Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26

Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας υλικού διδασκαλίας το οποίο χρησιμοποιήθηκε, κατά καιρούς, σε παραδόσεις του μαθήματος Μιαδική Ανάλυση ή μαθημάτων που περιείχαν στην ύλη τους στοιχεία Μιαδικής Ανάλυσης, τα οποία διδάχθηκαν στα τμήματα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης, Μαθηματικών και Στατιστικής του Πανεπιστημίου Κύπρου και Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιαίου. Το μεαλύτερο μέρος των σημειώσεων έχει αναρτηθεί στη Πλατφόρμα Ηλεκτρονικής Μάθησης Moodle του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιαίου. Η παρούσα μορφή αποτελεί ουσιαστικά την πρώτη ολοκληρωμένη, αλλά υπό εξέλιξη, ραφή. ΕΙΙΙa, Ιούλιος 26 Ε.Σ. iii

Περιεχόμενα Οι μιαδικοί αριθμοί. Το σώμα των μιαδικών αριθμών.................................2 Το μέτρο ο συζυής και το όρισμα μιαδικού αριθμού.................... 4.3 Το μιαδικό επίπεδο....................................... 8.3. Τριωνομετρική μορφή μιαδικού αριθμού....................... 9.4 Γεωμετρικοί τόποι στο μιαδικό επίπεδο........................... 2.5 Ασκήσεις.............................................. 4 2 Τοπολοία στο μιαδικό επίπεδο 7 2. Ακολουθίες και σειρές...................................... 7 2.2 Στοιχεία τοπολοίας....................................... 2 2.3 Συναρτήσεις............................................ 23 2.4 Συμπαοποίηση του C...................................... 26 2.4. Στερεοραφική προβολή................................. 27 2.4.2 Το σημείο στο άπειρο.................................. 29 2.5 Ασκήσεις.............................................. 3 3 Διάφορες Συναρτήσεις 33 3. Η εωμετρική σειρά........................................ 33 3.2 Η εκθετική συνάρτηση...................................... 33 3.3 Τριωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις........................ 35 3.4 Ο λοάριθμος............................................ 37 3.5 Δυνάμεις.............................................. 39 3.6 Ασκήσεις.............................................. 4 4 Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 4. Η μιαδική παράωος...................................... 4 4.2 Οι συνθήκες Cauchy-Riemann.................................. 45 4.3 Ασκήσεις.............................................. 5 5 Δυναμοσειρές 53 5. Μιαδικές δυναμοσειρές..................................... 53 5.2 Παράωος δυναμοσειράς.................................... 58 v

vi 5.3 Οι ρίζες δυναμοσειράς...................................... 63 5.4 Ασκήσεις.............................................. 64 6 Μιαδική ολοκλήρωση 67 6. Καμπύλες.............................................. 67 6.2 Επικαμπύλια ολοκληρώματα.................................. 7 6.3 Ασκήσεις.............................................. 77 7 Το ϑεώρημα του Cauchy Ι 79 7. Το ϑεώρημα του Cauchy..................................... 79 7.2 Παραμορφώσεις καμπυλών................................... 85 7.3 Ο τύπος του Cauchy....................................... 87 7.4 Οι παράωοι αναλυτικής συνάρτησης............................. 9 7.5 Το ανάπτυμα σε δυναμοσειρά................................. 92 7.6 Ασκήσεις.............................................. 94 8 Το ϑεώρημα του Cauchy ΙΙ 97 8. Δείκτης σημείου ως προς καμπύλη............................... 97 8.2 Το ϑεώρημα του Cauchy..................................... 8.3 Ασκήσεις.............................................. 5 9 Ανώμαλα σημεία και σειρές Lawrent 7 9. Ανώμαλα σημεία.......................................... 7 9.2 Σειρές Laurent........................................... 2 9.3 Ασκήσεις.............................................. 2 Ολοκληρωτικά υπόλοιπα 2. Το ϑεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων......................... 2.2 Υπολοισμός πραματικών ολοκληρωμάτων.......................... 25.2. Ολοκληρώματα τριωνομετρικών συναρτήσεων στο [, 2π]............. 25.2.2 Καταχρηστικά ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων................. 29.2.3 Μετασχηματισμοί Fourier................................ 32.2.4 Ολοκληρώματα με εκοπή κλάδου........................... 36.2.5 Διάφορα χαρακτηριστικά ολοκληρώματα....................... 4.3 Ασκήσεις.............................................. 46.4 Παράρτημα: Η ανισότητα του Jordan............................. 48 Ιδιότητες αναλυτικών συναρτήσεων 5. Οι ρίζες αναλυτικής συνάρτησης................................ 5.2 Η αρχή του μείστου....................................... 53.3 Το Λήμμα του Schwarz...................................... 55.4 Το ϑεώρημα της ανοικτής απεικόνισης............................. 55.5 Ασκήσεις.............................................. 56

Κεφάλαιο Οι μιαδικοί αριθμοί. Το σώμα των μιαδικών αριθμών Η εξίσωση x 2 + = δεν έχει λύση στους πραματικούς αριθμούς αφού x 2, ια κάθε πραματικό αριθμό x. Διατυπώνεται λοιπόν το ερώτημα κατά πόσον υπάρχει ένα σύστημα αριθμών που κατά κάποια έννοια επεκτείνει τους πραματικούς αριθμούς και είναι τέτοιο ώστε η εξίσωση x 2 + = να έχει λύση. Αποδεικνύεται ότι ένα τέτοιο σύστημα υπάρχει και αυτό είναι το σώμα των μιαδικών αριθμών. Στη συνέχεια με R συμβολίζουμε το σύνολο των πραματικών αριθμών με N το σύνολο των φυσικών και με Z το σύνολο των ακεραίων αριθμών. Επίσης με Q συμβολίζουμε τους ρητούς αριθμούς. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ. Στο σύνολο R R με τη νωστή πρόσθεση ορίζουμε την πράξη του πολαπλασιασμού με τη σχέση Παρατηρούμε ότι ια (x, y) R 2 (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ) (.) (x, y )(x 2, y 2 ) = (x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y ). (.2) (x, y) + (, ) = (x, y) (.3) (x, y) + ( x, y) = (, ) (.4) (x, y)(, ) = (x, y), (.5) δηλαδή το (, ) είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, το ( x, y) είναι το αντίθετο του (x, y), ενώ το (, ) είναι ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Εάν (x, y) (, ) και (a, b) είναι το αντίστροφο στοιχείο του (x, y), εάν αυτό υπάρχει, τότε ϑα πρέπει (x, y)(a, b) = (xa yb, xb + ya) = (, ). Υπενθυμίζουμε ότι (x, y ) = (x 2, y 2 ) εάν και μόνον εάν x = x 2 και y = y 2, τότε από την παραπάνω ισότητα προκύπτουν οι σχέσεις xa yb = και xb + ya =. Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε a = x x 2 + y, b = y 2 x 2 + y. 2

2. Οι αριθμοί a και b υπάρχουν, καθόσον x 2 + y 2 > οποτεδήποτε (x, y) (, ), επομένως το αντίστροφο του (x, y) το οποίο συμβολίζουμε με (x, y) είναι το ( (x, y) x = x 2 + y, y ). 2 x 2 + y 2 (.6) Το σύνολο των σημείων z = (x, y) R R εφοδιασμένο με τις πράξεις (.) και (.2) συμβολίζουμε με C και τα στοιχεία του καλούμε μιαδικούς αριθμούς (complex numbers). Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι το C είναι σώμα, ικανοποιούνται δηλαδή οι νόμοι I. z + z 2 = z 2 + z, ια κάθε z, z 2 στο C. II. (z + z 2 ) + z 3 = z + (z 2 + z 3 ), ια κάθε z, z 2, z 3 στο C. III. Υπάρχει ο μοναδικός μιαδικός αριθμός = (, ), έτσι ώστε z + = z, ια κάθε z C. IV. Για κάθε z C υπάρχει μοναδικός μιαδικός αριθμός z, έτσι ώστε z + ( z) =. V. z z 2 = z 2 z, ια κάθε z, z 2 στο C. VI. (z z 2 )z 3 = z (z 2 z 3 ), ια κάθε z, z 2, z 3 στο C. VII. Υπάρχει ο μοναδικός μιαδικός αριθμός = (, ), έτσι ώστε z = z, ια κάθε z C. VIII. Για κάθε z C με z υπάρχει μοναδικός μιαδικός αριθμός z έτσι ώστε z z =. IX. z (z 2 + z 3 ) = z z 2 + z z 3, ια κάθε z, z 2, z 3 στο C. Απόρροια των πράξεων (.) και (.2) είναι ότι (x, y) = (x, ) + (, y) και (, )(y, ) = (, y), έτσι κάθε μιαδικός αριθμός μπορεί να ραφεί στη μορφή (x, y) = (x, ) + (, )(y, ). (.7) Εάν x είναι ένας πραματικός αριθμός, σημείο της ευθείας, μπορεί να ταυτοποιηθεί με το (x, ), σημείο του επιπέδου. Επιπλέον παρατηρούμε ότι (x, ) + (x 2, ) = (x + x 2, ), (x, )(x 2, ) = (x x 2, ), δηλαδή το σώμα των μιαδικών αριθμών επεκτείνει κατά φυσιολοικό τρόπο το σώμα των πραματικών αριθμών, και υπό το πρίσμα της ταυτοποίησης x (x, ) μπορούμε να ϑεωρούμε ότι R C. Στη συνέχεια ϑα ράφουμε αντί ια και αντί ια. παραπάνω ταυτοποίηση η (.7) ράφεται Θέτοντας i = (, ) σύμφωνα με την (x, y) = x + iy. (.8) Ο μιαδικός αριθμός i λέεται φανταστική μονάδα (imaginary unit) ια λόους που ϑα ίνουν κατανοητοί παρακάτω. Εάν z = (x, y) είναι ένας μιαδικός αριθμός από εδώ και στο εξής ϑα ράφουμε z = x + iy. Εάν z = x + iy και z 2 = x 2 + iy 2 είναι μιαδικοί αριθμοί τότε το άθροισμα z + z 2 και το ινόμενο z z 2 δίνονται, μέσω των (.) και (.2), από τις σχέσεις z + z 2 = (x + iy ) + (x 2 + iy 2 ) = (x + x 2 ) + i(y + y 2 ) (.9) z z 2 = (x + iy )(x 2 + iy 2 ) = (x x 2 y y 2 ) + i(x y 2 + x 2 y ). (.) Οπως και στους πραματικούς αριθμούς, επαωικά ορίζουμε z n+ = z n z, ια κάθε φυσικό αριθμό n. Παρατηρούμε ότι i 2 = (, )(, ) = (, ), ή i 2 =, εονός που δικαιολοεί την ονομασία φανταστική μονάδα. Επειδή i = (, ) ϑα είναι ( i) 2 = (, )(, ) = (, ), ή ( i) 2 =. Βλέπουμε λοιπόν ότι i 2 + = και ( i) 2 + =.

.. 3 Παρατήρηση.. Ας ϑεωρήσουμε τον μιαδικό αριθμό z = x + iy. Από τον αντιμεταθετικό νόμο (νόμος V) έχουμε iy = yi οπότε ο μπορούμε να ράφουμε z = x + iy, ή z = x + yi. Επειδή i( y) = ( y)i = ( )yi = ( )iy και i( y) + iy = i( y + y) = i =, συνδυάζοντας τα δύο αποτελέσματα συμπεραίνουμε ότι i( y) = ( )iy = iy. Ετσι από τις (.8), (.4) και (.6) έπεται ότι οι z και z, εφόσον z, δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις z = z = x + i( y) = x iy (.) x x 2 + y + i y 2 x 2 + y = x 2 x 2 + y i y 2 x 2 + y 2 (.2) Παρατήρηση.2. Εστω z = x + iy και z 2 = x 2 + iy 2, τότε κάνοντας χρήση του νόμου IX (επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση) υπολοίζουμε z z 2 = (x + iy )(x 2 + iy 2 ) = x (x 2 + iy 2 ) + iy (x 2 + iy 2 ) (νόμος IX) = x x 2 + x iy 2 + iy x 2 + iy iy 2 (νόμος IX) = x x 2 + ix y 2 + iy x 2 + i 2 y y 2 (νόμος V) = x x 2 + ix y 2 + iy x 2 y y 2 (i 2 = ) = (x x 2 y y 2 ) + i(x y 2 + x 2 y ) (νόμος IX) που είναι η (.). Ο πολλαπλασιασμός δηλαδή, μιαδικών αριθμών μπορεί να εκτελεσθεί με χρήση της οικείας, από τους πραματικούς αριθμούς, επιμεριστικής ιδιότητας. Παρατήρηση.3. Εάν z = x +iy και z 2 = x 2 +iy 2, είναι μιαδικοί αριθμοί, όπως στους πραματικούς αριθμούς, η αφαίρεση και το πηλίκο ορίζονται, αντίστοιχα, με τις σχέσεις z z 2 = z + ( z 2 ) = (x + iy ) + ( x 2 + i( y 2 )) = (x x 2 ) + i(y y 2 ) (.3) z ( = z z 2 z = (x x 2 y ) 2 + iy ) 2 x 2 2 + + i y2 x 2 2 2 + = x x 2 + y y 2 y2 x 2 2 2 + + i x y 2 + x 2 y y2 x 2 2 2 +. (.4) y2 2 Παρατηρούμε ότι ια z = = + i και z 2 = z = x + iy από την τελευταία σχέση έπεται z = Επακόλουθο της τελευταίας αυτής σχέσης είναι η x x 2 + y + i y 2 x 2 + y = 2 z. (.5) z z 2 = z z 2. (.6)

4. Εστω ο μιαδικός αριθμός z = x + iy, τότε από τον ορισμό του C έχουμε ότι x R και y R. Ο x λέεται πραματικό μέρος (real part) του z και ράφουμε x = Re z, και ο y λέεται φανταστικό μέρος (imaginary part) του z και ράφουμε y = Im z. Ετσι εάν z R τότε Re z = z και Im z =, ενώ εάν z = iy, με y R, τότε Re z = και Im z = iz. Οι μιαδικοί αριθμοί z = x + iy και z 2 = x 2 + iy 2 είναι ίσοι και ράφουμε z = z 2, εάν και μόνον εάν x = x 2 και y = y 2, ισοδύναμα Re z = Re z 2 και Im z = Im z 2. Δείξαμε λοιπόν ότι το σώμα των μιαδικών αριθμών C αποτελεί μία φυσιολοική επέκταση των πραματικών αριθμών, όπου στο σύστημα αυτό η εξίσωση z 2 + = έχει λύση. Κλείνουμε αυτή τη παράραφο με μία παρατήρηση. Δεν υπάρχει στο C μία διάταξη που να είναι συμβατή με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και να επεκτείνει τη νωστή διάταξη του R. Πράματι αν υποθέσουμε ότι μία τέτοια υπάρχει και αν τη συμβολίσουμε με, τότε ϑα πρέπει να ισχύει, όπως και στους πραματικούς αριθμούς. Επίσης ένα από τα δύο είναι αληθές: είτε i, είτε i. Εάν i, τότε πολλαπλασιάζοντας με i παίρνουμε i i 2, ή ισοδύναμα, ή ισοδύναμα που είναι άτοπο. Ομοια εάν i τότε πολλαπλασιάζοντας πάλι με i ϑα είχαμε i i 2, ή ισοδύναμα, ή ισοδύναμα που είναι επίσης άτοπο..2 Το μέτρο ο συζυής και το όρισμα μιαδικού αριθμού Μέτρο (modulus) του μιαδικού αριθμού z = x + iy ορίζεται να είναι ο πραματικός αριθμός z = x 2 + y 2. (.7) Εάν z R, ισοδύναμα y =, τότε z = x 2 = x, δηλαδή το μέτρο μιαδικού αριθμού ενικεύει την απόλυτη τιμή πραματικού αριθμού. Για το λόο αυτό το μέτρο το λέμε και απόλυτη τιμή. Συζυής (conjugate) μιαδικός αριθμός του z = x+iy, συμβολίζεται με z, ορίζεται να είναι ο αριθμός z = x iy. (.8) Παράδειμα.. Να βρεθεί το μέτρο και ο συζυής του μιαδικού αριθμού i(2 i3). Εάν z = i(2 i3), τότε z = i2 + 3i 2 = 3 i2, οπότε z = i(2 i3) = 3 i2 = ( 3) 2 + ( 2) 2 = 3 z = i(2 i3) = 3 i2 = 3 + i2. Οι ιδιότητες του μέτρου και του συζυούς μιαδικού αριθμού συνοψίζονται στη Πρόταση.. Ισχύουν οι ιδιότητες: () z, ια κάθε z C, και z = εάν και μόνον εάν z =. (2) z z 2 = z z 2, ια κάθε ζευάρι μιαδικών αριθμών z και z 2. (3) z /z 2 = z / z 2, ια κάθε ζευάρι μιαδικών αριθμών z και z 2 με z 2.

.2. 5 (4) z = z εάν και μόνον εάν z R. (5) z = z, ια κάθε z C. (6) z = z, ια κάθε z C. (7) z 2 = zz, ια κάθε z C. (8) z + z 2 = z + z 2, ια κάθε ζευάρι μιαδικών αριθμών z και z 2. (9) z z 2 = z z 2, ια κάθε ζευάρι μιαδικών αριθμών z και z 2. () (z /z 2 ) = z /z 2, ια κάθε ζευάρι μιαδικών αριθμών z και z 2 με z 2. Απόδειξη. Εστω z = x + iy, z = x + iy, και z 2 = x 2 + iy 2 να είναι μιαδικοί αριθμοί. () Επειδή z = x 2 + y 2, είναι προφανές ότι z, ενώ z = x 2 + y 2 = x = και y = z =. (2) Από την σχέση (.) έπεται ότι z z 2 = (x x 2 y y 2 ) + i(x y + x 2 y 2 ) έτσι έχουμε z z 2 = = (x x 2 y y 2 ) 2 + (x y + x 2 y 2 ) 2 = (x 2 + y2 )(x22 + y22 ) = x 2 + y2 = z z 2. x 2 x2 2 + y2 y2 2 + x2 y2 + x2 2 y2 2 x 2 2 + y2 2 (3) Από την (.5) ια z έχουμε = z z = = z z = z z = z = z με χρήση της ιδιότητας 2, επομένως ια z 2 z = z = z = z z 2 = z z 2. z 2 (4) Εστω z = x + iy, τότε z = z x + iy = x iy = i2y y = z R. (5) Εστω z = x + iy, τότε z = x iy = x + iy = z. (6) Εστω z = x + iy, τότε z = x iy = x 2 + ( y) 2 = x 2 + y 2 = z. (7) Εάν z = x + iy, έχουμε zz = (x + iy)(x iy) = x 2 ixy + ixy i 2 y 2 = x 2 + y 2 = z 2. z 2 (8) Από την (.9) έπεται ότι z + z 2 = x + x 2 i(y + y 2 ) = (x iy ) + (x 2 iy 2 ) = z + z 2. (9) Εχουμε z z 2 = (x iy )(x 2 iy 2 ) = x x 2 y y 2 i(x y + x 2 y 2 ) = z z 2, μιας και από την (.) z z 2 = (x x 2 y y 2 ) + i(x y + x 2 y 2 ). () Από την (.5) ια z έχουμε z 2 = z ( z = = = z ) ( = z z z) με χρήση της ιδιότητας 9, επομένως ια z 2 = z = ( z ( z z 2 ) = z z 2 = z ( z 2 ) = z z 2 = z z 2. )

6. Η απόδειξη είναι πλήρης. Παρατήρηση.4. Εάν z = x + iy είναι ένας μιαδικός αριθμός τότε x = Re z και y = Im z. Επειδή z + z = x + iy + x iy = 2x, και z z = x + iy (x iy) = i2y, συμπεραίνουμε Επίσης x x x 2 + y 2, όμοια y y x 2 + y 2, οπότε Re z = z + z 2, Im z = z z. (.9) 2i Re z Re z z, Im z Im z z. (.2) Άσκηση.. Να δειχθεί ότι ο αριθμός a είναι πραματικός εάν και μόνον εάν Re a = a. Παρατήρηση.5. Εάν a και b είναι πραματικοί αριθμοί ϑυμίζουμε τη νωστή ιδιότητα της απόλυτης τιμής a + b a + b. Το ίδιο ισχύει και ια μιαδικούς αριθμούς. Ας είναι z, και z 2 δύο μιαδικοί αριθμοί. Τότε ισχύει η τριωνική ανισότητα Κάνοντας χρήση της Πρότασης. έχουμε z + z 2 z + z 2. (.2) z + z 2 2 = (z + z 2 )(z + z 2 ) = (z + z 2 )(z + z 2 ) ( ιδιότητες 7 και 8 ) = z z + z z 2 + z 2 z + z 2 z 2 = z 2 + z z 2 + z z 2 + z 2 2 ( ιδιότητες 7 και 5 ) = z 2 + 2 Re(z z 2 ) + z 2 2 ( σχέση (.9) ) z 2 + 2 z z 2 + z 2 2 ( σχέση (.2) ) = z 2 + 2 z z 2 + z 2 2 ( ιδιότητα 2 ) = ( z + z 2 ) 2 ( ιδιότητα 6 ) απ όπου έπεται η ζητούμενη τριωνική ανισότητα. Άσκηση.2. Εάν z C δείξτε ότι z Re z + Im z 2 z. Παρατήρηση.6. Από τις ιδιότητες που περιράφονται στη Πρόταση. έπεται ότι ια z z = z zz = z z 2 (.22) που είναι ακριβώς η σχέση (.5). Επειδή i = 2 + 2 =, έπεται αμέσως ότι ενικότερα εάν z C και z =, από την (.22) έπεται ότι /z = z. i = i ii = i = i. (.23) i 2

.2. 7 Αν z, τότε z >, οπότε ια z = x + iy τα κλάσματα x z = x x2 + y 2 και y z = y x2 + y 2 ορίζονται και ικανοποιούν τη σχέση κατά συνέπεια υπάρχει θ R τέτοιο ώστε ( x ) 2 ( x ) 2 x 2 + = z z x 2 + y + y 2 2 x 2 + y =, 2 cos θ = x z και sin θ = y z. Ορίζουμε σαν όρισμα (argument) του z και ράφουμε arg z το σύνολο όλων των τιμών θ + 2kπ, k Z, έτσι arg z = {θ + 2kπ : k =, ±, ±2,... }. Είναι προφανές ότι κάθε διάστημα (a, a+2π], με a R περιέχει ένα μοναδικό όρισμα του z. Ορίζουμε σαν κύριο ή πρωτεύον (principal) όρισμα του z εκείνο το θ ια το οποίο ισχύει θ ( π, π]. Συμβολίζουμε με Arg z το κύριο όρισμα του z, οπότε ια κάθε z στο C είναι π < Arg z π. Παράδειμα.2. Να βρεθεί το όρισμα και το κύριο όρισμα ια κάθε έναν από τους αριθμούς (i) z =, (ii) z = 2, (iii) z = i, (iv) z = i. (i) Επειδή z = x = z =, είναι cos θ =, sin θ =, άρα θ = 2kπ, k Z, επομένως arg = {2kπ : k Z} και Arg =. (ii) Εδώ είναι x = 2, y = και z = 2, άρα cos θ =, sin θ =, άρα θ = (2k + )π, k Z, επομένως arg( 2) = {(2k + )π : k Z} = { π + 2kπ : k Z} και Arg( 2) = π. (iii) Εδώ είναι x =, y = και z =, άρα cos θ =, sin θ =, άρα θ = π/2 + 2kπ, k Z, επομένως arg i = {π/2 + 2kπ : k Z} και Arg i = π/2. (iv) Εδώ είναι x = y = και z = 2, άρα cos θ = sin θ = / 2, άρα ένα όρισμα είναι θ = 5π/4, και ένα άλλο το θ = 3π/4, επομένως arg( i) = {5π/4 + 2kπ : k Z} = { 3π/4 + 2kπ : k Z} και Arg( i) = 3π/4. Σημειώνουμε ότι 5π/4 ( π, π].

8..3 Το μιαδικό επίπεδο Οι πραματικοί αριθμοί αντιστοιχούν σε σημεία μιάς προσανατολισμένης ευθείας. Από τον ορισμό των μιαδικών αριθμών έπεται ότι υπάρχει μία ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ του μιαδικού αριθμού z = x + iy και του σημείου (x, y) του επιπέδου. Ετσι το επίπεδο του οποίου κάθε σημείο (x, y) ταυτίζουμε με τον μιαδικό αριθμό z = x + iy ονομάζουμε μιαδικό επίπεδο (complex plane). Ο άξονας των x λέεται πραματικός άξονας (real axis), ενώ αυτός των y λέεται φανταστικός άξονας (imaginary axis). Το μέτρο z είναι η απόσταση του σημείου z από το, ενώ ο συζυής z του z είναι το συμμετρικό σημείο του z ως προς τον πραματικό άξονα. iy iy z = x + iy z x x x z = x iy iy z = x iy Σχήμα.: Γραφική απεικόνιση των μιαδικών αριθμών z, z και z. iy z + z 2 z 2 z x z z 2 z 2 Σχήμα.2: Το άθροισμα και η διαφορά μιαδικών αριθμών. Το άθροισμα των z = x +iy και z 2 = x 2 +iy 2 αντιστοιχεί στο σημείο (x + x 2, y +y 2 ). Ετσι λοιπόν ο αριθμός z = x + iy μπορεί να ταυτιστεί με το διάνυσμα με αρχή το σημείο (, ) και πέρας το (x, y)

.3. 9 ενώ το μέτρο z είναι το μέτρο του διανύσματος, δηλαδή το μήκος του ευθυράμου τμήματος από το (, ) στο (x, y). Ο z + z 2 είναι το διανυσματικό άθροισμα των διανυσμάτων z και z 2, και ο z z 2 είναι το διανυσματικό άθροισμα των διανυσμάτων z και z 2. Οι αριθμοί z και z 2 ορίζουν ένα παραλληλόραμο με κορυφές τα σημεία (, ), (x, y ), (x 2, y 2 ), και (x + x 2, y +y 2 ). Τα z +z 2 και z z 2 είναι τα μέτρα των διαωνίων του παραλληλοράμου. Ετσι η ισότητα z + z 2 2 + z z 2 2 = 2( z 2 + z 2 2 ) (νόμος του παραλληλοράμου) μας λέει ότι το άθροισμα των τετραώνων των διαωνίων παραλληλοράμου ισούται με το άθροίσμα των τετραώνων των πλευρών του..3. Τριωνομετρική μορφή μιαδικού αριθμού Εάν r και θ είναι οι πολικές συντεταμένες του σημείου (x, y) (, ) τότε ο μη μηδενικός μιαδικός αριθμός z = x + iy μπορεί να ραφεί στη μορφή z = r cos θ + ir sin θ. Παρατηρούμε ότι z = (r cos θ) 2 + (r sin θ) 2 = r ενώ το θ arg z, είναι καταληπτό σαν τη ωνία (σε ακτίνια) μεταξύ της πραματικής ϑετικής ημιευθείας και του ευθυράμμου τμήματος από το στο z. Η έκφραση z = r(cos θ + i sin θ) (.24) λέεται τριωνομετρική μορφή (trigonometric form) ή πολική μορφή (polar form) αριθμού z. του μιαδικού iy z = r(cos θ + i sin θ) r = z θ = arg z x Σχήμα.3: Τριωνομετρική μορφή μιαδικού αριθμού. Παράδειμα.3. Να ραφούν σε πολική μορφή οι αριθμοί (i) z = + i, (ii) z =, (iii) z = 2. (i) Επειδή + i = 2, έχουμε z = + i = ) 2( + i 2 2 (ii) = + i = cos + i sin. (iii) 2 = 2( + i) = (cos π + i sin π). = ( 2 cos π 4 + i sin π ) 4

. Για τους μιαδικούς αριθμούς z = r (cos θ + i sin θ ) και z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) παρατηρούμε ότι z z 2 = r r 2 (cos θ + i sin θ )(cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r r 2 [(cos θ cos θ 2 sin θ sin θ 2 ) + i(sin θ cos θ 2 + cos θ sin θ 2 )], οπότε η πολική μορφή του ινομένου z z 2 δίνεται από τη σχέση z z 2 = r r 2 [cos(θ + θ 2 ) + i sin(θ + θ 2 )]. (.25) Εάν z = r(cos θ+i sin θ) είναι μη μηδενικός αριθμός, ισοδύναμα r, τότε από τη σχέση (.25) έπεται ότι z = [cos( θ) + i sin( θ)]. (.26) r Σημειώνουμε ότι η σχέση αυτή προκύπτει επίσης από την (.22). Εάν τώρα z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) είναι διάφορος του μηδενός, τότε συνδυάζοντας τις (.25) και (.26) έχουμε z z 2 = r r 2 [cos(θ θ 2 ) + i sin(θ θ 2 )]. (.27) Παράδειμα.4. Εάν z = 2 3 i2 και z 2 = + i 3 να ραφούν οι z και z 2 σε πολική μορφή και να υπολοισθούν οι z z 2 και z /z 2. Επειδή z = 2 3 i2 = 6 = 4 και z 2 = + i 3 = 4 = 2 ϑα έχουμε αντίστοιχα [ 3 z = 4 [( z 2 = 2 2 )] ( 2 + i 2 ) 3 ] + i Από την σχέση (.25) υπολοίζουμε το ινόμενο ενώ από την (.27) το πηλίκο [ ( z z 2 = 4 2 cos π 6 + 2π 3 [ = 8 cos π 2 + i sin π ] 2 = i8, z = 4 [ ( cos π z 2 2 6 2π ) 3 [ ( = 2 cos 5π ) + i sin 6 3 )] [ = 2 2 ( 2 + i 2 = 3 i. [ ( = 4 cos π ) ( + i π )], 6 6 [ = 2 cos 2π 3 + i sin 2π ]. 3 ) ( + i π 6 + 2π )] 3 ( + i sin ( 5π 6 π 6 2π 3 )] )]

.3. Εάν z k = r k (cos θ k + i sin θ k ), k =, 2,..., n με μαθηματική επαωή μέσω της (.25) έχουμε z z 2 z n = r r 2 r n [cos(θ + θ 2 + + θ n ) + i sin(θ + θ 2 + + θ n )], (.28) και ειδικά ια z = z 2 = = z n = z προκύπτει z n = r n [cos(nθ) + i sin(nθ)], (.29) ια κάθε φυσικό αριθμό n. Εάν z = r(cos θ + i sin θ), r, από τις σχέσεις (.26) και (.29) έπεται ότι ια n =, 2, 3,... ( z n = (z ) n ) n = = [cos( nθ) + i sin( nθ)], z rn και επειδή z =, τελικά η σχέση (.29) ισχύει ια κάθε ακέραιο, ±, ±2,.... Εάν z = cos θ + i sin θ η (.29) μετασχηματίζεται στην Η τελευταία σχέση είναι νωστή σαν τύπος του de Moivre. (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ). (.3) Μία ενδιαφέρουσα εφαρμοή του τύπου του de Moivre είναι η εύρεση ριζών μιαδικών αριθμών. Θέτουμε λοιπόν το εξής ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Εάν w είναι ένας μιαδικός αριθμός και n 2 είναι ένας φυσικός αριθμός να βρεθούν μιαδικοί z τέτοιοι ώστε z n = w. Εστω ότι w = r(cos θ + i sin θ), τότε παρατηρούμε ότι ο αριθμός z = r /n (cos(θ/n) + i sin(θ/n)) ικανοποιεί την [ ( z n = n r cos θ n n)] + i sin θ n = r(cos θ + i sin θ) = w, (.3) δηλαδή ο z είναι μία λύση του προβλήματος. Ομως και οι z k = r /n (cos[(θ+2kπ)/n]+i sin[(θ+2kπ)/n]), k =, 2,... είναι λύσεις μιας και z n k = [ n r (cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ )] n = r(cos(θ + 2kπ) + i sin(θ + 2kπ)) = w. (.32) n Από τις (.3) και (.32) βλέπουμε ότι οι αριθμοί z k = r /n (cos[(θ + 2kπ)/n] + i sin[(θ + 2kπ)/n]) ικανοποιούν z n k = w ια k =,, 2,.... Στη συνέχεια ϑυμίζουμε ότι ια n σταθερό καθε k N ράφεται μοναδικά στη μορφή k = m + ln όπου m =,,..., n και l N (διαίρεση του k δια n). Ετσι εάν k n, τότε z k = n ( r cos θ + 2kπ + i sin θ + 2kπ ) n n = n ( θ + 2mπ + 2lnπ θ + 2mπ + 2lnπ ) r cos + i sin n n = n ( ( θ + 2mπ ) ( θ + 2mπ )) r cos + 2ln + i sin + 2lπ n n = n ( r cos θ + 2mπ + i sin θ + 2mπ ) n n = z m

2. όπου m =,, 2,..., n. Συμπέρασμα: Οι n το πλήθος μιαδικοί αριθμοί z k = n ( r cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ ), k =,, 2,..., n (.33) n είναι οι λύσεις της εξίσωσης z n = r(cos θ + i sin θ) και λέονται nοστες ρίζες του w = r(cos θ + i sin θ). Παράδειμα.5. Επειδή = cos + i sin, οι n-οστες ρίζες της μονάδας είναι οι αριθμοί Εάν ορίσουμε ζ k = cos 2kπ n 2kπ + i sin, k =,, 2,..., n. (.34) n ω n = cos 2π n + i sin 2π n, (.35) τότε από τον τύπο του de Moivre έπεται ότι οι nοστες ρίζες της μονάδας είναι οι, ω n, ω 2 n,..., ωn n. Παρατηρούμε ότι ω n n =. Οι nοστες ρίζες της μονάδας είναι οι κορυφές ενός κανονικού πολυώνου με n πλευρές εεραμμένου στο μοναδιαίο κύκλο. Παράδειμα.6. Να βρεθούν αριθμοί z τέτοιοι ώστε z 2 = 2 (τετραωνικές ρίζες του 2). Είναι 2 = 2(cos π + i sin π), οπότε οι αριθμοί που ζητούμε δίνονται από τη σχέση Ετσι έχουμε ζ k = ( 2 cos π + 2kπ 2 + i sin π + 2kπ ), k =,. 2 z = ( 2 cos π 2 + i sin π ) = i 2, z = ( 2 cos 3π 2 2 + i sin 3π ) = i 2. 2 Πράματι z 2 = (i 2) 2 = i 2 2 = 2 και z 2 = ( i 2) 2 = i 2 2 = 2..4 Γεωμετρικοί τόποι στο μιαδικό επίπεδο Η ευθεία των πραματικών αριθμών, σαν υποσύνολο του μιαδικού επιπέδου, μπορεί να εκφρασθεί σαν το σύνολο των μιαδικών αριθμών με μηδενικό φανταστικό μέρος, δηλαδή R = {z : z C και Im z = }. Επίσης κάθε πραματικός αριθμός είναι ίσος με τον συζυή του, κατά συνέπεια R = {z : z C και z = z}. Γενικότερα, υποσύνολα του μιαδικού επιπέδου μπορούν να εκφρασθούν με κατάλληλες αλεβρικές σχέσεις. Άλλα παραδείματα είναι το σύνολο {z : z C και Re z > } που παριστάνει το ημιεπίπεδο στα δεξιά του φανταστικού άξονα, και το {z C : Re z > και Im z > } που παριστάνει το πρώτο τεταρτημόριο του επιπέδου. Ας ϑεωρήσουμε τώρα τους μιαδικούς αριθμούς z με την ιδιότητα z =. Ετσι εάν z = x + iy οι αριθμοί αυτοί ικανοποιούν τη σχέση x 2 + y 2 = ή x 2 + y 2 = που είναι η εξίσωση του κύκλου

.4. 3 κέντρου (, ) και ακτίνας. Επομένως το υποσύνολο {z C : z < } είναι το εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου, ενώ το {z C : z > } είναι το εξωτερικό του μοναδιαίου κύκλου. Το σύνολο {z C : z < r} λέεται ανοικτός δίσκος κέντρου (, ) και ακτίνας r, ενώ το {z C : z r} λέεται κλειστός δίσκος κέντρου (, ) και ακτίνας r. Εάν w είναι ένας σταθερός μιαδικός αριθμός τότε οι αριθμοί z που ικανοποιούν τη σχέση z w = r, όπου r είναι ένας μη αρνητικός πραματικός αριθμός, είναι όλοι εκείνοι των οποίων η απόσταση από τον w ισούται με r, άρα το C(w, r) = {z C : z w = r} περιράφει τον κύκλο κέντρου w και ακτίνας r. Ετσι τα {z C : z w < r}, {z C : z w r}, {z C : z w > r}, και {z C : z r} περιράφουν αντίστοιχα τον ανοικτό δίσκο κέντρου w και ακτίνας r, τον κλειστό δίσκο κέντρου w και ακτίνας r, το εξωτερικό του ανοικτού δίσκου κέντρου w και ακτίνας r, και το εξωτερικό του κλειστού δίσκου κέντρου w και ακτίνας r. Παράδειμα.7. Να περιραφεί το σύνολο F = {z C : Re z = Im z}. Εάν z = x + iy F, τότε x = Re z = Im z = y, κατά συνέπεια το F είναι η ευθεία y = x του επιπέδου. Παράδειμα.8. Εάν z και z είναι μιαδικοί αριθμοί να περιραφεί το σύνολο L = {z : z = z + tz, όπου t R}. Εστω ότι z = r(cos θ + i sin θ) με π < θ π, τότε, tz = tr(cos θ + i sin θ), εάν t, tz = tr( cos θ i sin θ = tr(cos(θ + π) + i sin(θ + π)), εάν t <, (ιατί;) επομένως το σύνολο L = {z : z = tz, όπου t R} είναι η ευθεία που περνάει από τα σημεία και z (του μιαδικού επιπέδου). Για κάθε t R τα σημεία, tz z + tz και z σχηματίζουν παραλληλόραμο στο οποίο οι πλευρές δια των σημείων z, z + tz και των, tz είναι παράλληλες. Άρα το σύνολο L είναι ευθεία που περνά από το z και είναι παράλληλη στην L, ή ισοδύναμα L είναι η ευθεία που περνά από τα σημεία z και z + z, ή ισοδύναμα η ευθεία που περιέχει το z και είναι παράλληλη στο διάνυσμα z. Παράδειμα.9. Εάν z και z είναι μιαδικοί αριθμοί να δειχθεί ότι το σύνολο { E = z : Im z z } = z περιράφει την ευθεία που περνά από το z και είναι παράλληλη στο z. Εάν z E τότε Im[(z z )/z ] =, επομένως (z z )/z = λ, ια κάποιο λ R, οπότε z z = λz ή z = z + λz, δηλαδή z L (Παράδειμα.8). Ετσι E L. Επειδή ισχύει και το αντίστροφο έχουμε τελικά ότι E = L. Κάθε κύκλος, με ϑετική ακτίνα, χωρίζει το επίπεδο σε δύο ξένα μεταξύ τους σύνολα. Το ένα είναι φραμένο και το άλλο μη φραμένο. Το φραμένο υποσύνολο το λέμε εσωτερικό του κύκλου, και το μή φραμένο υποσύνολο το λέμε εξωτερικό του κύκλου.

4..5 Ασκήσεις. Να ραφούν οι παρακάτω μιαδικοί αριθμοί στη μορφή a + ib: (αʹ) ( 3 + i)( i2) (βʹ) 9 + i2. (ʹ) ( 7 + i 3)( 7 i 3). 7 i (δʹ) 3 + i5. 2. Εάν z C να δειχθεί ότι: (αʹ) ( + z) 2 = + 2z + z 2. ( ) ( ) n n (βʹ) ( + z) n = + z + z 2 + + 2 ( ) ( ) n n z k + + z n + z n = k n 3. Να υπολοισθούν οι δυνάμεις i n, ια κάθε ακέραιο αριθμό n. 4. Εάν z C και w C να δειχθεί ότι: n ( ) n z k, ια κάθε n N. k (αʹ) z 2 + = (z + i)(z i) (βʹ) z 2 + w 2 = (z + iw)(z iw). 5. Να δειχθεί ότι οι αριθμοί ± i ικανοποιούν την εξίσωση z 2 2z + 2 =. 6. Εάν x και y είναι πραματικοί αριθμοί να βρεθούν οι τιμές τους σε κάθε μία από τις εφράσεις: (αʹ) 5x + i6 = 8 + i2y. (βʹ) i(2x 4y) = 4x + 2 + i3y. (ʹ) (3x + i) 2 = 8 + iy. (δʹ) x + iy = (x iy) 2. 7. Να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης z 2 + z + =. Υπόδειξη: Θέτουμε z = x + iy στην εξίσωση και αφού κάνουμε πράξεις κοιτάζουμε ξεχωριστά το πραματικό και φανταστικό μέρος. 8. Εάν z C να δειχθεί ότι: (i) Re(iz) = Im z και (ii) Im(iz) = Re z. 9. Εάν z, w, v και u είναι μιαδικοί αριθμοί να αποδειχθούν οι ισότητες: (αʹ) zw = z w. (βʹ) z + w v = z v + w, v. v (ʹ) zw vu = z v w, v και u. u (δʹ) zw zv = w, z και v. v. Να βρεθεί το πραματικό και το φανταστικό μέρος των αριθμών: (αʹ) ( + i 3 ) 3. (βʹ) 2 ( i 3 ) 6. (ʹ) 2 ( 2 + i3 ) 3. 3 i4 (δʹ) ( + i) 3.. Να βρεθούν τα x και y, όταν x + iy = x + iy. 2. Εάν z και w είναι μιαδικοί αριθμοί να δειχθεί ότι: (i) z = z και (ii) z w = z w.

.5. 5 3. Με χρήση της μαθηματικής επαωής να δειχθεί ότι εάν z, z 2,..., z n είναι μιαδικοί αριθμοί τότε ια κάθε n N. n z k k= n z k (.36) 4. Να δειχθεί ότι εάν z και z 2 είναι μιαδικοί αριθμοί τότε z z 2 z z 2. 5. Να δειχθεί ότι εάν z και w είναι μιαδικοί αριθμοί τότε ισχύουν τα παρακάτω: (αʹ) z + w 2 = z 2 + 2 Re(zw) + w 2. (βʹ) z w 2 = z 2 2 Re(zw) + w 2. (ʹ) z + w 2 + z w 2 = 2( z 2 + w 2 ) Νόμος του παραλληλοράμου. 6. Αποδείξτε τις ιδιότητες του ορίσματος: (αʹ) arg(z z 2 ) = arg z + arg z 2. (βʹ) arg z z 2 = arg z arg z 2. 7. Δείξτε ότι εάν Re z > και Re z 2 >, τότε k= Arg(z z 2 ) = Arg z + Arg z 2. Δώστε αντιπαράδειμα όπου Arg(z z 2 ) Arg z + Arg z 2. 8. Η συνάρτηση tan θ είναι ένα προς ένα στο διάστημα [ π 2, π ], κατά συνέπεια η αντίστροφη 2 συνάρτηση arctan ορίζεται ια κάθε t R με τη σχέση arctan t = θ αν και μόνον αν tan θ = t και π 2 < θ < π. Εάν z = x + iy δείξτε ότι 2 (αʹ) Arg z = arctan y, εάν x >. x (βʹ) Arg z = arctan y + π, εάν x < και y. x (ʹ) Arg z = arctan y π, εάν x < και y <. x (δʹ) Arg z = π, εάν x = και y >. 2 (εʹ) Arg z = π, εάν x = και y <. 2 9. Να βρεθούν οι ρίζες: (αʹ) (2i) /2 (βʹ) () /3 (ʹ) ( i) /2 (δʹ) ( ) /3. 2. Αφού αποδειχθεί το δυωνυμικό ϑεώρημα n ( ) n (a + b) n = a k b n k, k με a και b στο C (βλ. Άσκηση 2) κάνοντας χρήση αυτού και του τύπου του de Moivre να αποδειχθεί ότι

6. (αʹ) cos 3θ = cos 3 θ 3 cos θ sin 2 θ, (βʹ) sin 3θ = sin 3 θ + 3 cos 2 θ sin θ. 2. Αφού αποδειχθεί ότι ια κάθε μιαδικό αριθμό z ισχύει + z + z 2 + + z n = zn z, ια κάθε n 2, με χρήση της ταυτότητας να αποδειχθούν οι (αʹ) + cos θ + cos 2θ + + cos nθ = 2 + sin[(n + /2)θ] 2 sin(θ/2) (βʹ) + ω n + ω 2 n + + ω n n =, όπου ω n = cos 2π n + i sin 2π n. ( < θ < 2π). 22. Να περιραφεί το σύνολο των μιαδικών αριθμών που αντιστοιχεί σε κάθε μία από τις σχέσεις: (αʹ) z + z =, (βʹ) z z = i, (ʹ) z + z = z 2, (δʹ) z = z. 23. Να περιραφούν εωμετρικά οι σχέσεις: (αʹ) < Re z < 2, (βʹ) < z < 2, (ʹ) Im z, (δʹ) z = Im z +, (εʹ) π 6 < arg z < π 3, (Ϛʹ) Re z + Im z. 24. Εάν a και b είναι πραματικοί αριθμοί να περιραφεί το σύνολο των μιαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τη σχέση Im z = Re(az + b). 25. Να περιραφεί το σύνολο των μιαδικών αριθμών z που είναι τέτοιοι ώστε (αʹ) z i = z + i, (βʹ) z i < z, (ʹ) z 4 z. 26. Πότε η εξίσωση az + bz + c = παριστάνει ευθεία; 27. Η έλλειψη είναι ο εωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία που λέονται εστίες είναι σταθερό. (αʹ) Να ραφεί η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τους μιαδικούς αριθμούς z και z 2 και άθροισμα αποστάσεων από τις εστίες ίσο με 2c, όπου c >. (βʹ) Εάν z = a και z 2 = a, όπου a είναι ϑετικός αριθμός, να δειχθεί ότι η εξίσωση της έλλειψης σε καρτεσιανές συντεταμένες x και y ράφεται x 2 c 2 + y 2 c 2 a 2 =. 28. Εάν z z είναι μιαδικοί αριθμοί να βρεθεί ο εωμετικός τόπος των σημείων z που ικανοποιούν τη σχέση [ z z ] Im =. z z 29. Να βρεθεί ο εωμετικός τόπος των σημείων z που ικανοποιούν τη σχέση [ z z ] Im >. z

Κεφάλαιο 2 Τοπολοία στο μιαδικό επίπεδο 2. Ακολουθίες και σειρές Το μιαδικό επίπεδο με μετρική d την ευκλείδεια απόσταση, δηλαδή d(z, w) = z w είναι ειδική περίπτωση του ευκλείδειου χώρου R n νωστού από την Πραματική Ανάλυση. Ετσι πολλά από τα αποτελέσματα της τοπολοίας του C είναι νωστά, κατά συνέπεια κάποιες από τις αποδείξεις αφήνονται σαν ασκήσεις. Μπορούν βεβαίως να βρεθούν σε βιβλία Ανάλυσης όπως, ια παράδειμα, [], ή [2]. Ορισμός 2.. Θα λέμε ότι η ακολουθία των μιαδικών αριθμών (z n ) n= στον μιαδικό αριθμό z και ϑα ράφουμε συκλίνει, καθώς n, z n z ή lim n z n = z αν η ακολουθία των πραματικών αριθμών z n z συκλίνει στο μηδέν, έχουμε δηλαδή z n z z n z. Παρατήρηση 2.. Από την σχέση (βλ. Άσκηση.2) z n z Re(z n z ) + Im(z n z ) 2 z n z (2.) έπεται ότι z n z αν και μόνον αν Re z n Re z και Im z n Im z. Παράδειμα 2.. Εστω z C, με z < και έστω z n = z n, n =, 2,..., τότε z n. Πράματι αν z = r(cos θ + i sin θ), με z = r <, τότε καθώς n, δηλαδή z n. Παράδειμα 2.2. Εστω z n = n+i n, τότε z n. z n = z n = z n = r n, 7

8 2. Πράματι z n = n+i n = + i n, οπότε z n = i n = n, καθώς n, κατά συνέπεια z n. Ορισμός 2.2. Η ακολουθία των μιαδικών αριθμών (z n ) n= κάθε ɛ > υπάρχει N ώστε αν n, m N, τότε z n z m < ɛ. Οπως και στους πραματικούς αριθμούς έχουμε το αποτέλεσμα ϑα λέεται ακολουθία Cauchy αν ια Πρόταση 2.. Η ακολουθία των μιαδικών αριθμών (z n ) συκλίνει αν και μόνον αν είναι ακολουθία n= Cauchy. Απόδειξη. Εστω ότι η (z n ) n= είναι ακολουθία Cauchy. Από τις σχέσεις Re z n Re z m z n z m και Im z n Im z m z n z m έπεται ότι οι (Re z n ) n= και (Im z n) είναι ακολουθίες Cauchy πραματικών αριθμών και σαν τέτοιες n= συκλίνουν. Εστω Re z n x και Im z n y. Αν z = x + iy, τότε έχουμε άρα z n z. z n z = Re z n + i Im z n (x + iy) Re z n x + Im z n y, Εστω τώρα ότι η (z n ) συκλίνει στον αριθμό z. Τότε ια ɛ > υπάρχει N ώστε αν n N, τότε n= z n z < ɛ. Ετσι αν n, m N ϑα είναι 2 z n z m z n z + z m z < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, κατά συνέπεια η (z n ) n= είναι ακολουθία Cauchy. Ορισμός 2.3. Εστω ότι (z n ) n= είναι μία ακολουθία μιαδικών αριθμών. () Θα λέμε ότι η ακολουθία είναι φραμένη αν υπάρχει M > ώστε z n M ια όλα τα n. (2) Θα λέμε ότι η ακολουθία (w n ) n= είναι μία υπακολουθία της (z n) εάν υπάρχει ακολουθία n= φυσικών αριθμών n < n 2 < < n k < ώστε w k = z nk ια όλα τα k. Άσκηση 2.. Δείξτε ότι κάθε συκλίνουσα ακολουθία μιαδικών αριθμών είναι φραμένη. Πρόταση 2.2. Κάθε φραμένη ακολουθία μιαδικών αριθμών έχει συκλίνουσα υπακολουθία. Απόδειξη. Εστω (z n ) n= μία ακολουθία μιαδικών αριθμών με z n M ια όλα τα n. Τότε ια την ακολουθία πραματικών αριθμών (Re z n ) n= ισχύει Re z n M, ια n =, 2,..., κατά συνέπεια υπάρχει ακολουθία φυσικών αριθμών n < n 2 < < n k < ώστε η Re z nk x καθώς k ια κάποιο x R. Η ακολουθία (Im z nk ) είναι επίσης φραμένη οπότε υπάρχει ακολουθία φυσικών k= αριθμών m < m 2 < < m j <, όπου m j = n k j ώστε Im z m j y καθώς j, ια κάποιο y R. Ετσι ια τη υπακολουθία (z m j ) j= ϑα έχουμε z m j x + iy καθώς j.

2.. 9 Ορισμός 2.4. Εστω ότι (z n ) n= είναι μία ακολουθία μιαδικών αριθμών. Θα λέμε ότι η σειρά n= z n συκλίνει στον μιαδικό αριθμό z και ϑα ράφουμε z n = z n= αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων ( n k= z k ) n= συκλίνει στον z. Θα λέμε ότι η σειρά n= z n συκλίνει αν υπάρχει μιαδικός αριθμός z ώστε n= z n = z. Αν αυτό δεν συμβαίνει ϑα λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Θα λέμε ότι η σειρά n= z n συκλίνει απολύτως αν η σειρά n= z n συκλίνει. Παρατήρηση 2.2. Για κάθε n έχουμε n z k = k= n Re z k + i κατά συνέπεια από την ανάλοη της (2.) σχέσης n z k z ( n ( n Re z k z) + Im z k z) 2 k= k= k= k= n Im z k (2.2) k= n z k z (2.3) έπεται ότι η n= z n συκλίνει στο z C αν και μόνον αν οι σειρές n= Re z n και n= Im z n συκλίνουν αντίστοιχα στο Re z και Im z. Πρόταση 2.3. Αν η σειρά n= z n συκλίνει, τότε η n= z n συκλίνει. Απόδειξη. Εστω σ n = n k= z k και έστω τ n = n k= z k. Αν n > m είναι φυσικοί αριθμοί έχουμε σ n σ m = z m+ + z m+2 + + z n z m+ + z m+2 + + z n = τ n τ m. Επειδή η ακολουθία (τ n ) n= είναι Cauchy έπεται ότι το αυτό είναι και η (σ n), κατά συνέπεια n= συκλίνει, επομένως η σειρά n= z n συκλίνει. Παράδειμα 2.3. Η σειρά n= i n n 2 +i συκλίνει. Αρκεί να δείξουμε ότι η σειρά των μέτρων i n= n συκλίνει. Πράματι επειδή n 2 +i i n n 2 + i = n 2 + i = n4 + n 2 και η n= n 2 συκλίνει έπεται ότι η n= i n n 2 +i συκλίνει επομένως και η n= Παράδειμα 2.4. Η σειρά n= z n n! = + n= z n n! Αν z C και z = r είναι z n n! = n= n= k= συκλίνει ια κάθε z C. z n n! = n= r n n! = er = e z R, i n n 2 +i. κατά συνέπεια η n= z n n! συκλίνει ια κάθε z C. Αν z = x R, τότε n= z n n! = n= x n n! = e x, κατά συνέπεια η σειρά n= z n n! φαίνεται ότι επεκτείνει την εκθετική συνάρτηση στους μιαδικούς αριθμούς. Αυτό πράματι συμβαίνει και ϑα το συζητήσουμε στο επόμενο κεφάλαιο.

2 2. Σημειώνουμε ότι αν η σειρά n= z n συκλίνει, τότε και η n= z n συκλίνει. Αν η n= z n αποκλίνει η n= z n μπορεί να αποκλίνει ή να συκλίνει. Υπενθυμίζουμε το ανάλοο αποτέλεσμα στις εναλλασσόμενες σειρές. Σε περίπτωση που ϑέλουμε να δείξουμε ότι μία σειρά αποκλίνει αρκεί να δείξουμε ότι το πραματικό ή το φανταστικό μέρος της σειράς αποκλίνει (ιατί;). Παράδειμα 2.5. Η σειρά n= n+i αποκλίνει. Εχουμε ότι και n + i = n i (n + i)(n i) = n i n 2 + = Re n + i = n n 2 + i n 2 + n n 2 + = n + /n 2n. Η σειρά n= n αποκλίνει, άρα και η n= Re n+i. Συνεπώς και η αρχική σειρά n= n+i αποκλίνει. Σημείωση 2.. Για τον έλεχο της απόλυτης σύκλισης, άρα και της σύκλισης, μιας σειράς μιαδικών αριθμών n= z n έχουμε τα ακόλουθα κριτήρια, νωστά από τον Απειροστικό Λοισμό: () Κριτήριο σύκρισης: Εστω a n, ια όλα τα n και έστω ότι η σειρά n= a n συκλίνει. Αν z n a n, ια όλα τα n, τότε η σειρά n= z n συκλίνει. (2) Κριτήριο του λόου: Εστω ότι z n > ια n N και έστω ότι το L = lim n z n+ z n (2.4) υπάρχει ή είναι +. Εάν L < η n= z n συκλίνει. Εάν L > η n= z n αποκλίνει. Εάν L = δεν μπορεί να εξαχθεί συμπέρασμα ια τη σύκλιση της σειράς από αυτό το κριτήριο. (3) Κριτήριο της ρίζας: Εστω ότι το L = lim k n z n (2.5) υπάρχει ή είναι +. Εάν L < η n= z n συκλίνει. Εάν L > η n= z n αποκλίνει. Εάν L = δεν μπορεί να εξαχθεί συμπέρασμα ια τη σύκλιση της σειράς από αυτό το κριτήριο. Θυμίζουμε ότι αν (c k ) είναι μία ακολουθία μη αρνητικών αριθμών ορίζουμε k= lim c ( ) k = lim sup c n, k k n k ( lim c k = lim inf c ) n. k k n k Θέτοντας α k = sup{c k, c k+,... }, και β k = inf{c k, c k+,... } είναι α al 2 α k, και β β 2 β k. Κατά συνέπεια το κάθε όριο lim k α k ή lim k β k υπάρχει ή είναι +. Τότε lim c k = lim α k k k lim c k = lim β k. k k Αν η ακολουθία συκλίνει, τότε lim n c n = lim n c n = lim n c n.

2.. 2 2.2 Στοιχεία τοπολοίας Αν z C και r > υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο D(z, r) = {z C : z z < r} λέεται ανοικτός δίσκος κέντρου z και ακτίνας r, το D(z, r) = {z C : z z r} λέεται κλειστός δίσκος κέντρου z και ακτίνας r, ενώ το σύνολο C(z, r) = {z C : z z = r} είναι ο κύκλος κέντρου z και ακτίνας r. Με D (z, r) συμβολίζουμε τον δίσκο με τρύπα στο κέντρο, δηλαδή D (z, r) = D(z, r) {z }. Ορισμός 2.5. Ενα σύνολο S C ϑα λέεται ανοικτό αν ια κάθε z S υπάρχει r > ώστε D(z, r) S. Ενα σύνολο S C ϑα λέεται κλειστό αν το συμπλήρωμά του S c = C S είναι ανοικτό. Εάν z C ϑα λέμε περιοχή του z κάθε ανοικτό σύνολο που περιέχει το z. Πρόταση 2.4. Αν το σύνολο S C είναι κλειστό και (z n ) είναι μία ακολουθία σημείων του S και n= z n z, τότε z S. Απόδειξη. Με την εις άτοπο απαωή. Ας υποθέσουμε ότι z S c, τότε ϑα υπάρχει ɛ > ώστε D(z, ɛ) S c. Αυτό όμως είναι άτοπο ιατί κάθε δίσκος κέντρου z περιέχει όλους τελικά τους όρους της ακολουθίας (z n ), δηλαδή D(z, ɛ) S, ια κάθε ɛ >. Καταλήξαμε σε άτοπο ιατί n= υποθέσαμε ότι z S c, κατά συνέπεια z S. Ορισμός 2.6. Ενα σημείο z C ϑα λέεται σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου S C αν ια κάθε r > ο ανοικτός δίσκος D(z, r) περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο του S διάφορο του z, ή D (z, r) S. Ενα σημείο που δεν είναι σημείο συσσώρευσης του S λέεται μεμονωμένο σημείο. Ετσι η Πρόταση 2.4 μας λέει ότι ένα κλειστό σύνολο περιέχει όλα τα σημεία συσσώρευσής του. Ορισμός 2.7. Εστω S C. () Το σύνολο S = {z C : D(z, r) S και D(z, r) S c, r > } λέεται σύνορο του S. (2) Το σύνολο S = S S λέεται κλειστή ϑήκη ή περίβλημα του S. Ετσι αν z C και r >, τότε D(z, r) = D(z, r). Άσκηση 2.2. Εστω S C. Δείξτε ότι τα σύνολα S και S είναι κλειστά. Δείξτε επίσης ότι το S είναι κλειστό αν και μόνον αν S = S. Ορισμός 2.8. Εστω S C. () Το σύνολο S ϑα λέεται φραμένο αν υπάρχει R > ώστε S D(, R). (2) Το σύνολο S ϑα λέεται συμπαές εάν είναι κλειστό και φραμένο. (3) Το σύνολο S ϑα λέεται συνεκτικό εάν δεν μπορεί να περιέχεται στην ένωση δύο ξένων μεταξύ τους ανοικτών και μη κενών συνόλων O και O 2 τέτοιων ώστε S O και S O 2. (4) Το σύνολο S ϑα λέεται χωρίο ή τόπος εάν είναι ανοικτό και συνεκτικό. Ορισμός 2.9. Εστω O = {O j : j J} μια οικοένεια ανοικτών υποσυνόλων του C και έστω S C. Η οικοένεια O λέεται ανοικτό κάλυμμα του S εάν S j J O j. πεπερασμένο υποκάλυμμα του S αν υπάρχουν j, j 2,..., j n J ώστε S n k= O j k. Πρόταση 2.5. Αν S C οι εκφράσεις που ακολουθούν είναι ισοδύναμες: Θα λέμε ότι η O περιέχει ένα

22 2. () Το S είναι συμπαές. (2) Κάθε ανοικτό κάλυμμα του S περιέχει ένα πεπερασμένο υποκάλυμμα του S. (3) Κάθε ακολουθία σημείων του S έχει υπακολουθία η οποία συκλίνει σε σημείο του S. Απόδειξη. Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [], ή [2]. Ορισμός 2.. Εάν S είναι ένα φραμένο υποσύνολο του C ορίζουμε τη διάμετρο του S, diam S, με τη σχέση diam S = sup{ z w : z, w S }. Εάν το S είναι μη φραμένο ράφουμε diam S = +. Πρόταση 2.6 (Cantor). Εστω (G n ) μία ακολουθία μη κενών συμπαών υποσυνόλων του C τέτοια n= ώστε G n+ G n ια κάθε n και diam G n καθώς n. Τότε η τομή n= G n είναι μονοσύνολο. Απόδειξη. Για κάθε n επιλέουμε z n G n. Η ακολουθία (z n ) n= είναι Cauchy ιατί ια N N και n, m N έχουμε ότι z n, z m G N και z n z m diam G N καθώς N. Κατά συνέπεια η (z n ) n= συκλίνει σε κάποιο z C. Επειδή ια κάθε n το G n είναι κλειστό και z k G n ια k n έπεται ότι z G n, συνεπώς z n= G n. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει z z και z n= G n. Τότε ϑα είναι z z > εονός που αντιφάσκει με το ότι z z diam G n ια κάθε n κατά συνέπεια z z =. Επομένως n= G n = {z }. Ορισμός 2.. () Εάν z, z 2 C με [z, z 2 ] συμβολίζουμε το ευθύραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία z και z 2, έτσι [z, z 2 ] = {z C : z = ( t)z + tz 2, t }. (2) Πολυωνική ραμμή στο C είναι η ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους διαδοχικών ευθύραμμων τμημάτων [z, z 2 ] [z 2, z 3 ] [z n, z n ]. (3) Ενα σύνολο S C ϑα λέεται κυρτό εάν ια κάθε ζευάρι σημείων z και z 2 του S το ευθύραμμο τμήμα [z, z 2 ] περιέχεται στο S, δηλαδή [z, z 2 ] S. z w z w Σχήμα 2.: Μη κυρτά σύνολα. Άσκηση 2.3. Να χαρακτηρισθούν σαν ανοικτά, ή κλειστά, ή φραμένα ή συμπαή, ή συνεκτικά, ή κυρτά τα σύνολα:

2.3. 23 () [, ] [, ] (2) D(z, r), όπου z C και r >. (3) D(z, r), όπου z C και r >. (4) {z : Re z > a}, όπου a R σταθερός αριθμός. (5) {z : Im z a}, όπου a R σταθερός αριθμός. (6) {z C : Re z > και Im z > }. (7) {z : Re z > }. (8) {z : z < 2}. Πρόταση 2.7. Αν z, z 2 είναι σημεία ενός χωρίου S, τότε υπάρχει πολυωνική ραμμή που τα συνδέει και περιέχεται εξ ολοκλήρου στο S. Επί πλέον η πολυωνική ραμμή μπορεί να επιλεεί ώστε να αποτελείται από τμήματα παράλληλα στους άξονες. Απόδειξη. Εστω r > ώστε D(z, r) S και έστω O το σύνολο των σημείων του S που συνδέονται με πολυωνική ραμμή εντός του S με το z. Τότε D(z, r) O. Εστω O 2 = S O. Δείχνουμε ότι τα O και O 2 είναι ανοικτά. Εστω w O, τότε ια κάποιο r > είναι D(w, r ) S και επιπλέον κάθε σημείο z με z w < r συνδέεται με το w με ευθύραμμο τμήμα και στη συνέχεια με πολυωνική ραμμή με το z, κατά συνέπεια D(w, r ) O. Εστω w 2 O 2 και έστω D(w 2, r 2 ) S ια κάποιο r 2 >. Ισχυριζόμαστε ότι D(w 2, r 2 ) O 2. Αν αυτό δεν συνέβαινε ϑα υπήρχε σημείο z με z w 2 < r 2 το οποίο ϑα συνδεόταν με το z με πολυωνική ραμμή στο S. Στη περίπτωση αυτή όμως το ευθύραμμο τμήμα από το z στο w 2 μαζί με την πολυωνική ραμμή ϑα αποτελούσε μία πολυωνική ραμμή στο S που συνδέει το z με το w 2. Αυτό όμως είναι άτοπο ιατί w 2 O 2, συνεπώς D(w 2, r 2 ) O 2, δηλαδή το O 2 είναι ανοικτό. Ετσι έχουμε ότι το S εκφράζεται σαν ένωση δύο ανοικτών και ξένων μεταξύ τους ανοικτών συνόλων. Αυτό όμως είναι άτοπο ιατί το S είναι συνεκτικό, συνεπώς O 2 = επειδή z O, δηλαδή S = O. Τα τμήματα της πολυωνικής ραμμής μπορούμε να τα πάρουμε, εξ αρχής, παράλληλα στους άξονες. Σημείωση 2.2. Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν ένα ανοικτό σύνολο έχει την ιδιότητα κάθε ζευάρι σημείων του να συνδέεται με πολυωνική ραμμή στο σύνολο, τότε το σύνολο είναι συνεκτικό. Αφήνουμε την απόδειξη σαν άσκηση. Το Θεώρημα και το αντίστροφο ενικεύεται στο R n. 2.3 Συναρτήσεις Αν S C και f : S C είναι μία συνάρτηση τότε ια z = x + iy ϑα έχουμε f (z) = f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) C. Θα ράφουμε u = Re f και v = Im f. Μία τέτοια συνάρτηση ϑα τη λέμε μιαδική συνάρτηση μίας μιαδικής μεταβλητής. Αν, ια παράδειμα, f (z) = z 2 +, τότε f : C C και f (z) = (x + iy) 2 + = x 2 y 2 + + i2xy, επομένως u(x, y) = Re f (x, y) = x 2 y 2 +, v(x, y) = Im f (x, y) = 2xy. Γενικά ράφουμε f = u + iv, όπου u, v : C R.

24 2. Ορισμός 2.2. Εστω S C και έστω f : S C μία συνάρτηση. Αν z S ή z S, ϑα λέμε ότι η f έχει όριο L στο z και ράφουμε lim z z f (z) = L, ή f (z) L, καθώς z z εάν ια κάθε ɛ > υπάρχει δ > ώστε αν z S και < z z < δ, τότε f (z) L < ɛ. Ορισμός 2.3. Εστω S C και έστω f : S C μία συνάρτηση. () Εστω z S. Η f ϑα λέεται συνεχής στο z αν ια κάθε ɛ > υπάρχει δ > (δ = δ(ɛ, z )) ώστε αν z z < δ, τότε f (z) f (z ) < ɛ. (2) Η f ϑα λέεται ομοιόμορφα συνεχής στο S αν ια κάθε ɛ > υπάρχει δ > (δ = δ(ɛ)) ώστε αν ια z, z 2 S είναι z z 2 < δ, τότε f (z ) f (z 2 ) < ɛ. Παράδειμα 2.6. Εστω f (z) = z. Η f ορίζεται και είναι ομοιόμορφα συνεχής στο C. Αν z, z 2 C, τότε f (z ) f (z 2 ) = z z 2 z z 2 κατά συνέπεια ια κάθε ɛ > η συνθήκη ια την ομοιόμορφη συνέχεια ισχύει ια δ = ɛ. Παράδειμα 2.7. Εστω f (z) =. Η f ορίζεται και είναι συνεχής στο C. z Εστω z, τότε ια z έχουμε f (z) f (z ) = z z = z z z z. (2.6) Αν ɛ >, τότε επιλέοντας δ min { 2 z, 2 ɛ z 2} ια z z < δ υπολοίζουμε z z z + z < z 2 Κατά συνέπεια από την (2.6) έπεται ότι οπότε η f είναι συνεχής στο z. + z z > z. 2 f (z) f (z ) < 2 z z z 2 < 2δ z 2 2ɛ z 2 2 z 2 = ɛ, Πρόταση 2.8. Εστω f : S C μία συνάρτηση και έστω z S. Η f είναι συνεχής στο z αν ια κάθε ακολουθία (z n ) n= σημείων του S ώστε z n z, έπεται ότι f (z n ) f (z ). Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση. Παρατήρηση 2.3. Εστω f : S C με f = u + iv μία συνάρτηση και έστω z S. Από τη σχέση f (z) f (z ) u(z) u(z ) + v(z) v(z ) 2 f (z) f (z ) συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής στο z αν και μόνον αν το πραματικό και το φανταστικό μέρος της f είναι συνεχείς στο z.

2.3. 25 Σημείωση 2.3. Εστω f : C C μία συνάρτηση και έστω S C. Θυμίζουμε ότι με f (S ) C συμβολίζουμε την εικόνα του S μέσω της f, δηλαδή f (S ) = { f (z) : z S }, ενώ με f (S ) συμβολίζουμε την αντίστροφη εικόνα του S μέσω της f, δηλαδή f (S ) = {z : f (z) S }. Χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία μπορεί να δειχθεί ότι f ( f (S )) S και ότι S f ( f (S )). Θυμίζουμε επίσης ότι ένα σύνολο U S λέεται ανοικτό στο S αν υπάρχει ανοικτό σύνολο V C ώστε U = V S. Παρόμοια ένα σύνολο F S λέεται κλειστό στο S αν υπάρχει κλειστό σύνολο G C ώστε F = G S. 2 Πρόταση 2.9. Εστω S C και έστω f : S C μία συνάρτηση. Δείξτε ότι () Η f είναι συνεχής στο S αν και μόνον αν ια κάθε ανοικτό σύνολο O C το f (O) είναι ανοικτό σύνολο στο S. (2) Η f είναι συνεχής στο S αν και μόνον αν ια κάθε κλειστό σύνολο F C το f (F) είναι κλειστό σύνολο στο S. Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση. Πρόταση 2.. Εστω S C και έστω f : S C μία συνάρτηση συνεχής στο S, τότε ισχύουν τα παρακάτω () Εάν το S είναι συμπαές το f (S ) είναι συμπαές. (2) Εάν το S είναι συνεκτικό το f (S ) είναι συνεκτικό. Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση. Πρόταση 2.. Εστω S C ένα συμπαές σύνολο και έστω f : S C μία συνάρτηση συνεχής στο S, τότε () Η f είναι φραμένη, υπάρχει δηλαδή ϑετική σταθερά M ώστε f (z) M ια όλα τα z S. (2) Η f παίρνει τη μέιστη και ελάχιστη τιμή της στο S, υπάρχουν δηλαδή σημεία z, z 2 S ώστε f (z ) f (z) f (z 2 ) ια όλα τα z S. Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση. Ορισμός 2.4. Εστω ( f n ) n= μία ακολουθία συναρτήσεων ορισμένων σε κάποιο σύνολο S. () Θα λέμε ότι η ( f n ) n= συκλίνει σημειακά σε κάποια συνάρτηση f στο S εάν ια z S η ακολουθία των μιαδικών αριθμών ( f n (z)) συκλίνει στο f (z), ισοδύναμα ια κάθε z S και n= ια κάθε ɛ > υπάρχει N = N(z, ɛ) ώστε αν n N είναι f n (z) f (z) < ɛ. (2) Θα λέμε ότι η ( f n ) συκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση f στο S εάν ια κάθε ɛ > n= υπάρχει N = N(ɛ) ώστε αν n N είναι f n (z) f (z) < ɛ ια κάθε z S. 2 Εδώ σκεφτόμαστε το S σαν μετρικό υπόχωρο του μετρικού χώρου (C, ), κατά συνέπεια το S είναι ανοικτό και κλειστό (στο S ). Ετσι ένα σύνολο E S είναι ανοικτό, αντίστοιχα κλειστό, στο S εάν το E είναι ανοικτό, αντίστοιχα κλειστό, υποσύνολο του χώρου (S, ). Στην Άσκηση 5 δείχνεται η ισοδυναμία των δύο χαρακτηρισμών ια ανοικτά ή κλειστά υποσύνολα ενός S C. Γενικά τα ανοικτά ή κλειστά υποσύνολα του S δεν είναι κατ ανάκη ανοικτα αντίστοιχα κλειστά υποσύνολα του C.

26 2. (3) Θα λέμε ότι η σειρά n= f n συκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση f στο S εάν η α- κολουθία των μερικών αθροισμάτων της σειράς ( n k= f k ) συκλίνει ομοιόμορφα στην f στο n= S. Πρόταση 2.2. Εστω ( f n ) μία ακολουθία συναρτήσεων ορισμένων και συνεχών σε κάποιο σύνολο n= S η οποία συκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση f στο S. Τότε η f είναι συνεχής στο S. Απόδειξη. Εστω ɛ >. Τότε υπάρχει N ώστε f n (w) f (w) < ɛ ια n N και όλα τα w S. Εστω 3 z S, τότε υπάρχει δ > ώστε f N (z) f N (w) < ɛ οποτεδήποτε z w < δ. Για αυτό το δ και 3 z w < δ έχουμε f (z) f (w) f (z) f N (z) + f N (z) f N (w) + f N (w) f (w) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ, δηλαδή η f είναι συνεχής στο z, άρα και στο S. Πρόταση 2.3 (κριτήριο του Weierstrass). Εστω ( f n ) μία ακολουθία συναρτήσεων ορισμένων n= σε κάποιο σύνολο S και έστω f n (z) M n ια κάθε z S και n =, 2,.... Αν n= M n < +, τότε η σειρά k= f k συκλίνει ομοιόμορφα στο S σε κάποια συνάρτηση f. Αν οι f n είναι συνεχείς στο S τότε και η f είναι συνεχής στο S. Απόδειξη. Εστω σ n = n k= f k. Για n > m και z S έχουμε σ n (z) σ m (z) = f m+ (z) + + f n (z) M m+ + + M n, καθώς n, m. Δηλαδή ια κάθε z S η ακολουθία (σ n (z)) είναι Cauchy και σαν τέτοια n= συκλίνει. Άν f (z) είναι το όριο, τότε έχουμε ότι η σειρά συκλίνει σημειακά στην f. Εστω ɛ > τότε υπάρχει N ώστε k=n M n < ɛ και ια n > m > N από την τελευταία σχέση έχουμε σ n (z) σ m (z) M k < ɛ, ια κάθε z S. Παίρνοντας το όριο m από τον ορισμό της f έχουμε k=n σ n (z) f (z) < ɛ, ια κάθε z S, κατά συνέπεια η σύκλιση είναι ομοιόμορφη. Στην περίπτωση που οι f n είναι συνεχείς στο S ϑα είναι και η f σαν το ομοιόμορφο όριο των συνεχών συναρτήσεων σ n. Άσκηση 2.4. Δείξτε ότι η σειρά n= n 2 +z 2.4 Συμπαοποίηση του C συκλίνει και είναι συνεχής στο {z : Re z > }. Το C δεν είναι συμπαής χώρος, ια παράδειμα το ανοικτό κάλυμμα {D(, n) : n =, 2,... } δεν έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα. Μπορούμε, προσαρτώντας ένα κατάλληλο σημείο στο μιαδικό επίπεδο να δείξουμε ότι το εμπλουτισμένο επίπεδο ως προς μία νέα μετρική είναι συμπαής χώρος. Μπορούμε δηλαδή επεκτείνοντας το επίπεδο με ένα μόνο σημείο να το συμπαοποιήσουμε.

2.4. C 27 2.4. Στερεοραφική προβολή Στο R 3 ϑεωρούμε τη σφαίρα S := { ( (ξ, η, ζ) : ξ 2 + η 2 + ζ ) 2 ( 2 } = 2 2) και σκεφτόμαστε το C σαν το ξη-επίπεδο του τριδιάστατου χώρου, έτσι ώστε ο μιαδικός αριθμός να ταυτίζεται με το σημείο (,, ) της σφαίρας. Το σημείο N = (,, ) της S ϑα το λέμε βόρειο πόλο, και τον μέιστο κύκλο της σφαίρας {(ξ, η, /2) : ξ 2 + η 2 = /4}, ϑα λέμε ισημερινό. Τη σφαίρα S τη λέμε και σφαίρα του Riemann. ζ N(,, ) P(ξ, η, ζ) y, η x, ξ P (x, y) Σχήμα 2.2: Στερεοραφική προβολή. Εάν P N είναι ένα σημείο της σφαίρας τότε η ημιευθεία από το N στο P τέμνει το επίπεδο C σε ένα σημείο P έστω z. Αντίστροφα ια κάθε μιαδικό αριθμό η ευθεία που τον συνδέει με το N τέμνει την σφαίρα σε ένα σημείο. Κατ αυτό τον τρόπο λοιπόν ορίζεται μία ένα προς ένα και επί αντιστοιχία μεταξύ των σημείων του C και των σημείων πλην N της σφαίρας. Στη συνέχεια εκφράζουμε αυτή την αντιστοιχία μέσω συντεταμένων. Εστω P = (ξ, η, ζ) S και P = z = x + iy, τότε P = (x, y, ) και από ομοιότητες τριώνων έπεται ότι x ξ = y η = ζ (2.7)