ΦΥΣΙΚΗ ΆΣΚΗΣΗ - ΜΕΛΕΤΗ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΚΑΙ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΕ ΚΑΤΑ- ΚΟΡΥΦΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ίσκος µάζας Μ = Kg ισορροπεί σε κατακόρυφο ελατήριο k = 00 N/m, του οποίου το κάτω άκρο είναι στερεωµένο στο έδαφος. Από ύψος h = 60 cm πάνω από το δίσκο αφήνεται σώµα µάζας m = Kg. Ακολουθεί πλαστική κρούση. Ζητάµε: ) το πλάτος της ταλάντωσης, ) τις εξισώσεις (x t), (υ t), (α t), (U t), (K t), (ΣF t), 3) το χρόνο που θα κάνει το συσσωµάτωµα µέχρι να σταµατήσει στιγµιαία, 4) το έργο του βάρους µέχρι τη θέση του πλάτους, ) το έργο της δύναµης του ελατηρίου µέχρι τη θέση του πλάτους, 6) το ρυθµό µεταβολής της ορµής µετά την κρούση, στις θέσεις των πλατών και στη θέση ισορροπίας, (Θ.Ι). 7) το ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας µετά την κρούση, στις θέσεις των πλατών και στη θέση ισορροπίας, (Θ.Ι). 8) την δύναµη επαναφοράς στη νέα θέση ισορροπίας (Ν.Θ.Ι) και τη θέση πλάτους, 9) την δύναµη που ασκεί το ελατήριο στο συσσωµάτωµα στη νέα θέση ισορροπίας (Ν.Θ.Ι) και τη θέση πλάτους.
Λ Υ Σ Η : m x kx υ M h V k(x +x ) 0, k Mg x (+) V 0 A V=0 (M+m)g (A) Θέση φυσικού µήκους (Β) Π.Θ.Ι. (Γ) Π.Θ.Ι. Αρχή Ταλάντωσης Θέση µετά την κρούση! ( ) Ν.Θ.Ι. (Ε) Θέση Πλάτους
o Ερώτηµα: (Για την µάζα m): Uβαρ = Kτελ mgh= mυ αρχ m υ = gh = sec ιατήρηση της ορµής κατά την πλαστική κρούση: m υ pαρχ = pτελ mυ = ( M + m) V V = υ V = () M + m Προσέξτε αν χρειάζεται να υπολογίζετε την U πριν την κρούση! Συµφέρει µε χρήση της µηχανικής ενέργειας (θεωρία Α Λυκ.) Η ταλάντωση του συσσωµατώµατος θα γίνει γύρω από ΝΕΑ ΘΕ- ΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΝΘΙ). Π.Θ.Ι: ΣF=0 Mg kx = 0 Mg = kx () Mg [και x = = m, θα χρειαστεί σε παρακάτω ερώτηµα] k Ν.Θ.Ι: ΣF=0 ( M m) g k( x x ) + + = 0 ( ) mg Mg+ mg = kx+ kx x = = m k Η Ν.Θ.Ι. απέχει από την Π.Θ.Ι. κατά x το οποίο ε- ξαρτάται ΜΟΝΟ από τη µάζα m που προστίθεται και όχι από την αρχική Μ. Α Ε. ΤΑΛ: ETAΛ(Γ) = ETAΛ(Ε) U + K = U + K ταλ( Γ) ( Γ) ταλ( Ε) ( Ε) kx + ( m + M ) V = ka m+ M A= x + V k Αντικαθιστώντας τις αριθµητικές τιµές έχουµε: 4 6 4 A= + m A= m= A= m A= m 00 4 00 ) ιατηρώ την ενέργεια ταλάντωσης από τη θέση όπου αρχίζει η ταλάντωση και τη θέση πλάτους! ) Την αποµάκρυνση στην U ταλ την ορίζουµε από την Ν.Θ.Ι.! ο Ερώτηµα: To κινητό όταν αρχίζει η ταλάντωση, δηλαδή όταν t = 0 βρίσκεται σε αποµάκρυνση x 0 βαδίζοντας προς τη Θ.Ι µε φορά προς Αφού ορίσαµε (+Α) τη θέση Ε, το κινητό όταν βρίσκεται στη Γ είναι πίσω από τη Θ.Ι, δηλαδή σε (-) αποµακρύν-
x = m τα (+). Άρα είναι: t = 0 V > 0 σεις! x= A ( t+ ) = = = φ = V = V0συν ( ωt+ φ ) 6 V0συνφ > 0 συνφ > 0 ηµ ω φ t 0 ηµφ ηµφ π k rad k = ( m+ M) ω ω = = m+ M sec π Άρα: x ηµ = t (S.I) m m V0 = ω A= V0 = sec sec Παρατηρείστε ότι η περίοδος για το συσσωµάτωµα πάντοτε αυξάνει M + m T = π σε σχέση µε k την αρχική, δηλαδή µε αυτήν της Μ αν ταλαντωνόταν M T = π. k π Άρα: V συν = t (S.I) m m a A a sec sec 0 = ω = 0 = 0 π Άρα: a 0ηµ = t (S.I) 4 π U = kx = 00 ηµ t π Άρα: U 8ηµ = t (S.I) π K = ( m+ M) V = 4 συν t π K = 8συν t π π Σ F = kx= 00 ηµ t Σ F = 40ηµ t os τρόπος λύσης: ( ) Σ F = m+ M α π Σ F = 4 0ηµ t 6 π Σ F = 40ηµ t
3 ο Ερώτηµα: H θέση όπου σταµατάει στιγµιαία (θέση πλάτους) είναι x = +A µε V = 0. Άρα: π π = ηµ tx tx 6 ηµ = π π 0= συν t x συν tx = 0 Έτσι: π π π π 4π π π tx = tx = + tx = tx = tx = sec 6 6 6 3 4 ο Ερώτηµα: To βάρος είναι σταθερή δύναµη άρα: 3 WB ( M m) g ( x A) WB 40 = + + = + Joue WB = 40 Joue WB = 4Joue ο Ερώτηµα: Θ.Μ.Κ.Ε (Γ) (Ε) : 0 KE KΓ = WB + WF ελ WF = K W ελ Γ B ( ) WF = m+ M V W ελ B WF = 4 4 Joue ελ 4 WF = 30Joue ελ To πρόσηµο χαρακτηρίζει τη στάση του ελατηρίου για τη µετατόπιση που µας ενδιαφέρει. Στην περίπτωσή µας είναι καταναλισκό- µενο. Η F ελ είναι µεταβαλλόµενη, άρα δεν µπορώ να πάρω τον ορισµό του έργου. Αφού όµως είναι ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΗ ισχύει ότι: ( αρχ τελ ) WF = k x x µε την προϋπόθεση ότι ελ αφού αναφερόµαστε στη δύναµη του ελατηρίου οι αποµακρύνσεις υπολογίζονται από το φυσικό µήκος και όχι από τη Θ.Ι. ηλ. είναι: WF = k x ( x x A) ελ + + WF = 00 ελ + + 6 WF = 0 Joue ελ 0 WF = J = 30Joue ελ 6 ο Ερώτηµα:
P =Σ F = kxκαταλληλο α ) x= x = m P = 00 N = 0N β ) x=± A=± m A 00 N 40N P + = = kx A 00 N =+ 40N P γ ) x= 0 = kx = 0 O ρυθµός µεταβολής ενός µεγέθους ορίζεται σε θέση (και όχι σε διάστηµα) ή σε στιγµή (όχι σε χρονικό διάστηµα). P Pτελ Pαρχ Άρα είναι τραγικό λάθος: = t t τελ τελ (ΙΣΧΥΕΙ ΜΟΝΟ αν P ανάλογο του t) Έτσι στη Φυσική έχουµε δύο δρόµους για να λύσουµε ερωτήµατα που αφορούν ρυθµούς µεταβολής. α) Ελέγχουµε αν ο ρυθµός αυτός ορίζει άλλο φυσικό µέγεθος και υπολογίζουµε την τιµή του µεγέθους αυτού στη θέση ή τη χρονική στιγµή που µας ζητούν. (όπως πράξαµε εδώ!) β) Επειδή ο ρυθµός µεταβολής είναι η παράγωγος της συνάρτησης, βρίσκουµε την παράγωγο και αντικαθιστούµε το αντίστοιχο x ή t της εκφώνησης. *Θα προτιµούµε τον πρώτο τρόπο όπου ορίζεται µέγεθος. 7 ο Ερώτηµα: K WΣF ΣF x = = =ΣF υ (*) όπου ΣF, υ οι τιµές στη θέση ή τη χρονική στιγµή που ορίζεται από το πρόβληµα. υ m α) x= x = m και V = = 3 sec K K =ΣF υ = k x V = 00 3 Watt = 0 3 Watt β) x =± A και V = 0 0 K =Σ F υ = k ( ± A) V = 0 γ) x = 0 και V = V0 0 K =Σ F υ = k x V 0 = 0
(*) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Πάντοτε πριν αρχίσετε την επίλυση να αποδεικνύετε την σχέση. 8 ο Ερώτηµα: Στην Ν.Θ.Ι. x = 0 : Σ F = k x= 0. Στη θέση πλάτους x = A= m: Σ F = k A= 00 N = 40Nt. Το x είναι η αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας γύρω από την οποία το σύστη- µα ταλαντώνεται. Ε Ω την Ν.Θ.Ι.! 9 ο Ερώτηµα: Στην Ν.Θ.Ι. x = x+ x ( ) Fελ = kx Fελ = k x+ x Fελ = 00 + Nt = 00 Nt Fελ = 40Nt Στη θέση πλάτους x = x+ x + A ( ) Fελ = kx Fελ = k x+ x + A 4 Fελ = 00 + + Nt Fελ = 00 Nt Fελ = 80Nt Το x είναι η µετατόπιση από το φυσικό µήκος. Ξεκαθαρίστε την διαφορά λοιπόν µεταξύ: (Ι) ύναµης επαναφοράς (ΣF) x από Θ.Ι. (ΙΙ) ύναµης ελατηρίου (F ελ ) x από φυσικό µήκος
. Steiner Κέντρο µάζας Άλλη µέθοδος υπολογισµού γωνιακής ταχύτητας στερεού. Ο άξονας περιστροφής καθορίζει την κίνηση του στερεού. Ανάλογα µε τη θέση του, διαφοροποιούνται οι στιγµιαίες τιµές των µεγεθών που περιγράφουν την κίνηση του στερεού. Η συνισταµένη ροπή και η ροπή αδρανείας αλλάζουν, δηµιουργώντας κάθε φορά ένα ξεχωριστό πρόβληµα για το ίδιο στερεό, που όµως έχει άλλα αποτελέσµατα η κίνησή του. Για τη ροπή αδρανείας έχουµε: ω ω A CΜ = ω Ι + Ροπή αδράνειας του στερεού ως προς το Ι Α Ροπή αδράνειας στερεού ως προς τον πραγµατικό άξονα στο Α Α d M υ =d ω I = M d (A) Ροπή αδράνειας συγκεντρωµένη στο, ως προς τον πραγµατικό άξονα στο Α
A Πολλαπλασιάζοντας τους όρους της () µε I = I + M d () ω έχουµε: ( ) I A ω = I ω + M d ω I A ω = I ω + M d ω I A ω = I ω + M υ () όπου: ο όρος ο όρος ο όρος εκφράζει την κινητική ενέργεια σηµειακής µάζας ίσης µε τη µάζα του στερεού τον I A I ω εκφράζει την πραγµατική κινητική ενέργεια του στερεού ως προς τον M υ δοσµένο άξονα, ω εκφράζει την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής όλων των σηµειακών µαζών γύρω από το, που αν ήταν τοποθετηµένη στο θα εκτελούσε περιστροφή γύρω από πραγµατικό άξονα περιστροφής. ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν λοιπόν θεωρούσαµε ότι µάζα σηµειακή ίση µε τη µάζα του στερεού εκτελούσε περιστροφή γύρω από τον πραγµατικό άξονα περιστροφής τοποθετηµένη στο, τότε θα ήταν λάθος να υποθέσουµε ότι: ( Α) ( Α) Kπερ = K IA ω = M υ, αφού η διαφορά τους δεν είναι µηδέν αλλά δίνει: I A ω M υ = I ω Θα επιχειρήσουµε τώρα την επίλυση προβληµάτων περιστροφής και µε τους δύο τρόπους.
. Παραδείγµατα. Η ΡΑΒ ΟΣ ΠΟΥ ΠΕΦΤΕΙ! A ω υ ος τρόπος: ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ M g = IA ω M g = M ω 3 3g ω = ος τρόπος: Με χρήση του M g = K + Kραβ M g = M υ + I ω M g = M ω + M ω M g = M ω + M ω 4 ω ω 4 3g g = + g = ω ω = 4. Μάζες m = m = mδεµένες σε νήµα µήκους που περιστρέφεται γύρω από άξονα στην ίδια ευθεία µε το νήµα και απέχει µήκος από την κοντινότερη µάζα!
m Υπολογισµός. m + m 3 4 m rcm = = rcm = m+ m m υ A (Β) υ ω ος τρόπος: ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ m g + m g 3 = I ω + I ω ( ) 4m g = m ω + m 3 ω 9 4m g = m ω + m ω 4g 4m g = m ω ω = ος τρόπος: Με χρήση του συστ m g + m g 3 = K + K 4m g = M υ + I ω 4m g = ( m) υ + I ω + I ω 4m g = m ( ω ) + m ω + m ω m ω 4m g = 4m ω + m ω 4g 4m g = m ω ω =
3. Ράβδος από το άκρο, µε µάζα και στο άλλο άκρο της! Μ h Κ 4 4 3 4 Υπολογισµός. r cm M + M 3 M 3 = = rcm M 4M = 4 A Κ ω υ ος τρόπος: ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ M g + M g = IA ω + M ω 3M g = M ω + M ω 3 3 3M g 4M ω 9g = ω = 6 4 ος τρόπος: Με χρήση του συστ 3M g M g + M g = K + K = M υ + I ω 3M g = ( M ) υ + I + M ω + M ω 4 4 ραβδος ως προς µαζα ως προς 3M g 3 ω M M M ω = M + + ω + 4 6 3 3M g 9M ω 7M ω M ω = + + 6 96 3 3M g 64 3g ω 9g = M ω = ω = 96 3 4
Επιµέλεια θεµάτων: Κοµητόπουλος Γιώργος Κωστόπουλος Σπύρος