Μετατροπέας Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό Ο δειγματολήπτης (S/H) παίρνει δείγματα του στιγμιαίου εύρους ενός σήματος και διατηρεί την τάση που αντιστοιχεί σταθερή, τροφοδοτώντας έναν κβαντιστή, μέχρι την επόμενη στιγμή δειγματοληψίας. Αυτό γίνεται γιατί ο κβαντιστής απαιτεί κάποιο χρόνο για να μετατρέψει τα αναλογικά σήματα εισόδου σε ψηφιακά και αν το σήμα εισόδου του άλλαζε κατά την διάρκεια αυτού του χρόνου θα έδινε εσφαλμένα αποτελέσματα. Το σχήμα δείχνει έναν S/H. Οταν το FET ενεργοποιείται, ο πυκνωτής ταχέως φορτίζεται ή αποφορτίζεται στο επίπεδο του αναλογικού σήματος εισόδου. Οταν το FET απενεργοποιηθεί ο πυκνωτής κρατάει το φορτίο του μέχρις ότου το FET Control Systems Laboratory 19 Απριλίου επανενεργοποιηθεί. 2013 Βιομηχανικά Ηλεκτρονικά - Κ.Ι.Κυριακόπουλος 1
Μετατροπέας Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό O (κλασσικός) κβαντιστής διαδοχικής προσέγγισης (successive approxima8on) φαίνεται στο σχήμα. Η μετατροπή ξεκινάει με την εντολή εκκινήσεως που καθαρίζει τα προηγούμενα δεδομένα. Το MS της εισόδου του γίνεται 1. Αν η τιμή της εξόδου του είναι μικρότερη από το αναλογικό σήμα εισόδου, διαδοχικά αυξάνονται τα bit εισόδου του DAC μέχρις ότου η έξοδος του DAC ξεπεράσει το αναλογικό σήμα εισόδου. Ο αριθμός bit του ADC είναι ίδιος με αυτόν του χρησιμοποιούμενου DAC. Η διακριτότητα ή επίπεδο κβαντισμού (quanfzafon level) είναι q =! max "! min 2 N "1 όπου! max,! min είναι η μέγιστη και ελάχιστη τάση εισόδου του αναλογικού σήματος. Μεταβολή της τάσης εισόδου μικρότερη από q μπορεί να οδηγήσει σε μη αλλαγή της κατάστασης εξόδου πράγμα που φανερώνει την ύπαρξη ενός σφάλματος κβαντισμού (quanfzafon error). 2
Λογικές Πύλες Οι λογικές πύλες (logic gates) είναι ηλεκτρονικά κυκλώματα που επιτελούν διάφορες λογικές πράξεις. Οι λογικές πράξεις και η άλγεβρα που διέπει αυτές μελετήθηκε από τον άγγλο μαθηματικό George oole που εισήγε την αρχή: «όλες οι προτάσεις μπορούν να αποδειχθούν με σωστές απαντήσεις σε πεπερασμένο αριθμό ερωτήσεων τύπου σωστό αληθές». Οι λογικές πράξεις της Αλγεβρας oole είναι : A A AND Y AND OR NOT A Y=A A Y=A+ X 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 NAND Y A NAND NOR A Y=A! A 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 3 OR Y X NOT Y=A + Y Y=X A NOR Y
Λογικές Πύλες Υπάρχουν οι πύλες XOR (EXCLUSIVE OR) που ορίζεται σαν και η XΝOR (EXCLUSIVE ΝOR) που ορίζεται ως A = A. Τα σύμβολά τους και οι αντίστοιχοι πίνακες αληθείας φαίνονται παρακάτω A = A + A A XOR XOR Y A XNOR XΝOR A Y = A! A Y=A 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 Y 4
Πίνακες Αληθείας Λογική συνάρτηση είναι μία συνάρτηση που σχηματίζεται από δυαδικές μεταβλητές και λογικές πράξεις π.χ f ( x, y, z) = x y + x z + y z g( x, y, z) = x y + x z Μπορούμε να κατασκευάσουμε τους αντίστοιχους πίνακες αληθείας οι οποίοι να περιέχουν όλους τους λογικούς συνδυασμούς (πεδίο ορισμού) αυτών των μεταβλητών και να δούμε το αντίστοιχο πεδίο τιμών (range). Από τον πίνακα αληθείας μπορεί να δει κανείς ότι για όλους τους συνδυασμούς των μεταβλητών, δηλ. σε όλο το πεδίο ορισμού x y+ x z+ y z= x y+ x z Είναι προφανές ότι ο πίνακας αληθείας είναι ένα εργαλείο απόδειξης ιδιοτήτων των λογικών συναρτήσεων. x y z x y x z y z f( x, y, z ) gxyz (,, ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 5
Ιδιότητες + Ιδιότητες Ιδιότητες ΝΟΤ x! y! z = x!(y! z) = (x! y)! z x = x x! y = y! x x + x = 1 x! x = x x! x = 0 x!1 = x x + x! y = x + y x!0 = 0 x + y + z = x + (y + z) = (x + y) + z x + y = y + x x + x = x x +1 = 1 x + 0 = x Ιδιότητες Λογικών Πράξεων Σχεδίαση Λογικών Κυκλωµάτων Αλλες Ιδιότητες x!(y + z) = x! y + x! z x + x! y = x x + y! z = (x + y)!(x + z) Νόμοι De Morgan x 1! x 2! x 3!! x n = x 1 + x 2 + x 3 +!+ x n x 1 + x 2 + x 3 + + x n = x 1! x 2! x 3!! x n Αλγόριθμος Σχεδίασης : Κατασκευή πίνακα αληθείας με βάση της σχετικές προδιαγραφές Εύρεση εκείνων των γραμμών του πίνακα αληθείας όπου η έξοδος είναι αληθής (δηλ. ισούται με «1»). Για κάθε τέτοια γραμμή, βρίσκουμε τον συνδυασμό εισόδων με την πράξη AND που κάνει τη «σύζευξή» τους αληθή (σύζευξη = AND). Κάνουμε «διάζευξη» σε όλες αυτές τις συζεύξεις (διάζευξη = OR). 6
Σχεδίαση Λογικών Κυκλωµάτων: Παράδειγµα Control Systems Laboratory Να ευρεθεί η λογική συνάρτηση g( x, y, z) και το αντίστοιχο λογικό κύκλωμα που η g( x, y, z) είναι αληθής (1) όταν η πλειοψηφία των τριών εισόδων είναι αληθής και ψευδής (0) σε κάθε άλλη περίπτωση. g(x, y,z) = xyz + xyz + xyz + xyz g(x, y,z) = xyz + xyz + xyz + xyz = = xyz + xyz + xy(z + z) = = xyz + xyz + xy x y x y z g( x, y, z) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Αλγόριθμος Σχεδίασης : Κατασκευή πίνακα αληθείας με βάση της σχετικές προδιαγραφές Εύρεση εκείνων των γραμμών του πίνακα αληθείας όπου η έξοδος είναι αληθής (δηλ. ισούται με «1»). Για κάθε τέτοια γραμμή, βρίσκουμε τον συνδυασμό εισόδων με την πράξη AND που κάνει τη «σύζευξή» τους αληθή (σύζευξη = AND). Κάνουμε «διάζευξη» σε όλες αυτές τις συζεύξεις (διάζευξη = OR). z xyz xyz xy gxyz (,, ) = xyz+ xyz+ xy 7
Απλοποίηση Λογικών Παραστάσεων µέσω Πινάκων Karnaugh Συστηματικός και γραφικός τρόπος απλοποίησης λογικών παραστάσεων και κυκλωμάτων. Πρακτικά εφαρμόσιμος για παραστάσεις μέχρι και 4, το πολύ, μεταβλητών. Για μεγαλύτερο αριθμό μεταβλητών υπάρχουν ειδικά προγράμματα απλοποίησης που στηρίζονται (και) σε μεθοδολογίες τεχνητής νοημοσύνης. Για μια λογική συνάρτηση, οι πίνακες Karnaugh παριστάνουν τη σχέση μεταξύ λογικών εισόδων και εξόδου, κάτι που κάνουν άλλωστε τόσον οι πίνακες αληθείας όσο και οι λογικές εξισώσεις. Αρχικά θα δειχθεί το πώς οι πίνακες Karnaugh προκύπτουν από τους πίνακες αληθείας και με βάση αυτό θα γίνει η όλη ανάπτυξη της μεθοδολογίας απλοποίησης, ενώ μετά θα δειχθεί το πως προκύπτουν και από τις λογικές εξισώσεις. 8
Κατασκευή Πινάκων Karnaugh Control Systems Laboratory { x =ΑΒ+ΑΒ} X = AC+ AC + AC + AC X = ACD+ ACD + ACD + ACD 9
Οµαδοποίηση των Κελιών: Κατά Ζεύγη X = AC + AC = A X = AC + AC = C X = AC + AC = C X = ACD+ ACD + ACD + ACD = AC + AD «Η ομαδοποίηση ζευγών γειτνιαζόντων κελιών οδηγεί σε εξαφάνιση της μεταβλητής που εμφανίζεται σε κάθε ζεύγος τόσο σε κανονική όσο και σε συμπληρωματική μορφή». 10
Οµαδοποίηση των Κελιών: Κατά Τετράδες X = C X = D X = A X Η ομαδοποίηση τετράδων γειτνιαζόντων κελιών οδηγεί σε εξαφάνιση εκείνων των δύο μεταβλητών που εμφανίζονται σε κάθε τετράδα τόσο σε κανονική όσο και σε συμπληρωματική μορφή. = AD X = D 11
Οµαδοποίηση των Κελιών: Κατά Οκτάδες X = C Η ομαδοποίηση οκτάδων γειτνιαζόντων κελιών οδηγεί σε εξαφάνιση εκείνων των τριών μεταβλητών που εμφανίζονται σε κάθε οκτάδα τόσο σε κανονική όσο και σε συμπληρωματική μορφή. X = X = X = D 12
Απλοποίηση µέσω Πίνακα Karnaugh Η απλοποίηση θα γίνει με βάση τα προηγούμενα και 2 βασικές παρατηρήσεις: σε ένα πίνακα Karnaugh πρέπει να αναζητούμε όσο το δυνατόν μεγαλύτερες ομάδες έτσι ώστε να έχουμε την μεγαλύτερη δυνατή απλοποίηση, και δεδομένου ότι για κάθε λογική μεταβλητή z ισχύει z = z + z, στην αναζήτησή μας για όσο το δυνατόν μεγαλύτερες ομάδες κελιών, ένα κελί μπορεί να ανήκει σε 2 ή περισσότερες ομάδες. Η διαδικασία απλοποίησης είναι η παρακάτω: Βήμα 1: Κατασκευή του πίνακα Karnaugh. Βήμα 2: Ανεύρεση & περικύκλωση απομονωμένων κελιών με περιεχόμενο «1» (δηλ. αυτών που δεν γειτνιάζουν με άλλα) Βήμα 3: Ανεύρεση & περικύκλωση αυτοτελών ζευγών κελιών με περιεχόμενο «1», δηλαδή ζευγών που περιέχουν ένα τουλάχιστον κελί που γειτνιάζει μόνο με το άλλο. Βήμα 4: Ανεύρεση & περικύκλωση οκτάδων κελιών με περιεχόμενο «1», ακόμα και αν κάποια κελιά τους ανήκουν σε προηγουμένως ανευρεθέντα αυτοτελή ζεύγη. Βήμα 5: Ανεύρεση & περικύκλωση τετράδων κελιών με περιεχόμενο «1» που περιέχουν ένα ή περισσότερα κελιά με περιεχόμενο «1» τα οποία δεν έχουν ήδη περικυκλωθεί προηγουμένως. Πρέπει να γίνει προσπάθεια εύρεσης του ελάχιστου αριθμού τέτοιων ομάδων. Βήμα 6: Ανεύρεση & περικύκλωση ζευγών κελιών με περιεχόμενο «1» για να περιληφθούν τα κελιά με περιεχόμενο «1» τα οποία δεν έχουν ήδη περικυκλωθεί προηγουμένως. Πρέπει να γίνει προσπάθεια εύρεσης του ελάχιστου αριθμού τέτοιων ομάδων. Βήμα 7: Διάζευξη (OR) όλων των όρων που προκύπτουν από τις παραπάνω ομάδες. Control Systems Laboratory 13
Απλοποίηση µέσω Πίνακα Karnaugh: Παράδειγµα - 1 Στον παρακάτω πίνακα έχει ήδη γίνει το «βήμα- 1». Επομένως: Βήμα 2: Το κελί 4 είναι το μοναδικό που δεν γειτνιάζει με άλλα. Βήμα 3: Στο ζεύγος (11,15) το κελί 15 γειτνιάζει μόνο με το 11. Είναι και το μοναδικό ζεύγος τέτοιου τύπου. Βήμα 4: Δεν υπάρχουν οκτάδες. Βήμα 5: Στην τετράδα (6,7,10,11) το κελί 11 είναι ήδη κομμάτι του ζεύγους (11,15) Βήμα 6: Δεν υπάρχουν άλλα ζεύγη Βήμα 7: X =! AC ## "## D$ + % ACD + % D loop 4 loop 11, 15 C D C D C D C D A 0 0 0 1 1 2 3 4 A 0 1 1 0 5 6 7 8 A 0 1 1 0 9 10 11 12 A 0 0 1 0 13 14 15 16 loop 6, 7, 10, 11 Βήμα 1: Κατασκευή του πίνακα Karnaugh. Βήμα 2: Ανεύρεση & περικύκλωση απομονωμένων κελιών με περιεχόμενο «1» (δηλ. αυτών που δεν γειτνιάζουν με άλλα) Βήμα 3: Ανεύρεση & περικύκλωση αυτοτελών ζευγών κελιών με περιεχόμενο «1», δηλαδή ζευγών που περιέχουν ένα τουλάχιστον κελί που γειτνιάζει μόνο με το άλλο. Βήμα 4: Ανεύρεση & περικύκλωση οκτάδων κελιών με περιεχόμενο «1», ακόμα και αν κάποια κελιά τους ανήκουν σε προηγουμένως ανευρεθέντα αυτοτελή ζεύγη. Βήμα 5: Ανεύρεση & περικύκλωση τετράδων κελιών με περιεχόμενο «1» που περιέχουν ένα ή περισσότερα κελιά με περιεχόμενο «1» τα οποία δεν έχουν ήδη περικυκλωθεί προηγουμένως. Πρέπει να γίνει προσπάθεια εύρεσης του ελάχιστου αριθμού τέτοιων ομάδων. Βήμα 6: Ανεύρεση & περικύκλωση ζευγών κελιών με περιεχόμενο «1» για να περιληφθούν τα κελιά με περιεχόμενο «1» τα οποία δεν έχουν ήδη περικυκλωθεί προηγουμένως. Πρέπει να γίνει προσπάθεια εύρεσης του ελάχιστου αριθμού τέτοιων ομάδων. Βήμα 7: Διάζευξη (OR) όλων των όρων που προκύπτουν από τις παραπάνω ομάδες. 14