Αναλυτικές ιδιότητες

8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι η a-hölder συνέχεια για κάποιο a. Στόχος αυτής της παραγράφου είναι να δείξουμε ότι η κίνηση Brown είναι τοπικά a-hölder συνεχής για κάθε a (, /2) και όχι για a = /2. Δείχνουμε πρώτα κάποια πιο ακριβή αποτελέσματα που έχουν ενδιαφέρον από μόνα τους. Θεώρημα 8.. Εστω B τυπική κίνηση Brown. Υπάρχει μια σταθερά C > έτσι ώστε με πιθανότητα, υπάρχει h := h (ω) (, ) ώστε για κάθε h (, h ] και για όλα τα t [, h] να ισχύει B(t + h) B(t) C h log h. (8.) Απόδειξη. Χρησιμοποιούμε την κατασκευή της κίνησης Brown που έγινε στην απόδειξη του Θεωρήματος 5.5 στο Παράρτημα Γʹ. Για t, t + h [, ], η (Γʹ.3) δίνει B(t + h) B(t) F k (t + h) F k (t) για κάθε t [, h]. (8.2) k= Από τη σχέση (Γʹ.2), υπάρχει ένας τυχαίος φυσικός k ώστε για k > k να έχουμε F k < C k 2 k/2, (8.3) με C μια απόλυτη σταθερά (μπορούμε να επιλέξουμε C = 2). Αυτό συνεπάγεται και ένα φράγμα για την F k. Γιατί η F k είναι γραμμική μεταξύ σημείων που έχουν απόσταση 2 k και άρα F k 2 F k /2 k 2C k 2 k/2 για κάθε k > k. (8.4) Τώρα κάθε προσθετέος στην (8.2) φράσσεται ως εξής t+h F k (t + h) F k (t) = F k (s) ds F k h, t γιατί η F k είναι συνεχής παντού και διαφορίσιμη εκτός σε πεπερασμένα το πλήθος σημεία. Δηλαδή η F k είναι Lipschitz με σταθερά το πολύ F k. Επειτα παρατηρούμε ότι το φράγμα που δίνει η (8.4) για τη σταθερά Lipschitz της F k μεγαλώνει καθώς το k μεγαλώνει. Αρα δίνει χρήσιμο φράγμα για τη διαφορά F k (t + h) F k (t) μέχρι ένα k. Για τα μεγαλύτερα k η διαφορά F k (t + h) F k (t) θα είναι μικρή όχι επειδή το h είναι μικρό και η F k ελεγχόμενου μεγέθους, αλλά επειδή καθεμία από τις ποσότητες F k (t + h), F k (t) είναι πολύ μικρές, όπως λέει η (8.3). Με βάση αυτό το σκεπτικό, σταθεροποιούμε n > k 59

6 Αναλυτικές ιδιότητες και φράσσουμε το δεξί μέλος της (8.2) ως εξής: k n F k (t + h) F k (t) h F k + h F k + 2 F k k= k=k k=n k n h F k + 2C h k 2 k/2 + 2C k 2 k/2 k= k= k=k k=n k h F k + 2C h n 2 n/2 4 + 2C n 2 n/2 2 k= k = h F k + 8C h n 2 n/2 + 4C n 2 n/2. (8.5) k= Υπάρχει (τυχαίο) h(k ) ώστε h k k= F k < h log(/h) για h [, h(k )). Μπορούμε να υποθέσουμε ότι h(k ) < /2 k. Τώρα, για h (, h(k )) υπάρχει μοναδικό n > k ώστε 2 n < h < 2 n. Τότε n < (/ log 2) log(/h), 2 n < /h, 2 n < 2h. Επικαλούμαστε το πιο πάνω φράγμα για αυτό το n. Και το φράγμα που παίρνουμε είναι B(t + h) B(t) h log h + 8C + 4 2C h = C log log 2 log 2 h, με τη C επίσης απόλυτη σταθερά (π.χ., η επιλογή C = 2 δουλεύει). Ετσι προκύπτει το ζητούμενο. Σχόλιο. Στην προηγούμενη απόδειξη, για δεδομένο h, πώς βρήκαμε το n για το οποίο εφαρμόσαμε την (8.5); Αγνοώντας τις σταθερές, εξισώσαμε τους δύο τελευταίους όρους. Δηλαδή θέσαμε h n 2 n/2 = n 2 n/2. Και αυτό γιατί, καθώς το n αυξάνει, ο τελευταίος όρος μειώνεται αλλά ο πρώτος αυξάνει. Ο πρώτος είναι μικρός λόγω της παρουσίας του h. Βρίσκουμε λοιπον το n στο οποίο οι όροι είναι της ίδιας τάξης. Είναι ανώφελο να κάνουμε τον τελευταίο όρο πολύ μικρό αν ο άλλος αυξάνει. Ισχύει το εξής αποτέλεσμα, το οποίο δεν θα αποδείξουμε. Με πιθανότητα ισχύει lim sup h + t [, h] B(t + h) B(t) 2h log h Αρα το φράγμα που δίνει το δεξί μέλος της (8.) δεν μπορεί να βελτιωθεί ουσιαστικά, δηλαδή να αντικατασταθεί με συνάρτηση που τείνει στο καθώς h + πιό σύντομα από την h log(/h). Ορισμός 8.2. Εστω f : A R συνάρτηση με πεδίο ορισμού A R. Για α [, ) και x A, η f λέγεται τοπικά α-hölder συνεχής στο x αν υπάρχουν δ > και C R ώστε για όλα τα x A με x x < δ. f (x) f (x ) C x x α Το φράγμα h log(/h) του πιο πάνω θεωρήματος δίνει εύκολα την α-hölder συνέχεια για α < /2. Το αποδεικνύουμε τυπικά. Πόρισμα 8.3. Εστω α [, /2). Με πιθανότητα, η κίνηση Brown είναι τοπικά α-hölder συνεχής. Απόδειξη. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα 8. για καθεμία από τις τυπικές κινήσεις Brown B (k) (t) = B(k + t) B(k), t. Υπάρχουν τυχαία h k = h k (ω) (, ), k N, ώστε B(t + h) B(t) C =. h log h

8.2 Μη διαφορισιμότητα* 6 για κάθε t [k, k + ), και h (, h k ((k + ) t)). Εστω α (, /2). Θέτουμε C α := sup h (,) h /2 α log(/h) (, ). Το τελευταίο sup είναι πεπερασμένο γιατί lim h + h /2 α log(/h) = αφού a < /2. Για t (k, k + ) με k N, έχουμε ότι B(t + h) B(t) h α CC α για κάθε h με h < h k (t k) ((k + ) t) =: δ t. Ο αριθμός δ t είναι θετικός. Αρα η B είναι α-hölder συνεχής στο t. Η περίπτωση που ο t N αφήνεται στον αναγνώστη. 8.2 Μη διαφορισιμότητα* Εστω συνάρτηση f : A R, με A R, x A και C (, ). Λέμε ότι η f είναι Lipschtz στο x με σταθερά C αν υπάρχει δ > ώστε για κάθε x A (x δ, x + δ) να ισχύει f (x) f (x ) C x x. Προφανώς αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη (με πεπερασμένη παράγωγο) σε ένα σημείο x εσωτερικό του πεδίου ορισμού της, τότε είναι Lipschtz στο x με σταθερά f (x ) +. Θεώρημα 8.4. Με πιθανότητα, η κίνηση Brown δεν είναι διαφορίσιμη σε κανένα σημείο του [, ). Απόδειξη. Για n και C (, ) θέτουμε A n (C) := {ω : υπάρχει s [, ] ώστε B(t) B(s) C t s για t [s (3/n), s + (3/n)] [, ]}. Τότε η A n (C) είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων με ένωση το σύνολο A(C) := {ω : η B είναι Lipschitz με σταθερά C σε κάποιο s [, ]}. Επομένως P(A(C)) = lim n P(A n (C)). Θα δείξουμε ότι αυτό το όριο ισούται με. Για k {, 2,..., n 2}, θέτουμε { ( ) ( ) k + j k + j X n,k = max B B : j =,, 2} n n και τέλος B n (C) := n 2 k= {X n,k 5C/n}. Ισχυρισμός: A n (C) B n (C). Για ω A n (C), έστω s το σημείο που δίνεται στον ορισμό του A n (C). Το s θα βρίσκεται μέσα σε ένα διάστημα μήκους 3/n της μορφής [(k )/n, (k + 2)/n] για κάποιο k {,..., n 2}. Ας υποθέσουμε ότι το s βρίσκεται στο δεξιό τρίτο του διαστήματος, δηλαδή στο [(k + )/n, (k + 2)/n]. Τότε ( ) ( ) k k ( ) B B k n n B ( ) B(s) n + k B(s) B n C k n s + C s k n C 2 n + C 3 n = C 5 n. Ομοια δείχνουμε ότι B((k+)/n) B(k/n) 3C/n, B((k+2)/n) B((k+)/n) 2C/n, οπότε X n,k 5C/n. Αν βέβαια το s δεν ανήκει στα διαστήματα [, /n], [(n )/n, ], τότε επιλέγουμε ένα k ώστε το s να ανήκει στο [k/n, (k + )/n] και τότε θα παίρναμε φράγμα X n,k 3C/n. Οι τυχαίες μεταβλητές {X n,k : k =, 2,..., n 2} έχουν την ίδια κατανομή. Αρα P(A n (C)) P(B n (C)) (n 2) P(X n, 5C/n) ( ( ) = n P B B() n 5C ( ) ( ) n, 2 B B 5C ( ) n n n, 3 B B n ( ( ) = n P B 5C ) 3 = n ( P ( B() 5C/ n )) ( 3 n n n ( 2 n ) 5C ) n 2π 5C n ) 3 = C n.

62 Αναλυτικές ιδιότητες Αρα προκύπτει ότι P(A(C)) =. Τέλος, επειδή {ω : η B είναι Lipschitz σε κάποιο s [, ]} = r= A(r), το σύνολο στο αριστερό μέλος έχει πιθανότητα. Το αποτέλεσμα για το [, ) προκύπτει με προφανή τρόπο από το αποτέλεσμα στο [, ]. 8.3 Κύμανση και τετραγωνική κύμανση Εστω f : [a, b] R και p >. Για κάθε διαμέριση := {a = t < t < < t n = b} του [a, b], ορίζουμε την p-κύμανση της f ως προς τη ως και την κύμανση της f ως V p ( f, ) := n f (t k ) f (t k ) p k= V ( f, [a, b]) := sup{v ( f, ) : διαμέριση του [a, b]}. Στην ανάλυση ορίζεται επίσης η τετραγωνική κύμανση V 2 ( f, [a, b]) της f στο [a, b] ως το supremum της V 2 ( f, ) πάνω σε όλες τις διαμερίσεις του [a, b]. Στη θεωρία των στοχαστικών ανελίξεων ο όρος τετραγωνική κύμανση αναφέρεται σε άλλο αντικείμενο το οποίο θα δούμε αμέσως. Για μια διαμέριση = {a = t < t < < t k = b} ενός διαστήματος [a, b], ορίζουμε τη λεπτότητά της ως = max{ t i t i : i =, 2,..., k}. Ορισμός 8.5. Εστω (X t ) t στοχαστική ανέλιξη και [a, b] [, ). Αν υπάρχει τυχαία μεταβλητή Y ώστε για κάθε ακολουθία διαμερίσεων ( n ) n με n η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών ( V2 (X, n ) ) n συγκλίνει κατά πιθανότητα στην Y, τότε ονομάζουμε την Y τετραγωνική κύμανση της X στο [a, b] και τη συμβολίζουμε με X, X [a,b]. Διατυπώνουμε χωρίς απόδειξη το εξής αποτέλεσμα για την τετραγωνική κύμανση συνεχών martingales. Θα το χρειαστούμε μόνο για την Ασκηση.. Η απόδειξή του δίνεται στο Revuz and Yor (999) (Πρόταση.2 του Κεφαλαίου IV). Πρόταση 8.6. Εστω (X t ) t martingale με συνεχη μονοπάτια και E(X 2 t ) < για κάθε t το οποίο έχει τετραγωνική κύμανση X, X [,t] = για κάθε t >. Τότε με πιθανότητα ισχύει X t = X για κάθε t. Συμβολισμός: Στο εξής, για την κίνηση Brown, αντί B(t) θα γράφουμε B t. Θεώρημα 8.7. Για κάθε a < b, η τετραγωνική κύμανση της κίνησης Brown στο διάστημα [a, b] ισούται με b a. Επιπλέον: (i) Για οποιοδήποτε ακολουθία διαμερίσεων ( n ) n με n ισχύει καθώς n. V 2 (B, n ) b a στον L 2 Δείξαμε και κάτι παραπάνω. Δηλαδή ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας (P(A n (C))) n ισούνται με γιατί αυτή είναι μη αρνητική, αύξουσα, και τείνει στο μηδέν.

8.3 Κύμανση και τετραγωνική κύμανση 63 (ii) Για κάθε ακολουθία διαμερίσεων ( n ) n με n= n < ισχύει καθώς n. V 2 (B, n ) b a με πιθανότητα Απόδειξη. Εστω := {a = t < t < < t k = b} μια διαμέριση του [a, b]. Θέτουμε Y i := (B ti B ti ) 2 (t i t i ) για i =, 2,..., k. Τότε 2 { k k V2 (B, ) (b a) }2 = Y i = Yi 2 + 2 Y i Y j. i= i= i< j k Οι τυχαίες μεταβλητές {Y i : i k} είναι ανεξάρτητες με E(Y i ) = E{(B ti B ti ) 2 } (t i t i ) = και E(Y 2 i ) = E{(B t i B ti ) 4 } 2(t i t i ) E{(B ti B ti ) 2 } + (t i t i ) 2 = (t i t i ) 2 E(Z 4 ) (t i t i ) 2 με Z N(, ). Ομως E(Z 4 ) = 3 από το Λήμμα Αʹ., οπότε E(Y 2 i ) = 2(t i t i ) 2. Συνδυάζοντας τα παραπάνω, βρίσκουμε E { V 2 (B, ) (b a) }2 = k (t i t i ) 2 (b a). (8.6) i= Ετσι ο ισχυρισμός (i) έπεται αμέσως. Για τον (ii) θέτουμε U n := V 2 (B, n ) b a. Από την προηγούμενη σχέση και την υπόθεση, E( n= Un) 2 = n= E(Un) 2 <. Αρα με πιθανότητα έχουμε n= Un 2 < και επομένως lim n U n =. Μια συνηθισμένη ακολουθία διαμερίσεων του [a, b] που ικανοποιεί την υπόθεση του (ii) είναι αυτή που έχει n := { a = t (n) < t (n) < < t (n) 2 = b } με t (n) (b a) n j = a + j 2 n για κάθε j =,,..., 2 n. Το προηγούμενο θεώρημα δίνει εύκολα ότι, με πιθανότητα, η κίνηση Brown δεν είναι φραγμένης κύμανσης και θα το δούμε αμέσως. Αυτό βέβαια έπεται και από το Θεώρημα 8.4 γιατί μια συνάρτηση φραγμένης κύμανσης είναι διαφορίσιμη σχεδόν παντού. Ο τελευταίος ισχυρισμός όμως είναι ένα αρκετά δύσκολο θεώρημα (δες Κουμουλλής Γ. και Νεγρεπόντης Σ (99), Θεώρημα 4.8). Πόρισμα 8.8. Με πιθανοτητα, σε οποιοδήποτε υποδιάστημα του [, ) η κίνηση Brown έχει άπειρη κύμανση. Απόδειξη. Εστω a < b με a, b ρητούς. Θεωρούμε ακολουθία διαμερίσεων ( n ) n του [a, b] με n= n <. Εστω n := { = t (n) < t (n) < < t (n) k(n) = t}. Υπάρχει μετρήσιμο σύνολο Ω (a, b) Ω με πιθανότητα ώστε για κάθε ω σε αυτό το σύνολο να ισχύει lim n V 2 (B, n ) = b a και η B(= B ω ) να είναι συνεχής. Ισχύει V 2 (B, n ) sup B t (n) B j t (n) V (B, n ). j j k(n) Εστω ω Ω (a, b). Για n, το αριστερό μέλος της σχέσης συγκλίνει στο b a και το sup B t (n) B j t (n) j j k(n) αφού η συγκεκριμένη πραγματοποίηση της B είναι ομοιόμορφα συνεχής στο [a, b] ως συνεχής. Επεται ότι V (B, n ). Αρα στο Ω (a, b) ισχύει V (B, [a, b]) lim n V (B, n ) =.

64 Αναλυτικές ιδιότητες Τώρα το σύνολο Ω := a<b Ω (a, b) έχει πιθανότητα, και για ω Ω και a < b βρίσκουμε a,b Q ρητούς p, q με a < p < q < b, και άρα V (B, [a, b]) V (B, [p, q]) =. Πρόταση 8.9. Εστω f : R R συνεχής, t >, και για κάθε n, n := { = t (n) < t (n) < < t (n) k(n) = t} διαμέριση του [, t] ώστε n. Τότε κατά πιθανότητα καθώς n. k(n) j= Η απόδειξη δίνεται στο Παράρτημα Γʹ. t f (B t (n) )(B j t (n) B j t (n) ) 2 j f (B s ) ds (8.7) Παρατήρηση 8.. Εξαιτίας της (8.7), έχουμε για τα διαφορικά τη σχέση (db s ) 2 = ds. (8.8) Αυτό γιατί αν ακολουθούσαμε τις συμβάσεις συμβολισμού της ολοκλήρωσης Stieljes, θα έπρεπε να συμβολίζουμε το όριο του αριστερού μέλους της (8.7) με t f (B s) (db s ) 2. Κατανοούμε διαισθητικά την (8.8) σαν να λέει ότι το τετράγωνο της μεταβολής της κίνησης Brown σε ένα διάστημα απειροστού μήκους ds ισούται με το μήκος του διαστήματος. Στην καρδιά αυτή της σχέσης βρίσκεται το ότι για s, s >, η (B s+ s B s ) 2 έχει μέση τιμή s. Παρατήρηση 8. (Ιδιότητες με πιθανότητα ). Είναι βολικό, όταν μια ιδιότητα A ισχύει με πιθανότητα να γράφουμε «με πιθανότητα ισχύει το A» αντί να γράφουμε «P(A) =». Αυτό κάναμε για παράδειγμα στη διατύπωση των Θεωρημάτων 8., 8.4. Χρειάζεται όμως να προσέχουμε πού γράφουμε το «με πιθανότητα». Για παράδειγμα, οι φράσεις Με πιθανότητα, για κάθε t η B δεν είναι διαφορίσιμη στο t. Για κάθε t, με πιθανότητα η B δεν είναι διαφορίσιμη στο t. σημαίνουν κάτι διαφορετικό. Και, αν τις γράφαμε τυπικά, αυτό θα ήταν σαφές, γιατί γράφονται P(για κάθε t η B δεν είναι διαφορίσιμη στο t) =. Για κάθε t, P(η B δεν είναι διαφορίσιμη στο t) =. Η πρώτη συνεπάγεται τη δεύτερη, και, όπως ξέρουμε, η πρώτη είναι αληθής (Θεώρημα 8.4). Φυσιολογικά, η απόδειξη της είναι πιο δύσκολη από αυτήν της δεύτερης ( Ασκηση 5.). Ας δούμε όμως δύο άλλες αντίστοιχες φράσεις. Με πιθανότητα, για κάθε t η B δεν έχει τοπικό μέγιστο στο t. Για κάθε t, με πιθανότητα η B δεν έχει τοπικό μέγιστο στο t. Η δεύτερη είναι σωστή ( Ασκηση 5.9), ενώ η πρώτη είναι λάθος. Γιατί κάθε μονοπάτι (πραγματοποίηση) της B είναι μια συνεχής και μη μονότονη συνάρτηση ( Ασκηση 8.), άρα θα έχει σημεία τοπικού μεγίστου. Η τυπική περιγραφή του φαινομένου αυτού είναι ως εξής. Εστω A t ένα γεγονός που αφορά την συμπεριφορά της κίνησης Brown στο σημείο t. Τότε P( t A t ) = συνεπάγεται ότι για κάθε r ισχύει P(A r ) =. (8.9) Αυτό ισχύει γιατί για οποιοδήποτε r έχουμε t A t A r, το αντίστροφο όμως της (8.9) δεν προκύπτει τυπικά γιατί η t A t είναι υπεραριθμήσιμη τομή συνόλων με πιθανότητα, και η ίδια δεν είναι απαραίτητο να έχει πιθανότητα.

8.3 Κύμανση και τετραγωνική κύμανση 65 Ασκήσεις 8. Να δειχθεί ότι, με πιθανότητα, για οποιοδήποτε υποδιάστημα I του [, ) με θετικό μήκος, η κίνηση Brown δεν είναι μονότονη στο I. 8.2 Εστω ( n ) n ακολουθία διαμερίσεων του [, t], με n := { = t (n) < t (n) < < t (n) k(n) = t} για κάθε n, ώστε n. Τότε για κάθε ε > να δειχθεί ότι στον L 2 (P) καθώς n. k(n) (B t (n) j j= B t (n) ) 2+ε (8.) j 8.3 Η άσκηση αυτή αναφέρεται στην απόδειξη της Πρότασης 8.9 στο Παράρτημα Γʹ. Με τις υποθέσεις της Πρότασης 8.9, αν έχουμε επιπλέον ότι υπάρχει σταθερά C R ώστε E( f (B s ) 2 ) C για κάθε s [, t], να δειχθεί ότι η μέση τιμή του τετραγώνου της (Γʹ.) φράσσεται από k(n) 2C j= (t (n) j t (n) j )2. Αρα σε αυτή την περίπτωση, η σύγκλιση στην (8.7) ισχύει στον L 2 (P). 8.4 ( Απειρη κύμανση) Εστω ( n ) n ακολουθία διαμερίσεων του [, t], με n := { = t (n) < t (n) < < t (n) k(n) = t} για κάθε n, ώστε n. Θέτουμε A := E( B ) = 2/π, και για κάθε n, k(n) L n := B t (n) j j= B t (n) j (α) Να δειχθεί ότι E(L n ) At/ n /2. (β) Να δειχθεί ότι Var(L n ) = ( A 2 )t. (γ) Με χρήση της ανισότητας Chebyshev, να βρεθεί άνω φράγμα για την πιθανότητα ( P L n < ) 2 E(L n). (δ) Αν n= n <, να δειχθεί ότι με πιθανότητα, L n καθώς n. 8.5 Εστω ανελίξεις (X t ) t, (Y t ) t οι οποίες με πιθανότητα έχουν συνεχή μονοπάτια και σε κάθε πεπερασμένο διάστημα η X έχει φραγμένη κύμανση, ενώ η Y έχει τετραγωνική κύμανση (πεπερασμένη ή άπειρη). Να δειχθεί ότι η X + Y έχει τετραγωνική κύμανση X + Y, X + Y [,t] = Y, Y [,t] για κάθε t >. 8.6 Εστω u : [, ) Ω R μετρήσιμη συνάρτηση ώστε με πιθανότητα να ισχύει για κάθε t >. Θεωρούμε την ανέλιξη X με t X t := u(s, ω) ds < t u(s, ω) ds για κάθε (t, ω) [, ) Ω. Να δειχθεί ότι με πιθανότητα η X έχει πεπερασμένη κύμανση σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.

66 Αναλυτικές ιδιότητες

Μέρος III Το ολοκλήρωμα Itô

68