) x x x x f (x) f (x ) x x (1) Δπειδή lim( x x ) lim x x, πό ςξ κοιςήοιξ ποεμβξλήπ η (1) μπ δίμει xx xx lim(f (x) f (x )) lim f (x) f (x ). xx xx Β. Έρςχ x,. Από ςξ Α) εοώςημ έυξσμε: x x (f (x) f (x ))(f (x) f (x ) 3) x x f (x) f (x ) 1 x x f (x) f (x ) 3 f (x) f (x ) x x f (x) f (x ) 3 f (x ) 3 lim lim xx xx Άο 1 f (x) f (x) 3. Σελίδ 3 πό 7

4 , ξπόςε f (x), γι κάθε x, Γ. Ιρυύει f (x) 1 f (x) 3 1. Όμχπ f (x) f (x) x,. f (x) 3 πξσ ρημίμει όςι η f ρςοέτει ς κξίλ κάςχ γι κάθε Δπίρηπ fx γι κάθε x,, άο δεμ έυει ρημεί κμπήπ. Δ. Σςη ρυέρη f (x) 3f (x) x, θέςξσμε όπξσ x 4 κι έυξσμε: f (4) 3f (4) 4 f (4) 4 f 4 1. ή Δπειδή όμχπ f(x) 1, ςόςε θ έυξσμε f (4) 1 κι 1 f (4). Άο η ενίρχρη ςηπ ετπςξμέμηπ ςηπ γοτικήπ ποάρςρηπ ςηπ f ρςξ ρημείξ A(4,f (4)) είμι: y f (4) f (4)(x 4) y x Δ. Ατξύ η f είμι κξίλη ρςξ,, η ετπςξμέμη ςηπ θ βοίρκεςι πάμχ πό ςη γοτική ςηπ ποάρςρη, με ενίοερη ςξ ρημείξ επτήπ, ξπόςε θ ιρυύει: f (x) x f (x) x 1, x,. Β ςοόπξπ f (x) 3f (x) x f (x) f (x) x γιςί x f (x) x, (1) 4 η (1) γίμεςι 3 9 f (x) x f (x) x f (x) x ξπόςε f x1 Σελίδ 4 πό 7

5 x f (x) x f x 4 Α. fx 3 9 4x, με xρσμευήπ ρμ άθοξιρμ ρσμευώμ ρσμοςήρεχμ. Β. fx 3 9 4x πογχγίριμη ρμ άθοξιρμ πογχγιρίμχμ ρσμοςήρεχμ 1 9 4x 1 f x 9 4x 9 4x f x 9 4x 4 9 4x 9 4x 9 4x Γ. όςι η f ρςοέτει ς κξίλ κάςχ γι κάθε x,. πξσ ρημίμει Δπίρηπ fx γι κάθε x,, άο δεμ έυει ρημεί κμπήπ f 4 1, Δ. f (4) Άο η ενίρχρη ςηπ ετπςξμέμηπ ςηπ γοτικήπ ποάρςρηπ ςηπ f ρςξ ρημείξ A(4,f (4)) είμι: y f (4) f (4)(x 4) y x Δ. Ατξύ η f είμι κξίλη ρςξ,, η ετπςξμέμη ςηπ θ βοίρκεςι πάμχ πό ςη γοτική ςηπ ποάρςρη, με ενίοερη ςξ ρημείξ επτήπ, ξπόςε θ ιρυύει: f (x) x f (x) x 1, x,. ΘΔΜΑ Δ Α. Τη ρυέρη w iz w iz σφώμξσμε ρςξ ςεςοάγχμξ Σελίδ πό 7

6 w iz w iz w izw iz w izw iz w izw iz w izw iz 4ww izw iwz zz 4ww izw iwz zz w w w 4iwz 4izw z z z * Ιρυύει z z z επίρηπ z επειδή. * Β. Από ςη ρυέρη w w w wz zw z z z f β iβ f i f i f β iβ f f βiβf if β 4β f f β iβf if β 4β f f β 4if β 4iβf f β βf β, (1) Η ενίρχρη ςηπ ετπςξμέμηπ ρε έμ ςσυίξ ρημείξ ςηπ ε : y f x fx x x. A x,f x είμι η εσθεί Γι μ διέουεςι η ε πό ςημ ουή ςχμ νόμχμ ποέπει ςξ ρημείξ Ο, ε ποέπει μ πξδείνξσμε όςι ιρυύει Σςη θέρη ςξσ x x κι η () γίμεςι xf x f xf x xf x f x x x, άο θ f x f x x x f x f x, (). Θεχοξύμε ςη ρσμάοςηρη Θεώοημ ςξσ Rolle. fx ρςξ διάρςημ,β, g x x κι ετομόζξσμε ςξ Η g x είμι πογχγίριμη ρςξ,β χπ πηλίκξ πογχγιρίμχμ ρσμοςήρεχμ άο κι ρσμευήπ g 1 f f β gβ β, άο ιρυύξσμ ξι σπξθέρειπ ςξσ Θεχοήμςξπ ςξσ Rolle Δπξμέμχπ σπάουει ςξσλάυιρςξμ έμ x,β : g x f x xf x x f x xf x f x gx x x x Σελίδ 6 πό 7

7 x f x f x g x x f x f x άο δείνμε ςη () x 4x 4t u 4x 4t dt du 4dt du Γ. Θέςξσμε Υπξλξγίζξσμε ς κιμξύογι όοι ξλξκλήοχρηπ t x u 4x 3 Τξ όοιξ γίμεςι x x4x 4t x x lim f 4x 4t dt 1 4x3 1 1 f u lim du 1 x 4 u (ξ όοξπ x είμι ρςθεοόπ μενάοςηςξπ ςηπ μεςβληςήπ u ) 4x3 4x3 fu f du u fu u du du u u lim 1 lim 1 4 x x 4 x x 4 x lim 4x3 1 x f 4x 3 4x 3 4x 3 4f 4x 3 f 4x 3 lim 1 lim 1 lim 1 x 4 x 4 4x 3 x 4x 3 1 f f f β f f β β, (3). β Θεχοξύμε ςη ρσμάοςηρη hxf x x ρςξ διάρςημ,β κι ετομόζξσμε ςξ Θεώοημ ςξσ Rolle. Η h x είμι πογχγίριμη ρςξ,β χπ διτξοά πογχγιρίμχμ ρσμοςήρεχμ άο κι ρσμευήπ h f, hβ f ββ h h β άο ιρυύξσμ ξι σπξθέρειπ ςξσ Θεχοήμςξπ ςξσ Rolle. Δπξμέμχπ σπάουει ςξσλάυιρςξμ έμ Όμχπ h x f x 1 έςρι έυξσμε h ξ f ξ 1 f ξ 1 ξ,β : h ξ. Σελίδ 7 πό 7

Σχετικά έγγραφα

x και επειδή είμαι ρσμευήπ, διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ. f x 2f x x x x x 2 x x x g x 0 g x f x x 0 f x x, 1 f x 2f x x x x g x 0 για κάθε

x και επειδή είμαι ρσμευήπ, διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ. f x 2f x x x x x 2 x x x g x 0 g x f x x 0 f x x, 1 f x 2f x x x x g x 0 για κάθε 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΔΔΚΔΜΒΡΙΟ 15: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΔΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΠΟΤΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ & ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ 1 ξ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΑΠΑΝΣΗΔΙ (Κετάλαιξ ) [Κετάλαιξ 1